Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpmono Structured version   Unicode version

Theorem esumpmono 27878
Description: The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpmono.1  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
esumpmono.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
esumpmono.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumpmono  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... N
) A )
Distinct variable groups:    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem esumpmono
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11617 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 ovex 6319 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  _V )
4 elfznn 11724 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
5 icossicc 11621 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
6 esumpmono.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
75, 6sseldi 3507 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
84, 7sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
98ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( 1 ... M
)
1110esumcl 27836 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
123, 9, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131, 12sseldi 3507 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e. 
RR* )
14 xrleid 11366 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A )
16 ovex 6319 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  1 ) ... N )  e. 
_V
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  _V )
18 esumpmono.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1918adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  M  e.  NN )
20 peano2nn 10558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
21 nnuz 11127 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2220, 21syl6eleq 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
23 fzss1 11732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
2419, 22, 233syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 1 ... N ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
2624, 25sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( 1 ... N
) )
27 elfznn 11724 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN )
2928, 7syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3029ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
31 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( M  + 
1 ) ... N
)
3231esumcl 27836 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3317, 30, 32syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
34 elxrge0 11639 . . . . 5  |-  (Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  (Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR*  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) )
3534simprbi 464 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )
3633, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )
37 0xr 9650 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
391, 33sseldi 3507 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR* )
40 xle2add 11461 . . . 4  |-  ( ( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  /\  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR* ) )  -> 
( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +eΣ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) ) )
4113, 38, 13, 39, 40syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +eΣ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) ) )
4215, 36, 41mp2and 679 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
43 xaddid1 11448 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  = Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A )
4413, 43syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  = Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A )
4544eqcomd 2475 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 ) )
4618, 21syl6eleq 2565 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
47 esumpmono.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
48 eluzfz 11693 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
4946, 47, 48syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
50 fzsplit 11721 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
51 esumeq1 27840 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  = Σ* k  e.  ( ( 1 ... M
)  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) A )
5249, 50, 513syl 20 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  = Σ* k  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) A )
53 nfv 1683 . . . 4  |-  F/ k
ph
54 nnre 10553 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5554ltp1d 10486 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
56 fzdisj 11722 . . . . 5  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
5718, 55, 563syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
5853, 10, 31, 3, 17, 57, 8, 29esumsplit 27856 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
5952, 58eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
6042, 45, 593brtr4d 4482 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... N
) A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4452   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   0cc0 9502   1c1 9503    + caddc 9505   +oocpnf 9635   RR*cxr 9637    < clt 9638    <_ cle 9639   NNcn 10546   ZZ>=cuz 11092   +ecxad 11326   [,)cico 11541   [,]cicc 11542   ...cfz 11682  Σ*cesum 27833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580  ax-addf 9581  ax-mulf 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-fi 7881  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-fac 12332  df-bc 12359  df-hash 12384  df-shft 12875  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-limsup 13269  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484  df-ef 13677  df-sin 13679  df-cos 13680  df-pi 13682  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-starv 14582  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-unif 14590  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-prds 14715  df-ordt 14768  df-xrs 14769  df-qtop 14774  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-ps 15699  df-tsr 15700  df-plusf 15740  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-cring 17050  df-subrg 17275  df-abv 17314  df-lmod 17362  df-scaf 17363  df-sra 17666  df-rgmod 17667  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-met 18260  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-fbas 18263  df-fg 18264  df-cnfld 18268  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367  df-nei 19444  df-lp 19482  df-perf 19483  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-haus 19661  df-tx 19908  df-hmeo 20101  df-fil 20192  df-fm 20284  df-flim 20285  df-flf 20286  df-tmd 20416  df-tgp 20417  df-tsms 20470  df-trg 20507  df-xms 20668  df-ms 20669  df-tms 20670  df-nm 20948  df-ngp 20949  df-nrg 20951  df-nlm 20952  df-ii 21226  df-cncf 21227  df-limc 22115  df-dv 22116  df-log 22787  df-esum 27834
This theorem is referenced by:  esumcvg  27885
  Copyright terms: Public domain W3C validator