Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvalf Structured version   Unicode version

Theorem esumpfinvalf 26669
Description: Same as esumpfinval 26668, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinvalf.1  |-  F/_ k A
esumpfinvalf.2  |-  F/ k
ph
esumpfinvalf.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
esumpfinvalf.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumpfinvalf  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
sum_ k  e.  A  B )

Proof of Theorem esumpfinvalf
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 26628 . . . 4  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
2 xrge0base 26290 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
3 xrge00 26291 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
4 xrge0cmn 17979 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
6 xrge0tps 26516 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp )
8 esumpfinvalf.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
9 esumpfinvalf.2 . . . . . . 7  |-  F/ k
ph
10 esumpfinvalf.1 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
11 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
12 icossicc 11492 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
13 esumpfinvalf.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1412, 13sseldi 3461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
15 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
169, 10, 11, 14, 15fmptdF 26122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
17 c0ex 9490 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  _V )
1916, 8, 18fdmfifsupp 7740 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) finSupp  0 )
20 xrge0topn 26517 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
2120eqcomi 2467 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
TopOpen `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
22 xrhaus 26207 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Haus
23 ovex 6224 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
24 resthaus 19103 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Haus  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Haus )
2522, 23, 24mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Haus
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)  e.  Haus )
272, 3, 5, 7, 8, 16, 19, 21, 26haustsmsid 19842 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  { ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
2827unieqd 4208 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. {
( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
291, 28syl5eq 2507 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
U. { ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
30 ovex 6224 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  e. 
_V
3130unisn 4213 . . 3  |-  U. {
( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) }  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )
3229, 31syl6eq 2511 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
33 nfcv 2616 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,) +oo )
349, 10, 33, 13, 15fmptdF 26122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
35 esumpfinvallem 26667 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
368, 34, 35syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
37 rge0ssre 11509 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
38 ax-resscn 9449 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3937, 38sstri 3472 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
4039, 13sseldi 3461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4140sbt 2127 . . . . 5  |-  [ l  /  k ] ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
42 sbim 2097 . . . . . 6  |-  ( [ l  /  k ] ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( [ l  / 
k ] ( ph  /\  k  e.  A )  ->  [ l  / 
k ] B  e.  CC ) )
43 sban 2101 . . . . . . . 8  |-  ( [ l  /  k ] ( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( [
l  /  k ]
ph  /\  [ l  /  k ] k  e.  A ) )
449sbf 2081 . . . . . . . . 9  |-  ( [ l  /  k ]
ph 
<-> 
ph )
4510clelsb3f 26015 . . . . . . . . 9  |-  ( [ l  /  k ] k  e.  A  <->  l  e.  A )
4644, 45anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( [ l  /  k ] ph  /\  [ l  /  k ] k  e.  A )  <->  ( ph  /\  l  e.  A ) )
4743, 46bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( [ l  /  k ] ( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( ph  /\  l  e.  A ) )
48 sbsbc 3296 . . . . . . . 8  |-  ( [ l  /  k ] B  e.  CC  <->  [. l  / 
k ]. B  e.  CC )
49 vex 3079 . . . . . . . . 9  |-  l  e. 
_V
50 sbcel1g 3788 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  k ]. B  e.  CC  <->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC )
)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( [. l  /  k ]. B  e.  CC  <->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC )
5248, 51bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( [ l  /  k ] B  e.  CC  <->  [_ l  / 
k ]_ B  e.  CC )
5347, 52imbi12i 326 . . . . . 6  |-  ( ( [ l  /  k ] ( ph  /\  k  e.  A )  ->  [ l  /  k ] B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  l  e.  A )  ->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC ) )
5442, 53bitri 249 . . . . 5  |-  ( [ l  /  k ] ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  l  e.  A )  ->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC ) )
5541, 54mpbi 208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  l  e.  A )  ->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC )
568, 55gsumfsum 18003 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( l  e.  A  |-> 
[_ l  /  k ]_ B ) )  = 
sum_ l  e.  A  [_ l  /  k ]_ B )
57 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ l A
58 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ l B
59 nfcsb1v 3410 . . . . 5  |-  F/_ k [_ l  /  k ]_ B
60 csbeq1a 3403 . . . . 5  |-  ( k  =  l  ->  B  =  [_ l  /  k ]_ B )
6110, 57, 58, 59, 60cbvmptf 26121 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( l  e.  A  |->  [_ l  /  k ]_ B )
6261oveq2i 6210 . . 3  |-  (fld  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (fld 
gsumg  ( l  e.  A  |-> 
[_ l  /  k ]_ B ) )
6360, 57, 10, 58, 59cbvsum 13289 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ l  e.  A  [_ l  /  k ]_ B
6456, 62, 633eqtr4g 2520 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  = 
sum_ k  e.  A  B )
6532, 36, 643eqtr2d 2501 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   F/wnf 1590   [wsb 1702    e. wcel 1758   F/_wnfc 2602   _Vcvv 3076   [.wsbc 3292   [_csb 3394   {csn 3984   U.cuni 4198    |-> cmpt 4457   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Fincfn 7419   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   +oocpnf 9525    <_ cle 9529   [,)cico 11412   [,]cicc 11413   sum_csu 13280   ↾s cress 14292   ↾t crest 14477   TopOpenctopn 14478    gsumg cgsu 14497  ordTopcordt 14555   RR*scxrs 14556  CMndccmn 16397  ℂfldccnfld 17942   TopSpctps 18632   Hauscha 19043   tsums ctsu 19827  Σ*cesum 26627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-rp 11102  df-xadd 11200  df-ioo 11414  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-sum 13281  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-ordt 14557  df-xrs 14558  df-ps 15488  df-tsr 15489  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-abl 16400  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-cn 18962  df-haus 19050  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-tsms 19828  df-esum 26628
This theorem is referenced by:  volfiniune  26789
  Copyright terms: Public domain W3C validator