Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfsum Structured version   Unicode version

Theorem esumpinfsum 26538
Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfsum.p  |-  F/ k
ph
esumpinfsum.a  |-  F/_ k A
esumpinfsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumpinfsum.2  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  Fin )
esumpinfsum.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  M  <_  B )
esumpinfsum.5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
esumpinfsum.6  |-  ( ph  ->  0  <  M )
Assertion
Ref Expression
esumpinfsum  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Distinct variable groups:    k, V    k, M
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)

Proof of Theorem esumpinfsum
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11390 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 esumpinfsum.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumpinfsum.p . . . . 5  |-  F/ k
ph
4 esumpinfsum.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
54ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
63, 5ralrimi 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7 esumpinfsum.a . . . . 5  |-  F/_ k A
87esumcl 26498 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
92, 6, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
101, 9sseldi 3366 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
11 esumpinfsum.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
12 esumpinfsum.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  M )
13 0xr 9442 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
14 xrltle 11138 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  M  e.  RR* )  ->  (
0  <  M  ->  0  <_  M ) )
1513, 11, 14sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
)
1612, 15mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
17 pnfge 11122 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  RR*  ->  M  <_ +oo )
1811, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_ +oo )
19 pnfxr 11104 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
20 elicc1 11356 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( M  e.  RR*  /\  0  <_  M  /\  M  <_ +oo )
) )
2113, 19, 20mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( M  e. 
RR*  /\  0  <_  M  /\  M  <_ +oo )
)
2211, 16, 18, 21syl3anbrc 1172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 [,] +oo ) )
23 nfcv 2589 . . . . . 6  |-  F/_ k M
247, 23esumcst 26526 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  M  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A M  =  ( ( # `  A ) xe M ) )
252, 22, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A M  =  ( ( # `  A
) xe M ) )
26 esumpinfsum.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  Fin )
27 hashinf 12120 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  = +oo )
2928oveq1d 6118 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
) xe M )  =  ( +oo xe M ) )
30 xmulpnf2 11250 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  0  <  M )  ->  ( +oo xe M )  = +oo )
3111, 12, 30syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +oo xe M )  = +oo )
3225, 29, 313eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A M  = +oo )
3322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  M  e.  ( 0 [,] +oo ) )
34 esumpinfsum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  M  <_  B )
353, 7, 2, 33, 4, 34esumlef 26525 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A M  <_ Σ* k  e.  A B )
3632, 35eqbrtrrd 4326 . 2  |-  ( ph  -> +oo  <_ Σ* k  e.  A B )
37 xgepnf 26055 . . 3  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B 
<-> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
3837biimpd 207 . 2  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B  -> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
3910, 36, 38sylc 60 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2575   A.wral 2727   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Fincfn 7322   0cc0 9294   +oocpnf 9427   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431   xecxmu 11100   [,]cicc 11315   #chash 12115  Σ*cesum 26495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-ef 13365  df-sin 13367  df-cos 13368  df-pi 13370  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-ordt 14451  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-ps 15382  df-tsr 15383  df-mnd 15427  df-plusf 15428  df-mhm 15476  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mulg 15560  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-cring 16660  df-subrg 16875  df-abv 16914  df-lmod 16962  df-scaf 16963  df-sra 17265  df-rgmod 17266  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-tmd 19655  df-tgp 19656  df-tsms 19709  df-trg 19746  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-nm 20187  df-ngp 20188  df-nrg 20190  df-nlm 20191  df-ii 20465  df-cncf 20466  df-limc 21353  df-dv 21354  df-log 22020  df-esum 26496
This theorem is referenced by:  hasheuni  26546
  Copyright terms: Public domain W3C validator