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Theorem esumrnmpt2 28885
Description: Rewrite an extended sum into a sum on the range of a mapping function. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumrnmpt2.1  |-  ( y  =  B  ->  C  =  D )
esumrnmpt2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumrnmpt2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumrnmpt2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  W )
esumrnmpt2.5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  D  =  0 )
esumrnmpt2.6  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  A  B
)
Assertion
Ref Expression
esumrnmpt2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) C  = Σ* k  e.  A D )
Distinct variable groups:    A, k,
y    y, B    C, k    y, D    k, W    ph, k,
y
Allowed substitution hints:    B( k)    C( y)    D( k)    V( y, k)    W( y)

Proof of Theorem esumrnmpt2
StepHypRef Expression
1 nfrab1 3009 . . . . 5  |-  F/_ k { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }
2 esumrnmpt2.1 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  C  =  D )
3 esumrnmpt2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4 ssrab2 3546 . . . . . . 7  |-  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  C_  A
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
C_  A )
63, 5ssexd 4568 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  e.  _V )
75sselda 3464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
8 esumrnmpt2.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
97, 8syldan 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
)
10 esumrnmpt2.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  W )
117, 10syldan 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  B  e.  W
)
12 rabid 3005 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  <->  ( k  e.  A  /\  -.  B  =  (/) ) )
1312simprbi 465 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  -.  B  =  (/) )
1413adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  -.  B  =  (/) )
15 elsncg 4019 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  W  ->  ( B  e.  { (/) }  <->  B  =  (/) ) )
1611, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  ( B  e. 
{ (/) }  <->  B  =  (/) ) )
1714, 16mtbird 302 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  -.  B  e.  {
(/) } )
1811, 17eldifd 3447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  B  e.  ( W  \  { (/) } ) )
19 esumrnmpt2.6 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  A  B
)
20 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
211, 20disjss1f 28173 . . . . . 6  |-  ( { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  C_  A  ->  (Disj  k  e.  A  B  -> Disj  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } B
) )
225, 19, 21sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } B
)
231, 2, 6, 9, 18, 22esumrnmpt 28869 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C  = Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)
24 nfv 1751 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )
25 snex 4659 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  _V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  { (/) }  e.  _V )
27 elsn 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
2827biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
2928adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  e.  { (/) } )  -> 
y  =  (/) )
30 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
ph
31 nfre1 2886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k E. k  e.  A  B  =  (/)
3230, 31nfan 1984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )
33 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k  y  =  (/)
3432, 33nfan 1984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )
35 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  C  =  0
36 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  -> 
y  =  (/) )
37 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
3836, 37eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  -> 
y  =  B )
3938, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  C  =  D )
40 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  ph )
41 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  -> 
k  e.  A )
42 esumrnmpt2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  D  =  0 )
4340, 41, 37, 42syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  D  =  0 )
4439, 43eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  /\  k  e.  A )  /\  B  =  (/) )  ->  C  =  0 )
45 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  ->  E. k  e.  A  B  =  (/) )
4634, 35, 44, 45r19.29af2 2966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  =  (/) )  ->  C  =  0 )
4729, 46syldan 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  e.  { (/) } )  ->  C  =  0 )
48 0e0iccpnf 11744 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
4947, 48syl6eqel 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  /\  y  e.  { (/) } )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
50 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
y
51 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
5251nfrn 5093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
5350, 52nfel 2597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k  y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
5430, 53nfan 1984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )
55 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
56 rabid 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  <->  ( k  e.  A  /\  B  =  (/) ) )
5756simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  ->  B  =  (/) )
5857ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  B  =  (/) )
5955, 58eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  y  =  (/) )
6059, 27sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  y  e.  {
(/) } )
61 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
62 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
6362elrnmpt 5097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B ) )
6461, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B )
6564biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  ->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B )
