Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpmono Structured version   Unicode version

Theorem esumpmono 26448
Description: The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpmono.1  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
esumpmono.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
esumpmono.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumpmono  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... N
) A )
Distinct variable groups:    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem esumpmono
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11374 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  _V )
4 elfznn 11474 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
5 icossicc 25975 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
6 esumpmono.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
75, 6sseldi 3351 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
84, 7sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
98ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( 1 ... M
)
1110esumcl 26406 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
123, 9, 11syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131, 12sseldi 3351 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e. 
RR* )
14 xrleid 11123 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A )
16 ovex 6115 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  1 ) ... N )  e. 
_V
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  _V )
18 esumpmono.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1918adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  M  e.  NN )
20 peano2nn 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
21 nnuz 10892 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2220, 21syl6eleq 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
23 fzss1 11493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
2419, 22, 233syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 1 ... N ) )
25 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
2624, 25sseldd 3354 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( 1 ... N
) )
27 elfznn 11474 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN )
2928, 7syldan 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3029ralrimiva 2797 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
31 nfcv 2577 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( M  + 
1 ) ... N
)
3231esumcl 26406 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3317, 30, 32syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
34 elxrge0 11390 . . . . 5  |-  (Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  (Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR*  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) )
3534simprbi 461 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )
3633, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )
37 0xr 9426 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
391, 33sseldi 3351 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR* )
40 xle2add 11218 . . . 4  |-  ( ( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  /\  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR* ) )  -> 
( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +eΣ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) ) )
4113, 38, 13, 39, 40syl22anc 1214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +eΣ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) ) )
4215, 36, 41mp2and 674 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
43 xaddid1 11205 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  = Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A )
4413, 43syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  = Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A )
4544eqcomd 2446 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 ) )
4618, 21syl6eleq 2531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
47 esumpmono.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
48 eluzfz 11444 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
4946, 47, 48syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
50 fzsplit 11471 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
51 esumeq1 26410 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  = Σ* k  e.  ( ( 1 ... M
)  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) A )
5249, 50, 513syl 20 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  = Σ* k  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) A )
53 nfv 1678 . . . 4  |-  F/ k
ph
54 nnre 10325 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5554ltp1d 10259 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
56 fzdisj 11472 . . . . 5  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
5718, 55, 563syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
5853, 10, 31, 3, 17, 57, 8, 29esumsplit 26426 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
5952, 58eqtrd 2473 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
6042, 45, 593brtr4d 4319 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... N
) A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415   NNcn 10318   ZZ>=cuz 10857   +ecxad 11083   [,)cico 11298   [,]cicc 11299   ...cfz 11433  Σ*cesum 26403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-ordt 14435  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-ps 15366  df-tsr 15367  df-mnd 15411  df-plusf 15412  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-subrg 16843  df-abv 16882  df-lmod 16930  df-scaf 16931  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-tmd 19543  df-tgp 19544  df-tsms 19597  df-trg 19634  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-nm 20075  df-ngp 20076  df-nrg 20078  df-nlm 20079  df-ii 20353  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951  df-esum 26404
This theorem is referenced by:  esumcvg  26455
  Copyright terms: Public domain W3C validator