Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinvalf Structured version   Unicode version

Theorem esumpfinvalf 28305
Description: Same as esumpfinval 28304, minus distinct variable restrictions. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinvalf.1  |-  F/_ k A
esumpfinvalf.2  |-  F/ k
ph
esumpfinvalf.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
esumpfinvalf.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumpfinvalf  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
sum_ k  e.  A  B )

Proof of Theorem esumpfinvalf
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 28257 . . . 4  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
2 xrge0base 27907 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
3 xrge00 27908 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
4 xrge0cmn 18655 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
6 xrge0tps 28159 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp )
8 esumpfinvalf.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
9 esumpfinvalf.2 . . . . . . 7  |-  F/ k
ph
10 esumpfinvalf.1 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
11 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
12 icossicc 11614 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
13 esumpfinvalf.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1412, 13sseldi 3487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
15 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
169, 10, 11, 14, 15fmptdF 27716 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
17 c0ex 9579 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  _V )
1916, 8, 18fdmfifsupp 7831 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) finSupp  0 )
20 xrge0topn 28160 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
2120eqcomi 2467 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
TopOpen `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
22 xrhaus 27818 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Haus
23 ovex 6298 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
24 resthaus 20036 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Haus  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Haus )
2522, 23, 24mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Haus
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)  e.  Haus )
272, 3, 5, 7, 8, 16, 19, 21, 26haustsmsid 20805 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  { ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
2827unieqd 4245 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. {
( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
291, 28syl5eq 2507 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
U. { ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
30 ovex 6298 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  e. 
_V
3130unisn 4250 . . 3  |-  U. {
( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) }  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )
3229, 31syl6eq 2511 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
33 nfcv 2616 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,) +oo )
349, 10, 33, 13, 15fmptdF 27716 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
35 esumpfinvallem 28303 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
368, 34, 35syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
37 rge0ssre 11631 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
38 ax-resscn 9538 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3937, 38sstri 3498 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
4039, 13sseldi 3487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4140sbt 2164 . . . . 5  |-  [ l  /  k ] ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
42 sbim 2138 . . . . . 6  |-  ( [ l  /  k ] ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( [ l  / 
k ] ( ph  /\  k  e.  A )  ->  [ l  / 
k ] B  e.  CC ) )
43 sban 2142 . . . . . . . 8  |-  ( [ l  /  k ] ( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( [
l  /  k ]
ph  /\  [ l  /  k ] k  e.  A ) )
449sbf 2123 . . . . . . . . 9  |-  ( [ l  /  k ]
ph 
<-> 
ph )
4510clelsb3f 27577 . . . . . . . . 9  |-  ( [ l  /  k ] k  e.  A  <->  l  e.  A )
4644, 45anbi12i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( [ l  /  k ] ph  /\  [ l  /  k ] k  e.  A )  <->  ( ph  /\  l  e.  A ) )
4743, 46bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( [ l  /  k ] ( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( ph  /\  l  e.  A ) )
48 sbsbc 3328 . . . . . . . 8  |-  ( [ l  /  k ] B  e.  CC  <->  [. l  / 
k ]. B  e.  CC )
49 vex 3109 . . . . . . . . 9  |-  l  e. 
_V
50 sbcel1g 3826 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  k ]. B  e.  CC  <->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC )
)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( [. l  /  k ]. B  e.  CC  <->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC )
5248, 51bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( [ l  /  k ] B  e.  CC  <->  [_ l  / 
k ]_ B  e.  CC )
5347, 52imbi12i 324 . . . . . 6  |-  ( ( [ l  /  k ] ( ph  /\  k  e.  A )  ->  [ l  /  k ] B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  l  e.  A )  ->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC ) )
5442, 53bitri 249 . . . . 5  |-  ( [ l  /  k ] ( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  l  e.  A )  ->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC ) )
5541, 54mpbi 208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  l  e.  A )  ->  [_ l  /  k ]_ B  e.  CC )
568, 55gsumfsum 18679 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( l  e.  A  |-> 
[_ l  /  k ]_ B ) )  = 
sum_ l  e.  A  [_ l  /  k ]_ B )
57 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ l A
58 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ l B
59 nfcsb1v 3436 . . . . 5  |-  F/_ k [_ l  /  k ]_ B
60 csbeq1a 3429 . . . . 5  |-  ( k  =  l  ->  B  =  [_ l  /  k ]_ B )
6110, 57, 58, 59, 60cbvmptf 27715 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( l  e.  A  |->  [_ l  /  k ]_ B )
6261oveq2i 6281 . . 3  |-  (fld  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (fld 
gsumg  ( l  e.  A  |-> 
[_ l  /  k ]_ B ) )
6360, 57, 10, 58, 59cbvsum 13599 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ l  e.  A  [_ l  /  k ]_ B
6456, 62, 633eqtr4g 2520 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  = 
sum_ k  e.  A  B )
6532, 36, 643eqtr2d 2501 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   F/wnf 1621   [wsb 1744    e. wcel 1823   F/_wnfc 2602   _Vcvv 3106   [.wsbc 3324   [_csb 3420   {csn 4016   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   +oocpnf 9614    <_ cle 9618   [,)cico 11534   [,]cicc 11535   sum_csu 13590   ↾s cress 14717   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911    gsumg cgsu 14930  ordTopcordt 14988   RR*scxrs 14989  CMndccmn 16997  ℂfldccnfld 18615   TopSpctps 19564   Hauscha 19976   tsums ctsu 20790  Σ*cesum 28256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-xadd 11322  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-ordt 14990  df-xrs 14991  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-cn 19895  df-haus 19983  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tsms 20791  df-esum 28257
This theorem is referenced by:  volfiniune  28439
  Copyright terms: Public domain W3C validator