Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Unicode version

Theorem esumpinfval 26458
Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0  |-  F/ k
ph
esumpinfval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumpinfval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfval.3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  = +oo )
Assertion
Ref Expression
esumpinfval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Distinct variable groups:    A, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11374 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 esumpinfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumpinfval.0 . . . . 5  |-  F/ k
ph
4 esumpinfval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
54ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
63, 5ralrimi 2795 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7 nfcv 2577 . . . . 5  |-  F/_ k A
87esumcl 26422 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
92, 6, 8syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
101, 9sseldi 3351 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
11 nfrab1 2899 . . . . 5  |-  F/_ k { k  e.  A  |  B  = +oo }
12 ssrab2 3434 . . . . . 6  |-  { k  e.  A  |  B  = +oo }  C_  A
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo } 
C_  A )
14 0xr 9426 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
15 pnfxr 11088 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
16 0lepnf 11107 . . . . . . . 8  |-  0  <_ +oo
17 ubicc2 11398 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1814, 15, 16, 17mp3an 1309 . . . . . . 7  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  = +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20 0e0iccpnf 11392 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2219, 21ifclda 3818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
23 eldif 3335 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  <->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
24 rabid 2895 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  <->  ( k  e.  A  /\  B  = +oo ) )
2524simplbi2 622 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  ( B  = +oo  ->  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
2625con3and 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  -.  B  = +oo )
2723, 26sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  -.  B  = +oo )
2827adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  -.  B  = +oo )
29 iffalse 3796 . . . . . 6  |-  ( -.  B  = +oo  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  =  0 )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  =  0 )
313, 11, 7, 13, 2, 22, 30esumss 26457 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 ) )
32 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  =  { k  e.  A  |  B  = +oo } )
3324simprbi 461 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  ->  B  = +oo )
34 iftrue 3794 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
3533, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
3635adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
373, 32, 36esumeq12dvaf 26423 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } +oo )
382, 13ssexd 4436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V )
39 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ k +oo
4011, 39esumcst 26450 . . . . . 6  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  /\ +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  B  = +oo } +oo  =  ( ( # `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo ) )
4138, 18, 40sylancl 657 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } +oo  =  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )
)
42 hashxrcl 12123 . . . . . . 7  |-  ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR* )
4338, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR* )
44 esumpinfval.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  = +oo )
45 rabn0 3654 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  A  B  = +oo )
4644, 45sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/) )
47 hashgt0 12147 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  /\  {
k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/) )  ->  0  <  (
# `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
4838, 46, 47syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( # `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
49 xmulpnf1 11233 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR*  /\  0  <  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  ( ( # `
 { k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )  = +oo )
5043, 48, 49syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )  = +oo )
5137, 41, 503eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
5231, 51eqtr3d 2475 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
53 breq1 4292 . . . . 5  |-  ( +oo  =  if ( B  = +oo , +oo , 
0 )  ->  ( +oo  <_  B  <->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B ) )
54 breq1 4292 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B ) )
55 pnfge 11106 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
5615, 55ax-mp 5 . . . . . . 7  |- +oo  <_ +oo
57 breq2 4293 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  ( +oo  <_  B  <-> +oo  <_ +oo )
)
5856, 57mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  -> +oo  <_  B )
5958adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  = +oo )  -> +oo  <_  B )
604adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
61 iccgelb 11348 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  B )
6214, 15, 61mp3an12 1299 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_  B )
6360, 62syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  0  <_  B )
6453, 54, 59, 63ifbothda 3821 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B )
653, 7, 2, 22, 4, 64esumlef 26449 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_ Σ* k  e.  A B )
6652, 65eqbrtrrd 4311 . 2  |-  ( ph  -> +oo  <_ Σ* k  e.  A B )
67 xgepnf 25978 . . 3  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B 
<-> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
6867biimpd 207 . 2  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B  -> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
6910, 66, 68sylc 60 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   F/wnf 1594    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415   xecxmu 11084   [,]cicc 11299   #chash 12099  Σ*cesum 26419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-ordt 14435  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-ps 15366  df-tsr 15367  df-mnd 15411  df-plusf 15412  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-subrg 16843  df-abv 16882  df-lmod 16930  df-scaf 16931  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-tmd 19602  df-tgp 19603  df-tsms 19656  df-trg 19693  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-nm 20134  df-ngp 20135  df-nrg 20137  df-nlm 20138  df-ii 20412  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-esum 26420
This theorem is referenced by:  hasheuni  26470  esumcvg  26471  voliune  26581  volfiniune  26582
  Copyright terms: Public domain W3C validator