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Theorem esumrnmpt2 28963
Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumrnmpt2.1  |-  ( y  =  B  ->  C  =  D )
esumrnmpt2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumrnmpt2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumrnmpt2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  W )
esumrnmpt2.5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  D  =  0 )
esumrnmpt2.6  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  A  B
)
Assertion
Ref Expression
esumrnmpt2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) C  = Σ* k  e.  A D )
Distinct variable groups:    A, k,
y    y, B    C, k    y, D    k, W    ph, k,
y
Allowed substitution hints:    B( k)    C( y)    D( k)    V( y, k)    W( y)

Proof of Theorem esumrnmpt2
StepHypRef Expression
1 nfrab1 2957 . . . . 5  |-  F/_ k { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }
2 esumrnmpt2.1 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  C  =  D )
3 esumrnmpt2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 ssrab2 3500 . . . . . . 7  |-  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  C_  A
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
C_  A )
63, 5ssexd 4543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  e.  _V )
75sselda 3418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
8 esumrnmpt2.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
97, 8syldan 478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
)
10 esumrnmpt2.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  W )
117, 10syldan 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  B  e.  W
)
12 rabid 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  <->  ( k  e.  A  /\  -.  B  =  (/) ) )
1312simprbi 471 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  -.  B  =  (/) )
1413adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  -.  B  =  (/) )
15 elsncg 3983 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  W  ->  ( B  e.  { (/) }  <->  B  =  (/) ) )
1611, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  ( B  e. 
{ (/) }  <->  B  =  (/) ) )
1714, 16mtbird 308 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  -.  B  e.  {
(/) } )
1811, 17eldifd 3401 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  B  e.  ( W  \  { (/) } ) )
19 esumrnmpt2.6 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  A  B
)
20 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
211, 20disjss1f 28260 . . . . . 6  |-  ( { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  C_  A  ->  (Disj  k  e.  A  B  -> Disj  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } B
) )
225, 19, 21sylc 61 . . . . 5  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } B
)
231, 2, 6, 9, 18, 22esumrnmpt 28947 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C  = Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)
24 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )
25 snex 4641 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  _V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  { (/) }  e.  _V )
27 elsn 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
2827biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  e.  { (/) } )  -> 
y  =  (/) )
30 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
ph
31 nfre1 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k E. k  e.  A  B  =  (/)
3230, 31nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )
33 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k  y  =  (/)
3432, 33nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )
35 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  C  =  0
36 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  -> 
y  =  (/) )
37 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
3836, 37eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  -> 
y  =  B )
3938, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  C  =  D )
40 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  ph )
41 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  -> 
k  e.  A )
42 esumrnmpt2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  D  =  0 )
4340, 41, 37, 42syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  D  =  0 )
4439, 43eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  C  =  0 )
45 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  ->  E. k  e.  A  B  =  (/) )
4634, 35, 44, 45r19.29af2 2915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  ->  C  =  0 )
4729, 46syldan 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  e.  { (/) } )  ->  C  =  0 )
48 0e0iccpnf 11769 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
4947, 48syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  e.  { (/) } )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
50 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
y
51 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
5251nfrn 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
5350, 52nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k  y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
5430, 53nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )
55 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
56 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  <->  ( k  e.  A  /\  B  =  (/) ) )
5756simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  ->  B  =  (/) )
5857ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  B  =  (/) )
5955, 58eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  y  =  (/) )
6059, 27sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  y  e.  {
(/) } )
61 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
62 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
6362elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B ) )
6461, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B )
6564biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  ->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B )
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B )
6754, 60, 66r19.29af 2916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  y  e.  { (/) } )
6867ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  ->  y  e.  {
(/) } ) )
6968ssrdv 3424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  C_  { (/) } )
7069adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  C_  {
(/) } )
7124, 26, 49, 70esummono 28949 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_ Σ* y  e.  { (/)
} C )
72 0ex 4528 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  (/)  e.  _V )
7448a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7546, 73, 74esumsn 28960 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  { (/)
} C  =  0 )
7671, 75breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0
)
77 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  -.  E. k  e.  A  B  =  (/) )
78 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  -.  E. k  e.  A  B  =  (/)
7931nfn 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k  -.  E. k  e.  A  B  =  (/)
80 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k { k  e.  A  |  B  =  (/) }
81 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k (/)
82 rabn0 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  A  B  =  (/) )
8382biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  =/=  (/) 
->  E. k  e.  A  B  =  (/) )
8483necon1bi 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  =  (/) )
85 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  B
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  B  =  B )
8779, 80, 81, 84, 86mpteq12df 28332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  ( k  e.  (/)  |->  B ) )
88 mpt0 5715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  (/)  |->  B )  =  (/)
8987, 88syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  (/) )
9089rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  ran  (/) )
91 rn0 5092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (/)  =  (/)
9290, 91syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  (/) )
9378, 92esumeq1d 28930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  = Σ* y  e.  (/) C )
94 esumnul 28943 . . . . . . . . . . . 12  |- Σ* y  e.  (/) C  =  0
9593, 94syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0 )
96 0le0 10721 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
9795, 96syl6eqbr 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0
)
9877, 97syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0
)
9976, 98pm2.61dan 808 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0 )
100 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  C_  A
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  C_  A )
1023, 101ssexd 4543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  e.  _V )
10380mptexgf 28301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  e.  _V  ->  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
104 rnexg 6744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
1062adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  =  D )
107 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  ph )
108101sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
109108adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
110109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  k  e.  A )
111107, 110, 8syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
112106, 111eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11354, 112, 66r19.29af 2916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114113ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
115 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
116115esumcl 28925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V  /\  A. y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
117105, 114, 116syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
118 elxrge0 11767 . . . . . . . . . 10  |-  (Σ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  (Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR*  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
119118simprbi 471 . . . . . . . . 9  |-  (Σ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C )
120117, 119syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C )
12199, 120jca 541 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
122 iccssxr 11742 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
123122, 117sseldi 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR* )
124122, 48sselii 3415 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
125124a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
126 xrletri3 11474 . . . . . . . 8  |-  ( (Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (Σ* y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0  <-> 
(Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) ) )
127123, 125, 126syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0  <->  (Σ* y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) ) )
128121, 127mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0 )
129128oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  =  ( 0 +eΣ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
1309ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1311esumcl 28925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  e.  _V  /\  A. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1326, 130, 131syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
133122, 132sseldi 3416 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e. 
