Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumid Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumid 28877
Description: Identify the extended sum as any limit points of the infinite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumid.p  |-  F/ k
ph
esumid.0  |-  F/_ k A
esumid.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumid.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
esumid  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  C )

Proof of Theorem esumid
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
2 esumid.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumid.p . . . 4  |-  F/ k
ph
4 esumid.0 . . . 4  |-  F/_ k A
5 nfcv 2594 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
6 esumid.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7 eqid 2453 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
83, 4, 5, 6, 7fmptdF 28267 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
9 esumid.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
101, 2, 8, 9xrge0tsmseq 28562 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
11 df-esum 28861 . 2  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
1210, 11syl6reqr 2506 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446   F/wnf 1669    e. wcel 1889   F/_wnfc 2581   U.cuni 4201    |-> cmpt 4464  (class class class)co 6295   0cc0 9544   +oocpnf 9677   [,]cicc 11645   ↾s cress 15134   RR*scxrs 15410   tsums ctsu 21152  Σ*cesum 28860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-xadd 11417  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-ordt 15411  df-xrs 15412  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-ps 16458  df-tsr 16459  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-ntr 20047  df-nei 20126  df-cn 20255  df-haus 20343  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-tsms 21153  df-esum 28861
This theorem is referenced by:  esumgsum  28878  esumsplit  28886  esumadd  28890  esumaddf  28894  esumcocn  28913
  Copyright terms: Public domain W3C validator