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Theorem esumiun 28963
Description: Sum over a non necessarily disjoint indexed union. The inegality is strict in the case where the sets B(x) overlap. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumiun.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumiun.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
esumiun.2  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumiun  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C  <_ Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C )
Distinct variable groups:    A, j,
k    B, k    C, j   
j, W, k    ph, j,
k
Allowed substitution hints:    B( j)    C( k)    V( j, k)

Proof of Theorem esumiun
Dummy variables  f 
l  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumiun.0 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 esumiun.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
31, 2aciunf1 28313 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l ) )
4 f1f1orn 5847 . . . . . 6  |-  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  ->  f : U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f )
54anim1i 576 . . . . 5  |-  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  ->  ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l ) )
6 f1f 5801 . . . . . . 7  |-  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  ->  f : U_ j  e.  A  B
--> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
7 frn 5757 . . . . . . 7  |-  ( f : U_ j  e.  A  B --> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
98adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
105, 9jca 539 . . . 4  |-  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  ->  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
1110eximi 1717 . . 3  |-  ( E. f ( f :
U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  ->  E. f
( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
123, 11syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
13 nfv 1771 . . . . . 6  |-  F/ z ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
14 nfcv 2602 . . . . . 6  |-  F/_ z C
15 nfcsb1v 3390 . . . . . 6  |-  F/_ k [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C
16 nfcv 2602 . . . . . 6  |-  F/_ z U_ j  e.  A  B
17 nfcv 2602 . . . . . 6  |-  F/_ z ran  f
18 nfcv 2602 . . . . . 6  |-  F/_ z `' f
19 csbeq1a 3383 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 2nd `  z
)  ->  C  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C )
202ralrimiva 2813 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  B  e.  W )
21 iunexg 6795 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ j  e.  A  B  e.  _V )
221, 20, 21syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  B  e.  _V )
2322adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  U_ j  e.  A  B  e.  _V )
24 simprl 769 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f )
25 f1ocnv 5848 . . . . . . . 8  |-  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> U_ j  e.  A  B )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> U_ j  e.  A  B )
2726adantrlr 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> U_ j  e.  A  B )
28 nfv 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
29 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j
f
30 nfiu1 4321 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j U_ j  e.  A  B
3129nfrn 5095 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j ran  f
3229, 30, 31nff1o 5834 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f
33 nfv 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l
3430, 33nfral 2785 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j A. l  e.  U_  j  e.  A  B
( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l
3532, 34nfan 2021 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )
36 nfcv 2602 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j ran  f
37 nfiu1 4321 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
3836, 37nfss 3436 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)
3935, 38nfan 2021 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
4028, 39nfan 2021 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
41 nfv 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ j  z  e.  ran  f
4240, 41nfan 2021 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )
43 simpr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( f `  k )  =  z )
4443fveq2d 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( 2nd `  ( f `  k
) )  =  ( 2nd `  z ) )
45 simplr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  k  e.  U_ j  e.  A  B
)
46 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
4746simpld 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l ) )
4847simprd 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  A. l  e.  U_  j  e.  A  B
( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )
4948ad2antrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )
50 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  k  ->  (
f `  l )  =  ( f `  k ) )
5150fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  k  ->  ( 2nd `  ( f `  l ) )  =  ( 2nd `  (
f `  k )
) )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  k  ->  l  =  k )
5351, 52eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  (
( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l  <->  ( 2nd `  ( f `  k
) )  =  k ) )
5453rspcva 3159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  U_ j  e.  A  B  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l ) )  =  l )  ->  ( 2nd `  ( f `  k ) )  =  k )
5545, 49, 54syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( 2nd `  ( f `  k
) )  =  k )
5644, 55eqtr3d 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( 2nd `  z )  =  k )
5747simpld 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f )
5857ad2antrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  f : U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f )
59 f1ocnvfv1 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  ( `' f `  (
f `  k )
)  =  k )
6058, 45, 59syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( `' f `  ( f `  k ) )  =  k )
6143fveq2d 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( `' f `  ( f `  k ) )  =  ( `' f `  z ) )
6256, 60, 613eqtr2rd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( `' f `  z )  =  ( 2nd `  z
) )
63 f1ofn 5837 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  ->  f  Fn  U_ j  e.  A  B )
6457, 63syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  f  Fn  U_ j  e.  A  B
)
65 simpllr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  z  e.  ran  f )
66 fvelrnb 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  U_ j  e.  A  B  ->  (
z  e.  ran  f  <->  E. k  e.  U_  j  e.  A  B (
f `  k )  =  z ) )
6766biimpa 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  Fn  U_ j  e.  A  B  /\  z  e.  ran  f )  ->  E. k  e.  U_  j  e.  A  B
( f `  k
)  =  z )
6864, 65, 67syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  E. k  e.  U_  j  e.  A  B
( f `  k
)  =  z )
6962, 68r19.29a 2943 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( `' f `
 z )  =  ( 2nd `  z
) )
70 simprr 771 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
7170sselda 3443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
72 eliun 4296 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  A  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
7371, 72sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  E. j  e.  A  z  e.  ( { j }  X.  B ) )
7442, 69, 73r19.29af 2941 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  ( `' f `  z