RR* )
13423, 133eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR* )
135 xaddid2 11557 . . . . . 6  |-  (Σ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C  e. 
RR*  ->  ( 0 +eΣ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )  = Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )
136134, 135syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 +eΣ* y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  = Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )
137129, 136eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  = Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )
138 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  ph )
13957adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  B  =  (/) )
140138, 108, 139, 42syl21anc 1291 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  D  =  0 )
141140ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } D  =  0 )
14230, 141esumeq2d 28932 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) } 0 )
14380esum0 28944 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  e.  _V  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } 0  =  0 )
144102, 143syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } 0  =  0 )
145142, 144eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D  =  0 )
146145oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ*
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)  =  ( 0 +eΣ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
) )
147 xaddid2 11557 . . . . . 6  |-  (Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  RR*  ->  ( 0 +eΣ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )
148133, 147syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 +eΣ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )
149146, 148eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ*
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)  = Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)
15023, 137, 1493eqtr4d 2515 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  =  (Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ*
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
) )
151 nfv 1769 . . . 4  |-  F/ y
ph
152 nfcv 2612 . . . 4  |-  F/_ y ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
1531mptexgf 28301 . . . . 5  |-  ( { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  e.  _V  ->  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  e.  _V )
154 rnexg 6744 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
1556, 153, 1543syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  e.  _V )
156 ssrin 3648 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  C_  { (/) }  ->  ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  C_  ( { (/) }  i^i  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) )
15769, 156syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  C_  ( { (/) }  i^i  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) )
158 incom 3616 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  { (/) } )  =  ( {
(/) }  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
15913neqned 2650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  B  =/=  (/) )
160159necomd 2698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  (/)  =/=  B
)
161160neneqd 2648 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  -.  (/)  =  B )
162161nrex 2841 . . . . . . . . 9  |-  -.  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } (/)  =  B
163 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  =  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )
164163elrnmpt 5087 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } (/)  =  B ) )
16572, 164ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }
(/)  =  B )
166162, 165mtbir 306 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
167 disjsn 4023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  i^i  { (/)
} )  =  (/)  <->  -.  (/) 
e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )
168166, 167mpbir 214 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  { (/) } )  =  (/)
169158, 168eqtr3i 2495 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  =  (/)
170157, 169syl6sseq 3464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  C_  (/) )
171 ss0 3768 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  C_  (/)  ->  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  =  (/) )
172170, 171syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  =  (/) )
173 nfmpt1 4485 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
174173nfrn 5083 . . . . . . 7  |-  F/_ k ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
17550, 174nfel 2624 . . . . . 6  |-  F/ k  y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
17630, 175nfan 2031 . . . . 5  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )
1772adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  =  D )
178 simplll 776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  ph )
1797adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
180179adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  k  e.  A )
181178, 180, 8syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
182177, 181eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
183163elrnmpt 5087 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B ) )
18461, 183ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B )
185184biimpi 199 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  ->  E. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B )
186185adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B )
187176, 182, 186r19.29af 2916 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
188151, 115, 152, 105, 155, 172, 113, 187esumsplit 28948 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ( ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) C  =  (Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
189 rabnc 3759 . . . . 5  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  i^i  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  =  (/)
190189a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  i^i  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  =  (/) )
191108, 8syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
)
19230, 80, 1, 102, 6, 190, 191, 9esumsplit 28948 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) D  =  (Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
) )
193150, 188, 1923eqtr4d 2515 . 2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ( ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) C  = Σ* k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) D )
194 rabxm 3758 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )
195194, 85mpteq12i 4480 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) 
|->  B )
196 mptun 5719 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) 
|->  B )  =  ( ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
197195, 196eqtri 2493 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
198197rneqi 5067 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  A  |->  B )  =  ran  (
( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
199 rnun 5250 . . . . 5  |-  ran  (
( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  =  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
200198, 199eqtri 2493 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  A  |->  B )  =  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
201200a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) ) )
202151, 201esumeq1d 28930 . 2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) C  = Σ* y  e.  ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) C )
203194a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) )
20430, 203esumeq1d 28930 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A D  = Σ* k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) D )
205193, 202, 2043eqtr4d 2515 1  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) C  = Σ* k  e.  A D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   +ecxad 11430   [,]cicc 11663  Σ*cesum 28922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923
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