Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc1 Unicode version

Theorem esummulc1 24424
 Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a
esummulc2.b
esummulc2.c
Assertion
Ref Expression
esummulc1 Σ* Σ*
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem esummulc1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3 ordTop t ordTop t
2 esummulc2.a . . 3
3 esummulc2.b . . 3
4 eqid 2404 . . . 4
5 esummulc2.c . . . 4
61, 4, 5xrge0mulc1cn 24280 . . 3 ordTop t ordTop t
7 eqidd 2405 . . . 4
8 oveq1 6047 . . . . 5
9 icossxr 10951 . . . . . . 7
109, 5sseldi 3306 . . . . . 6
11 xmul02 10803 . . . . . 6
1210, 11syl 16 . . . . 5
138, 12sylan9eqr 2458 . . . 4
14 0xr 9087 . . . . . 6
15 pnfxr 10669 . . . . . 6
16 pnfge 10683 . . . . . . 7
1714, 16ax-mp 8 . . . . . 6
18 lbicc2 10969 . . . . . 6
1914, 15, 17, 18mp3an 1279 . . . . 5
2019a1i 11 . . . 4
217, 13, 20, 20fvmptd 5769 . . 3
22 simp2 958 . . . . 5
23 simp3 959 . . . . 5
24 icossicc 24082 . . . . . 6
2553ad2ant1 978 . . . . . 6
2624, 25sseldi 3306 . . . . 5
27 xrge0adddir 24168 . . . . 5
2822, 23, 26, 27syl3anc 1184 . . . 4
29 eqidd 2405 . . . . 5
30 simpr 448 . . . . . 6
3130oveq1d 6055 . . . . 5
32 ge0xaddcl 10967 . . . . . 6
33323adant1 975 . . . . 5
34 ovex 6065 . . . . . 6
3534a1i 11 . . . . 5
3629, 31, 33, 35fvmptd 5769 . . . 4
37 simpr 448 . . . . . . 7
3837oveq1d 6055 . . . . . 6
39 ovex 6065 . . . . . . 7
4039a1i 11 . . . . . 6
4129, 38, 22, 40fvmptd 5769 . . . . 5
42 simpr 448 . . . . . . 7
4342oveq1d 6055 . . . . . 6
44 ovex 6065 . . . . . . 7
4544a1i 11 . . . . . 6
4629, 43, 23, 45fvmptd 5769 . . . . 5
4741, 46oveq12d 6058 . . . 4
4828, 36, 473eqtr4d 2446 . . 3
491, 2, 3, 6, 21, 48esumcocn 24423 . 2 Σ* Σ*
50 simpr 448 . . . 4 Σ* Σ*
5150oveq1d 6055 . . 3 Σ* Σ*
523ralrimiva 2749 . . . 4
53 nfcv 2540 . . . . 5
5453esumcl 24380 . . . 4 Σ*
552, 52, 54syl2anc 643 . . 3 Σ*
56 ovex 6065 . . . 4 Σ*
5756a1i 11 . . 3 Σ*
587, 51, 55, 57fvmptd 5769 . 2 Σ* Σ*
59 eqidd 2405 . . . 4
60 simpr 448 . . . . 5
6160oveq1d 6055 . . . 4
62 ovex 6065 . . . . 5
6362a1i 11 . . . 4
6459, 61, 3, 63fvmptd 5769 . . 3
6564esumeq2dv 24388 . 2 Σ* Σ*
6649, 58, 653eqtr3d 2444 1 Σ* Σ*
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  cvv 2916   class class class wbr 4172   cmpt 4226  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc0 8946   cpnf 9073  cxr 9075   cle 9077  cxad 10664  cxmu 10665  cico 10874  cicc 10875   ↾t crest 13603  ordTopcordt 13676  Σ*cesum 24377 This theorem is referenced by:  esummulc2  24425  esumdivc  24426 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-ntr 17039  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-tsms 18109  df-esum 24378
 Copyright terms: Public domain W3C validator