Theorem esumnul 28862

Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
esumnul	|- Σ* x e. (/) A = 0

Proof of Theorem esumnul

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1676	. . . 4 |- F/ x T.
2		nfcv 2591	. . . 4 |- F/_ x (/)
3		0ex 4534	. . . . 5 |- (/) e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (/) e. _V )
5		ral0 3873	. . . . . 6 |- A. x e. (/) A e. ( 0 [,] +oo )
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. (/) A e. ( 0 [,] +oo ) )
7	6	r19.21bi 2756	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. (/) ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
8		pw0 4118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P (/) = { (/) }
9	8	ineq1i 3629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P (/) i^i Fin ) = ( { (/) } i^i Fin )
10		0fin 7796	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Fin
11		snssi 4115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. Fin -> { (/) } C_ Fin )
12		df-ss 3417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { (/) } C_ Fin <-> ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) } )
13	11, 12	sylib 200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. Fin -> ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) } )
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) }
15	9, 14	eqtri 2472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P (/) i^i Fin ) = { (/) }
16	15	eleq2i 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) <-> y e. { (/) } )
17		elsn 3981	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
18	16, 17	sylbb 201	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> y = (/) )
19	18	mpteq1d 4483	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( x e. y |-> A ) = ( x e. (/) |-> A ) )
20		mpt0 5703	. . . . . . . 8 |- ( x e. (/) |-> A ) = (/)
21	19, 20	syl6eq 2500	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( x e. y |-> A ) = (/) )
22	21	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (/) ) )
23		xrge00 28441	. . . . . . 7 |- 0 = ( 0g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
24	23	gsum0 16514	. . . . . 6 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (/) ) = 0
25	22, 24	syl6eq 2500	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = 0 )
26	25	adantl 468	. . . 4 |- ( ( T. /\ y e. ( ~P (/) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = 0 )
27	1, 2, 4, 7, 26	esumval 28860	. . 3 |- ( T. -> Σ* x e. (/) A = sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < ) )
28	27	trud 1452	. 2 |- Σ* x e. (/) A = sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < )
29		fconstmpt 4877	. . . . 5 |- ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) = ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 )
30	29	eqcomi 2459	. . . 4 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } )
31		0xr 9684	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
32	31	rgenw 2748	. . . . . 6 |- A. y e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 e. RR*
33		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 )
34	33	fnmpt 5702	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 e. RR* -> ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin ) )
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin )
36	3	snnz 4089	. . . . . 6 |- { (/) } =/= (/)
37	15, 36	eqnetri 2693	. . . . 5 |- ( ~P (/) i^i Fin ) =/= (/)
38		fconst5 6120	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin ) /\ ( ~P (/) i^i Fin ) =/= (/) ) -> ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) <-> ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } ) )
39	35, 37, 38	mp2an 677	. . . 4 |- ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) <-> ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } )
40	30, 39	mpbi 212	. . 3 |- ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 }
41	40	supeq1i 7958	. 2 |- sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < )
42		xrltso 11437	. . 3 |- < Or RR*
43		supsn 7985	. . 3 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
44	42, 31, 43	mp2an 677	. 2 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
45	28, 41, 44	3eqtri 2476	1 |- Σ* x e. (/) A = 0

Syntax hints:   <-> wb 188   = wceq 1443   T. wtru 1444   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   |-> cmpt 4460   Or wor 4753   X. cxp 4831   ran crn 4834   Fn wfn 5576  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   supcsup 7951   0cc0 9536   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671   < clt 9672   [,]cicc 11635   ↾_s cress 15115   gsum_g cgsu 15332   RR*scxrs 15391  Σ^*cesum 28841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-xadd 11407  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-ordt 15392  df-xrs 15393  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-ntr 20028  df-nei 20107  df-cn 20236  df-haus 20324  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-tsms 21134  df-esum 28842

This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  28882  esum2dlem  28906  ddemeas  29052  carsgclctunlem1  29142