6665adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  E. k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } y  =  B )
6754, 60, 66r19.29af 2968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  y  e.  { (/) } )
6867ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  ->  y  e.  {
(/) } ) )
6968ssrdv 3470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  C_  { (/) } )
7069adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  C_  {
(/) } )
7124, 26, 49, 70esummono 28871 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_ Σ* y  e.  { (/)
} C )
72 0ex 4553 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  (/)  e.  _V )
7448a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7546, 73, 74esumsn 28882 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  { (/)
} C  =  0 )
7671, 75breqtrd 4445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0
)
77 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  E. k  e.  A  B  =  (/) )  ->  -.  E. k  e.  A  B  =  (/) )
78 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  -.  E. k  e.  A  B  =  (/)
7931nfn 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k  -.  E. k  e.  A  B  =  (/)
80 nfrab1 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k { k  e.  A  |  B  =  (/) }
81 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k (/)
82 rabn0 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  A  B  =  (/) )
8382biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  =/=  (/) 
->  E. k  e.  A  B  =  (/) )
8483necon1bi 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  =  (/) )
85 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  B
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  B  =  B )
8779, 80, 81, 84, 86mpteq12df 28246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  ( k  e.  (/)  |->  B ) )
88 mpt0 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  (/)  |->  B )  =  (/)
8987, 88syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  (/) )
9089rneqd 5078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  ran  (/) )
91 rn0 5102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (/)  =  (/)
9290, 91syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  =  (/) )
9378, 92esumeq1d 28852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  = Σ* y  e.  (/) C )
94 esumnul 28865 . . . . . . . . . . . 12  |- Σ* y  e.  (/) C  =  0
9593, 94syl6eq 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0 )
96 0le0 10700 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
9795, 96syl6eqbr 4458 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. k  e.  A  B  =  (/)  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0
)
9877, 97syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  E. k  e.  A  B  =  (/) )  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0
)
9976, 98pm2.61dan 798 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0 )
100 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  C_  A
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  C_  A )
1023, 101ssexd 4568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  e.  _V )
10380mptexgf 28215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  e.  _V  ->  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
104 rnexg 6736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
1062adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  =  D )
107 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  ph )
108101sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
109108adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
110109adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  k  e.  A )
111107, 110, 8syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
112106, 111eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11354, 112, 66r19.29af 2968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114113ralrimiva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
115 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )
116115esumcl 28847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V  /\  A. y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
117105, 114, 116syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
118 elxrge0 11742 . . . . . . . . . 10  |-  (Σ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  (Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR*  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
119118simprbi 465 . . . . . . . . 9  |-  (Σ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C )
120117, 119syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C )
12199, 120jca 534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
122 iccssxr 11718 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
123122, 117sseldi 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR* )
124122, 48sselii 3461 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
125124a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
126 xrletri3 11452 . . . . . . . 8  |-  ( (Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (Σ* y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0  <-> 
(Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) ) )
127123, 125, 126syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0  <->  (Σ* y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  <_  0  /\  0  <_ Σ* y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C ) ) )
128121, 127mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C  =  0 )
129128oveq1d 6317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  =  ( 0 +eΣ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
1309ralrimiva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1311esumcl 28847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  e.  _V  /\  A. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1326, 130, 131syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
133122, 132sseldi 3462 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e. 
RR* )
13423, 133eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C  e.  RR* )
135 xaddid2 11534 . . . . . 6  |-  (Σ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C  e. 
