Theorem esumpr2 26469

Description: Extended sum over a pair, with a relaxed condition compared to esumpr 26468. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpr.1	|- ( ( ph /\ k = A ) -> C = D )
esumpr.2	|- ( ( ph /\ k = B ) -> C = E )
esumpr.3	|- ( ph -> A e. V )
esumpr.4	|- ( ph -> B e. W )
esumpr.5	|- ( ph -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
esumpr.6	|- ( ph -> E e. ( 0 [,] +oo ) )
esumpr2.1	|- ( ph -> ( A = B -> ( D = 0 \/ D = +oo ) ) )

Assertion

Ref	Expression
esumpr2	|- ( ph -> Σ* k e. { A , B } C = ( D +e E ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   D, k   k, E   ph, k   k, V   k, W

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem esumpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = B ) -> A = B )
2		dfsn2 3885	. . . . . 6 |- { A } = { A , A }
3		preq2 3950	. . . . . 6 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
4	2, 3	syl5req 2483	. . . . 5 |- ( A = B -> { A , B } = { A } )
5		esumeq1 26442	. . . . 5 |- ( { A , B } = { A } -> Σ* k e. { A , B } C = Σ* k e. { A } C )
6	1, 4, 5	3syl 20	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { A , B } C = Σ* k e. { A } C )
7		esumpr.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = A ) -> C = D )
8		esumpr.3	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
9		esumpr.5	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
10	7, 8, 9	esumsn 26467	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { A } C = D )
11	10	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { A } C = D )
12	6, 11	eqtrd 2470	. . 3 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { A , B } C = D )
13		esumpr2.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( A = B -> ( D = 0 \/ D = +oo ) ) )
14		oveq2 6094	. . . . . . 7 |- ( D = 0 -> ( D +e D ) = ( D +e 0 ) )
15		0xr 9422	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
16		eleq1 2498	. . . . . . . . 9 |- ( D = 0 -> ( D e. RR* <-> 0 e. RR* ) )
17	15, 16	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( D = 0 -> D e. RR* )
18		xaddid1 11201	. . . . . . . 8 |- ( D e. RR* -> ( D +e 0 ) = D )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( D = 0 -> ( D +e 0 ) = D )
20	14, 19	eqtrd 2470	. . . . . 6 |- ( D = 0 -> ( D +e D ) = D )
21		pnfxr 11084	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
22		eleq1 2498	. . . . . . . . 9 |- ( D = +oo -> ( D e. RR* <-> +oo e. RR* ) )
23	21, 22	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( D = +oo -> D e. RR* )
24		pnfnemnf 11089	. . . . . . . . 9 |- +oo =/= -oo
25		neeq1 2611	. . . . . . . . 9 |- ( D = +oo -> ( D =/= -oo <-> +oo =/= -oo ) )
26	24, 25	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( D = +oo -> D =/= -oo )
27		xaddpnf1 11188	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. RR* /\ D =/= -oo ) -> ( D +e +oo ) = +oo )
28	23, 26, 27	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( D = +oo -> ( D +e +oo ) = +oo )
29		oveq2 6094	. . . . . . 7 |- ( D = +oo -> ( D +e D ) = ( D +e +oo ) )
30		id 22	. . . . . . 7 |- ( D = +oo -> D = +oo )
31	28, 29, 30	3eqtr4d 2480	. . . . . 6 |- ( D = +oo -> ( D +e D ) = D )
32	20, 31	jaoi 379	. . . . 5 |- ( ( D = 0 \/ D = +oo ) -> ( D +e D ) = D )
33	13, 32	syl6 33	. . . 4 |- ( ph -> ( A = B -> ( D +e D ) = D ) )
34	33	imp 429	. . 3 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( D +e D ) = D )
35		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ k = B ) -> ph )
36		eqeq2 2447	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( k = A <-> k = B ) )
37	36	biimprd 223	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( k = B -> k = A ) )
38	1, 37	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( k = B -> k = A ) )
39	38	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ k = B ) -> k = A )
40	35, 39, 7	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ k = B ) -> C = D )
41		esumpr.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. W )
42	41	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = B ) -> B e. W )
43	9	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = B ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
44	40, 42, 43	esumsn 26467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { B } C = D )
45		esumpr.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C = E )
46		esumpr.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. ( 0 [,] +oo ) )
47	45, 41, 46	esumsn 26467	. . . . . 6 |- ( ph -> Σ* k e. { B } C = E )
48	47	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { B } C = E )
49	44, 48	eqtr3d 2472	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = B ) -> D = E )
50	49	oveq2d 6102	. . 3 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( D +e D ) = ( D +e E ) )
51	12, 34, 50	3eqtr2d 2476	. 2 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { A , B } C = ( D +e E ) )
52	7	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A =/= B ) /\ k = A ) -> C = D )
53	45	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A =/= B ) /\ k = B ) -> C = E )
54	8	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> A e. V )
55	41	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> B e. W )
56	9	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
57	46	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> E e. ( 0 [,] +oo ) )
58		simpr 461	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> A =/= B )
59	52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	esumpr 26468	. 2 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> Σ* k e. { A , B } C = ( D +e E ) )
60	51, 59	pm2.61dane 2684	1 |- ( ph -> Σ* k e. { A , B } C = ( D +e E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   {csn 3872   {cpr 3874  (class class class)co 6086   0cc0 9274   +oocpnf 9407   -oocmnf 9408   RR*cxr 9409   +ecxad 11079   [,]cicc 11295  Σ^*cesum 26435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-ordt 14431  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-ps 15362  df-tsr 15363  df-mnd 15407  df-plusf 15408  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-subrg 16841  df-abv 16880  df-lmod 16928  df-scaf 16929  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-tmd 19618  df-tgp 19619  df-tsms 19672  df-trg 19709  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-nm 20150  df-ngp 20151  df-nrg 20153  df-nlm 20154  df-ii 20428  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-esum 26436

This theorem is referenced by:  measxun2  26576  measssd  26581