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Theorem esumnul 28734
Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
esumnul  |- Σ* x  e.  (/) A  =  0

Proof of Theorem esumnul
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1673 . . . 4  |-  F/ x T.
2 nfcv 2582 . . . 4  |-  F/_ x (/)
3 0ex 4548 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  (/)  e.  _V )
5 ral0 3899 . . . . . 6  |-  A. x  e.  (/)  A  e.  ( 0 [,] +oo )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  A. x  e.  (/)  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
76r19.21bi 2792 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  (/) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 pw0 4141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
98ineq1i 3657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =  ( { (/) }  i^i  Fin )
10 0fin 7796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
11 snssi 4138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e.  Fin  ->  { (/) }  C_  Fin )
12 df-ss 3447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
(/) }  C_  Fin  <->  ( { (/)
}  i^i  Fin )  =  { (/) } )
1311, 12sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  Fin  ->  ( { (/)
}  i^i  Fin )  =  { (/) } )
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  i^i  Fin )  =  { (/) }
159, 14eqtri 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =  { (/) }
1615eleq2i 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 
<->  y  e.  { (/) } )
17 elsn 4007 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
1816, 17sylbb 200 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  y  =  (/) )
1918mpteq1d 4498 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  y  |->  A )  =  ( x  e.  (/)  |->  A ) )
20 mpt0 5714 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (/)  |->  A )  =  (/)
2119, 20syl6eq 2477 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  y  |->  A )  =  (/) )
2221oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  (/) ) )
23 xrge00 28311 . . . . . . 7  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2423gsum0 16465 . . . . . 6  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  (/) )  =  0
2522, 24syl6eq 2477 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  ->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  0 )
2625adantl 467 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( x  e.  y 
|->  A ) )  =  0 )
271, 2, 4, 7, 26esumval 28732 . . 3  |-  ( T. 
-> Σ* x  e.  (/) A  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  ) )
2827trud 1446 . 2  |- Σ* x  e.  (/) A  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  )
29 fconstmpt 4889 . . . . 5  |-  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  =  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )
3029eqcomi 2433 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )
31 0xr 9676 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
3231rgenw 2784 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin ) 0  e.  RR*
33 eqid 2420 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )
3433fnmpt 5713 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( ~P (/) 
i^i  Fin ) 0  e. 
RR*  ->  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin ) )
3532, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin )
363snnz 4112 . . . . . 6  |-  { (/) }  =/=  (/)
3715, 36eqnetri 2718 . . . . 5  |-  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =/=  (/)
38 fconst5 6128 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P (/)  i^i  Fin )  /\  ( ~P (/)  i^i  Fin )  =/=  (/) )  ->  (
( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } ) )
3935, 37, 38mp2an 676 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P (/)  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 } )
4030, 39mpbi 211 . . 3  |-  ran  (
y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 }
4140supeq1i 7958 . 2  |-  sup ( ran  ( y  e.  ( ~P (/)  i^i  Fin )  |->  0 ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
42 xrltso 11429 . . 3  |-  <  Or  RR*
43 supsn 7985 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
4442, 31, 43mp2an 676 . 2  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
4528, 41, 443eqtri 2453 1  |- Σ* x  e.  (/) A  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   _Vcvv 3078    i^i cin 3432    C_ wss 3433   (/)c0 3758   ~Pcpw 3976   {csn 3993    |-> cmpt 4475    Or wor 4765    X. cxp 4843   ran crn 4846    Fn wfn 5587  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   supcsup 7951   0cc0 9528   +oocpnf 9661   RR*cxr 9663    < clt 9664   [,]cicc 11627   ↾s cress 15074    gsumg cgsu 15291   RR*scxrs 15350  Σ*cesum 28713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-xadd 11399  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-ordt 15351  df-xrs 15352  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-ps 16390  df-tsr 16391  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-ntr 19959  df-nei 20038  df-cn 20167  df-haus 20255  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-tsms 21065  df-esum 28714
This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  28754  esum2dlem  28778  ddemeas  28924  carsgclctunlem1  29004
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