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Theorem esumrnmpt2 28901
Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumrnmpt2.1  |-  ( y  =  B  ->  C  =  D )
esumrnmpt2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumrnmpt2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumrnmpt2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  W )
esumrnmpt2.5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  D  =  0 )
esumrnmpt2.6  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  A  B
)
Assertion
Ref Expression
esumrnmpt2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) C  = Σ* k  e.  A D )
Distinct variable groups:    A, k,
y    y, B    C, k    y, D    k, W    ph, k,
y
Allowed substitution hints:    B( k)    C( y)    D( k)    V( y, k)    W( y)

Proof of Theorem esumrnmpt2
StepHypRef Expression
1 nfrab1 2973 . . . . 5  |-  F/_ k { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }
2 esumrnmpt2.1 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  C  =  D )
3 esumrnmpt2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 ssrab2 3516 . . . . . . 7  |-  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  C_  A
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
C_  A )
63, 5ssexd 4553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  e.  _V )
75sselda 3434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
8 esumrnmpt2.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
97, 8syldan 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
)
10 esumrnmpt2.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  W )
117, 10syldan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  B  e.  W
)
12 rabid 2969 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  <->  ( k  e.  A  /\  -.  B  =  (/) ) )
1312simprbi 466 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  -.  B  =  (/) )
1413adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  -.  B  =  (/) )
15 elsncg 3993 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  W  ->  ( B  e.  { (/) }  <->  B  =  (/) ) )
1611, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  ( B  e. 
{ (/) }  <->  B  =  (/) ) )
1714, 16mtbird 303 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  -.  B  e.  {
(/) } )
1811, 17eldifd 3417 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  B  e.  ( W  \  { (/) } ) )
19 esumrnmpt2.6 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  A  B
)
20 nfcv 2594 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
211, 20disjss1f 28195 . . . . . 6  |-  ( { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  C_  A  ->  (Disj  k  e.  A  B  -> Disj  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } B
) )
225, 19, 21sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } B
)
231, 2, 6, 9, 18, 22esumrnmpt 28885 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C  = Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)
24 nfv 1763 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )
25 snex 4644 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  _V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  { (/) }  e.  _V )
27 elsn 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
2827biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
2928adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  e.  { (/) } )  -> 
y  =  (/) )
30 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
ph
31 nfre1 2850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k E. k  e.  A  B  =  (/)
3230, 31nfan 2013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )
33 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k  y  =  (/)
3432, 33nfan 2013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )
35 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  C  =  0
36 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  -> 
y  =  (/) )
37 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
3836, 37eqtr4d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  -> 
y  =  B )
3938, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  C  =  D )
40 simp-4l 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  ph )
41 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  -> 
k  e.  A )
42 esumrnmpt2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  D  =  0 )
4340, 41, 37, 42syl21anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  D  =  0 )
4439, 43eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  C  =  0 )
45 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  ->  E. k  e.  A  B  =  (/) )
4634, 35, 44, 45r19.29af2 2930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  ->  C  =  0 )
4729, 46syldan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  e.  { (/) } )  ->  C  =  0 )
48 0e0iccpnf 11750 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
4947, 48syl6eqel 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  e.  { (/) } )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
50 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
y
51 nfmpt1 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
5251nfrn 5080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
5350, 52nfel 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k  y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
5430, 53nfan 2013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )
55 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
56 rabid 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  <->  ( k  e.  A  /\  B  =  (/) ) )
5756simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  ->  B  =  (/) )
5857ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  B  =  (/) )
5955, 58eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  y  =  (/) )
6059, 27sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  y  e.  {
(/) } )
61 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
62 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
6362elrnmpt 5084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B ) )
