Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsplit Structured version   Unicode version

Theorem esumsplit 26644
Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsplit.1  |-  F/ k
ph
esumsplit.2  |-  F/_ k A
esumsplit.3  |-  F/_ k B
esumsplit.4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
esumsplit.5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
esumsplit.6  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
esumsplit.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumsplit.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumsplit  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( A  u.  B ) C  =  (Σ* k  e.  A C +eΣ* k  e.  B C ) )

Proof of Theorem esumsplit
StepHypRef Expression
1 esumsplit.1 . 2  |-  F/ k
ph
2 esumsplit.2 . . 3  |-  F/_ k A
3 esumsplit.3 . . 3  |-  F/_ k B
42, 3nfun 3613 . 2  |-  F/_ k
( A  u.  B
)
5 esumsplit.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
6 esumsplit.5 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
7 unexg 6484 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
85, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
9 elun 3598 . . 3  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
10 esumsplit.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11 esumsplit.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1210, 11jaodan 783 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
139, 12sylan2b 475 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 xrge0base 26284 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
15 xrge0plusg 26286 . . 3  |-  +e 
=  ( +g  `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
16 xrge0cmn 17973 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
18 xrge0tmd 26514 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd
1918a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd )
20 nfcv 2613 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
21 eqid 2451 . . . 4  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  =  ( k  e.  ( A  u.  B
)  |->  C )
221, 4, 20, 13, 21fmptdF 26116 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  u.  B ) 
|->  C ) : ( A  u.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
231, 2, 5, 10esumel 26639 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
24 ssun1 3620 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
254, 2resmptf 26118 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( A  u.  B )  ->  (
( k  e.  ( A  u.  B ) 
|->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
2624, 25mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  B
)  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
2726oveq2d 6209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
2823, 27eleqtrrd 2542 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  A ) ) )
291, 3, 6, 11esumel 26639 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
30 ssun2 3621 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
314, 3resmptf 26118 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( A  u.  B )  ->  (
( k  e.  ( A  u.  B ) 
|->  C )  |`  B )  =  ( k  e.  B  |->  C ) )
3230, 31mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A  u.  B
)  |->  C )  |`  B )  =  ( k  e.  B  |->  C ) )
3332oveq2d 6209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  B  |->  C ) ) )
3429, 33eleqtrrd 2542 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C )  |`  B ) ) )
35 esumsplit.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
36 eqidd 2452 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  ( A  u.  B ) )
3714, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36tsmssplit 19851 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A C +eΣ* k  e.  B C )  e.  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  ( A  u.  B )  |->  C ) ) )
381, 4, 8, 13, 37esumid 26637 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( A  u.  B ) C  =  (Σ* k  e.  A C +eΣ* k  e.  B C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758   F/_wnfc 2599   _Vcvv 3071    u. cun 3427    i^i cin 3428    C_ wss 3429   (/)c0 3738    |-> cmpt 4451    |` cres 4943  (class class class)co 6193   0cc0 9386   +oocpnf 9519   +ecxad 11191   [,]cicc 11407   ↾s cress 14286   RR*scxrs 14549  CMndccmn 16390  TopMndctmd 19766   tsums ctsu 19821  Σ*cesum 26621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-ordt 14550  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-ps 15481  df-tsr 15482  df-mnd 15526  df-plusf 15527  df-mhm 15575  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-mulg 15659  df-subg 15789  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-subrg 16978  df-abv 17017  df-lmod 17065  df-scaf 17066  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-tmd 19768  df-tgp 19769  df-tsms 19822  df-trg 19859  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-nm 20300  df-ngp 20301  df-nrg 20303  df-nlm 20304  df-ii 20578  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468  df-log 22134  df-esum 26622
This theorem is referenced by:  esummono  26647  esumpr  26654  esumfzf  26656  esumpmono  26666  hasheuni  26672  measvuni  26766  ddemeas  26789
  Copyright terms: Public domain W3C validator