Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumss Structured version   Unicode version

Theorem esumss 26641
Description: Change the index set to a subset by adding zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumss.p  |-  F/ k
ph
esumss.a  |-  F/_ k A
esumss.b  |-  F/_ k B
esumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
esumss.2  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
esumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumss.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
Assertion
Ref Expression
esumss  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A C  = Σ* k  e.  B C )

Proof of Theorem esumss
StepHypRef Expression
1 esumss.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 esumss.b . . . . . . 7  |-  F/_ k B
3 esumss.a . . . . . . 7  |-  F/_ k A
42, 3resmptf 26094 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
65oveq2d 6192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
7 xrge0base 26266 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
8 xrge00 26267 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
9 xrge0cmn 17950 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
11 xrge0tps 26492 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp )
13 esumss.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
14 esumss.p . . . . . 6  |-  F/ k
ph
15 nfcv 2610 . . . . . 6  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
16 esumss.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
17 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
1814, 2, 15, 16, 17fmptdF 26092 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
19 esumss.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
2014, 2, 3, 19suppss2f 26074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  B  |->  C )
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  A )
217, 8, 10, 12, 13, 18, 20tsmsresOLD 19819 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
226, 21eqtr3d 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  C ) )  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
2322unieqd 4185 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  C ) )  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
24 df-esum 26604 . 2  |- Σ* k  e.  A C  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  C ) )
25 df-esum 26604 . 2  |- Σ* k  e.  B C  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  B  |->  C ) )
2623, 24, 253eqtr4g 2515 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A C  = Σ* k  e.  B C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1757   F/_wnfc 2596    \ cdif 3409    C_ wss 3412   U.cuni 4175    |-> cmpt 4434    |` cres 4926  (class class class)co 6176   0cc0 9369   +oocpnf 9502   [,]cicc 11390   ↾s cress 14263   RR*scxrs 14526  CMndccmn 16367   TopSpctps 18603   tsums ctsu 19798  Σ*cesum 26603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-fi 7748  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-xadd 11177  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-rest 14449  df-topn 14450  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-topgen 14470  df-ordt 14527  df-xrs 14528  df-ps 15458  df-tsr 15459  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-fbas 17909  df-fg 17910  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-topsp 18609  df-ntr 18726  df-nei 18804  df-fil 19521  df-fm 19613  df-flim 19614  df-flf 19615  df-tsms 19799  df-esum 26604
This theorem is referenced by:  esumpinfval  26642
  Copyright terms: Public domain W3C validator