Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumiun Structured version   Unicode version

Theorem esumiun 28326
Description: Sum over a non necessarily disjoint indexed union. The inegality is strict in the case where the sets B(x) overlap. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumiun.0  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumiun.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
esumiun.2  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumiun  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C  <_ Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C )
Distinct variable groups:    A, j,
k    B, k    C, j   
j, W, k    ph, j,
k
Allowed substitution hints:    B( j)    C( k)    V( j, k)

Proof of Theorem esumiun
Dummy variables  f 
l  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumiun.0 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 esumiun.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
31, 2aciunf1 27733 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l ) )
4 f1f1orn 5809 . . . . . 6  |-  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  ->  f : U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f )
54anim1i 566 . . . . 5  |-  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  ->  ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l ) )
6 f1f 5763 . . . . . . 7  |-  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  ->  f : U_ j  e.  A  B
--> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
7 frn 5719 . . . . . . 7  |-  ( f : U_ j  e.  A  B --> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
105, 9jca 530 . . . 4  |-  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  ->  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
1110eximi 1661 . . 3  |-  ( E. f ( f :
U_ j  e.  A  B -1-1-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  ->  E. f
( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
123, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
13 nfv 1712 . . . . . 6  |-  F/ z ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
14 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ z C
15 nfcsb1v 3436 . . . . . 6  |-  F/_ k [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C
16 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ z U_ j  e.  A  B
17 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ z ran  f
18 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ z `' f
19 csbeq1a 3429 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 2nd `  z
)  ->  C  =  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C )
202ralrimiva 2868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  B  e.  W )
21 iunexg 6749 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ j  e.  A  B  e.  _V )
221, 20, 21syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  B  e.  _V )
2322adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  U_ j  e.  A  B  e.  _V )
24 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f )
25 f1ocnv 5810 . . . . . . . 8  |-  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> U_ j  e.  A  B )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> U_ j  e.  A  B )
2726adantrlr 720 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  `' f : ran  f -1-1-onto-> U_ j  e.  A  B )
28 nfv 1712 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
29 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j
f
30 nfiu1 4345 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j U_ j  e.  A  B
3129nfrn 5234 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ j ran  f
3229, 30, 31nff1o 5796 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f
33 nfv 1712 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l
3430, 33nfral 2840 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j A. l  e.  U_  j  e.  A  B
( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l
3532, 34nfan 1933 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )
36 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j ran  f
37 nfiu1 4345 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
3836, 37nfss 3482 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)
3935, 38nfan 1933 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
4028, 39nfan 1933 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
41 nfv 1712 . . . . . . . 8  |-  F/ j  z  e.  ran  f
4240, 41nfan 1933 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )
43 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( f `  k )  =  z )
4443fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( 2nd `  ( f `  k
) )  =  ( 2nd `  z ) )
45 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  k  e.  U_ j  e.  A  B
)
46 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )
4746simpld 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l ) )
4847simprd 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  A. l  e.  U_  j  e.  A  B
( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )
4948ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )
50 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  k  ->  (
f `  l )  =  ( f `  k ) )
5150fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  k  ->  ( 2nd `  ( f `  l ) )  =  ( 2nd `  (
f `  k )
) )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  k  ->  l  =  k )
5351, 52eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  (
( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l  <->  ( 2nd `  ( f `  k
) )  =  k ) )
5453rspcva 3205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  U_ j  e.  A  B  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l ) )  =  l )  ->  ( 2nd `  ( f `  k ) )  =  k )
5545, 49, 54syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( 2nd `  ( f `  k
) )  =  k )
5644, 55eqtr3d 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( 2nd `  z )  =  k )
5747simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f )
5857ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  f : U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f )
59 f1ocnvfv1 6157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B )  ->  ( `' f `  (
f `  k )
)  =  k )
6058, 45, 59syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( `' f `  ( f `  k ) )  =  k )
6143fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( `' f `  ( f `  k ) )  =  ( `' f `  z ) )
6256, 60, 613eqtr2rd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  /\  ( f `  k )  =  z )  ->  ( `' f `  z )  =  ( 2nd `  z
) )
63 f1ofn 5799 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  ->  f  Fn  U_ j  e.  A  B )
6457, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  f  Fn  U_ j  e.  A  B
)
65 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  z  e.  ran  f )
66 fvelrnb 5895 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  U_ j  e.  A  B  ->  (
z  e.  ran  f  <->  E. k  e.  U_  j  e.  A  B (
f `  k )  =  z ) )
6766biimpa 482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  Fn  U_ j  e.  A  B  /\  z  e.  ran  f )  ->  E. k  e.  U_  j  e.  A  B
( f `  k
)  =  z )
6864, 65, 67syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  E. k  e.  U_  j  e.  A  B
( f `  k
)  =  z )
6962, 68r19.29a 2996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( ( f :
U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( `' f `
 z )  =  ( 2nd `  z
) )
70 simprr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
7170sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
72 eliun 4320 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  A  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
7371, 72sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  E. j  e.  A  z  e.  ( { j }  X.  B ) )
7442, 69, 73r19.29af 2994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  ( `' f `  z
)  =  ( 2nd `  z ) )
