Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfsum Structured version   Unicode version

Theorem esumpinfsum 27915
Description: The value of the extended sum of infinitely many terms greater than one. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfsum.p  |-  F/ k
ph
esumpinfsum.a  |-  F/_ k A
esumpinfsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumpinfsum.2  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  Fin )
esumpinfsum.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  M  <_  B )
esumpinfsum.5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
esumpinfsum.6  |-  ( ph  ->  0  <  M )
Assertion
Ref Expression
esumpinfsum  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Distinct variable groups:    k, V    k, M
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)

Proof of Theorem esumpinfsum
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11619 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 esumpinfsum.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumpinfsum.p . . . . 5  |-  F/ k
ph
4 esumpinfsum.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
54ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
63, 5ralrimi 2867 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7 esumpinfsum.a . . . . 5  |-  F/_ k A
87esumcl 27875 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
92, 6, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
101, 9sseldi 3507 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
11 esumpinfsum.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
12 esumpinfsum.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  M )
13 0xr 9652 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
14 xrltle 11367 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  M  e.  RR* )  ->  (
0  <  M  ->  0  <_  M ) )
1513, 11, 14sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
)
1612, 15mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
17 pnfge 11351 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  RR*  ->  M  <_ +oo )
1811, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  <_ +oo )
19 pnfxr 11333 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
20 elicc1 11585 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( M  e.  RR*  /\  0  <_  M  /\  M  <_ +oo )
) )
2113, 19, 20mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( M  e. 
RR*  /\  0  <_  M  /\  M  <_ +oo )
)
2211, 16, 18, 21syl3anbrc 1180 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 [,] +oo ) )
23 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ k M
247, 23esumcst 27903 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  M  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A M  =  ( ( # `  A ) xe M ) )
252, 22, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A M  =  ( ( # `  A
) xe M ) )
26 esumpinfsum.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  Fin )
27 hashinf 12390 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  = +oo )
2928oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
) xe M )  =  ( +oo xe M ) )
30 xmulpnf2 11479 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  0  <  M )  ->  ( +oo xe M )  = +oo )
3111, 12, 30syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +oo xe M )  = +oo )
3225, 29, 313eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A M  = +oo )
3322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  M  e.  ( 0 [,] +oo ) )
34 esumpinfsum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  M  <_  B )
353, 7, 2, 33, 4, 34esumlef 27902 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A M  <_ Σ* k  e.  A B )
3632, 35eqbrtrrd 4475 . 2  |-  ( ph  -> +oo  <_ Σ* k  e.  A B )
37 xgepnf 27401 . . 3  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B 
<-> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
3837biimpd 207 . 2  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_ Σ* k  e.  A B  -> Σ* k  e.  A B  = +oo ) )
3910, 36, 38sylc 60 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   A.wral 2817   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   0cc0 9504   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   xecxmu 11329   [,]cicc 11544   #chash 12385  Σ*cesum 27872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-ordt 14772  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-ps 15703  df-tsr 15704  df-plusf 15744  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-cring 17071  df-subrg 17296  df-abv 17335  df-lmod 17383  df-scaf 17384  df-sra 17687  df-rgmod 17688  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-tmd 20437  df-tgp 20438  df-tsms 20491  df-trg 20528  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-nm 20969  df-ngp 20970  df-nrg 20972  df-nlm 20973  df-ii 21247  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22808  df-esum 27873
This theorem is referenced by:  hasheuni  27923
  Copyright terms: Public domain W3C validator