Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsplit Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumsplit 28867
 Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsplit.1
esumsplit.2
esumsplit.3
esumsplit.4
esumsplit.5
esumsplit.6
esumsplit.7
esumsplit.8
Assertion
Ref Expression
esumsplit Σ* Σ* Σ*

Proof of Theorem esumsplit
StepHypRef Expression
1 esumsplit.1 . 2
2 esumsplit.2 . . 3
3 esumsplit.3 . . 3
42, 3nfun 3589 . 2
5 esumsplit.4 . . 3
6 esumsplit.5 . . 3
7 unexg 6589 . . 3
85, 6, 7syl2anc 666 . 2
9 elun 3573 . . 3
10 esumsplit.7 . . . 4
11 esumsplit.8 . . . 4
1210, 11jaodan 793 . . 3
139, 12sylan2b 478 . 2
14 xrge0base 28440 . . 3 s
15 xrge0plusg 28442 . . 3 s
16 xrge0cmn 19003 . . . 4 s CMnd
1716a1i 11 . . 3 s CMnd
18 xrge0tmd 28745 . . . 4 s TopMnd
1918a1i 11 . . 3 s TopMnd
20 nfcv 2591 . . . 4
21 eqid 2450 . . . 4
221, 4, 20, 13, 21fmptdF 28248 . . 3
231, 2, 5, 10esumel 28861 . . . 4 Σ* s tsums
24 ssun1 3596 . . . . . 6
254, 2resmptf 28250 . . . . . 6
2624, 25mp1i 13 . . . . 5
2726oveq2d 6304 . . . 4 s tsums s tsums
2823, 27eleqtrrd 2531 . . 3 Σ* s tsums
291, 3, 6, 11esumel 28861 . . . 4 Σ* s tsums
30 ssun2 3597 . . . . . 6
314, 3resmptf 28250 . . . . . 6
3230, 31mp1i 13 . . . . 5
3332oveq2d 6304 . . . 4 s tsums s tsums
3429, 33eleqtrrd 2531 . . 3 Σ* s tsums
35 esumsplit.6 . . 3
36 eqidd 2451 . . 3
3714, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36tsmssplit 21159 . 2 Σ* Σ* s tsums
381, 4, 8, 13, 37esumid 28858 1 Σ* Σ* Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 370   wa 371   wceq 1443  wnf 1666   wcel 1886  wnfc 2578  cvv 3044   cun 3401   cin 3402   wss 3403  c0 3730   cmpt 4460   cres 4835  (class class class)co 6288  cc0 9536   cpnf 9669  cxad 11404  cicc 11635   ↾s cress 15115  cxrs 15391  CMndccmn 17423  TopMndctmd 21078   tsums ctsu 21133  Σ*cesum 28841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-ordt 15392  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-plusf 16480  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-subrg 17999  df-abv 18038  df-lmod 18086  df-scaf 18087  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-tmd 21080  df-tgp 21081  df-tsms 21134  df-trg 21167  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-nm 21590  df-ngp 21591  df-nrg 21593  df-nlm 21594  df-ii 21902  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-esum 28842 This theorem is referenced by:  esummono  28868  esumpad  28869  esumpr  28880  esumrnmpt2  28882  esumfzf  28883  esumpmono  28893  hasheuni  28899  esum2dlem  28906  measvuni  29029  ddemeas  29052  carsgclctunlem1  29142
 Copyright terms: Public domain W3C validator