Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvallem Unicode version

Theorem esumpfinvallem 24417
 Description: Lemma for esumpfinval 24418 (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumpfinvallem fld g s g

Proof of Theorem esumpfinvallem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fex 5928 . . . 4
21ancoms 440 . . 3
3 ovex 6065 . . . 4 flds
43a1i 11 . . 3 flds
5 ovex 6065 . . . 4 s
65a1i 11 . . 3 s
7 mnfxr 10670 . . . . . . . . 9
8 pnfxr 10669 . . . . . . . . 9
9 0re 9047 . . . . . . . . . 10
10 mnflt 10678 . . . . . . . . . 10
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . . 9
12 pnfge 10683 . . . . . . . . . 10
138, 12ax-mp 8 . . . . . . . . 9
14 icossioo 24086 . . . . . . . . 9
157, 8, 11, 13, 14mp4an 655 . . . . . . . 8
16 ioomax 10941 . . . . . . . 8
1715, 16sseqtri 3340 . . . . . . 7
18 ax-resscn 9003 . . . . . . 7
1917, 18sstri 3317 . . . . . 6
20 eqid 2404 . . . . . . 7 flds flds
21 cnfldbas 16662 . . . . . . 7 fld
2220, 21ressbas2 13475 . . . . . 6 flds
2319, 22ax-mp 8 . . . . 5 flds
24 icossxr 10951 . . . . . 6
25 eqid 2404 . . . . . . 7 s s
26 xrsbas 16672 . . . . . . 7
2725, 26ressbas2 13475 . . . . . 6 s
2824, 27ax-mp 8 . . . . 5 s
2923, 28eqtr3i 2426 . . . 4 flds s
3029a1i 11 . . 3 flds s
31 simprl 733 . . . . 5 flds flds flds
3231, 23syl6eleqr 2495 . . . 4 flds flds
33 simprr 734 . . . . 5 flds flds flds
3433, 23syl6eleqr 2495 . . . 4 flds flds
35 ge0addcl 10965 . . . . 5
36 ovex 6065 . . . . . . 7
37 cnfldadd 16663 . . . . . . . 8 fld
3820, 37ressplusg 13526 . . . . . . 7 flds
3936, 38ax-mp 8 . . . . . 6 flds
4039oveqi 6053 . . . . 5 flds
4135, 40, 233eltr3g 2486 . . . 4 flds flds
4232, 34, 41syl2anc 643 . . 3 flds flds flds flds
43 simpl 444 . . . . . . 7
4417, 43sseldi 3306 . . . . . 6
45 simpr 448 . . . . . . 7
4617, 45sseldi 3306 . . . . . 6
47 rexadd 10774 . . . . . . 7
4847eqcomd 2409 . . . . . 6
4944, 46, 48syl2anc 643 . . . . 5
50 xrsadd 16673 . . . . . . . 8
5125, 50ressplusg 13526 . . . . . . 7 s
5236, 51ax-mp 8 . . . . . 6 s
5352oveqi 6053 . . . . 5 s
5449, 40, 533eqtr3g 2459 . . . 4 flds s
5532, 34, 54syl2anc 643 . . 3 flds flds flds s
56 simpr 448 . . . 4
57 ffun 5552 . . . 4
5856, 57syl 16 . . 3
59 frn 5556 . . . . 5
6056, 59syl 16 . . . 4
6160, 23syl6sseq 3354 . . 3 flds
622, 4, 6, 30, 42, 55, 58, 61gsumpropd2 24174 . 2 flds g s g
63 cnfldex 16661 . . . 4 fld
6463a1i 11 . . 3 fld
65 simpl 444 . . 3
6619a1i 11 . . 3
67 0xr 9087 . . . . 5
68 ltpnf 10677 . . . . . 6
699, 68ax-mp 8 . . . . 5
70 lbico1 10922 . . . . 5
7167, 8, 69, 70mp3an 1279 . . . 4
7271a1i 11 . . 3
73 simpr 448 . . . . 5
7473addid2d 9223 . . . 4
7573addid1d 9222 . . . 4
7674, 75jca 519 . . 3
7721, 37, 20, 64, 65, 66, 56, 72, 76gsumress 14732 . 2 fld g flds g
78 xrge0base 24160 . . 3 s
79 xrge0plusg 24162 . . 3 s
80 ovex 6065 . . . . 5
81 ressress 13481 . . . . 5 s s s
8280, 36, 81mp2an 654 . . . 4 s s s
83 incom 3493 . . . . . 6
84 icossicc 24082 . . . . . . 7
85 dfss 3295 . . . . . . 7
8684, 85mpbi 200 . . . . . 6
8783, 86eqtr4i 2427 . . . . 5
8887oveq2i 6051 . . . 4 s s
8982, 88eqtr2i 2425 . . 3 s s s
90 ovex 6065 . . . 4 s
9190a1i 11 . . 3 s
9284a1i 11 . . 3
93 iccssxr 10949 . . . . . 6
94 simpr 448 . . . . . 6
9593, 94sseldi 3306 . . . . 5
96 xaddid2 10782 . . . . 5
9795, 96syl 16 . . . 4
98 xaddid1 10781 . . . . 5
9995, 98syl 16 . . . 4
10097, 99jca 519 . . 3
10178, 79, 89, 91, 65, 92, 56, 72, 100gsumress 14732 . 2 s g s g
10262, 77, 1013eqtr4d 2446 1 fld g s g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2916   cin 3279   wss 3280   class class class wbr 4172   crn 4838   wfun 5407  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946   caddc 8949   cpnf 9073   cmnf 9074  cxr 9075   clt 9076   cle 9077  cxad 10664  cioo 10872  cico 10874  cicc 10875  cbs 13424   ↾s cress 13425   cplusg 13484  cxrs 13677   g cgsu 13679  ℂfldccnfld 16658 This theorem is referenced by:  esumpfinval  24418  esumpfinvalf  24419  esumpcvgval  24421  esumcvg  24429 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-addf 9025 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-seq 11279  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-cnfld 16659
 Copyright terms: Public domain W3C validator