Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumle Structured version   Unicode version

Theorem esumle 26506
Description: If all of the terms of an extended sums compare, so do the sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumadd.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumadd.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumadd.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
esumle  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  <_ Σ* k  e.  A C )
Distinct variable groups:    A, k    k, V    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem esumle
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11376 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2 esumadd.0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumadd.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
43ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
65esumcl 26484 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
72, 4, 6syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
81, 7sseldi 3352 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
9 esumadd.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
101, 9sseldi 3352 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR* )
111, 3sseldi 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
1211xnegcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -e
B  e.  RR* )
1310, 12xaddcld 11262 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C +e  -e
B )  e.  RR* )
14 esumle.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
15 xsubge0 11222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( C +e  -e B )  <->  B  <_  C ) )
1610, 11, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
0  <_  ( C +e  -e B )  <->  B  <_  C ) )
1714, 16mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( C +e  -e B ) )
18 pnfge 11108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C +e  -e B )  e. 
RR*  ->  ( C +e  -e B )  <_ +oo )
1913, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C +e  -e
B )  <_ +oo )
20 0xr 9428 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
21 pnfxr 11090 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
22 elicc1 11342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( C +e  -e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( ( C +e  -e B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( C +e  -e B )  /\  ( C +e  -e B )  <_ +oo ) ) )
2320, 21, 22mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( C +e  -e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( ( C +e  -e B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( C +e  -e B )  /\  ( C +e  -e B )  <_ +oo ) )
2413, 17, 19, 23syl3anbrc 1172 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C +e  -e
B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2524ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( C +e  -e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
265esumcl 26484 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  ( C +e  -e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A
( C +e  -e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
272, 25, 26syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A ( C +e  -e
B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
281, 27sseldi 3352 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A ( C +e  -e
B )  e.  RR* )
2920a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
3021a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
31 elicc4 11360 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  A
( C +e  -e B )  e. 
RR* )  ->  (Σ* k  e.  A ( C +e  -e B )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( 0  <_ Σ* k  e.  A ( C +e  -e B )  /\ Σ* k  e.  A ( C +e  -e B )  <_ +oo ) ) )
3229, 30, 28, 31syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A ( C +e  -e B )  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( 0  <_ Σ* k  e.  A
( C +e  -e B )  /\ Σ* k  e.  A ( C +e  -e B )  <_ +oo ) ) )
3327, 32mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <_ Σ* k  e.  A
( C +e  -e B )  /\ Σ* k  e.  A ( C +e  -e B )  <_ +oo ) )
3433simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_ Σ* k  e.  A
( C +e  -e B ) )
35 xraddge02 26048 . . . . 5  |-  ( (Σ* k  e.  A B  e. 
RR*  /\ Σ* k  e.  A
( C +e  -e B )  e. 
RR* )  ->  (
0  <_ Σ* k  e.  A
( C +e  -e B )  -> Σ* k  e.  A B  <_  (Σ* k  e.  A B +eΣ* k  e.  A ( C +e  -e B ) ) ) )
3635imp 429 . . . 4  |-  ( ( (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  A
( C +e  -e B )  e. 
RR* )  /\  0  <_ Σ* k  e.  A ( C +e  -e
B ) )  -> Σ* k  e.  A B  <_  (Σ* k  e.  A B +eΣ* k  e.  A ( C +e  -e B ) ) )
378, 28, 34, 36syl21anc 1217 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  <_ 
(Σ* k  e.  A B +eΣ* k  e.  A ( C +e  -e B ) ) )
38 xaddcom 11206 . . . 4  |-  ( (Σ* k  e.  A B  e. 
RR*  /\ Σ* k  e.  A
( C +e  -e B )  e. 
RR* )  ->  (Σ* k  e.  A B +eΣ* k  e.  A ( C +e  -e B ) )  =  (Σ* k  e.  A ( C +e  -e B ) +eΣ* k  e.  A B ) )
398, 28, 38syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B +eΣ* k  e.  A ( C +e  -e B ) )  =  (Σ* k  e.  A ( C +e  -e B ) +eΣ* k  e.  A B ) )
4037, 39breqtrd 4314 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  <_ 
(Σ* k  e.  A ( C +e  -e B ) +eΣ* k  e.  A B ) )
412, 24, 3esumadd 26505 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A ( ( C +e  -e B ) +e B )  =  (Σ* k  e.  A ( C +e  -e B ) +eΣ* k  e.  A B ) )
42 xrge0npcan 26155 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  B  <_  C )  -> 
( ( C +e  -e B ) +e B )  =  C )
439, 3, 14, 42syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( C +e  -e B ) +e B )  =  C )
4443esumeq2dv 26492 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A ( ( C +e  -e B ) +e B )  = Σ* k  e.  A C )
4541, 44eqtr3d 2475 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A ( C +e  -e B ) +eΣ* k  e.  A B )  = Σ* k  e.  A C )
4640, 45breqtrd 4314 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  <_ Σ* k  e.  A C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   class class class wbr 4290  (class class class)co 6089   0cc0 9280   +oocpnf 9413   RR*cxr 9415    <_ cle 9417    -ecxne 11084   +ecxad 11085   [,]cicc 11301  Σ*cesum 26481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ioo 11302  df-ioc 11303  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-mod 11707  df-seq 11805  df-exp 11864  df-fac 12050  df-bc 12077  df-hash 12102  df-shft 12554  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-limsup 12947  df-clim 12964  df-rlim 12965  df-sum 13162  df-ef 13351  df-sin 13353  df-cos 13354  df-pi 13356  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-rest 14359  df-topn 14360  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-topgen 14380  df-pt 14381  df-prds 14384  df-ordt 14437  df-xrs 14438  df-qtop 14443  df-imas 14444  df-xps 14446  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-ps 15368  df-tsr 15369  df-mnd 15413  df-plusf 15414  df-mhm 15462  df-submnd 15463  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-mulg 15546  df-subg 15676  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-subrg 16861  df-abv 16900  df-lmod 16948  df-scaf 16949  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-cnfld 17817  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-cld 18621  df-ntr 18622  df-cls 18623  df-nei 18700  df-lp 18738  df-perf 18739  df-cn 18829  df-cnp 18830  df-haus 18917  df-tx 19133  df-hmeo 19326  df-fil 19417  df-fm 19509  df-flim 19510  df-flf 19511  df-tmd 19641  df-tgp 19642  df-tsms 19695  df-trg 19732  df-xms 19893  df-ms 19894  df-tms 19895  df-nm 20173  df-ngp 20174  df-nrg 20176  df-nlm 20177  df-ii 20451  df-cncf 20452  df-limc 21339  df-dv 21340  df-log 22006  df-esum 26482
This theorem is referenced by:  measiun  26630
  Copyright terms: Public domain W3C validator