Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsplit Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumsplit 28867
Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsplit.1  |-  F/ k
ph
esumsplit.2  |-  F/_ k A
esumsplit.3  |-  F/_ k B
esumsplit.4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
esumsplit.5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
esumsplit.6  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
esumsplit.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumsplit.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumsplit  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( A  u.  B ) C  =  (Σ* k  e.  A C +eΣ* k  e.  B C ) )

Proof of Theorem esumsplit
StepHypRef Expression
1 esumsplit.1 . 2  |-  F/ k
ph
2 esumsplit.2 . . 3  |-  F/_ k A
3 esumsplit.3 . . 3  |-  F/_ k B
42, 3nfun 3589 . 2  |-  F/_ k
( A  u.  B
)
5 esumsplit.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
6 esumsplit.5 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
7 unexg 6589 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
85, 6, 7syl2anc 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
9 elun 3573 . . 3  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
10 esumsplit.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11 esumsplit.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1210, 11jaodan 793 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
139, 12sylan2b 478 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 xrge0base 28440 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
15 xrge0plusg 28442 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
16 xrge0cmn 19003 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
18 xrge0tmd 28745 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd )
20 nfcv 2591 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
21 eqid 2450 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  =  ( k  e.  ( A  u.  B
)  |->  C )
221, 4, 20, 13, 21fmptdF 28248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  u.  B ) 
|->  C ) : ( A  u.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
231, 2, 5, 10esumel 28861 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
24 ssun1 3596 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
254, 2resmptf 28250 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( A  u.  B )  ->  (
( k  e.  ( A  u.  B ) 
|->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
2624, 25mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  B
)  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
2726oveq2d 6304 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
2823, 27eleqtrrd 2531 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  A ) ) )
291, 3, 6, 11esumel 28861 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
30 ssun2 3597 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
314, 3resmptf 28250 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( A  u.  B )  ->  (
( k  e.  ( A  u.  B ) 
|->  C )  |`  B )  =  ( k  e.  B  |->  C ) )
3230, 31mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  B
)  |->  C )  |`  B )  =  ( k  e.  B  |->  C ) )
3332oveq2d 6304 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
3429, 33eleqtrrd 2531 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  B ) ) )
35 esumsplit.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
36 eqidd 2451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  ( A  u.  B ) )
3714, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36tsmssplit 21159 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A C +eΣ* k  e.  B C )  e.  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C ) ) )
381, 4, 8, 13, 37esumid 28858 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( A  u.  B ) C  =  (Σ* k  e.  A C +eΣ* k  e.  B C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1443   F/wnf 1666    e. wcel 1886   F/_wnfc 2578   _Vcvv 3044    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730    |-> cmpt 4460    |` cres 4835  (class class class)co 6288   0cc0 9536   +oocpnf 9669   +ecxad 11404   [,]cicc 11635   ↾s cress 15115   RR*scxrs 15391  CMndccmn 17423  TopMndctmd 21078   tsums ctsu 21133  Σ*cesum 28841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-ordt 15392  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-plusf 16480  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-subrg 17999  df-abv 18038  df-lmod 18086  df-scaf 18087  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-tmd 21080  df-tgp 21081  df-tsms 21134  df-trg 21167  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-nm 21590  df-ngp 21591  df-nrg 21593  df-nlm 21594  df-ii 21902  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499  df-esum 28842
This theorem is referenced by:  esummono  28868  esumpad  28869  esumpr  28880  esumrnmpt2  28882  esumfzf  28883  esumpmono  28893  hasheuni  28899  esum2dlem  28906  measvuni  29029  ddemeas  29052  carsgclctunlem1  29142
  Copyright terms: Public domain W3C validator