Theorem esumpinfval 28968

Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpinfval.0	|- F/ k ph
esumpinfval.1	|- ( ph -> A e. V )
esumpinfval.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfval.3	|- ( ph -> E. k e. A B = +oo )

Assertion

Ref	Expression
esumpinfval	|- ( ph -> Σ* k e. A B = +oo )

Distinct variable groups:   A, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem esumpinfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 11742	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		esumpinfval.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3		esumpinfval.0	. . . . 5 |- F/ k ph
4		esumpinfval.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
5	4	ex 441	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
6	3, 5	ralrimi 2800	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
7		nfcv 2612	. . . . 5 |- F/_ k A
8	7	esumcl 28925	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
9	2, 6, 8	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
10	1, 9	sseldi 3416	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. RR* )
11		nfrab1 2957	. . . . 5 |- F/_ k { k e. A | B = +oo }
12		ssrab2 3500	. . . . . 6 |- { k e. A | B = +oo } C_ A
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } C_ A )
14		0xr 9705	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
15		pnfxr 11435	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
16		0lepnf 11456	. . . . . . . 8 |- 0 <_ +oo
17		ubicc2 11775	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
18	14, 15, 16, 17	mp3an 1390	. . . . . . 7 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
20		0e0iccpnf 11769	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
22	19, 21	ifclda 3904	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
23		eldif 3400	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) <-> ( k e. A /\ -. k e. { k e. A | B = +oo } ) )
24		rabid 2953	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } <-> ( k e. A /\ B = +oo ) )
25	24	simplbi2 637	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> ( B = +oo -> k e. { k e. A | B = +oo } ) )
26	25	con3dimp 448	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. A /\ -. k e. { k e. A | B = +oo } ) -> -. B = +oo )
27	23, 26	sylbi 200	. . . . . . 7 |- ( k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) -> -. B = +oo )
28	27	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) ) -> -. B = +oo )
29	28	iffalsed 3883	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = 0 )
30	3, 11, 7, 13, 2, 22, 29	esumss 28967	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) )
31		eqidd 2472	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } = { k e. A | B = +oo } )
32	24	simprbi 471	. . . . . . . 8 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } -> B = +oo )
33	32	iftrued 3880	. . . . . . 7 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
34	33	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | B = +oo } ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
35	3, 31, 34	esumeq12dvaf 28926	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo )
36	2, 13	ssexd 4543	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } e. _V )
37		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ k +oo
38	11, 37	esumcst 28958	. . . . . 6 |- ( ( { k e. A | B = +oo } e. _V /\ +oo e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo = ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) )
39	36, 18, 38	sylancl 675	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo = ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) )
40		hashxrcl 12577	. . . . . . 7 |- ( { k e. A | B = +oo } e. _V -> ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* )
41	36, 40	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* )
42		esumpinfval.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. k e. A B = +oo )
43		rabn0 3755	. . . . . . . 8 |- ( { k e. A | B = +oo } =/= (/) <-> E. k e. A B = +oo )
44	42, 43	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } =/= (/) )
45		hashgt0 12605	. . . . . . 7 |- ( ( { k e. A | B = +oo } e. _V /\ { k e. A | B = +oo } =/= (/) ) -> 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) )
46	36, 44, 45	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) )
47		xmulpnf1 11585	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) ) -> ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) = +oo )
48	41, 46, 47	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) = +oo )
49	35, 39, 48	3eqtrd 2509	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
50	30, 49	eqtr3d 2507	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
51		breq1 4398	. . . . 5 |- ( +oo = if ( B = +oo , +oo , 0 ) -> ( +oo <_ B <-> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B ) )
52		breq1 4398	. . . . 5 |- ( 0 = if ( B = +oo , +oo , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B ) )
53		pnfge 11455	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. RR* -> +oo <_ +oo )
54	15, 53	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- +oo <_ +oo
55		breq2 4399	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> ( +oo <_ B <-> +oo <_ +oo ) )
56	54, 55	mpbiri 241	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> +oo <_ B )
57	56	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = +oo ) -> +oo <_ B )
58	4	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
59		iccgelb 11716	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
60	14, 15, 59	mp3an12 1380	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ B )
61	58, 60	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> 0 <_ B )
62	51, 52, 57, 61	ifbothda 3907	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B )
63	3, 7, 2, 22, 4, 62	esumlef 28957	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ Σ* k e. A B )
64	50, 63	eqbrtrrd 4418	. 2 |- ( ph -> +oo <_ Σ* k e. A B )
65		xgepnf 28402	. . 3 |- (Σ* k e. A B e. RR* -> ( +oo <_ Σ* k e. A B <-> Σ* k e. A B = +oo ) )
66	65	biimpd 212	. 2 |- (Σ* k e. A B e. RR* -> ( +oo <_ Σ* k e. A B -> Σ* k e. A B = +oo ) )
67	10, 64, 66	sylc 61	1 |- ( ph -> Σ* k e. A B = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   xecxmu 11431   [,]cicc 11663   #chash 12553  Σ^*cesum 28922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923

This theorem is referenced by:  hasheuni  28980  esumcvg  28981  esumcvgre  28986  voliune  29125  volfiniune  29126