Theorem esumpinfval 26458

Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpinfval.0	|- F/ k ph
esumpinfval.1	|- ( ph -> A e. V )
esumpinfval.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfval.3	|- ( ph -> E. k e. A B = +oo )

Assertion

Ref	Expression
esumpinfval	|- ( ph -> Σ* k e. A B = +oo )

Distinct variable groups:   A, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem esumpinfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 11374	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		esumpinfval.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3		esumpinfval.0	. . . . 5 |- F/ k ph
4		esumpinfval.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
5	4	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
6	3, 5	ralrimi 2795	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
7		nfcv 2577	. . . . 5 |- F/_ k A
8	7	esumcl 26422	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
9	2, 6, 8	syl2anc 656	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
10	1, 9	sseldi 3351	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. RR* )
11		nfrab1 2899	. . . . 5 |- F/_ k { k e. A | B = +oo }
12		ssrab2 3434	. . . . . 6 |- { k e. A | B = +oo } C_ A
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } C_ A )
14		0xr 9426	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
15		pnfxr 11088	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
16		0lepnf 11107	. . . . . . . 8 |- 0 <_ +oo
17		ubicc2 11398	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
18	14, 15, 16, 17	mp3an 1309	. . . . . . 7 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
20		0e0iccpnf 11392	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
22	19, 21	ifclda 3818	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
23		eldif 3335	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) <-> ( k e. A /\ -. k e. { k e. A | B = +oo } ) )
24		rabid 2895	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } <-> ( k e. A /\ B = +oo ) )
25	24	simplbi2 622	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> ( B = +oo -> k e. { k e. A | B = +oo } ) )
26	25	con3and 439	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. A /\ -. k e. { k e. A | B = +oo } ) -> -. B = +oo )
27	23, 26	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) -> -. B = +oo )
28	27	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) ) -> -. B = +oo )
29		iffalse 3796	. . . . . 6 |- ( -. B = +oo -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = 0 )
30	28, 29	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = 0 )
31	3, 11, 7, 13, 2, 22, 30	esumss 26457	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) )
32		eqidd 2442	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } = { k e. A | B = +oo } )
33	24	simprbi 461	. . . . . . . 8 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } -> B = +oo )
34		iftrue 3794	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . 7 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
36	35	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | B = +oo } ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
37	3, 32, 36	esumeq12dvaf 26423	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo )
38	2, 13	ssexd 4436	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } e. _V )
39		nfcv 2577	. . . . . . 7 |- F/_ k +oo
40	11, 39	esumcst 26450	. . . . . 6 |- ( ( { k e. A | B = +oo } e. _V /\ +oo e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo = ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) )
41	38, 18, 40	sylancl 657	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo = ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) )
42		hashxrcl 12123	. . . . . . 7 |- ( { k e. A | B = +oo } e. _V -> ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* )
43	38, 42	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* )
44		esumpinfval.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. k e. A B = +oo )
45		rabn0 3654	. . . . . . . 8 |- ( { k e. A | B = +oo } =/= (/) <-> E. k e. A B = +oo )
46	44, 45	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } =/= (/) )
47		hashgt0 12147	. . . . . . 7 |- ( ( { k e. A | B = +oo } e. _V /\ { k e. A | B = +oo } =/= (/) ) -> 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) )
48	38, 46, 47	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) )
49		xmulpnf1 11233	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) ) -> ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) = +oo )
50	43, 48, 49	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) = +oo )
51	37, 41, 50	3eqtrd 2477	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
52	31, 51	eqtr3d 2475	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
53		breq1 4292	. . . . 5 |- ( +oo = if ( B = +oo , +oo , 0 ) -> ( +oo <_ B <-> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B ) )
54		breq1 4292	. . . . 5 |- ( 0 = if ( B = +oo , +oo , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B ) )
55		pnfge 11106	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. RR* -> +oo <_ +oo )
56	15, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- +oo <_ +oo
57		breq2 4293	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> ( +oo <_ B <-> +oo <_ +oo ) )
58	56, 57	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> +oo <_ B )
59	58	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = +oo ) -> +oo <_ B )
60	4	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
61		iccgelb 11348	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
62	14, 15, 61	mp3an12 1299	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ B )
63	60, 62	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> 0 <_ B )
64	53, 54, 59, 63	ifbothda 3821	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B )
65	3, 7, 2, 22, 4, 64	esumlef 26449	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ Σ* k e. A B )
66	52, 65	eqbrtrrd 4311	. 2 |- ( ph -> +oo <_ Σ* k e. A B )
67		xgepnf 25978	. . 3 |- (Σ* k e. A B e. RR* -> ( +oo <_ Σ* k e. A B <-> Σ* k e. A B = +oo ) )
68	67	biimpd 207	. 2 |- (Σ* k e. A B e. RR* -> ( +oo <_ Σ* k e. A B -> Σ* k e. A B = +oo ) )
69	10, 66, 68	sylc 60	1 |- ( ph -> Σ* k e. A B = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   F/wnf 1594   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413   < clt 9414   <_ cle 9415   xecxmu 11084   [,]cicc 11299   #chash 12099  Σ^*cesum 26419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-ordt 14435  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-ps 15366  df-tsr 15367  df-mnd 15411  df-plusf 15412  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-subrg 16843  df-abv 16882  df-lmod 16930  df-scaf 16931  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-tmd 19602  df-tgp 19603  df-tsms 19656  df-trg 19693  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-nm 20134  df-ngp 20135  df-nrg 20137  df-nlm 20138  df-ii 20412  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-esum 26420

This theorem is referenced by:  hasheuni  26470  esumcvg  26471  voliune  26581  volfiniune  26582