RR*  ->  ( 0 +eΣ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )  = Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )
136134, 135syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 +eΣ* y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  = Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )
137129, 136eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  = Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C )
138 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  ph )
13957adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  B  =  (/) )
140138, 108, 139, 42syl21anc 1263 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  D  =  0 )
141140ralrimiva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) } D  =  0 )
14230, 141esumeq2d 28854 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) } 0 )
14380esum0 28866 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  e.  _V  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } 0  =  0 )
144102, 143syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } 0  =  0 )
145142, 144eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D  =  0 )
146145oveq1d 6317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ*
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)  =  ( 0 +eΣ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
) )
147 xaddid2 11534 . . . . . 6  |-  (Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D  e.  RR*  ->  ( 0 +eΣ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )
148133, 147syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 +eΣ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D )
149146, 148eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ*
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)  = Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
)
15023, 137, 1493eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) C )  =  (Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ*
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
) )
151 nfv 1751 . . . 4  |-  F/ y
ph
152 nfcv 2584 . . . 4  |-  F/_ y ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
1531mptexgf 28215 . . . . 5  |-  ( { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  e.  _V  ->  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  e.  _V )
154 rnexg 6736 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  e.  _V )
1556, 153, 1543syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  e.  _V )
156 ssrin 3687 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  C_  { (/) }  ->  ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  C_  ( { (/) }  i^i  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) )
15769, 156syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  C_  ( { (/) }  i^i  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) )
158 incom 3655 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  { (/) } )  =  ( {
(/) }  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
15913neqned 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  B  =/=  (/) )
160159necomd 2695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  (/)  =/=  B
)
161160neneqd 2625 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  ->  -.  (/)  =  B )
162161nrex 2880 . . . . . . . . 9  |-  -.  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } (/)  =  B
163 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  =  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )
164163elrnmpt 5097 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } (/)  =  B ) )
16572, 164ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }
(/)  =  B )
166162, 165mtbir 300 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
167 disjsn 4057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B )  i^i  { (/)
} )  =  (/)  <->  -.  (/) 
e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )
168166, 167mpbir 212 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  { (/) } )  =  (/)
169158, 168eqtr3i 2453 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  =  (/)
170157, 169syl6sseq 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  C_  (/) )
171 ss0 3793 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  C_  (/)  ->  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  =  (/) )
172170, 171syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  i^i 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  =  (/) )
173 nfmpt1 4510 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
174173nfrn 5093 . . . . . . 7  |-  F/_ k ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
17550, 174nfel 2597 . . . . . 6  |-  F/ k  y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )
17630, 175nfan 1984 . . . . 5  |-  F/ k ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )
1772adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  =  D )
178 simplll 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  ph )
1797adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) )  /\  k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  ->  k  e.  A
)
180179adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  k  e.  A )
181178, 180, 8syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
182177, 181eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  /\  k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  /\  y  =  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
183163elrnmpt 5097 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B ) )
18461, 183ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  <->  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B )
185184biimpi 197 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B )  ->  E. k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B )
186185adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  E. k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } y  =  B )
187176, 182, 186r19.29af 2968 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
188151, 115, 152, 105, 155, 172, 113, 187esumsplit 28870 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ( ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) C  =  (Σ* y  e.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B ) C +eΣ* y  e.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) C ) )
189 rabnc 3786 . . . . 5  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  i^i  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  =  (/)
190189a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  i^i  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )  =  (/) )
191108, 8syldan 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) } )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
)
19230, 80, 1, 102, 6, 190, 191, 9esumsplit 28870 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) D  =  (Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) } D +eΣ* k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } D
) )
193150, 188, 1923eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ( ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) C  = Σ* k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) D )
194 rabxm 3785 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } )
195194, 85mpteq12i 4505 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) 
|->  B )
196 mptun 5724 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) 
|->  B )  =  ( ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
197195, 196eqtri 2451 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
198197rneqi 5077 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  A  |->  B )  =  ran  (
( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
199 rnun 5260 . . . . 5  |-  ran  (
( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ( k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )  =  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
200198, 199eqtri 2451 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  A  |->  B )  =  ( ran  ( k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) )
201200a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( ran  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u. 
ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } 
|->  B ) ) )
202151, 201esumeq1d 28852 . 2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) C  = Σ* y  e.  ( ran  ( k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  (/) }  |->  B )  u.  ran  (
k  e.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) }  |->  B ) ) C )
203194a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  { k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) )
20430, 203esumeq1d 28852 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A D  = Σ* k  e.  ( { k  e.  A  |  B  =  (/) }  u.  {
k  e.  A  |  -.  B  =  (/) } ) D )
205193, 202, 2043eqtr4d 2473 1  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  ran  ( k  e.  A  |->  B ) C  = Σ* k  e.  A D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996  Disj wdisj 4391   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ran crn 4851  (class class class)co 6302   0cc0 9540   +oocpnf 9673   RR*cxr 9675    <_ cle 9677   +ecxad 11408   [,]cicc 11639  Σ*cesum 28844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-ordt 15387  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-ps 16434  df-tsr 16435  df-plusf 16475  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-mulg 16664  df-subg 16802  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-cring 17771  df-subrg 17994  df-abv 18033  df-lmod 18081  df-scaf 18082  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-tmd 21074  df-tgp 21075  df-tsms 21128  df-trg 21161  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-nm 21584  df-ngp 21585  df-nrg 21587  df-nlm 21588  df-ii 21896  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809  df-log 23493  df-esum 28845
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