Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfsum Structured version   Unicode version

Theorem esumpinfsum 27915
 Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfsum.p
esumpinfsum.a
esumpinfsum.1
esumpinfsum.2
esumpinfsum.3
esumpinfsum.4
esumpinfsum.5
esumpinfsum.6
Assertion
Ref Expression
esumpinfsum Σ*
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem esumpinfsum
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11619 . . 3
2 esumpinfsum.1 . . . 4
3 esumpinfsum.p . . . . 5
4 esumpinfsum.3 . . . . . 6
54ex 434 . . . . 5
63, 5ralrimi 2867 . . . 4
7 esumpinfsum.a . . . . 5
87esumcl 27875 . . . 4 Σ*
92, 6, 8syl2anc 661 . . 3 Σ*
101, 9sseldi 3507 . 2 Σ*
11 esumpinfsum.5 . . . . . 6
12 esumpinfsum.6 . . . . . . 7
13 0xr 9652 . . . . . . . 8
14 xrltle 11367 . . . . . . . 8
1513, 11, 14sylancr 663 . . . . . . 7
1612, 15mpd 15 . . . . . 6
17 pnfge 11351 . . . . . . 7
1811, 17syl 16 . . . . . 6
19 pnfxr 11333 . . . . . . 7
20 elicc1 11585 . . . . . . 7
2113, 19, 20mp2an 672 . . . . . 6
2211, 16, 18, 21syl3anbrc 1180 . . . . 5
23 nfcv 2629 . . . . . 6
247, 23esumcst 27903 . . . . 5 Σ*
252, 22, 24syl2anc 661 . . . 4 Σ*
26 esumpinfsum.2 . . . . . 6
27 hashinf 12390 . . . . . 6
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5
2928oveq1d 6310 . . . 4
30 xmulpnf2 11479 . . . . 5
3111, 12, 30syl2anc 661 . . . 4
3225, 29, 313eqtrd 2512 . . 3 Σ*
3322adantr 465 . . . 4
34 esumpinfsum.4 . . . 4
353, 7, 2, 33, 4, 34esumlef 27902 . . 3 Σ* Σ*
3632, 35eqbrtrrd 4475 . 2 Σ*
37 xgepnf 27401 . . 3 Σ* Σ* Σ*
3837biimpd 207 . 2 Σ* Σ* Σ*
3910, 36, 38sylc 60 1 Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379  wnf 1599   wcel 1767  wnfc 2615  wral 2817   class class class wbr 4453  cfv 5594  (class class class)co 6295  cfn 7528  cc0 9504   cpnf 9637  cxr 9639   clt 9640   cle 9641  cxmu 11329  cicc 11544  chash 12385  Σ*cesum 27872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-ordt 14772  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-ps 15703  df-tsr 15704  df-plusf 15744  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-cring 17071  df-subrg 17296  df-abv 17335  df-lmod 17383  df-scaf 17384  df-sra 17687  df-rgmod 17688  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-tmd 20437  df-tgp 20438  df-tsms 20491  df-trg 20528  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-nm 20969  df-ngp 20970  df-nrg 20972  df-nlm 20973  df-ii 21247  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22808  df-esum 27873 This theorem is referenced by:  hasheuni  27923
 Copyright terms: Public domain W3C validator