Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc2 Structured version   Unicode version

Theorem esummulc2 26536
Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esummulc2.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esummulc2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esummulc2  |-  ( ph  ->  ( C xeΣ* k  e.  A B )  = Σ* k  e.  A ( C xe B ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    k, V    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem esummulc2
StepHypRef Expression
1 icossxr 11385 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
2 esummulc2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
31, 2sseldi 3359 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
4 iccssxr 11383 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
5 esummulc2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 esummulc2.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
76ralrimiva 2804 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ k A
98esumcl 26491 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
105, 7, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114, 10sseldi 3359 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
12 xmulcom 11234 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  A B  e.  RR* )  -> 
( C xeΣ* k  e.  A B )  =  (Σ* k  e.  A B xe C ) )
133, 11, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( C xeΣ* k  e.  A B )  =  (Σ* k  e.  A B xe C ) )
145, 6, 2esummulc1 26535 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B xe C )  = Σ* k  e.  A ( B xe C ) )
154, 6sseldi 3359 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
163adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR* )
17 xmulcom 11234 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  =  ( C xe B ) )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B xe C )  =  ( C xe B ) )
1918esumeq2dv 26499 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A ( B xe C )  = Σ* k  e.  A ( C xe B ) )
2013, 14, 193eqtrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( C xeΣ* k  e.  A B )  = Σ* k  e.  A ( C xe B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720  (class class class)co 6096   0cc0 9287   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422   xecxmu 11093   [,)cico 11307   [,]cicc 11308  Σ*cesum 26488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-ordt 14444  df-xrs 14445  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-ps 15375  df-tsr 15376  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-ntr 18629  df-nei 18707  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-tsms 19702  df-esum 26489
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator