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Theorem esumfsup 28893
Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1  |-  F/_ k F
Assertion
Ref Expression
esumfsup  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F
) ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem esumfsup
Dummy variables  a  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10969 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2 seqfn 12226 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  seq 1
( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
4 nnuz 11196 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54fneq2i 5687 . . . . 5  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  <->  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
63, 5mpbir 213 . . . 4  |-  seq 1
( +e ,  F )  Fn  NN
7 iccssxr 11719 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8 esumfsup.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ k F
98esumfzf 28892 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  =  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )
)
10 ovex 6331 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 nfcv 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k NN
12 nfcv 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
138, 11, 12nff 5740 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  F : NN --> ( 0 [,] +oo )
14 nfv 1752 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  NN
1513, 14nfan 1985 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )
16 simpll 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  F : NN
--> ( 0 [,] +oo ) )
17 1nn 10622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
18 fzssnn 11844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1 ... n )  C_  NN )
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
20 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
2119, 20sseldd 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  NN )
2216, 21ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2322ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
2415, 23ralrimi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
25 nfcv 2585 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
2625esumcl 28853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2710, 24, 26sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
289, 27eqeltrrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
297, 28sseldi 3463 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )  e.  RR* )
3029ralrimiva 2840 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN  (  seq 1 ( +e ,  F ) `
 n )  e. 
RR* )
31 fnfvrnss 6064 . . . 4  |-  ( (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  e.  RR* )  ->  ran  seq 1 ( +e ,  F
)  C_  RR* )
326, 30, 31sylancr 668 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  ran  seq 1 ( +e ,  F ) 
C_  RR* )
33 nnex 10617 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
34 ffvelrn 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3534ex 436 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( k  e.  NN  ->  ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
3613, 35ralrimi 2826 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3711esumcl 28853 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3833, 36, 37sylancr 668 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
397, 38sseldi 3463 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )
40 fvelrnb 5926 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  ->  ( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
416, 40mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
42 eqcom 2432 . . . . . . . . . 10  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  x  <-> 
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
439eqeq1d 2425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  =  x  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4442, 43syl5bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4544rexbidva 2937 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4641, 45bitr4d 260 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
4746biimpa 487 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
4833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
4934adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5017, 18mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  C_  NN )
5115, 48, 49, 50esummono 28877 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5251ralrimiva 2840 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5352adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5447, 53jca 535 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  -> 
( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
55 r19.29r 2965 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
56 breq1 4424 . . . . . . 7  |-  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  ->  ( x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  <-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
5756biimpar 488 . . . . . 6  |-  ( ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5857rexlimivw 2915 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5954, 55, 583syl 18 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6059ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
61 nfv 1752 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  x  e.  RR
6213, 61nfan 1985 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )
63 nfcv 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
x
64 nfcv 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k  <
6511nfesum1 28863 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ kΣ* k  e.  NN ( F `  k )
6663, 64, 65nfbr 4466 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )
6762, 66nfan 1985 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  NN  e.  _V )
69 simplll 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
7069, 34sylancom 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
71 simplr 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR )
7271rexrd 9692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR* )
73 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
7467, 68, 70, 72, 73esumlub 28883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
) )
75 ssnnssfz 28367 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )
76 r19.42v 2984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  <->  ( (
( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) ) )
77 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  a  C_  ( 1 ... n )
7867, 77nfan 1985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )
7910a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  (
1 ... n )  e. 
_V )
80 simp-4l 775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
8117, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
82 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
8381, 82sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
8480, 83ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
85 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  a  C_  ( 1 ... n
) )
8678, 79, 84, 85esummono 28877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8786reximi 2894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
8876, 87sylbir 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8975, 88sylan2 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
9089ralrimiva 2840 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
91 r19.29r 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
92 r19.42v 2984 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `
 k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9392rexbii 2928 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9491, 93sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9574, 90, 94syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
96 simp-4r 776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
9796rexrd 9692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
98 vex 3085 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
99 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
a
10099nfel1 2601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
10167, 100nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
102101, 14nfan 1985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )
103 simp-5l 777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
104 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
105 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
106105sseli 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  a  e.  ~P NN )
107 elpwi 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ~P NN  ->  a 
C_  NN )
108104, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  C_  NN )
109 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  a )
110108, 109sseldd 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  NN )
111103, 110ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
112111ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  a  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
113102, 112ralrimi 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11499esumcl 28853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  _V  /\  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11598, 113, 114sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1167, 115sseldi 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR* )
117 simp-5l 777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
118 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
11981, 118sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
120117, 119ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
121120ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  ( 1 ... n )  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
122102, 121ralrimi 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
12310, 122, 26sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1247, 123sseldi 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )
125 xrltletr 11456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )  ->  ( ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
12697, 116, 124, 125syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
127126reximdva 2901 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
128127rexlimdva 2918 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
12995, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
130 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  ->  ( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
1316, 130mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
132 eqcom 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  y  <-> 
y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
1339eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  =  y  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
134132, 133syl5bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
135134rexbidva 2937 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
136131, 135bitr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
137 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
138137breq2d 4433 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  (
x  <  y  <->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
13927, 136, 138rexxfr2d 4636 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. y  e. 
ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <  y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
140139ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. y  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) x  < 
y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) ) )
141129, 140mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F
) x  <  y
)
142141ex 436 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) )
143142ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  RR  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) )
144 supxr2 11601 . . 3  |-  ( ( ( ran  seq 1
( +e ,  F )  C_  RR*  /\ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )  /\  ( A. x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  /\  A. x  e.  RR  (
x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
14532, 39, 60, 143, 144syl22anc 1266 . 2  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  sup ( ran  seq 1
( +e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
146145eqcomd 2431 1  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F
) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   F/_wnfc 2571   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   class class class wbr 4421   ran crn 4852    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   supcsup 7958   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542   +oocpnf 9674   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678   NNcn 10611   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   +ecxad 11409   [,]cicc 11640   ...cfz 11786    seqcseq 12214  Σ*cesum 28850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-ordt 15392  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-plusf 16480  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-subrg 17999  df-abv 18038  df-lmod 18086  df-scaf 18087  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-tmd 21079  df-tgp 21080  df-tsms 21133  df-trg 21166  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-nm 21589  df-ngp 21590  df-nrg 21592  df-nlm 21593  df-ii 21901  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814  df-log 23498  df-esum 28851
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