Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumnul Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumnul 28862
Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumnul  |- Σ* x  e.  (/) A  =  0

Proof of Theorem esumnul
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1676 . . . 4  |-  F/ x T.
2 nfcv 2591 . . . 4  |-  F/_ x (/)
3 0ex 4534 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  e.  _V )
5 ral0 3873 . . . . . 6  |-  A. x  e.  (/)  A  e.  ( 0 [,] +oo )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  A. x  e.  (/)  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
76r19.21bi 2756 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  (/) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 pw0 4118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
98ineq1i 3629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =  ( { (/) }  i^i  Fin )
10 0fin 7796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
11 snssi 4115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  Fin  ->  { (/) }  C_  Fin )
12 df-ss 3417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
(/) }  C_  Fin  <->  ( { (/)
}  i^i  Fin )  =  { (/) } )
1311, 12sylib 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  Fin  ->  ( { (/)
}  i^i  Fin )  =  { (/) } )
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  i^i  Fin )  =  { (/) }
159, 14eqtri 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =  { (/) }
1615eleq2i 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 
<->  y  e.  { (/) } )
17 elsn 3981 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
1816, 17sylbb 201 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  y  =  (/) )
1918mpteq1d 4483 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  y  |->  A )  =  ( x  e.  (/)  |->  A ) )
20 mpt0 5703 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)
2119, 20syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  y  |->  A )  =  (/) )
2221oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  (/) ) )
23 xrge00 28441 . . . . . . 7  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2423gsum0 16514 . . . . . 6  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  (/) )  =  0
2522, 24syl6eq 2500 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  0 )
2625adantl 468 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  0 )
271, 2, 4, 7, 26esumval 28860 . . 3  |-  ( T. 
-> Σ* x  e.  (/) A  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  ) )
2827trud 1452 . 2  |- Σ* x  e.  (/) A  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  )
29 fconstmpt 4877 . . . . 5  |-  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  =  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )
3029eqcomi 2459 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )
31 0xr 9684 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
3231rgenw 2748 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 0  e.  RR*
33 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )
3433fnmpt 5702 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( ~P (/) 
i^i  Fin ) 0  e. 
RR*  ->  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin ) )
3532, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin )
363snnz 4089 . . . . . 6  |-  { (/) }  =/=  (/)
3715, 36eqnetri 2693 . . . . 5  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =/=  (/)
38 fconst5 6120 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =/=  (/) )  ->  (
( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } ) )
3935, 37, 38mp2an 677 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 } )
4030, 39mpbi 212 . . 3  |-  ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 }
4140supeq1i 7958 . 2  |-  sup ( ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
42 xrltso 11437 . . 3  |-  <  Or  RR*
43 supsn 7985 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
4442, 31, 43mp2an 677 . 2  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
4528, 41, 443eqtri 2476 1  |- Σ* x  e.  (/) A  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    = wceq 1443   T. wtru 1444    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967    |-> cmpt 4460    Or wor 4753    X. cxp 4831   ran crn 4834    Fn wfn 5576  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   supcsup 7951   0cc0 9536   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671    < clt 9672   [,]cicc 11635   ↾s cress 15115    gsumg cgsu 15332   RR*scxrs 15391  Σ*cesum 28841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-xadd 11407  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-ordt 15392  df-xrs 15393  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-ntr 20028  df-nei 20107  df-cn 20236  df-haus 20324  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-tsms 21134  df-esum 28842
This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  28882  esum2dlem  28906  ddemeas  29052  carsgclctunlem1  29142
  Copyright terms: Public domain W3C validator