Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsnf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumsnf 28959
 Description: The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsnf.0
esumsnf.1
esumsnf.2
esumsnf.3
Assertion
Ref Expression
esumsnf Σ*
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem esumsnf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 28923 . . 3 Σ* s tsums
21a1i 11 . 2 Σ* s tsums
3 eqid 2471 . . . 4 s s
4 snfi 7668 . . . . 5
54a1i 11 . . . 4
6 elsni 3985 . . . . . . . . 9
7 esumsnf.1 . . . . . . . . 9
86, 7sylan2 482 . . . . . . . 8
98mpteq2dva 4482 . . . . . . 7
10 esumsnf.2 . . . . . . . 8
11 esumsnf.3 . . . . . . . 8
12 fmptsn 6100 . . . . . . . . 9
13 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
14 esumsnf.0 . . . . . . . . . 10
15 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10
1613, 14, 15cbvmpt 4487 . . . . . . . . 9
1712, 16syl6eqr 2523 . . . . . . . 8
1810, 11, 17syl2anc 673 . . . . . . 7
199, 18eqtr4d 2508 . . . . . 6
20 fsng 6079 . . . . . . 7
2110, 11, 20syl2anc 673 . . . . . 6
2219, 21mpbird 240 . . . . 5
2311snssd 4108 . . . . 5
2422, 23fssd 5750 . . . 4
25 xrltso 11463 . . . . . . 7
2625a1i 11 . . . . . 6
27 0xr 9705 . . . . . . 7
2827a1i 11 . . . . . 6
29 elxrge0 11767 . . . . . . . 8
3011, 29sylib 201 . . . . . . 7
3130simpld 466 . . . . . 6
32 suppr 8005 . . . . . 6
3326, 28, 31, 32syl3anc 1292 . . . . 5
34 0fin 7817 . . . . . . . . . . 11
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10
36 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . . 14
37 res0 5115 . . . . . . . . . . . . . 14
3836, 37syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13
3938oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12 s g s g
40 xrge00 28523 . . . . . . . . . . . . 13 s
4140gsum0 16599 . . . . . . . . . . . 12 s g
4239, 41syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11 s g
4342adantl 473 . . . . . . . . . 10 s g
44 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . 13
45 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . 14
46 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . . 14
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
4844, 47syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12
4948oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11 s g s g
50 xrge0base 28522 . . . . . . . . . . . 12 s
51 xrge0cmn 19087 . . . . . . . . . . . . . 14 s CMnd
52 cmnmnd 17523 . . . . . . . . . . . . . 14 s CMnd s
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 s
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 s
55 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12
5650, 54, 10, 11, 7, 55, 14gsumsnfd 17662 . . . . . . . . . . 11 s g
5749, 56sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . 10 s g
5835, 5, 28, 11, 43, 57fmptpr 6105 . . . . . . . . 9 s g
59 pwsn 4184 . . . . . . . . . . . . 13
60 prssi 4119 . . . . . . . . . . . . . 14
6134, 4, 60mp2an 686 . . . . . . . . . . . . 13
6259, 61eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . 12
63 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . 12
6462, 63mpbi 213 . . . . . . . . . . 11
6564, 59eqtri 2493 . . . . . . . . . 10
66 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 s g s g
6765, 66mpteq12i 4480 . . . . . . . . 9 s g s g
6858, 67syl6eqr 2523 . . . . . . . 8 s g
6968rneqd 5068 . . . . . . 7 s g
70 rnpropg 5323 . . . . . . . 8
7135, 5, 70syl2anc 673 . . . . . . 7
7269, 71eqtr3d 2507 . . . . . 6 s g
7372supeq1d 7978 . . . . 5 s g
7430simprd 470 . . . . . . . . 9
75 xrlenlt 9717 . . . . . . . . . 10
7628, 31, 75syl2anc 673 . . . . . . . . 9
7774, 76mpbid 215 . . . . . . . 8
78 eqidd 2472 . . . . . . . 8
7977, 78jca 541 . . . . . . 7
8079olcd 400 . . . . . 6
81 eqif 3910 . . . . . 6
8280, 81sylibr 217 . . . . 5
8333, 73, 823eqtr4rd 2516 . . . 4 s g
843, 5, 24, 83xrge0tsmsd 28622 . . 3 s tsums
8584unieqd 4200 . 2 s tsums
86 unisng 4206 . . 3
8711, 86syl 17 . 2
882, 85, 873eqtrd 2509 1 Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wnfc 2599   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cif 3872  cpw 3942  csn 3959  cpr 3961  cop 3965  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   wor 4759   crn 4840   cres 4841  wf 5585  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cicc 11663   ↾s cress 15200   g cgsu 15417  cxrs 15476  cmnd 16613  CMndccmn 17508   tsums ctsu 21218  Σ*cesum 28922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219  df-esum 28923 This theorem is referenced by:  esumsn  28960  esum2dlem  28987
 Copyright terms: Public domain W3C validator