Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumpinfval 28906
Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0  |-  F/ k
ph
esumpinfval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumpinfval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfval.3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  = +oo )
Assertion
Ref Expression
esumpinfval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Distinct variable groups:    A, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11724 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 esumpinfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumpinfval.0 . . . . 5  |-  F/ k
ph
4 esumpinfval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
54ex 436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
63, 5ralrimi 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7 nfcv 2594 . . . . 5  |-  F/_ k A
87esumcl 28863 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
92, 6, 8syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
101, 9sseldi 3432 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
11 nfrab1 2973 . . . . 5  |-  F/_ k { k  e.  A  |  B  = +oo }
12 ssrab2 3516 . . . . . 6  |-  { k  e.  A  |  B  = +oo }  C_  A
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo } 
C_  A )
14 0xr 9692 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
15 pnfxr 11419 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
16 0lepnf 11440 . . . . . . . 8  |-  0  <_ +oo
17 ubicc2 11756 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1814, 15, 16, 17mp3an 1366 . . . . . . 7  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  = +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20 0e0iccpnf 11750 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2219, 21ifclda 3915 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
23 eldif 3416 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  <->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
24 rabid 2969 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  <->  ( k  e.  A  /\  B  = +oo ) )
2524simplbi2 631 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  ( B  = +oo  ->  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
2625con3dimp 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  -.  B  = +oo )
2723, 26sylbi 199 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  -.  B  = +oo )
2827adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  -.  B  = +oo )
2928iffalsed 3894 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  =  0 )
303, 11, 7, 13, 2, 22, 29esumss 28905 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 ) )
31 eqidd 2454 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  =  { k  e.  A  |  B  = +oo } )
3224simprbi 466 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  ->  B  = +oo )
3332iftrued 3891 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
3433adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
353, 31, 34esumeq12dvaf 28864 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } +oo )
362, 13ssexd 4553 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V )
37 nfcv 2594 . . . . . . 7  |-  F/_ k +oo
3811, 37esumcst 28896 . . . . . 6  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  /\ +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  B  = +oo } +oo  =  ( ( # `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo ) )
3936, 18, 38sylancl 669 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } +oo  =  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )
)
40 hashxrcl 12546 . . . . . . 7  |-  ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR* )
4136, 40syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR* )
42 esumpinfval.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  = +oo )
43 rabn0 3754 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  A  B  = +oo )
4442, 43sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/) )
45 hashgt0 12574 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  /\  {
k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/) )  ->  0  <  (
# `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
4636, 44, 45syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( # `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
47 xmulpnf1 11567 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR*  /\  0  <  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  ( ( # `
 { k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )  = +oo )
4841, 46, 47syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )  = +oo )
4935, 39, 483eqtrd 2491 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
5030, 49eqtr3d 2489 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
51 breq1 4408 . . . . 5  |-  ( +oo  =  if ( B  = +oo , +oo , 
0 )  ->  ( +oo  <_  B  <->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B ) )
52 breq1 4408 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B ) )
53 pnfge 11439 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
5415, 53ax-mp 5 . . . . . . 7  |- +oo  <_ +oo
55 breq2 4409 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  ( +oo  <_  B  <-> +oo  <_ +oo )
)
5654, 55mpbiri 237 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  -> +oo  <_  B )
5756adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  = +oo )  -> +oo  <_  B )
584adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
59 iccgelb 11698 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  B )
6014, 15, 59mp3an12 1356 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_  B )
6158, 60syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  0  <_  B )
6251, 52, 57, 61ifbothda 3918 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B )
633, 7, 2, 22, 4, 62esumlef 28895 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_ Σ* k  e.  A B )
6450, 63eqbrtrrd 4428 . 2  |-  ( ph  -> +oo  <_ Σ* k  e.  A B )
65 xgepnf 28339 . . 3  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B 
<-> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
6665biimpd 211 . 2  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B  -> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
6710, 64, 66sylc 62 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446   F/wnf 1669    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047    \ cdif 3403    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   0cc0 9544   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681   xecxmu 11415   [,]cicc 11645   #chash 12522  Σ*cesum 28860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-ordt 15411  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-ps 16458  df-tsr 16459  df-plusf 16499  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-subrg 18018  df-abv 18057  df-lmod 18105  df-scaf 18106  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-tmd 21099  df-tgp 21100  df-tsms 21153  df-trg 21186  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-nm 21609  df-ngp 21610  df-nrg 21612  df-nlm 21613  df-ii 21921  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-esum 28861
This theorem is referenced by:  hasheuni  28918  esumcvg  28919  esumcvgre  28924  voliune  29064  volfiniune  29065
  Copyright terms: Public domain W3C validator