6461, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B )
6564biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  ->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B )
6665adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B )
6754, 60, 66r19.29af 2932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  y  e.  { (/) } )
6867ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  ->  y  e.  {
(/) } ) )
6968ssrdv 3440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  C_  { (/) } )
7069adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  C_  {
(/) } )
7124, 26, 49, 70esummono 28887 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_ Σ* y  e.  { (/)
} C )
72 0ex 4538 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  (/)  e.  _V )
7448a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7546, 73, 74esumsn 28898 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  { (/)
} C  =  0 )
7671, 75breqtrd 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0
)
77 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  -.  E. k  e.  A  B  =  (/) )
78 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  -.  E. k  e.  A  B  =  (/)
7931nfn 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k  -.  E. k  e.  A  B  =  (/)
80 nfrab1 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k { k  e.  A  |  B  =  (/) }
81 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k (/)
82 rabn0 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  A  B  =  (/) )
8382biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  =/=  (/) 
->  E. k  e.  A  B  =  (/) )
8483necon1bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  =  (/) )
85 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  B
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  B  =  B )
8779, 80, 81, 84, 86mpteq12df 28268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  ( k  e.  (/)  |->  B ) )
88 mpt0 5710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  (/)  |->  B )  =  (/)
8987, 88syl6eq 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  (/) )
9089rneqd 5065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  ran  (/) )
91 rn0 5089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (/)  =  (/)
9290, 91syl6eq 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  (/) )
9378, 92esumeq1d 28868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  = Σ* y  e.  (/) C )
94 esumnul 28881 . . . . . . . . . . . 12  |- Σ* y  e.  (/) C  =  0
9593, 94syl6eq 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0 )
96 0le0 10706 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
9795, 96syl6eqbr 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0
)
9877, 97syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0
)
9976, 98pm2.61dan 801 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0 )
100 ssrab2 3516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  C_  A
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  C_  A )
1023, 101ssexd 4553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  e.  _V )
10380mptexgf 28237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  e.  _V  ->  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
104 rnexg 6730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
1062adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  =  D )
107 simplll 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  ph )
108101sselda 3434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
109108adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
110109adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  k  e.  A )
111107, 110, 8syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
112106, 111eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11354, 112, 66r19.29af 2932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114113ralrimiva 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
115 nfcv 2594 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
116115esumcl 28863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V  /\  A. y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
117105, 114, 116syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
118 elxrge0 11748 . . . . . . . . . 10  |-  (Σ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  (Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR*  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
119118simprbi 466 . . . . . . . . 9  |-  (Σ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C )
120117, 119syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C )
12199, 120jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
122 iccssxr 11724 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
123122, 117sseldi 3432 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR* )
124122, 48sselii 3431 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
125124a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
126 xrletri3 11458 . . . . . . . 8  |-  ( (Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (Σ* y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0  <-> 
(Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) ) )
127123, 125, 126syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0  <->  (Σ* y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) ) )
128121, 127mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0 )
129128oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  =  ( 0 +eΣ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
1309ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1311esumcl 28863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  e.  _V  /\  A. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1326, 130, 131syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
133122, 132sseldi 3432 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e. 
RR* )
13423, 133eqeltrd 2531 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR* )
135 xaddid2 11540 . . . . . 6  |-  (Σ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C  e. 
