Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinval Structured version   Unicode version

Theorem esumpfinval 26670
Description: The value of the extended sum of a finite set of nonnegative finite terms (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
esumpfinval.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumpfinval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem esumpfinval
StepHypRef Expression
1 df-esum 26630 . . . 4  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
2 xrge0base 26292 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
3 xrge00 26293 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
4 xrge0cmn 17981 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
6 xrge0tps 26518 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp )
8 esumpfinval.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
9 icossicc 11494 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
10 esumpfinval.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
119, 10sseldi 3463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
12 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
1311, 12fmptd 5977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
14 c0ex 9492 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  _V )
1612, 8, 10, 15fsuppmptdm 7743 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) finSupp  0 )
17 xrge0topn 26519 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
1817eqcomi 2467 . . . . . 6  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
TopOpen `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
19 xrhaus 26209 . . . . . . . 8  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Haus
20 ovex 6226 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V
21 resthaus 19105 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e. 
Haus  /\  ( 0 [,] +oo )  e.  _V )  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Haus )
2219, 20, 21mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Haus
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)  e.  Haus )
242, 3, 5, 7, 8, 13, 16, 18, 23haustsmsid 19844 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  { ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
2524unieqd 4210 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. {
( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
261, 25syl5eq 2507 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
U. { ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) } )
27 ovex 6226 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  e. 
_V
2827unisn 4215 . . 3  |-  U. {
( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) }  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )
2926, 28syl6eq 2511 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
3010, 12fmptd 5977 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
31 esumpfinvallem 26669 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
328, 30, 31syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
33 rge0ssre 11511 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
34 ax-resscn 9451 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
3533, 34sstri 3474 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
3635, 10sseldi 3463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
378, 36gsumfsum 18005 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( k  e.  A  |->  B ) )  = 
sum_ k  e.  A  B )
3829, 32, 373eqtr2d 2501 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   {csn 3986   U.cuni 4200    |-> cmpt 4459   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394   +oocpnf 9527    <_ cle 9531   [,)cico 11414   [,]cicc 11415   sum_csu 13282   ↾s cress 14294   ↾t crest 14479   TopOpenctopn 14480    gsumg cgsu 14499  ordTopcordt 14557   RR*scxrs 14558  CMndccmn 16399  ℂfldccnfld 17944   TopSpctps 18634   Hauscha 19045   tsums ctsu 19829  Σ*cesum 26629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-rp 11104  df-xadd 11202  df-ioo 11416  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-sum 13283  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-ordt 14559  df-xrs 14560  df-ps 15490  df-tsr 15491  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-cn 18964  df-haus 19052  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-tsms 19830  df-esum 26630
This theorem is referenced by:  hasheuni  26680  esumcvg  26681  sibfof  26871
  Copyright terms: Public domain W3C validator