Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Unicode version

Theorem esumpinfval 26525
Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0  |-  F/ k
ph
esumpinfval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumpinfval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfval.3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  = +oo )
Assertion
Ref Expression
esumpinfval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Distinct variable groups:    A, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11381 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 esumpinfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumpinfval.0 . . . . 5  |-  F/ k
ph
4 esumpinfval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
54ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
63, 5ralrimi 2800 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7 nfcv 2582 . . . . 5  |-  F/_ k A
87esumcl 26489 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
92, 6, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
101, 9sseldi 3357 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
11 nfrab1 2904 . . . . 5  |-  F/_ k { k  e.  A  |  B  = +oo }
12 ssrab2 3440 . . . . . 6  |-  { k  e.  A  |  B  = +oo }  C_  A
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo } 
C_  A )
14 0xr 9433 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
15 pnfxr 11095 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
16 0lepnf 11114 . . . . . . . 8  |-  0  <_ +oo
17 ubicc2 11405 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1814, 15, 16, 17mp3an 1314 . . . . . . 7  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  = +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20 0e0iccpnf 11399 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2219, 21ifclda 3824 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
23 eldif 3341 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  <->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
24 rabid 2900 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  <->  ( k  e.  A  /\  B  = +oo ) )
2524simplbi2 625 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  ( B  = +oo  ->  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
2625con3dimp 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  -.  B  = +oo )
2723, 26sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  -.  B  = +oo )
2827adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  -.  B  = +oo )
29 iffalse 3802 . . . . . 6  |-  ( -.  B  = +oo  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  =  0 )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  =  0 )
313, 11, 7, 13, 2, 22, 30esumss 26524 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 ) )
32 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  =  { k  e.  A  |  B  = +oo } )
3324simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  ->  B  = +oo )
34 iftrue 3800 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
3533, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo }  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
3635adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
373, 32, 36esumeq12dvaf 26490 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } +oo )
382, 13ssexd 4442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V )
39 nfcv 2582 . . . . . . 7  |-  F/_ k +oo
4011, 39esumcst 26517 . . . . . 6  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  /\ +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  B  = +oo } +oo  =  ( ( # `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo ) )
4138, 18, 40sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } +oo  =  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )
)
42 hashxrcl 12130 . . . . . . 7  |-  ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR* )
4338, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR* )
44 esumpinfval.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  = +oo )
45 rabn0 3660 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  A  B  = +oo )
4644, 45sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/) )
47 hashgt0 12154 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  = +oo }  e.  _V  /\  {
k  e.  A  |  B  = +oo }  =/=  (/) )  ->  0  <  (
# `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
4838, 46, 47syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( # `  { k  e.  A  |  B  = +oo } ) )
49 xmulpnf1 11240 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } )  e.  RR*  /\  0  <  ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) )  ->  ( ( # `
 { k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )  = +oo )
5043, 48, 49syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  = +oo } ) xe +oo )  = +oo )
5137, 41, 503eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = +oo } if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
5231, 51eqtr3d 2477 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  = +oo )
53 breq1 4298 . . . . 5  |-  ( +oo  =  if ( B  = +oo , +oo , 
0 )  ->  ( +oo  <_  B  <->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B ) )
54 breq1 4298 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B ) )
55 pnfge 11113 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
5615, 55ax-mp 5 . . . . . . 7  |- +oo  <_ +oo
57 breq2 4299 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  ( +oo  <_  B  <-> +oo  <_ +oo )
)
5856, 57mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  -> +oo  <_  B )
5958adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  = +oo )  -> +oo  <_  B )
604adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
61 iccgelb 11355 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  B )
6214, 15, 61mp3an12 1304 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_  B )
6360, 62syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  0  <_  B )
6453, 54, 59, 63ifbothda 3827 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_  B )
653, 7, 2, 22, 4, 64esumlef 26516 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  = +oo , +oo ,  0 )  <_ Σ* k  e.  A B )
6652, 65eqbrtrrd 4317 . 2  |-  ( ph  -> +oo  <_ Σ* k  e.  A B )
67 xgepnf 26046 . . 3  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B 
<-> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
6867biimpd 207 . 2  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B  -> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
6910, 66, 68sylc 60 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   {crab 2722   _Vcvv 2975    \ cdif 3328    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ifcif 3794   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   0cc0 9285   +oocpnf 9418   RR*cxr 9420    < clt 9421    <_ cle 9422   xecxmu 11091   [,]cicc 11306   #chash 12106  Σ*cesum 26486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-ordt 14442  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-ps 15373  df-tsr 15374  df-mnd 15418  df-plusf 15419  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-cring 16651  df-subrg 16866  df-abv 16905  df-lmod 16953  df-scaf 16954  df-sra 17256  df-rgmod 17257  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-tmd 19646  df-tgp 19647  df-tsms 19700  df-trg 19737  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-nm 20178  df-ngp 20179  df-nrg 20181  df-nlm 20182  df-ii 20456  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-esum 26487
This theorem is referenced by:  hasheuni  26537  esumcvg  26538  voliune  26648  volfiniune  26649
  Copyright terms: Public domain W3C validator