Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvalf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumpfinvalf 28971
 Description: Same as esumpfinval 28970, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinvalf.1
esumpfinvalf.2
esumpfinvalf.a
esumpfinvalf.b
Assertion
Ref Expression
esumpfinvalf Σ*

Proof of Theorem esumpfinvalf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 28923 . . . 4 Σ* s tsums
2 xrge0base 28522 . . . . . 6 s
3 xrge00 28523 . . . . . 6 s
4 xrge0cmn 19087 . . . . . . 7 s CMnd
54a1i 11 . . . . . 6 s CMnd
6 xrge0tps 28822 . . . . . . 7 s
76a1i 11 . . . . . 6 s
8 esumpfinvalf.a . . . . . 6
9 esumpfinvalf.2 . . . . . . 7
10 esumpfinvalf.1 . . . . . . 7
11 nfcv 2612 . . . . . . 7
12 icossicc 11746 . . . . . . . 8
13 esumpfinvalf.b . . . . . . . 8
1412, 13sseldi 3416 . . . . . . 7
15 eqid 2471 . . . . . . 7
169, 10, 11, 14, 15fmptdF 28331 . . . . . 6
17 c0ex 9655 . . . . . . . 8
1817a1i 11 . . . . . . 7
1916, 8, 18fdmfifsupp 7911 . . . . . 6 finSupp
20 xrge0topn 28823 . . . . . . 7 s ordTop t
2120eqcomi 2480 . . . . . 6 ordTop t s
22 xrhaus 28430 . . . . . . . 8 ordTop
23 ovex 6336 . . . . . . . 8
24 resthaus 20461 . . . . . . . 8 ordTop ordTop t
2522, 23, 24mp2an 686 . . . . . . 7 ordTop t
2625a1i 11 . . . . . 6 ordTop t
272, 3, 5, 7, 8, 16, 19, 21, 26haustsmsid 21233 . . . . 5 s tsums s g
2827unieqd 4200 . . . 4 s tsums s g
291, 28syl5eq 2517 . . 3 Σ* s g
30 ovex 6336 . . . 4 s g
3130unisn 4205 . . 3 s g s g
3229, 31syl6eq 2521 . 2 Σ* s g
33 nfcv 2612 . . . 4
349, 10, 33, 13, 15fmptdF 28331 . . 3
35 esumpfinvallem 28969 . . 3 fld g s g
368, 34, 35syl2anc 673 . 2 fld g s g
37 rge0ssre 11766 . . . . . . . 8
38 ax-resscn 9614 . . . . . . . 8
3937, 38sstri 3427 . . . . . . 7
4039, 13sseldi 3416 . . . . . 6
4140sbt 2268 . . . . 5
42 sbim 2244 . . . . . 6
43 sban 2248 . . . . . . . 8
449sbf 2229 . . . . . . . . 9
4510clelsb3f 28195 . . . . . . . . 9
4644, 45anbi12i 711 . . . . . . . 8
4743, 46bitri 257 . . . . . . 7
48 sbsbc 3259 . . . . . . . 8
49 vex 3034 . . . . . . . . 9
50 sbcel1g 3780 . . . . . . . . 9
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8
5248, 51bitri 257 . . . . . . 7
5347, 52imbi12i 333 . . . . . 6
5442, 53bitri 257 . . . . 5
5541, 54mpbi 213 . . . 4
568, 55gsumfsum 19111 . . 3 fld g
57 nfcv 2612 . . . . 5
58 nfcv 2612 . . . . 5
59 nfcsb1v 3365 . . . . 5
60 csbeq1a 3358 . . . . 5
6110, 57, 58, 59, 60cbvmptf 4486 . . . 4
6261oveq2i 6319 . . 3 fld g fld g
6360, 57, 10, 58, 59cbvsum 13838 . . 3
6456, 62, 633eqtr4g 2530 . 2 fld g
6532, 36, 643eqtr2d 2511 1 Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wnf 1675  wsb 1805   wcel 1904  wnfc 2599  cvv 3031  wsbc 3255  csb 3349  csn 3959  cuni 4190   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   cpnf 9690   cle 9694  cico 11662  cicc 11663  csu 13829   ↾s cress 15200   ↾t crest 15397  ctopn 15398   g cgsu 15417  ordTopcordt 15475  cxrs 15476  CMndccmn 17508  ℂfldccnfld 19047  ctps 19996  cha 20401   tsums ctsu 21218  Σ*cesum 28922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219  df-esum 28923 This theorem is referenced by:  volfiniune  29126
 Copyright terms: Public domain W3C validator