Theorem esumpinfval 27719

Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpinfval.0	|- F/ k ph
esumpinfval.1	|- ( ph -> A e. V )
esumpinfval.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfval.3	|- ( ph -> E. k e. A B = +oo )

Assertion

Ref	Expression
esumpinfval	|- ( ph -> Σ* k e. A B = +oo )

Distinct variable groups:   A, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem esumpinfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 11603	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		esumpinfval.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3		esumpinfval.0	. . . . 5 |- F/ k ph
4		esumpinfval.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
5	4	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
6	3, 5	ralrimi 2864	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
7		nfcv 2629	. . . . 5 |- F/_ k A
8	7	esumcl 27683	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
9	2, 6, 8	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
10	1, 9	sseldi 3502	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. RR* )
11		nfrab1 3042	. . . . 5 |- F/_ k { k e. A | B = +oo }
12		ssrab2 3585	. . . . . 6 |- { k e. A | B = +oo } C_ A
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } C_ A )
14		0xr 9636	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
15		pnfxr 11317	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
16		0lepnf 11336	. . . . . . . 8 |- 0 <_ +oo
17		ubicc2 11633	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
18	14, 15, 16, 17	mp3an 1324	. . . . . . 7 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
20		0e0iccpnf 11627	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
22	19, 21	ifclda 3971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
23		eldif 3486	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) <-> ( k e. A /\ -. k e. { k e. A | B = +oo } ) )
24		rabid 3038	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } <-> ( k e. A /\ B = +oo ) )
25	24	simplbi2 625	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> ( B = +oo -> k e. { k e. A | B = +oo } ) )
26	25	con3dimp 441	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. A /\ -. k e. { k e. A | B = +oo } ) -> -. B = +oo )
27	23, 26	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) -> -. B = +oo )
28	27	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) ) -> -. B = +oo )
29		iffalse 3948	. . . . . 6 |- ( -. B = +oo -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = 0 )
30	28, 29	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = 0 )
31	3, 11, 7, 13, 2, 22, 30	esumss 27718	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) )
32		eqidd 2468	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } = { k e. A | B = +oo } )
33	24	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } -> B = +oo )
34		iftrue 3945	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . 7 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
36	35	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | B = +oo } ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
37	3, 32, 36	esumeq12dvaf 27684	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo )
38	2, 13	ssexd 4594	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } e. _V )
39		nfcv 2629	. . . . . . 7 |- F/_ k +oo
40	11, 39	esumcst 27711	. . . . . 6 |- ( ( { k e. A | B = +oo } e. _V /\ +oo e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo = ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) )
41	38, 18, 40	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo = ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) )
42		hashxrcl 12393	. . . . . . 7 |- ( { k e. A | B = +oo } e. _V -> ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* )
43	38, 42	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* )
44		esumpinfval.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. k e. A B = +oo )
45		rabn0 3805	. . . . . . . 8 |- ( { k e. A | B = +oo } =/= (/) <-> E. k e. A B = +oo )
46	44, 45	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } =/= (/) )
47		hashgt0 12420	. . . . . . 7 |- ( ( { k e. A | B = +oo } e. _V /\ { k e. A | B = +oo } =/= (/) ) -> 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) )
48	38, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) )
49		xmulpnf1 11462	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) ) -> ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) = +oo )
50	43, 48, 49	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) = +oo )
51	37, 41, 50	3eqtrd 2512	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
52	31, 51	eqtr3d 2510	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
53		breq1 4450	. . . . 5 |- ( +oo = if ( B = +oo , +oo , 0 ) -> ( +oo <_ B <-> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B ) )
54		breq1 4450	. . . . 5 |- ( 0 = if ( B = +oo , +oo , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B ) )
55		pnfge 11335	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. RR* -> +oo <_ +oo )
56	15, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- +oo <_ +oo
57		breq2 4451	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> ( +oo <_ B <-> +oo <_ +oo ) )
58	56, 57	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> +oo <_ B )
59	58	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = +oo ) -> +oo <_ B )
60	4	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
61		iccgelb 11577	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
62	14, 15, 61	mp3an12 1314	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ B )
63	60, 62	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> 0 <_ B )
64	53, 54, 59, 63	ifbothda 3974	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B )
65	3, 7, 2, 22, 4, 64	esumlef 27710	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ Σ* k e. A B )
66	52, 65	eqbrtrrd 4469	. 2 |- ( ph -> +oo <_ Σ* k e. A B )
67		xgepnf 27238	. . 3 |- (Σ* k e. A B e. RR* -> ( +oo <_ Σ* k e. A B <-> Σ* k e. A B = +oo ) )
68	67	biimpd 207	. 2 |- (Σ* k e. A B e. RR* -> ( +oo <_ Σ* k e. A B -> Σ* k e. A B = +oo ) )
69	10, 66, 68	sylc 60	1 |- ( ph -> Σ* k e. A B = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   F/wnf 1599   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   xecxmu 11313   [,]cicc 11528   #chash 12369  Σ^*cesum 27680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-ordt 14752  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-ps 15683  df-tsr 15684  df-mnd 15728  df-plusf 15729  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-subrg 17210  df-abv 17249  df-lmod 17297  df-scaf 17298  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-tmd 20306  df-tgp 20307  df-tsms 20360  df-trg 20397  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-nm 20838  df-ngp 20839  df-nrg 20841  df-nlm 20842  df-ii 21116  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-esum 27681

This theorem is referenced by:  hasheuni  27731  esumcvg  27732  voliune  27841  volfiniune  27842