RR*  ->  ( 0 +eΣ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )  = Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )
136134, 135syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 +eΣ* y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  = Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )
137129, 136eqtrd 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  = Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )
138 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  ph )
13957adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  B  =  (/) )
140138, 108, 139, 42syl21anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  D  =  0 )
141140ralrimiva 2804 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } D  =  0 )
14230, 141esumeq2d 28870 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) } 0 )
14380esum0 28882 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  e.  _V  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } 0  =  0 )
144102, 143syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } 0  =  0 )
145142, 144eqtrd 2487 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D  =  0 )
146145oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ*
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)  =  ( 0 +eΣ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
) )
147 xaddid2 11540 . . . . . 6  |-  (Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  RR*  ->  ( 0 +eΣ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )
148133, 147syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 +eΣ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )
149146, 148eqtrd 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ*
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)  = Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)
15023, 137, 1493eqtr4d 2497 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  =  (Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ*
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
) )
151 nfv 1763 . . . 4  |-  F/ y
ph
152 nfcv 2594 . . . 4  |-  F/_ y ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
1531mptexgf 28237 . . . . 5  |-  ( { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  e.  _V  ->  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  e.  _V )
154 rnexg 6730 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
1556, 153, 1543syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  e.  _V )
156 ssrin 3659 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  C_  { (/) }  ->  ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  C_  ( { (/) }  i^i  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) )
15769, 156syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  C_  ( { (/) }  i^i  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) )
158 incom 3627 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  { (/) } )  =  ( {
(/) }  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
15913neqned 2633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  B  =/=  (/) )
160159necomd 2681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  (/)  =/=  B
)
161160neneqd 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  -.  (/)  =  B )
162161nrex 2844 . . . . . . . . 9  |-  -.  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } (/)  =  B
163 eqid 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  =  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )
164163elrnmpt 5084 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } (/)  =  B ) )
16572, 164ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }
(/)  =  B )
166162, 165mtbir 301 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
167 disjsn 4034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  i^i  { (/)
} )  =  (/)  <->  -.  (/) 
e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )
168166, 167mpbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  { (/) } )  =  (/)
169158, 168eqtr3i 2477 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  =  (/)
170157, 169syl6sseq 3480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  C_  (/) )
171 ss0 3767 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  C_  (/)  ->  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  =  (/) )
172170, 171syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  =  (/) )
173 nfmpt1 4495 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
174173nfrn 5080 . . . . . . 7  |-  F/_ k ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
17550, 174nfel 2606 . . . . . 6  |-  F/ k  y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
17630, 175nfan 2013 . . . . 5  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )
1772adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  =  D )
178 simplll 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  ph )
1797adantlr 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
180179adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  k  e.  A )
181178, 180, 8syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
182177, 181eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
183163elrnmpt 5084 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B ) )
18461, 183ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B )
185184biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  ->  E. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B )
186185adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B )
187176, 182, 186r19.29af 2932 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
188151, 115, 152, 105, 155, 172, 113, 187esumsplit 28886 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ( ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) C  =  (Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
189 rabnc 3758 . . . . 5  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  i^i  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  =  (/)
190189a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  i^i  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  =  (/) )
191108, 8syldan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
)
19230, 80, 1, 102, 6, 190, 191, 9esumsplit 28886 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) D  =  (Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
) )
193150, 188, 1923eqtr4d 2497 . 2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ( ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) C  = Σ* k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) D )
194 rabxm 3757 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )
195194, 85mpteq12i 4490 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) 
|->  B )
196 mptun 5714 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) 
|->  B )  =  ( ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
197195, 196eqtri 2475 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
198197rneqi 5064 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  A  |->  B )  =  ran  (
( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
199 rnun 5247 . . . . 5  |-  ran  (
( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  =  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
200198, 199eqtri 2475 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  A  |->  B )  =  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
201200a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) ) )
202151, 201esumeq1d 28868 . 2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) C  = Σ* y  e.  ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) C )
203194a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) )
20430, 203esumeq1d 28868 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A D  = Σ* k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) D )
205193, 202, 2043eqtr4d 2497 1  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) C  = Σ* k  e.  A D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970  Disj wdisj 4376   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   ran crn 4838  (class class class)co 6295   0cc0 9544   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    <_ cle 9681   +ecxad 11414   [,]cicc 11645  Σ*cesum 28860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-ordt 15411  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-ps 16458  df-tsr 16459  df-plusf 16499  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-subrg 18018  df-abv 18057  df-lmod 18105  df-scaf 18106  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-tmd 21099  df-tgp 21100  df-tsms 21153  df-trg 21186  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-nm 21609  df-ngp 21610  df-nrg 21612  df-nlm 21613  df-ii 21921  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-esum 28861
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