Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumpinfval 28968
Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0  |-  F/ k
ph
esumpinfval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumpinfval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfval.3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  = +oo )
Assertion
Ref Expression
esumpinfval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Distinct variable groups:    A, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11742 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 esumpinfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumpinfval.0 . . . . 5  |-  F/ k
ph
4 esumpinfval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
54ex 441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
63, 5ralrimi 2800 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ k A
87esumcl 28925 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
92, 6, 8syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
101, 9sseldi 3416 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
11 nfrab1 2957 . . . . 5  |-  F/_ k { k  e.  A  |  B  = +oo }
12 ssrab2 3500 . . . . . 6  |-  { k  e.  A  |  B  = +oo }  C_  A
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo } 
C_  A )
14 0xr 9705 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
15 pnfxr 11435 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
16 0lepnf 11456 . . . . . . . 8  |-  0  <_ +oo
17 ubicc2 11775 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1814, 15, 16, 17mp3an 1390 . . . . . . 7  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  = +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20 0e0iccpnf 11769 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2219, 21ifclda 3904 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
23 eldif 3400 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  <->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
24 rabid 2953 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  <->  ( k  e.  A  /\  B  = +oo ) )
2524simplbi2 637 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  ( B  = +oo  ->  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
2625con3dimp 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  -.  B  = +oo )
2723, 26sylbi 200 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  -.  B  = +oo )
2827adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  -.  B  = +oo )
2928iffalsed 3883 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  =  0 )
303, 11, 7, 13, 2, 22, 29esumss 28967 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 ) )
31 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  =  { k  e.  A  |  B  = +oo } )
3224simprbi 471 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  ->  B  = +oo )
3332iftrued 3880 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
3433adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
353, 31, 34esumeq12dvaf 28926 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } +oo )
362, 13ssexd 4543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V )
37 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ k +oo
3811, 37esumcst 28958 . . . . . 6  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  /\ +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  B  = +oo } +oo  =  ( ( # `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo ) )
3936, 18, 38sylancl 675 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } +oo  =  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )
)
40 hashxrcl 12577 . . . . . . 7  |-  ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR* )
4136, 40syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR* )
42 esumpinfval.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  = +oo )
43 rabn0 3755 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  A  B  = +oo )
4442, 43sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/) )
45 hashgt0 12605 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  /\  {
k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/) )  ->  0  <  (
# `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
4636, 44, 45syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( # `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
47 xmulpnf1 11585 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR*  /\  0  <  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  ( ( # `
 { k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )  = +oo )
4841, 46, 47syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )  = +oo )
4935, 39, 483eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
5030, 49eqtr3d 2507 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
51 breq1 4398 . . . . 5  |-  ( +oo  =  if ( B  = +oo , +oo , 
0 )  ->  ( +oo  <_  B  <->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B ) )
52 breq1 4398 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B ) )
53 pnfge 11455 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
5415, 53ax-mp 5 . . . . . . 7  |- +oo  <_ +oo
55 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  ( +oo  <_  B  <-> +oo  <_ +oo )
)
5654, 55mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  -> +oo  <_  B )
5756adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  = +oo )  -> +oo  <_  B )
584adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
59 iccgelb 11716 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  B )
6014, 15, 59mp3an12 1380 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_  B )
6158, 60syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  0  <_  B )
6251, 52, 57, 61ifbothda 3907 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B )
633, 7, 2, 22, 4, 62esumlef 28957 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_ Σ* k  e.  A B )
6450, 63eqbrtrrd 4418 . 2  |-  ( ph  -> +oo  <_ Σ* k  e.  A B )
65 xgepnf 28402 . . 3  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B 
<-> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
6665biimpd 212 . 2  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B  -> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
6710, 64, 66sylc 61 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   xecxmu 11431   [,]cicc 11663   #chash 12553  Σ*cesum 28922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923
This theorem is referenced by:  hasheuni  28980  esumcvg  28981  esumcvgre  28986  voliune  29125  volfiniune  29126
  Copyright terms: Public domain W3C validator