Theorem esumpr2 28296

Description: Extended sum over a pair, with a relaxed condition compared to esumpr 28295. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpr.1	|- ( ( ph /\ k = A ) -> C = D )
esumpr.2	|- ( ( ph /\ k = B ) -> C = E )
esumpr.3	|- ( ph -> A e. V )
esumpr.4	|- ( ph -> B e. W )
esumpr.5	|- ( ph -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
esumpr.6	|- ( ph -> E e. ( 0 [,] +oo ) )
esumpr2.1	|- ( ph -> ( A = B -> ( D = 0 \/ D = +oo ) ) )

Assertion

Ref	Expression
esumpr2	|- ( ph -> Σ* k e. { A , B } C = ( D +e E ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   D, k   k, E   ph, k   k, V   k, W

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem esumpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = B ) -> A = B )
2		dfsn2 4029	. . . . . 6 |- { A } = { A , A }
3		preq2 4096	. . . . . 6 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
4	2, 3	syl5req 2508	. . . . 5 |- ( A = B -> { A , B } = { A } )
5		esumeq1 28263	. . . . 5 |- ( { A , B } = { A } -> Σ* k e. { A , B } C = Σ* k e. { A } C )
6	1, 4, 5	3syl 20	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { A , B } C = Σ* k e. { A } C )
7		esumpr.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = A ) -> C = D )
8		esumpr.3	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
9		esumpr.5	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
10	7, 8, 9	esumsn 28294	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { A } C = D )
11	10	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { A } C = D )
12	6, 11	eqtrd 2495	. . 3 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { A , B } C = D )
13		esumpr2.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( A = B -> ( D = 0 \/ D = +oo ) ) )
14		oveq2 6278	. . . . . . 7 |- ( D = 0 -> ( D +e D ) = ( D +e 0 ) )
15		0xr 9629	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
16		eleq1 2526	. . . . . . . . 9 |- ( D = 0 -> ( D e. RR* <-> 0 e. RR* ) )
17	15, 16	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( D = 0 -> D e. RR* )
18		xaddid1 11441	. . . . . . . 8 |- ( D e. RR* -> ( D +e 0 ) = D )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( D = 0 -> ( D +e 0 ) = D )
20	14, 19	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( D = 0 -> ( D +e D ) = D )
21		pnfxr 11324	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
22		eleq1 2526	. . . . . . . . 9 |- ( D = +oo -> ( D e. RR* <-> +oo e. RR* ) )
23	21, 22	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( D = +oo -> D e. RR* )
24		pnfnemnf 11329	. . . . . . . . 9 |- +oo =/= -oo
25		neeq1 2735	. . . . . . . . 9 |- ( D = +oo -> ( D =/= -oo <-> +oo =/= -oo ) )
26	24, 25	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( D = +oo -> D =/= -oo )
27		xaddpnf1 11428	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. RR* /\ D =/= -oo ) -> ( D +e +oo ) = +oo )
28	23, 26, 27	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( D = +oo -> ( D +e +oo ) = +oo )
29		oveq2 6278	. . . . . . 7 |- ( D = +oo -> ( D +e D ) = ( D +e +oo ) )
30		id 22	. . . . . . 7 |- ( D = +oo -> D = +oo )
31	28, 29, 30	3eqtr4d 2505	. . . . . 6 |- ( D = +oo -> ( D +e D ) = D )
32	20, 31	jaoi 377	. . . . 5 |- ( ( D = 0 \/ D = +oo ) -> ( D +e D ) = D )
33	13, 32	syl6 33	. . . 4 |- ( ph -> ( A = B -> ( D +e D ) = D ) )
34	33	imp 427	. . 3 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( D +e D ) = D )
35		simpll 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ k = B ) -> ph )
36		eqeq2 2469	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( k = A <-> k = B ) )
37	36	biimprd 223	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( k = B -> k = A ) )
38	1, 37	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( k = B -> k = A ) )
39	38	imp 427	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ k = B ) -> k = A )
40	35, 39, 7	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ k = B ) -> C = D )
41		esumpr.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. W )
42	41	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = B ) -> B e. W )
43	9	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = B ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
44	40, 42, 43	esumsn 28294	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { B } C = D )
45		esumpr.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C = E )
46		esumpr.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. ( 0 [,] +oo ) )
47	45, 41, 46	esumsn 28294	. . . . . 6 |- ( ph -> Σ* k e. { B } C = E )
48	47	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { B } C = E )
49	44, 48	eqtr3d 2497	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = B ) -> D = E )
50	49	oveq2d 6286	. . 3 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( D +e D ) = ( D +e E ) )
51	12, 34, 50	3eqtr2d 2501	. 2 |- ( ( ph /\ A = B ) -> Σ* k e. { A , B } C = ( D +e E ) )
52	7	adantlr 712	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A =/= B ) /\ k = A ) -> C = D )
53	45	adantlr 712	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A =/= B ) /\ k = B ) -> C = E )
54	8	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> A e. V )
55	41	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> B e. W )
56	9	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
57	46	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> E e. ( 0 [,] +oo ) )
58		simpr 459	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> A =/= B )
59	52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	esumpr 28295	. 2 |- ( ( ph /\ A =/= B ) -> Σ* k e. { A , B } C = ( D +e E ) )
60	51, 59	pm2.61dane 2772	1 |- ( ph -> Σ* k e. { A , B } C = ( D +e E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   {csn 4016   {cpr 4018  (class class class)co 6270   0cc0 9481   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616   +ecxad 11319   [,]cicc 11535  Σ^*cesum 28256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-ordt 14990  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-plusf 16070  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-abv 17661  df-lmod 17709  df-scaf 17710  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tmd 20737  df-tgp 20738  df-tsms 20791  df-trg 20828  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-nm 21269  df-ngp 21270  df-nrg 21272  df-nlm 21273  df-ii 21547  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-esum 28257

This theorem is referenced by:  measxun2  28418  measssd  28423  carsgclctun  28529