Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumid Structured version   Unicode version

Theorem esumid 26497
Description: Identify the extended sum as any limit points of the infinite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumid.p  |-  F/ k
ph
esumid.0  |-  F/_ k A
esumid.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumid.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
esumid  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  C )

Proof of Theorem esumid
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
2 esumid.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumid.p . . . 4  |-  F/ k
ph
4 esumid.0 . . . 4  |-  F/_ k A
5 nfcv 2577 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
6 esumid.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7 eqid 2441 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
83, 4, 5, 6, 7fmptdF 25970 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
9 esumid.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
101, 2, 8, 9xrge0tsmseq 26253 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
11 df-esum 26482 . 2  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
1210, 11syl6reqr 2492 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2564   U.cuni 4089    e. cmpt 4348  (class class class)co 6089   0cc0 9280   +oocpnf 9413   [,]cicc 11301   ↾s cress 14173   RR*scxrs 14436   tsums ctsu 19694  Σ*cesum 26481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-xadd 11088  df-ioo 11302  df-ioc 11303  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-hash 12102  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-rest 14359  df-topn 14360  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-topgen 14380  df-ordt 14437  df-xrs 14438  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-ps 15368  df-tsr 15369  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-ntr 18622  df-nei 18700  df-cn 18829  df-haus 18917  df-fil 19417  df-fm 19509  df-flim 19510  df-flf 19511  df-tsms 19695  df-esum 26482
This theorem is referenced by:  esumsplit  26504  esumadd  26505  esumaddf  26510  esumcocn  26527
  Copyright terms: Public domain W3C validator