Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsplit Structured version   Unicode version

Theorem esumsplit 27929
Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsplit.1  |-  F/ k
ph
esumsplit.2  |-  F/_ k A
esumsplit.3  |-  F/_ k B
esumsplit.4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
esumsplit.5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
esumsplit.6  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
esumsplit.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumsplit.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumsplit  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( A  u.  B ) C  =  (Σ* k  e.  A C +eΣ* k  e.  B C ) )

Proof of Theorem esumsplit
StepHypRef Expression
1 esumsplit.1 . 2  |-  F/ k
ph
2 esumsplit.2 . . 3  |-  F/_ k A
3 esumsplit.3 . . 3  |-  F/_ k B
42, 3nfun 3642 . 2  |-  F/_ k
( A  u.  B
)
5 esumsplit.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
6 esumsplit.5 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
7 unexg 6582 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
85, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
9 elun 3627 . . 3  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
10 esumsplit.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11 esumsplit.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1210, 11jaodan 783 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
139, 12sylan2b 475 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 xrge0base 27539 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
15 xrge0plusg 27541 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
16 xrge0cmn 18328 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
18 xrge0tmd 27794 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd )
20 nfcv 2603 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
21 eqid 2441 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  =  ( k  e.  ( A  u.  B
)  |->  C )
221, 4, 20, 13, 21fmptdF 27360 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  u.  B ) 
|->  C ) : ( A  u.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
231, 2, 5, 10esumel 27924 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
24 ssun1 3649 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
254, 2resmptf 27362 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( A  u.  B )  ->  (
( k  e.  ( A  u.  B ) 
|->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
2624, 25mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  B
)  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
2726oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
2823, 27eleqtrrd 2532 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  A ) ) )
291, 3, 6, 11esumel 27924 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
30 ssun2 3650 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
314, 3resmptf 27362 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( A  u.  B )  ->  (
( k  e.  ( A  u.  B ) 
|->  C )  |`  B )  =  ( k  e.  B  |->  C ) )
3230, 31mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  B
)  |->  C )  |`  B )  =  ( k  e.  B  |->  C ) )
3332oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
3429, 33eleqtrrd 2532 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  B ) ) )
35 esumsplit.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
36 eqidd 2442 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  ( A  u.  B ) )
3714, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36tsmssplit 20520 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A C +eΣ* k  e.  B C )  e.  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C ) ) )
381, 4, 8, 13, 37esumid 27922 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( A  u.  B ) C  =  (Σ* k  e.  A C +eΣ* k  e.  B C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1381   F/wnf 1601    e. wcel 1802   F/_wnfc 2589   _Vcvv 3093    u. cun 3456    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767    |-> cmpt 4491    |` cres 4987  (class class class)co 6277   0cc0 9490   +oocpnf 9623   +ecxad 11320   [,]cicc 11536   ↾s cress 14505   RR*scxrs 14769  CMndccmn 16667  TopMndctmd 20435   tsums ctsu 20490  Σ*cesum 27906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-ordt 14770  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-ps 15699  df-tsr 15700  df-plusf 15740  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mhm 15835  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-mulg 15929  df-subg 16067  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-subrg 17295  df-abv 17334  df-lmod 17382  df-scaf 17383  df-sra 17686  df-rgmod 17687  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-tmd 20437  df-tgp 20438  df-tsms 20491  df-trg 20528  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-nm 20969  df-ngp 20970  df-nrg 20972  df-nlm 20973  df-ii 21247  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22809  df-esum 27907
This theorem is referenced by:  esummono  27932  esumpr  27939  esumfzf  27941  esumpmono  27951  hasheuni  27957  measvuni  28051  ddemeas  28074
  Copyright terms: Public domain W3C validator