Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc2 Structured version   Unicode version

Theorem esummulc2 27904
Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esummulc2.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esummulc2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esummulc2  |-  ( ph  ->  ( C xeΣ* k  e.  A B )  = Σ* k  e.  A ( C xe B ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    k, V    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem esummulc2
StepHypRef Expression
1 icossxr 11621 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
2 esummulc2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
31, 2sseldi 3507 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
4 iccssxr 11619 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
5 esummulc2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 esummulc2.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
76ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ k A
98esumcl 27859 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
105, 7, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
114, 10sseldi 3507 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
12 xmulcom 11470 . . 3  |-  ( ( C  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  A B  e.  RR* )  -> 
( C xeΣ* k  e.  A B )  =  (Σ* k  e.  A B xe C ) )
133, 11, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( C xeΣ* k  e.  A B )  =  (Σ* k  e.  A B xe C ) )
145, 6, 2esummulc1 27903 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B xe C )  = Σ* k  e.  A ( B xe C ) )
154, 6sseldi 3507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
163adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR* )
17 xmulcom 11470 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  =  ( C xe B ) )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B xe C )  =  ( C xe B ) )
1918esumeq2dv 27867 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A ( B xe C )  = Σ* k  e.  A ( C xe B ) )
2013, 14, 193eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( C xeΣ* k  e.  A B )  = Σ* k  e.  A ( C xe B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817  (class class class)co 6295   0cc0 9504   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639   xecxmu 11329   [,)cico 11543   [,]cicc 11544  Σ*cesum 27856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-ordt 14773  df-xrs 14774  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-ps 15704  df-tsr 15705  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-ntr 19389  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-tsms 20493  df-esum 27857
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator