Theorem esumnul 26514

Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
esumnul	|- Σ* x e. (/) A = 0

Proof of Theorem esumnul

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1599	. . . 4 |- F/ x T.
2		nfcv 2589	. . . 4 |- F/_ x (/)
3		0ex 4434	. . . . 5 |- (/) e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (/) e. _V )
5		ral0 3796	. . . . . 6 |- A. x e. (/) A e. ( 0 [,] +oo )
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. (/) A e. ( 0 [,] +oo ) )
7	6	r19.21bi 2826	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. (/) ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
8		pw0 4032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P (/) = { (/) }
9	8	ineq1i 3560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P (/) i^i Fin ) = ( { (/) } i^i Fin )
10		0fin 7552	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Fin
11		snssi 4029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. Fin -> { (/) } C_ Fin )
12		df-ss 3354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { (/) } C_ Fin <-> ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) } )
13	11, 12	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. Fin -> ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) } )
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) }
15	9, 14	eqtri 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P (/) i^i Fin ) = { (/) }
16	15	eleq2i 2507	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) <-> y e. { (/) } )
17		elsn 3903	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
18	16, 17	sylbb 197	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> y = (/) )
19	18	mpteq1d 4385	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( x e. y |-> A ) = ( x e. (/) |-> A ) )
20		mpt0 5550	. . . . . . . 8 |- ( x e. (/) |-> A ) = (/)
21	19, 20	syl6eq 2491	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( x e. y |-> A ) = (/) )
22	21	oveq2d 6119	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (/) ) )
23		xrge00 26159	. . . . . . 7 |- 0 = ( 0g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
24	23	gsum0 15522	. . . . . 6 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (/) ) = 0
25	22, 24	syl6eq 2491	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = 0 )
26	25	adantl 466	. . . 4 |- ( ( T. /\ y e. ( ~P (/) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = 0 )
27	1, 2, 4, 7, 26	esumval 26512	. . 3 |- ( T. -> Σ* x e. (/) A = sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < ) )
28	27	trud 1378	. 2 |- Σ* x e. (/) A = sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < )
29		fconstmpt 4894	. . . . 5 |- ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) = ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 )
30	29	eqcomi 2447	. . . 4 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } )
31		0xr 9442	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
32	31	rgenw 2795	. . . . . 6 |- A. y e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 e. RR*
33		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 )
34	33	fnmpt 5549	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 e. RR* -> ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin ) )
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin )
36	3	snnz 4005	. . . . . 6 |- { (/) } =/= (/)
37	15, 36	eqnetri 2637	. . . . 5 |- ( ~P (/) i^i Fin ) =/= (/)
38		fconst5 5947	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin ) /\ ( ~P (/) i^i Fin ) =/= (/) ) -> ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) <-> ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } ) )
39	35, 37, 38	mp2an 672	. . . 4 |- ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) <-> ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } )
40	30, 39	mpbi 208	. . 3 |- ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 }
41	40	supeq1i 7709	. 2 |- sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < )
42		xrltso 11130	. . 3 |- < Or RR*
43		supsn 7731	. . 3 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
44	42, 31, 43	mp2an 672	. 2 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
45	28, 41, 44	3eqtri 2467	1 |- Σ* x e. (/) A = 0

Syntax hints:   <-> wb 184   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   =/= wne 2618   A.wral 2727   _Vcvv 2984   i^i cin 3339   C_ wss 3340   (/)c0 3649   ~Pcpw 3872   {csn 3889   e. cmpt 4362   Or wor 4652   X. cxp 4850   ran crn 4853   Fn wfn 5425  (class class class)co 6103   Fincfn 7322   supcsup 7702   0cc0 9294   +oocpnf 9427   RR*cxr 9429   < clt 9430   [,]cicc 11315   ↾_s cress 14187   gsum_g cgsu 14391   RR*scxrs 14450  Σ^*cesum 26495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-xadd 11102  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-ordt 14451  df-xrs 14452  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-ps 15382  df-tsr 15383  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-ntr 18636  df-nei 18714  df-cn 18843  df-haus 18931  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-tsms 19709  df-esum 26496

This theorem is referenced by:  ddemeas  26664