Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpmono Structured version   Unicode version

Theorem esumpmono 26528
Description: The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpmono.1  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
esumpmono.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
esumpmono.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumpmono  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... N
) A )
Distinct variable groups:    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem esumpmono
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11378 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 ovex 6116 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  _V )
4 elfznn 11478 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
5 icossicc 26058 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
6 esumpmono.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
75, 6sseldi 3354 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
84, 7sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
98ralrimiva 2799 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10 nfcv 2579 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( 1 ... M
)
1110esumcl 26486 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
123, 9, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131, 12sseldi 3354 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e. 
RR* )
14 xrleid 11127 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A )
16 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  1 ) ... N )  e. 
_V
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  _V )
18 esumpmono.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1918adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  M  e.  NN )
20 peano2nn 10334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
21 nnuz 10896 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2220, 21syl6eleq 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
23 fzss1 11497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( 1 ... N
) )
2419, 22, 233syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( 1 ... N ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
2624, 25sseldd 3357 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( 1 ... N
) )
27 elfznn 11478 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN )
2928, 7syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3029ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
31 nfcv 2579 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( M  + 
1 ) ... N
)
3231esumcl 26486 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3317, 30, 32syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
34 elxrge0 11394 . . . . 5  |-  (Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  (Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR*  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) )
3534simprbi 464 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )
3633, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )
37 0xr 9430 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
391, 33sseldi 3354 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR* )
40 xle2add 11222 . . . 4  |-  ( ( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  /\  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  e. 
RR* ) )  -> 
( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +eΣ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) ) )
4113, 38, 13, 39, 40syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A +eΣ* k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A ) ) )
4215, 36, 41mp2and 679 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  <_  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
43 xaddid1 11209 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... M
) A  e.  RR*  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  = Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A )
4413, 43syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 )  = Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A )
4544eqcomd 2448 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +e 0 ) )
4618, 21syl6eleq 2533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
47 esumpmono.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
48 eluzfz 11448 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ( 1 ... N
) )
4946, 47, 48syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
50 fzsplit 11475 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
51 esumeq1 26490 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  = Σ* k  e.  ( ( 1 ... M
)  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) A )
5249, 50, 513syl 20 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  = Σ* k  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) A )
53 nfv 1673 . . . 4  |-  F/ k
ph
54 nnre 10329 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5554ltp1d 10263 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
56 fzdisj 11476 . . . . 5  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
5718, 55, 563syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
5853, 10, 31, 3, 17, 57, 8, 29esumsplit 26506 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
5952, 58eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... N ) A  =  (Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A +eΣ* k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A ) )
6042, 45, 593brtr4d 4322 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( 1 ... M ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... N
) A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   ZZ>=cuz 10861   +ecxad 11087   [,)cico 11302   [,]cicc 11303   ...cfz 11437  Σ*cesum 26483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-ef 13353  df-sin 13355  df-cos 13356  df-pi 13358  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-ordt 14439  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-ps 15370  df-tsr 15371  df-mnd 15415  df-plusf 15416  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-subrg 16863  df-abv 16902  df-lmod 16950  df-scaf 16951  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tmd 19643  df-tgp 19644  df-tsms 19697  df-trg 19734  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-nm 20175  df-ngp 20176  df-nrg 20178  df-nlm 20179  df-ii 20453  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342  df-log 22008  df-esum 26484
This theorem is referenced by:  esumcvg  26535
  Copyright terms: Public domain W3C validator