)  =  ( 2nd `  z ) )
75 nfcv 2602 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j
k
7675, 30nfel 2614 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  k  e.  U_ j  e.  A  B
7728, 76nfan 2021 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B )
78 esumiun.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7978adantllr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
80 eliun 4296 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  U_ j  e.  A  B  <->  E. j  e.  A  k  e.  B )
8180biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  U_ j  e.  A  B  ->  E. j  e.  A  k  e.  B )
8281adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  ->  E. j  e.  A  k  e.  B )
8377, 79, 82r19.29af 2941 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8483adantlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 27, 74, 84esumf1o 28919 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C  = Σ* z  e.  ran  f [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ C
)
8685eqcomd 2467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* z  e.  ran  f [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  = Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C )
87 snex 4654 . . . . . . . . . 10  |-  { j }  e.  _V
8887a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  { j }  e.  _V )
89 xpexg 6619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  B  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  B
)  e.  _V )
9088, 2, 89syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( { j }  X.  B )  e.  _V )
9190ralrimiva 2813 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( { j }  X.  B )  e.  _V )
92 iunexg 6795 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  ( { j }  X.  B )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  e.  _V )
931, 91, 92syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  e.  _V )
9493adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  e.  _V )
95 nfcv 2602 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
z
9695, 37nfel 2614 . . . . . . . 8  |-  F/ j  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)
9728, 96nfan 2021 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
98 nfcv 2602 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( 2nd `  z
)
99 nfcv 2602 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j C
10098, 99nfcsb 3392 . . . . . . . 8  |-  F/_ j [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C
101 nfcv 2602 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( 0 [,] +oo )
102100, 101nfel 2614 . . . . . . 7  |-  F/ j
[_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
103 simprr 771 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  (
( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  B )
104 simplll 773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  (
( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )  ->  ph )
105 simplr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  (
( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )  ->  j  e.  A
)
10678ralrimiva 2813 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
107104, 105, 106syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  (
( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )  ->  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
108 rspcsbela 3806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2nd `  z
)  e.  B  /\  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
109103, 107, 108syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  (
( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
110 xp1st 6849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { j } )
111 elsni 4004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { j }  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
113 xp2nd 6850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  B )
114112, 113jca 539 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( ( 1st `  z )  =  j  /\  ( 2nd `  z
)  e.  B ) )
115114reximi 2866 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  A  z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  E. j  e.  A  ( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )
11672, 115sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  ->  E. j  e.  A  ( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )
117116adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  E. j  e.  A  ( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )
11897, 102, 109, 117r19.29af2 2939 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
119118adantlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
120 simprr 771 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
121120adantrlr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
12213, 94, 119, 121esummono 28923 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* z  e.  ran  f [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  <_ Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C )
12386, 122eqbrtrrd 4438 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C  <_ Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
[_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C )
124 vex 3059 . . . . . . . . 9  |-  j  e. 
_V
125 vex 3059 . . . . . . . . 9  |-  k  e. 
_V
126124, 125op2ndd 6830 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  k )
127126eqcomd 2467 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  k  =  ( 2nd `  z ) )
128127, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ C
)
129128eqcomd 2467 . . . . 5  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  =  C )
13078anasss 657 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13115, 129, 1, 2, 130esum2d 28962 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C )
132131adantr 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ C )
133123, 132breqtrrd 4442 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C  <_ Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C )
13412, 133exlimddv 1791 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C  <_ Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056   [_csb 3374    C_ wss 3415   {csn 3979   <.cop 3985   U_ciun 4291   class class class wbr 4415    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   ran crn 4853    Fn wfn 5595   -->wf 5596   -1-1->wf1 5597   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   1stc1st 6817   2ndc2nd 6818   0cc0 9564   +oocpnf 9697    <_ cle 9701   [,]cicc 11666  Σ*cesum 28896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-reg 8132  ax-inf2 8171  ax-ac2 8918  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-r1 8260  df-rank 8261  df-card 8398  df-ac 8572  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-fac 12491  df-bc 12519  df-hash 12547  df-shft 13178  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-ef 14169  df-sin 14171  df-cos 14172  df-pi 14174  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-ordt 15447  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-ps 16494  df-tsr 16495  df-plusf 16535  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-cring 17831  df-subrg 18054  df-abv 18093  df-lmod 18141  df-scaf 18142  df-sra 18443  df-rgmod 18444  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-tmd 21135  df-tgp 21136  df-tsms 21189  df-trg 21222  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-nm 21645  df-ngp 21646  df-nrg 21648  df-nlm 21649  df-ii 21957  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870  df-log 23554  df-esum 28897
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