75 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j
k
7675, 30nfel 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/ j  k  e.  U_ j  e.  A  B
7728, 76nfan 1933 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B )
78 esumiun.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7978adantllr 716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B )  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
80 eliun 4320 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  U_ j  e.  A  B  <->  E. j  e.  A  k  e.  B )
8180biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  U_ j  e.  A  B  ->  E. j  e.  A  k  e.  B )
8281adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  ->  E. j  e.  A  k  e.  B )
8377, 79, 82r19.29af 2994 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8483adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  k  e.  U_ j  e.  A  B
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 27, 74, 84esumf1o 28282 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C  = Σ* z  e.  ran  f [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ C
)
8685eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* z  e.  ran  f [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  = Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C )
87 snex 4678 . . . . . . . . . 10  |-  { j }  e.  _V
8887a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  { j }  e.  _V )
89 xpexg 6575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  B  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  B
)  e.  _V )
9088, 2, 89syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( { j }  X.  B )  e.  _V )
9190ralrimiva 2868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( { j }  X.  B )  e.  _V )
92 iunexg 6749 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  ( { j }  X.  B )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  e.  _V )
931, 91, 92syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  e.  _V )
9493adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  e.  _V )
95 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
z
9695, 37nfel 2629 . . . . . . . 8  |-  F/ j  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)
9728, 96nfan 1933 . . . . . . 7  |-  F/ j ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
98 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( 2nd `  z
)
99 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j C
10098, 99nfcsb 3438 . . . . . . . 8  |-  F/_ j [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C
101 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ j
( 0 [,] +oo )
102100, 101nfel 2629 . . . . . . 7  |-  F/ j
[_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
103 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  (
( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  B )
104 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  (
( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )  ->  ph )
105 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  (
( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )  ->  j  e.  A
)
10678ralrimiva 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
107104, 105, 106syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  (
( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )  ->  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
108 rspcsbela 3845 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2nd `  z
)  e.  B  /\  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
109103, 107, 108syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  (
( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
110 xp1st 6803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { j } )
111 elsni 4041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { j }  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
113 xp2nd 6804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  B )
114112, 113jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( ( 1st `  z )  =  j  /\  ( 2nd `  z
)  e.  B ) )
115114reximi 2922 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j  e.  A  z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  E. j  e.  A  ( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )
11672, 115sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  ->  E. j  e.  A  ( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )
117116adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  E. j  e.  A  ( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  e.  B ) )
11897, 102, 109, 117r19.29af2 2992 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
119118adantlr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e. 
U_  j  e.  A  B ( 2nd `  (
f `  l )
)  =  l )  /\  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
120 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : U_ j  e.  A  B
-1-1-onto-> ran  f  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
121120adantrlr 720 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  ->  ran  f  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
12213, 94, 119, 121esummono 28286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* z  e.  ran  f [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  <_ Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C )
12386, 122eqbrtrrd 4461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C  <_ Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
[_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C )
124 vex 3109 . . . . . . . . 9  |-  j  e. 
_V
125 vex 3109 . . . . . . . . 9  |-  k  e. 
_V
126124, 125op2ndd 6784 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  k )
127126eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  k  =  ( 2nd `  z ) )
128127, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  C  =  [_ ( 2nd `  z )  /  k ]_ C
)
129128eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C  =  C )
13078anasss 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13115, 129, 1, 2, 130esum2d 28325 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) [_ ( 2nd `  z
)  /  k ]_ C )
132131adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) [_ ( 2nd `  z )  / 
k ]_ C )
133123, 132breqtrrd 4465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : U_ j  e.  A  B -1-1-onto-> ran  f  /\  A. l  e.  U_  j  e.  A  B ( 2nd `  ( f `  l
) )  =  l )  /\  ran  f  C_ 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) ) )  -> Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C  <_ Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C )
13412, 133exlimddv 1731 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  U_ j  e.  A  B C  <_ Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   [_csb 3420    C_ wss 3461   {csn 4016   <.cop 4022   U_ciun 4315   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   ran crn 4989    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772   0cc0 9481   +oocpnf 9614    <_ cle 9618   [,]cicc 11535  Σ*cesum 28259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-reg 8010  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-r1 8173  df-rank 8174  df-card 8311  df-ac 8488  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-ordt 14993  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-ps 16032  df-tsr 16033  df-plusf 16073  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-subrg 17625  df-abv 17664  df-lmod 17712  df-scaf 17713  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-tmd 20740  df-tgp 20741  df-tsms 20794  df-trg 20831  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-nm 21272  df-ngp 21273  df-nrg 21275  df-nlm 21276  df-ii 21550  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440  df-log 23113  df-esum 28260
This theorem is referenced by:  omssubadd  28511
  Copyright terms: Public domain W3C validator