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Theorem esumfsup 28242
Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1  |-  F/_ k F
Assertion
Ref Expression
esumfsup  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F
) ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem esumfsup
Dummy variables  a  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10915 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2 seqfn 12122 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  seq 1
( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
4 nnuz 11141 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54fneq2i 5682 . . . . 5  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  <->  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
63, 5mpbir 209 . . . 4  |-  seq 1
( +e ,  F )  Fn  NN
7 iccssxr 11632 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8 esumfsup.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ k F
98esumfzf 28241 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  =  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )
)
10 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k NN
12 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
138, 11, 12nff 5733 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  F : NN --> ( 0 [,] +oo )
14 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  NN
1513, 14nfan 1929 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )
16 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  F : NN
--> ( 0 [,] +oo ) )
17 1nn 10567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
18 fzssnn 27755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1 ... n )  C_  NN )
1917, 18mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
2119, 20sseldd 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  NN )
2216, 21ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2322ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
2415, 23ralrimi 2857 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
25 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
2625esumcl 28204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2710, 24, 26sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
289, 27eqeltrrd 2546 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
297, 28sseldi 3497 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )  e.  RR* )
3029ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN  (  seq 1 ( +e ,  F ) `
 n )  e. 
RR* )
31 fnfvrnss 6060 . . . 4  |-  ( (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  e.  RR* )  ->  ran  seq 1 ( +e ,  F
)  C_  RR* )
326, 30, 31sylancr 663 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  ran  seq 1 ( +e ,  F ) 
C_  RR* )
33 nnex 10562 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
34 ffvelrn 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3534ex 434 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( k  e.  NN  ->  ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
3613, 35ralrimi 2857 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3711esumcl 28204 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3833, 36, 37sylancr 663 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
397, 38sseldi 3497 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )
40 fvelrnb 5920 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  ->  ( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
416, 40mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
42 eqcom 2466 . . . . . . . . . 10  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  x  <-> 
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
439eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  =  x  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4442, 43syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4544rexbidva 2965 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4641, 45bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
4746biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
4833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
4934adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5017, 18mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  C_  NN )
5115, 48, 49, 50esummono 28230 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5251ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5447, 53jca 532 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  -> 
( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
55 r19.29r 2993 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
56 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  ->  ( x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  <-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
5756biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5857rexlimivw 2946 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5954, 55, 583syl 20 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6059ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
61 nfv 1708 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  x  e.  RR
6213, 61nfan 1929 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )
63 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
x
64 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k  <
6511nfesum1 28214 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ kΣ* k  e.  NN ( F `  k )
6663, 64, 65nfbr 4500 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )
6762, 66nfan 1929 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  NN  e.  _V )
69 simplll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
7069, 34sylancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
71 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR )
7271rexrd 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR* )
73 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
7467, 68, 70, 72, 73esumlub 28232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
) )
75 ssnnssfz 27757 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )
76 r19.42v 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  <->  ( (
( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) ) )
77 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  a  C_  ( 1 ... n )
7867, 77nfan 1929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )
7910a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  (
1 ... n )  e. 
_V )
80 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
8117, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
8381, 82sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
8480, 83ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
85 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  a  C_  ( 1 ... n
) )
8678, 79, 84, 85esummono 28230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8786reximi 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
8876, 87sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8975, 88sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
9089ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
91 r19.29r 2993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
92 r19.42v 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `
 k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9392rexbii 2959 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9491, 93sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9574, 90, 94syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
96 simp-4r 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
9796rexrd 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
98 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
99 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
a
10099nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
10167, 100nfan 1929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
102101, 14nfan 1929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )
103 simp-5l 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
104 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
105 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
106105sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  a  e.  ~P NN )
107 elpwi 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ~P NN  ->  a 
C_  NN )
108104, 106, 1073syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  C_  NN )
109 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  a )
110108, 109sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  NN )
111103, 110ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
112111ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  a  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
113102, 112ralrimi 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11499esumcl 28204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  _V  /\  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11598, 113, 114sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1167, 115sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR* )
117 simp-5l 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
118 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
11981, 118sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
120117, 119ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
121120ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  ( 1 ... n )  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
122102, 121ralrimi 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
12310, 122, 26sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1247, 123sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )
125 xrltletr 11385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )  ->  ( ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
12697, 116, 124, 125syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
127126reximdva 2932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
128127rexlimdva 2949 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
12995, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
130 fvelrnb 5920 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  ->  ( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
1316, 130mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
132 eqcom 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  y  <-> 
y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
1339eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  =  y  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
134132, 133syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
135134rexbidva 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
136131, 135bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
137 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
138137breq2d 4468 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  (
x  <  y  <->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
13927, 136, 138rexxfr2d 4673 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. y  e. 
ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <  y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
140139ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. y  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) x  < 
y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) ) )
141129, 140mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F
) x  <  y
)
142141ex 434 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) )
143142ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  RR  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) )
144 supxr2 11530 . . 3  |-  ( ( ( ran  seq 1
( +e ,  F )  C_  RR*  /\ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )  /\  ( A. x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  /\  A. x  e.  RR  (
x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
14532, 39, 60, 143, 144syl22anc 1229 . 2  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  sup ( ran  seq 1
( +e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
146145eqcomd 2465 1  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F
) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   +ecxad 11341   [,]cicc 11557   ...cfz 11697    seqcseq 12110  Σ*cesum 28201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-ordt 14918  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-plusf 15998  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-abv 17593  df-lmod 17641  df-scaf 17642  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-tmd 20697  df-tgp 20698  df-tsms 20751  df-trg 20788  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nrg 21232  df-nlm 21233  df-ii 21507  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-esum 28202
This theorem is referenced by:  esumfsupre  28243  esumsup  28261
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