Theorem esumpinfval 28057

Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpinfval.0	|- F/ k ph
esumpinfval.1	|- ( ph -> A e. V )
esumpinfval.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfval.3	|- ( ph -> E. k e. A B = +oo )

Assertion

Ref	Expression
esumpinfval	|- ( ph -> Σ* k e. A B = +oo )

Distinct variable groups:   A, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem esumpinfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 11618	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		esumpinfval.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3		esumpinfval.0	. . . . 5 |- F/ k ph
4		esumpinfval.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
5	4	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
6	3, 5	ralrimi 2843	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
7		nfcv 2605	. . . . 5 |- F/_ k A
8	7	esumcl 28021	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
9	2, 6, 8	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
10	1, 9	sseldi 3487	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. RR* )
11		nfrab1 3024	. . . . 5 |- F/_ k { k e. A | B = +oo }
12		ssrab2 3570	. . . . . 6 |- { k e. A | B = +oo } C_ A
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } C_ A )
14		0xr 9643	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
15		pnfxr 11332	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
16		0lepnf 11351	. . . . . . . 8 |- 0 <_ +oo
17		ubicc2 11648	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
18	14, 15, 16, 17	mp3an 1325	. . . . . . 7 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
20		0e0iccpnf 11642	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
22	19, 21	ifclda 3958	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
23		eldif 3471	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) <-> ( k e. A /\ -. k e. { k e. A | B = +oo } ) )
24		rabid 3020	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } <-> ( k e. A /\ B = +oo ) )
25	24	simplbi2 625	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> ( B = +oo -> k e. { k e. A | B = +oo } ) )
26	25	con3dimp 441	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. A /\ -. k e. { k e. A | B = +oo } ) -> -. B = +oo )
27	23, 26	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) -> -. B = +oo )
28	27	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) ) -> -. B = +oo )
29	28	iffalsed 3937	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = 0 )
30	3, 11, 7, 13, 2, 22, 29	esumss 28056	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) )
31		eqidd 2444	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } = { k e. A | B = +oo } )
32	24	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } -> B = +oo )
33	32	iftrued 3934	. . . . . . 7 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
34	33	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | B = +oo } ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
35	3, 31, 34	esumeq12dvaf 28022	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo )
36	2, 13	ssexd 4584	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } e. _V )
37		nfcv 2605	. . . . . . 7 |- F/_ k +oo
38	11, 37	esumcst 28049	. . . . . 6 |- ( ( { k e. A | B = +oo } e. _V /\ +oo e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo = ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) )
39	36, 18, 38	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo = ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) )
40		hashxrcl 12411	. . . . . . 7 |- ( { k e. A | B = +oo } e. _V -> ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* )
41	36, 40	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* )
42		esumpinfval.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. k e. A B = +oo )
43		rabn0 3791	. . . . . . . 8 |- ( { k e. A | B = +oo } =/= (/) <-> E. k e. A B = +oo )
44	42, 43	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } =/= (/) )
45		hashgt0 12438	. . . . . . 7 |- ( ( { k e. A | B = +oo } e. _V /\ { k e. A | B = +oo } =/= (/) ) -> 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) )
46	36, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) )
47		xmulpnf1 11477	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) ) -> ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) = +oo )
48	41, 46, 47	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) = +oo )
49	35, 39, 48	3eqtrd 2488	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
50	30, 49	eqtr3d 2486	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
51		breq1 4440	. . . . 5 |- ( +oo = if ( B = +oo , +oo , 0 ) -> ( +oo <_ B <-> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B ) )
52		breq1 4440	. . . . 5 |- ( 0 = if ( B = +oo , +oo , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B ) )
53		pnfge 11350	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. RR* -> +oo <_ +oo )
54	15, 53	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- +oo <_ +oo
55		breq2 4441	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> ( +oo <_ B <-> +oo <_ +oo ) )
56	54, 55	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> +oo <_ B )
57	56	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = +oo ) -> +oo <_ B )
58	4	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
59		iccgelb 11592	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
60	14, 15, 59	mp3an12 1315	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ B )
61	58, 60	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> 0 <_ B )
62	51, 52, 57, 61	ifbothda 3961	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B )
63	3, 7, 2, 22, 4, 62	esumlef 28048	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ Σ* k e. A B )
64	50, 63	eqbrtrrd 4459	. 2 |- ( ph -> +oo <_ Σ* k e. A B )
65		xgepnf 27548	. . 3 |- (Σ* k e. A B e. RR* -> ( +oo <_ Σ* k e. A B <-> Σ* k e. A B = +oo ) )
66	65	biimpd 207	. 2 |- (Σ* k e. A B e. RR* -> ( +oo <_ Σ* k e. A B -> Σ* k e. A B = +oo ) )
67	10, 64, 66	sylc 60	1 |- ( ph -> Σ* k e. A B = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   F/wnf 1603   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095   \ cdif 3458   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630   < clt 9631   <_ cle 9632   xecxmu 11328   [,]cicc 11543   #chash 12387  Σ^*cesum 28018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-ordt 14880  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-ps 15809  df-tsr 15810  df-plusf 15850  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-subrg 17406  df-abv 17445  df-lmod 17493  df-scaf 17494  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-tmd 20549  df-tgp 20550  df-tsms 20603  df-trg 20640  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-nm 21081  df-ngp 21082  df-nrg 21084  df-nlm 21085  df-ii 21359  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-esum 28019

This theorem is referenced by:  hasheuni  28069  esumcvg  28070  voliune  28179  volfiniune  28180