Theorem esumnul 27727

Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
esumnul	|- Σ* x e. (/) A = 0

Proof of Theorem esumnul

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1609	. . . 4 |- F/ x T.
2		nfcv 2629	. . . 4 |- F/_ x (/)
3		0ex 4577	. . . . 5 |- (/) e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (/) e. _V )
5		ral0 3932	. . . . . 6 |- A. x e. (/) A e. ( 0 [,] +oo )
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. (/) A e. ( 0 [,] +oo ) )
7	6	r19.21bi 2833	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. (/) ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
8		pw0 4174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P (/) = { (/) }
9	8	ineq1i 3696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P (/) i^i Fin ) = ( { (/) } i^i Fin )
10		0fin 7747	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Fin
11		snssi 4171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. Fin -> { (/) } C_ Fin )
12		df-ss 3490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { (/) } C_ Fin <-> ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) } )
13	11, 12	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. Fin -> ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) } )
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) }
15	9, 14	eqtri 2496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P (/) i^i Fin ) = { (/) }
16	15	eleq2i 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) <-> y e. { (/) } )
17		elsn 4041	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
18	16, 17	sylbb 197	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> y = (/) )
19	18	mpteq1d 4528	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( x e. y |-> A ) = ( x e. (/) |-> A ) )
20		mpt0 5708	. . . . . . . 8 |- ( x e. (/) |-> A ) = (/)
21	19, 20	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( x e. y |-> A ) = (/) )
22	21	oveq2d 6300	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (/) ) )
23		xrge00 27364	. . . . . . 7 |- 0 = ( 0g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
24	23	gsum0 15832	. . . . . 6 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (/) ) = 0
25	22, 24	syl6eq 2524	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = 0 )
26	25	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ y e. ( ~P (/) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = 0 )
27	1, 2, 4, 7, 26	esumval 27725	. . 3 |- ( T. -> Σ* x e. (/) A = sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < ) )
28	27	trud 1388	. 2 |- Σ* x e. (/) A = sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < )
29		fconstmpt 5043	. . . . 5 |- ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) = ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 )
30	29	eqcomi 2480	. . . 4 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } )
31		0xr 9640	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
32	31	rgenw 2825	. . . . . 6 |- A. y e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 e. RR*
33		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 )
34	33	fnmpt 5707	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 e. RR* -> ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin ) )
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin )
36	3	snnz 4145	. . . . . 6 |- { (/) } =/= (/)
37	15, 36	eqnetri 2763	. . . . 5 |- ( ~P (/) i^i Fin ) =/= (/)
38		fconst5 6118	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin ) /\ ( ~P (/) i^i Fin ) =/= (/) ) -> ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) <-> ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } ) )
39	35, 37, 38	mp2an 672	. . . 4 |- ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) <-> ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } )
40	30, 39	mpbi 208	. . 3 |- ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 }
41	40	supeq1i 7907	. 2 |- sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < )
42		xrltso 11347	. . 3 |- < Or RR*
43		supsn 7930	. . 3 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
44	42, 31, 43	mp2an 672	. 2 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
45	28, 41, 44	3eqtri 2500	1 |- Σ* x e. (/) A = 0

Syntax hints:   <-> wb 184   = wceq 1379   T. wtru 1380   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   |-> cmpt 4505   Or wor 4799   X. cxp 4997   ran crn 5000   Fn wfn 5583  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   supcsup 7900   0cc0 9492   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627   < clt 9628   [,]cicc 11532   ↾_s cress 14491   gsum_g cgsu 14696   RR*scxrs 14755  Σ^*cesum 27708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-xadd 11319  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-ordt 14756  df-xrs 14757  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-ntr 19315  df-nei 19393  df-cn 19522  df-haus 19610  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-tsms 20388  df-esum 27709

This theorem is referenced by:  ddemeas  27876