Theorem esumnul 28734

Description: Extended sum over the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
esumnul	|- Σ* x e. (/) A = 0

Proof of Theorem esumnul

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1673	. . . 4 |- F/ x T.
2		nfcv 2582	. . . 4 |- F/_ x (/)
3		0ex 4548	. . . . 5 |- (/) e. _V
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (/) e. _V )
5		ral0 3899	. . . . . 6 |- A. x e. (/) A e. ( 0 [,] +oo )
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. (/) A e. ( 0 [,] +oo ) )
7	6	r19.21bi 2792	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. (/) ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
8		pw0 4141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P (/) = { (/) }
9	8	ineq1i 3657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P (/) i^i Fin ) = ( { (/) } i^i Fin )
10		0fin 7796	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Fin
11		snssi 4138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. Fin -> { (/) } C_ Fin )
12		df-ss 3447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { (/) } C_ Fin <-> ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) } )
13	11, 12	sylib 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. Fin -> ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) } )
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } i^i Fin ) = { (/) }
15	9, 14	eqtri 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P (/) i^i Fin ) = { (/) }
16	15	eleq2i 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) <-> y e. { (/) } )
17		elsn 4007	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
18	16, 17	sylbb 200	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> y = (/) )
19	18	mpteq1d 4498	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( x e. y |-> A ) = ( x e. (/) |-> A ) )
20		mpt0 5714	. . . . . . . 8 |- ( x e. (/) |-> A ) = (/)
21	19, 20	syl6eq 2477	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( x e. y |-> A ) = (/) )
22	21	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (/) ) )
23		xrge00 28311	. . . . . . 7 |- 0 = ( 0g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
24	23	gsum0 16465	. . . . . 6 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (/) ) = 0
25	22, 24	syl6eq 2477	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = 0 )
26	25	adantl 467	. . . 4 |- ( ( T. /\ y e. ( ~P (/) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( x e. y |-> A ) ) = 0 )
27	1, 2, 4, 7, 26	esumval 28732	. . 3 |- ( T. -> Σ* x e. (/) A = sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < ) )
28	27	trud 1446	. 2 |- Σ* x e. (/) A = sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < )
29		fconstmpt 4889	. . . . 5 |- ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) = ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 )
30	29	eqcomi 2433	. . . 4 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } )
31		0xr 9676	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
32	31	rgenw 2784	. . . . . 6 |- A. y e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 e. RR*
33		eqid 2420	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 )
34	33	fnmpt 5713	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 e. RR* -> ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin ) )
35	32, 34	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin )
36	3	snnz 4112	. . . . . 6 |- { (/) } =/= (/)
37	15, 36	eqnetri 2718	. . . . 5 |- ( ~P (/) i^i Fin ) =/= (/)
38		fconst5 6128	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) Fn ( ~P (/) i^i Fin ) /\ ( ~P (/) i^i Fin ) =/= (/) ) -> ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) <-> ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } ) )
39	35, 37, 38	mp2an 676	. . . 4 |- ( ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = ( ( ~P (/) i^i Fin ) X. { 0 } ) <-> ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 } )
40	30, 39	mpbi 211	. . 3 |- ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) = { 0 }
41	40	supeq1i 7958	. 2 |- sup ( ran ( y e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> 0 ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < )
42		xrltso 11429	. . 3 |- < Or RR*
43		supsn 7985	. . 3 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
44	42, 31, 43	mp2an 676	. 2 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
45	28, 41, 44	3eqtri 2453	1 |- Σ* x e. (/) A = 0

Syntax hints:   <-> wb 187   = wceq 1437   T. wtru 1438   e. wcel 1867   =/= wne 2616   A.wral 2773   _Vcvv 3078   i^i cin 3432   C_ wss 3433   (/)c0 3758   ~Pcpw 3976   {csn 3993   |-> cmpt 4475   Or wor 4765   X. cxp 4843   ran crn 4846   Fn wfn 5587  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   supcsup 7951   0cc0 9528   +oocpnf 9661   RR*cxr 9663   < clt 9664   [,]cicc 11627   ↾_s cress 15074   gsum_g cgsu 15291   RR*scxrs 15350  Σ^*cesum 28713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-xadd 11399  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-ordt 15351  df-xrs 15352  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-ps 16390  df-tsr 16391  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-ntr 19959  df-nei 20038  df-cn 20167  df-haus 20255  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-tsms 21065  df-esum 28714

This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  28754  esum2dlem  28778  ddemeas  28924  carsgclctunlem1  29004