Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumlub Structured version   Unicode version

Theorem esumlub 28232
 Description: The extended sum is the lowest upper bound for the partial sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumlub.f
esumlub.0
esumlub.1
esumlub.2
esumlub.3 Σ*
Assertion
Ref Expression
esumlub Σ*
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   ()

Proof of Theorem esumlub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumlub.3 . . . 4 Σ*
2 esumlub.f . . . . . . 7
3 nfcv 2619 . . . . . . 7
4 esumlub.0 . . . . . . 7
5 esumlub.1 . . . . . . 7
6 eqidd 2458 . . . . . . 7 s g s g
72, 3, 4, 5, 6esumval 28220 . . . . . 6 Σ* s g
87breq2d 4468 . . . . 5 Σ* s g
9 iccssxr 11632 . . . . . . . . 9
10 xrge0base 27833 . . . . . . . . . 10 s
11 xrge0cmn 18587 . . . . . . . . . . 11 s CMnd
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 s CMnd
13 inss2 3715 . . . . . . . . . . 11
14 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
1513, 14sseldi 3497 . . . . . . . . . 10
16 nfv 1708 . . . . . . . . . . . 12
172, 16nfan 1929 . . . . . . . . . . 11
18 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13
19 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . . 14
23 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 23sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . 13
2518, 24, 5syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
2625ex 434 . . . . . . . . . . 11
2717, 26ralrimi 2857 . . . . . . . . . 10
2810, 12, 15, 27gsummptcl 17121 . . . . . . . . 9 s g
299, 28sseldi 3497 . . . . . . . 8 s g
3029ralrimiva 2871 . . . . . . 7 s g
31 eqid 2457 . . . . . . . 8 s g s g
3231rnmptss 6061 . . . . . . 7 s g s g
3330, 32syl 16 . . . . . 6 s g
34 esumlub.2 . . . . . 6
35 supxrlub 11542 . . . . . 6 s g s g s g
3633, 34, 35syl2anc 661 . . . . 5 s g s g
378, 36bitrd 253 . . . 4 Σ* s g
381, 37mpbid 210 . . 3 s g
39 ovex 6324 . . . . 5 s g
4039a1i 11 . . . 4 s g
41 mpteq1 4537 . . . . . . . 8
4241oveq2d 6312 . . . . . . 7 s g s g
4342cbvmptv 4548 . . . . . 6 s g s g
4443, 39elrnmpti 5263 . . . . 5 s g s g
4544a1i 11 . . . 4 s g s g
46 simpr 461 . . . . 5 s g s g
4746breq2d 4468 . . . 4 s g s g
4840, 45, 47rexxfr2d 4673 . . 3 s g s g
4938, 48mpbid 210 . 2 s g
50 nfv 1708 . . . . . . 7
512, 50nfan 1929 . . . . . 6
52 simpr 461 . . . . . . 7
5313, 52sseldi 3497 . . . . . 6
54 simpll 753 . . . . . . 7
5519sseli 3495 . . . . . . . . . 10
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
5756elpwid 4025 . . . . . . . 8
58 simpr 461 . . . . . . . 8
5957, 58sseldd 3500 . . . . . . 7
6054, 59, 5syl2anc 661 . . . . . 6
6151, 53, 60gsumesum 28231 . . . . 5 s g Σ*
6261breq2d 4468 . . . 4 s g Σ*
6362biimpd 207 . . 3 s g Σ*
6463reximdva 2932 . 2 s g Σ*
6549, 64mpd 15 1 Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395  wnf 1617   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808  cvv 3109   cin 3470   wss 3471  cpw 4015   class class class wbr 4456   cmpt 4515   crn 5009  (class class class)co 6296  cfn 7535  csup 7918  cc0 9509   cpnf 9642  cxr 9644   clt 9645  cicc 11557   ↾s cress 14645   g cgsu 14858  cxrs 14917  CMndccmn 16925  Σ*cesum 28201 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-ordt 14918  df-xrs 14919  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-ntr 19648  df-nei 19726  df-cn 19855  df-haus 19943  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-tsms 20751  df-esum 28202 This theorem is referenced by:  esumfsup  28242  esum2d  28265
 Copyright terms: Public domain W3C validator