Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Unicode version

Theorem esumpinfval 27719
 Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0
esumpinfval.1
esumpinfval.2
esumpinfval.3
Assertion
Ref Expression
esumpinfval Σ*
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11603 . . 3
2 esumpinfval.1 . . . 4
3 esumpinfval.0 . . . . 5
4 esumpinfval.2 . . . . . 6
54ex 434 . . . . 5
63, 5ralrimi 2864 . . . 4
7 nfcv 2629 . . . . 5
87esumcl 27683 . . . 4 Σ*
92, 6, 8syl2anc 661 . . 3 Σ*
101, 9sseldi 3502 . 2 Σ*
11 nfrab1 3042 . . . . 5
12 ssrab2 3585 . . . . . 6
1312a1i 11 . . . . 5
14 0xr 9636 . . . . . . . 8
15 pnfxr 11317 . . . . . . . 8
16 0lepnf 11336 . . . . . . . 8
17 ubicc2 11633 . . . . . . . 8
1814, 15, 16, 17mp3an 1324 . . . . . . 7
1918a1i 11 . . . . . 6
20 0e0iccpnf 11627 . . . . . . 7
2120a1i 11 . . . . . 6
2219, 21ifclda 3971 . . . . 5
23 eldif 3486 . . . . . . . 8
24 rabid 3038 . . . . . . . . . 10
2524simplbi2 625 . . . . . . . . 9
2625con3dimp 441 . . . . . . . 8
2723, 26sylbi 195 . . . . . . 7
2827adantl 466 . . . . . 6
29 iffalse 3948 . . . . . 6
3028, 29syl 16 . . . . 5
313, 11, 7, 13, 2, 22, 30esumss 27718 . . . 4 Σ* Σ*
32 eqidd 2468 . . . . . 6
3324simprbi 464 . . . . . . . 8
34 iftrue 3945 . . . . . . . 8
3533, 34syl 16 . . . . . . 7
3635adantl 466 . . . . . 6
373, 32, 36esumeq12dvaf 27684 . . . . 5 Σ* Σ*
382, 13ssexd 4594 . . . . . 6
39 nfcv 2629 . . . . . . 7
4011, 39esumcst 27711 . . . . . 6 Σ*
4138, 18, 40sylancl 662 . . . . 5 Σ*
42 hashxrcl 12393 . . . . . . 7
4338, 42syl 16 . . . . . 6
44 esumpinfval.3 . . . . . . . 8
45 rabn0 3805 . . . . . . . 8
4644, 45sylibr 212 . . . . . . 7
47 hashgt0 12420 . . . . . . 7
4838, 46, 47syl2anc 661 . . . . . 6
49 xmulpnf1 11462 . . . . . 6
5043, 48, 49syl2anc 661 . . . . 5
5137, 41, 503eqtrd 2512 . . . 4 Σ*
5231, 51eqtr3d 2510 . . 3 Σ*
53 breq1 4450 . . . . 5
54 breq1 4450 . . . . 5
55 pnfge 11335 . . . . . . . 8
5615, 55ax-mp 5 . . . . . . 7
57 breq2 4451 . . . . . . 7
5856, 57mpbiri 233 . . . . . 6
5958adantl 466 . . . . 5
604adantr 465 . . . . . 6
61 iccgelb 11577 . . . . . . 7
6214, 15, 61mp3an12 1314 . . . . . 6
6360, 62syl 16 . . . . 5
6453, 54, 59, 63ifbothda 3974 . . . 4
653, 7, 2, 22, 4, 64esumlef 27710 . . 3 Σ* Σ*
6652, 65eqbrtrrd 4469 . 2 Σ*
67 xgepnf 27238 . . 3 Σ* Σ* Σ*
6867biimpd 207 . 2 Σ* Σ* Σ*
6910, 66, 68sylc 60 1 Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1379  wnf 1599   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   wss 3476  c0 3785  cif 3939   class class class wbr 4447  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc0 9488   cpnf 9621  cxr 9623   clt 9624   cle 9625  cxmu 11313  cicc 11528  chash 12369  Σ*cesum 27680 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-ordt 14752  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-ps 15683  df-tsr 15684  df-mnd 15728  df-plusf 15729  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-subrg 17210  df-abv 17249  df-lmod 17297  df-scaf 17298  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-tmd 20306  df-tgp 20307  df-tsms 20360  df-trg 20397  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-nm 20838  df-ngp 20839  df-nrg 20841  df-nlm 20842  df-ii 21116  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-esum 27681 This theorem is referenced by:  hasheuni  27731  esumcvg  27732  voliune  27841  volfiniune  27842
 Copyright terms: Public domain W3C validator