Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc1 Structured version   Unicode version

Theorem esummulc1 27912
 Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a
esummulc2.b
esummulc2.c
Assertion
Ref Expression
esummulc1 Σ* Σ*
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem esummulc1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3 ordTop t ordTop t
2 esummulc2.a . . 3
3 esummulc2.b . . 3
4 eqid 2467 . . . 4
5 esummulc2.c . . . 4
61, 4, 5xrge0mulc1cn 27748 . . 3 ordTop t ordTop t
7 eqidd 2468 . . . 4
8 oveq1 6302 . . . . 5
9 icossxr 11621 . . . . . . 7
109, 5sseldi 3507 . . . . . 6
11 xmul02 11472 . . . . . 6
1210, 11syl 16 . . . . 5
138, 12sylan9eqr 2530 . . . 4
14 0e0iccpnf 11643 . . . . 5
1514a1i 11 . . . 4
167, 13, 15, 15fvmptd 5962 . . 3
17 simp2 997 . . . . 5
18 simp3 998 . . . . 5
19 icossicc 11623 . . . . . 6
2053ad2ant1 1017 . . . . . 6
2119, 20sseldi 3507 . . . . 5
22 xrge0adddir 27506 . . . . 5
2317, 18, 21, 22syl3anc 1228 . . . 4
24 eqidd 2468 . . . . 5
25 simpr 461 . . . . . 6
2625oveq1d 6310 . . . . 5
27 ge0xaddcl 11646 . . . . . 6
28273adant1 1014 . . . . 5
29 ovex 6320 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
3124, 26, 28, 30fvmptd 5962 . . . 4
32 simpr 461 . . . . . . 7
3332oveq1d 6310 . . . . . 6
34 ovex 6320 . . . . . . 7
3534a1i 11 . . . . . 6
3624, 33, 17, 35fvmptd 5962 . . . . 5
37 simpr 461 . . . . . . 7
3837oveq1d 6310 . . . . . 6
39 ovex 6320 . . . . . . 7
4039a1i 11 . . . . . 6
4124, 38, 18, 40fvmptd 5962 . . . . 5
4236, 41oveq12d 6313 . . . 4
4323, 31, 423eqtr4d 2518 . . 3
441, 2, 3, 6, 16, 43esumcocn 27911 . 2 Σ* Σ*
45 simpr 461 . . . 4 Σ* Σ*
4645oveq1d 6310 . . 3 Σ* Σ*
473ralrimiva 2881 . . . 4
48 nfcv 2629 . . . . 5
4948esumcl 27868 . . . 4 Σ*
502, 47, 49syl2anc 661 . . 3 Σ*
51 ovex 6320 . . . 4 Σ*
5251a1i 11 . . 3 Σ*
537, 46, 50, 52fvmptd 5962 . 2 Σ* Σ*
54 eqidd 2468 . . . 4
55 simpr 461 . . . . 5
5655oveq1d 6310 . . . 4
57 ovex 6320 . . . . 5
5857a1i 11 . . . 4
5954, 56, 3, 58fvmptd 5962 . . 3
6059esumeq2dv 27876 . 2 Σ* Σ*
6144, 53, 603eqtr3d 2516 1 Σ* Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118   cmpt 4511  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc0 9504   cpnf 9637  cxr 9639   cle 9641  cxad 11328  cxmu 11329  cico 11543  cicc 11544   ↾t crest 14693  ordTopcordt 14771  Σ*cesum 27865 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-ordt 14773  df-xrs 14774  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-ps 15704  df-tsr 15705  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-ntr 19389  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-tsms 20493  df-esum 27866 This theorem is referenced by:  esummulc2  27913  esumdivc  27914
 Copyright terms: Public domain W3C validator