Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummono Structured version   Unicode version

Theorem esummono 26508
Description: Extended sum is monotonic. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummono.f  |-  F/ k
ph
esummono.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
esummono.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esummono.a  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
Assertion
Ref Expression
esummono  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  <_ Σ* k  e.  C B )
Distinct variable groups:    A, k    C, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)    V( k)

Proof of Theorem esummono
StepHypRef Expression
1 esummono.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
2 difexg 4439 . . . . . 6  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  \  A )  e. 
_V )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  \  A
)  e.  _V )
4 esummono.f . . . . . 6  |-  F/ k
ph
5 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( C  \  A ) )  ->  k  e.  ( C  \  A ) )
65eldifad 3339 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( C  \  A ) )  ->  k  e.  C )
7 esummono.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
86, 7syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( C  \  A ) )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
98ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( C  \  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
104, 9ralrimi 2796 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( C  \  A ) B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11 nfcv 2578 . . . . . 6  |-  F/_ k
( C  \  A
)
1211esumcl 26485 . . . . 5  |-  ( ( ( C  \  A
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( C 
\  A ) B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( C  \  A ) B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
133, 10, 12syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( C  \  A ) B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 elxrge0 11393 . . . . 5  |-  (Σ* k  e.  ( C  \  A
) B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  (Σ* k  e.  ( C  \  A ) B  e. 
RR*  /\  0  <_ Σ* k  e.  ( C  \  A
) B ) )
1514simprbi 464 . . . 4  |-  (Σ* k  e.  ( C  \  A
) B  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ Σ* k  e.  ( C  \  A ) B )
1613, 15syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_ Σ* k  e.  ( C  \  A ) B )
17 iccssxr 11377 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
18 esummono.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
191, 18ssexd 4438 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
2018sselda 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  C )
2120, 7syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2221ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
234, 22ralrimi 2796 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
24 nfcv 2578 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
2524esumcl 26485 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2619, 23, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2717, 26sseldi 3353 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
2817, 13sseldi 3353 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( C  \  A ) B  e. 
RR* )
29 xraddge02 26049 . . . 4  |-  ( (Σ* k  e.  A B  e. 
RR*  /\ Σ* k  e.  ( C  \  A ) B  e.  RR* )  ->  ( 0  <_ Σ* k  e.  ( C  \  A ) B  -> Σ* k  e.  A B  <_  (Σ* k  e.  A B +eΣ* k  e.  ( C 
\  A ) B ) ) )
3027, 28, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_ Σ* k  e.  ( C  \  A ) B  -> Σ* k  e.  A B  <_  (Σ* k  e.  A B +eΣ* k  e.  ( C 
\  A ) B ) ) )
3116, 30mpd 15 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  <_ 
(Σ* k  e.  A B +eΣ* k  e.  ( C 
\  A ) B ) )
32 disjdif 3750 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( C  \  A ) )  =  (/)
3332a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( C  \  A ) )  =  (/) )
344, 24, 11, 19, 3, 33, 21, 8esumsplit 26505 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( A  u.  ( C  \  A ) ) B  =  (Σ* k  e.  A B +eΣ*
k  e.  ( C 
\  A ) B ) )
35 undif 3758 . . . . 5  |-  ( A 
C_  C  <->  ( A  u.  ( C  \  A
) )  =  C )
3618, 35sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( C  \  A ) )  =  C )
374, 36esumeq1d 26490 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  ( A  u.  ( C  \  A ) ) B  = Σ* k  e.  C B )
3834, 37eqtr3d 2476 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B +eΣ* k  e.  ( C 
\  A ) B )  = Σ* k  e.  C B )
3931, 38breqtrd 4315 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  <_ Σ* k  e.  C B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   A.wral 2714   _Vcvv 2971    \ cdif 3324    u. cun 3325    i^i cin 3326    C_ wss 3327   (/)c0 3636   class class class wbr 4291  (class class class)co 6090   0cc0 9281   +oocpnf 9414   RR*cxr 9416    <_ cle 9418   +ecxad 11086   [,]cicc 11302  Σ*cesum 26482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ioc 11304  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-fac 12051  df-bc 12078  df-hash 12103  df-shft 12555  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-limsup 12948  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163  df-ef 13352  df-sin 13354  df-cos 13355  df-pi 13357  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-ordt 14438  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-ps 15369  df-tsr 15370  df-mnd 15414  df-plusf 15415  df-mhm 15463  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-cring 16647  df-subrg 16862  df-abv 16901  df-lmod 16949  df-scaf 16950  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701  df-lp 18739  df-perf 18740  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-haus 18918  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-tmd 19642  df-tgp 19643  df-tsms 19696  df-trg 19733  df-xms 19894  df-ms 19895  df-tms 19896  df-nm 20174  df-ngp 20175  df-nrg 20177  df-nlm 20178  df-ii 20452  df-cncf 20453  df-limc 21340  df-dv 21341  df-log 22007  df-esum 26483
This theorem is referenced by:  esumfsup  26518
  Copyright terms: Public domain W3C validator