Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvalf Structured version   Unicode version

Theorem esumpfinvalf 28736
Description: Same as esumpfinval 28735, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinvalf.1  |-  F/_ k A
esumpfinvalf.2  |-  F/ k
ph
esumpfinvalf.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
esumpfinvalf.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumpfinvalf  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
sum_ k  e.  A  B )

Proof of Theorem esumpfinvalf
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 28688 . . . 4  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
2 xrge0base 28284 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
3 xrge00 28285 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
4 xrge0cmn 18945 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
6 xrge0tps 28587 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp )
8 esumpfinvalf.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
9 esumpfinvalf.2 . . . . . . 7  |-  F/ k
ph
10 esumpfinvalf.1 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
11 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
12 icossicc 11721 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
13 esumpfinvalf.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1412, 13sseldi 3468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
15 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
169, 10, 11, 14, 15fmptdF 28095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
17 c0ex 9636 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  _V )
1916, 8, 18fdmfifsupp 7899 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) finSupp  0 )
20 xrge0topn 28588 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
2120eqcomi 2442 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
TopOpen `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
22 xrhaus 28191 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Haus
23 ovex 6333 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
24 resthaus 20315 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Haus  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Haus )
2522, 23, 24mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Haus
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)  e.  Haus )
272, 3, 5, 7, 8, 16, 19, 21, 26haustsmsid 21086 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  { ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
2827unieqd 4232 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. {
( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
291, 28syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
U. { ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
30 ovex 6333 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  e. 
_V
3130unisn 4237 . . 3  |-  U. {
( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) }  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )
3229, 31syl6eq 2486 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
33 nfcv 2591 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,) +oo )
349, 10, 33, 13, 15fmptdF 28095 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
35 esumpfinvallem 28734 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
368, 34, 35syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
37 rge0ssre 11738 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
38 ax-resscn 9595 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3937, 38sstri 3479 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
4039, 13sseldi 3468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4140sbt 2214 . . . . 5  |-  [ l  /  k ] ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
42 sbim 2190 . . . . . 6  |-  ( [ l  /  k ] ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( [ l  / 
k ] ( ph  /\  k  e.  A )  ->  [ l  / 
k ] B  e.  CC ) )
43 sban 2194 . . . . . . . 8  |-  ( [ l  /  k ] ( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( [
l  /  k ]
ph  /\  [ l  /  k ] k  e.  A ) )
449sbf 2175 . . . . . . . . 9  |-  ( [ l  /  k ]
ph 
<-> 
ph )
4510clelsb3f 27951 . . . . . . . . 9  |-  ( [ l  /  k ] k  e.  A  <->  l  e.  A )
4644, 45anbi12i 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( [ l  /  k ] ph  /\  [ l  /  k ] k  e.  A )  <->  ( ph  /\  l  e.  A ) )
4743, 46bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( [ l  /  k ] ( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( ph  /\  l  e.  A ) )
48 sbsbc 3309 . . . . . . . 8  |-  ( [ l  /  k ] B  e.  CC  <->  [. l  / 
k ]. B  e.  CC )
49 vex 3090 . . . . . . . . 9  |-  l  e. 
_V
50 sbcel1g 3810 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  k ]. B  e.  CC  <->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC )
)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( [. l  /  k ]. B  e.  CC  <->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC )
5248, 51bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( [ l  /  k ] B  e.  CC  <->  [_ l  / 
k ]_ B  e.  CC )
5347, 52imbi12i 327 . . . . . 6  |-  ( ( [ l  /  k ] ( ph  /\  k  e.  A )  ->  [ l  /  k ] B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  l  e.  A )  ->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC ) )
5442, 53bitri 252 . . . . 5  |-  ( [ l  /  k ] ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  l  e.  A )  ->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC ) )
5541, 54mpbi 211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  l  e.  A )  ->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC )
568, 55gsumfsum 18969 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( l  e.  A  |-> 
[_ l  /  k ]_ B ) )  = 
sum_ l  e.  A  [_ l  /  k ]_ B )
57 nfcv 2591 . . . . 5  |-  F/_ l A
58 nfcv 2591 . . . . 5  |-  F/_ l B
59 nfcsb1v 3417 . . . . 5  |-  F/_ k [_ l  /  k ]_ B
60 csbeq1a 3410 . . . . 5  |-  ( k  =  l  ->  B  =  [_ l  /  k ]_ B )
6110, 57, 58, 59, 60cbvmptf 4516 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( l  e.  A  |->  [_ l  /  k ]_ B )
6261oveq2i 6316 . . 3  |-  (fld  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (fld 
gsumg  ( l  e.  A  |-> 
[_ l  /  k ]_ B ) )
6360, 57, 10, 58, 59cbvsum 13739 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ l  e.  A  [_ l  /  k ]_ B
6456, 62, 633eqtr4g 2495 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  = 
sum_ k  e.  A  B )
6532, 36, 643eqtr2d 2476 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   F/wnf 1663   [wsb 1789    e. wcel 1870   F/_wnfc 2577   _Vcvv 3087   [.wsbc 3305   [_csb 3401   {csn 4002   U.cuni 4222    |-> cmpt 4484   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   +oocpnf 9671    <_ cle 9675   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   sum_csu 13730   ↾s cress 15085   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279    gsumg cgsu 15298  ordTopcordt 15356   RR*scxrs 15357  CMndccmn 17365  ℂfldccnfld 18905   TopSpctps 19850   Hauscha 20255   tsums ctsu 21071  Σ*cesum 28687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-haus 20262  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tsms 21072  df-esum 28688
This theorem is referenced by:  volfiniune  28892
  Copyright terms: Public domain W3C validator