Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumid Structured version   Unicode version

Theorem esumid 27693
Description: Identify the extended sum as any limit points of the infinite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumid.p  |-  F/ k
ph
esumid.0  |-  F/_ k A
esumid.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumid.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
esumid  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  C )

Proof of Theorem esumid
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
2 esumid.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumid.p . . . 4  |-  F/ k
ph
4 esumid.0 . . . 4  |-  F/_ k A
5 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
6 esumid.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7 eqid 2467 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
83, 4, 5, 6, 7fmptdF 27164 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
9 esumid.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
101, 2, 8, 9xrge0tsmseq 27437 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
11 df-esum 27678 . 2  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
1210, 11syl6reqr 2527 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505  (class class class)co 6282   0cc0 9488   +oocpnf 9621   [,]cicc 11528   ↾s cress 14484   RR*scxrs 14748   tsums ctsu 20356  Σ*cesum 27677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-hash 12368  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-ordt 14749  df-xrs 14750  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-ps 15680  df-tsr 15681  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-ntr 19284  df-nei 19362  df-cn 19491  df-haus 19579  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-tsms 20357  df-esum 27678
This theorem is referenced by:  esumsplit  27700  esumadd  27701  esumaddf  27706  esumcocn  27723
  Copyright terms: Public domain W3C validator