Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpmono Structured version   Unicode version

Theorem esumpmono 27958
Description: The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpmono.1  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
esumpmono.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
esumpmono.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumpmono  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... N
) A )
Distinct variable groups:    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem esumpmono
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11616 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  _V )
4 elfznn 11723 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
5 icossicc 11620 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
6 esumpmono.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
75, 6sseldi 3487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
84, 7sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
98ralrimiva 2857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( 1 ... M
)
1110esumcl 27916 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
123, 9, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131, 12sseldi 3487 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e. 
RR* )
14 xrleid 11365 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A )
16 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  1 ) ... N )  e. 
_V
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  _V )
18 esumpmono.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1918adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  M  e.  NN )
20 peano2nn 10554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
21 nnuz 11125 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2220, 21syl6eleq 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
23 fzss1 11731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
2419, 22, 233syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 1 ... N ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
2624, 25sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( 1 ... N
) )
27 elfznn 11723 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN )
2928, 7syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3029ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
31 nfcv 2605 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( M  + 
1 ) ... N
)
3231esumcl 27916 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3317, 30, 32syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
34 elxrge0 11638 . . . . 5  |-  (Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  (Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR*  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) )
3534simprbi 464 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )
3633, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )
37 0xr 9643 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
391, 33sseldi 3487 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR* )
40 xle2add 11460 . . . 4  |-  ( ( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  /\  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR* ) )  -> 
( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +eΣ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) ) )
4113, 38, 13, 39, 40syl22anc 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +eΣ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) ) )
4215, 36, 41mp2and 679 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
43 xaddid1 11447 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  = Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A )
4413, 43syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  = Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A )
4544eqcomd 2451 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 ) )
4618, 21syl6eleq 2541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
47 esumpmono.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
48 eluzfz 11692 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
4946, 47, 48syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
50 fzsplit 11720 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
51 esumeq1 27920 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  = Σ* k  e.  ( ( 1 ... M
)  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) A )
5249, 50, 513syl 20 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  = Σ* k  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) A )
53 nfv 1694 . . . 4  |-  F/ k
ph
54 nnre 10549 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5554ltp1d 10482 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
56 fzdisj 11721 . . . . 5  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
5718, 55, 563syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
5853, 10, 31, 3, 17, 57, 8, 29esumsplit 27936 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
5952, 58eqtrd 2484 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
6042, 45, 593brtr4d 4467 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... N
) A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   NNcn 10542   ZZ>=cuz 11090   +ecxad 11325   [,)cico 11540   [,]cicc 11541   ...cfz 11681  Σ*cesum 27913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-ordt 14775  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-ps 15704  df-tsr 15705  df-plusf 15745  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-cring 17075  df-subrg 17301  df-abv 17340  df-lmod 17388  df-scaf 17389  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-tmd 20444  df-tgp 20445  df-tsms 20498  df-trg 20535  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-nm 20976  df-ngp 20977  df-nrg 20979  df-nlm 20980  df-ii 21254  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144  df-log 22816  df-esum 27914
This theorem is referenced by:  esumcvg  27965
  Copyright terms: Public domain W3C validator