Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumnul Structured version   Unicode version

Theorem esumnul 26514
Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumnul  |- Σ* x  e.  (/) A  =  0

Proof of Theorem esumnul
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1599 . . . 4  |-  F/ x T.
2 nfcv 2589 . . . 4  |-  F/_ x (/)
3 0ex 4434 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  e.  _V )
5 ral0 3796 . . . . . 6  |-  A. x  e.  (/)  A  e.  ( 0 [,] +oo )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  A. x  e.  (/)  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
76r19.21bi 2826 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  (/) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 pw0 4032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
98ineq1i 3560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =  ( { (/) }  i^i  Fin )
10 0fin 7552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
11 snssi 4029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  Fin  ->  { (/) }  C_  Fin )
12 df-ss 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
(/) }  C_  Fin  <->  ( { (/)
}  i^i  Fin )  =  { (/) } )
1311, 12sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  Fin  ->  ( { (/)
}  i^i  Fin )  =  { (/) } )
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  i^i  Fin )  =  { (/) }
159, 14eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =  { (/) }
1615eleq2i 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 
<->  y  e.  { (/) } )
17 elsn 3903 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
1816, 17sylbb 197 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  y  =  (/) )
1918mpteq1d 4385 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  y  |->  A )  =  ( x  e.  (/)  |->  A ) )
20 mpt0 5550 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)
2119, 20syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  y  |->  A )  =  (/) )
2221oveq2d 6119 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  (/) ) )
23 xrge00 26159 . . . . . . 7  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2423gsum0 15522 . . . . . 6  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  (/) )  =  0
2522, 24syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  0 )
2625adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  0 )
271, 2, 4, 7, 26esumval 26512 . . 3  |-  ( T. 
-> Σ* x  e.  (/) A  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  ) )
2827trud 1378 . 2  |- Σ* x  e.  (/) A  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  )
29 fconstmpt 4894 . . . . 5  |-  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  =  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )
3029eqcomi 2447 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )
31 0xr 9442 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
3231rgenw 2795 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 0  e.  RR*
33 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )
3433fnmpt 5549 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( ~P (/) 
i^i  Fin ) 0  e. 
RR*  ->  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin ) )
3532, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin )
363snnz 4005 . . . . . 6  |-  { (/) }  =/=  (/)
3715, 36eqnetri 2637 . . . . 5  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =/=  (/)
38 fconst5 5947 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =/=  (/) )  ->  (
( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } ) )
3935, 37, 38mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 } )
4030, 39mpbi 208 . . 3  |-  ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 }
4140supeq1i 7709 . 2  |-  sup ( ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
42 xrltso 11130 . . 3  |-  <  Or  RR*
43 supsn 7731 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
4442, 31, 43mp2an 672 . 2  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
4528, 41, 443eqtri 2467 1  |- Σ* x  e.  (/) A  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   _Vcvv 2984    i^i cin 3339    C_ wss 3340   (/)c0 3649   ~Pcpw 3872   {csn 3889    e. cmpt 4362    Or wor 4652    X. cxp 4850   ran crn 4853    Fn wfn 5425  (class class class)co 6103   Fincfn 7322   supcsup 7702   0cc0 9294   +oocpnf 9427   RR*cxr 9429    < clt 9430   [,]cicc 11315   ↾s cress 14187    gsumg cgsu 14391   RR*scxrs 14450  Σ*cesum 26495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-xadd 11102  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-ordt 14451  df-xrs 14452  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-ps 15382  df-tsr 15383  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-ntr 18636  df-nei 18714  df-cn 18843  df-haus 18931  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-tsms 19709  df-esum 26496
This theorem is referenced by:  ddemeas  26664
  Copyright terms: Public domain W3C validator