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Theorem esumfsup 24413
Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1  |-  F/_ k F
Assertion
Ref Expression
esumfsup  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran 
seq  1 ( + e ,  F ) ,  RR* ,  <  )
)

Proof of Theorem esumfsup
Dummy variables  a  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2 seqfn 11290 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 ( + e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  seq  1
( + e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
4 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54fneq2i 5499 . . . . 5  |-  (  seq  1 ( + e ,  F )  Fn  NN  <->  seq  1 ( + e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
63, 5mpbir 201 . . . 4  |-  seq  1
( + e ,  F )  Fn  NN
7 iccssxr 10949 . . . . . 6  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
8 esumfsup.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ k F
98esumfzf 24412 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  =  (  seq  1 ( + e ,  F ) `  n
) )
10 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k NN
12 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( 0 [,]  +oo )
138, 11, 12nff 5548 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  F : NN --> ( 0 [,]  +oo )
14 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  NN
1513, 14nfan 1842 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )
16 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  F : NN
--> ( 0 [,]  +oo ) )
17 1nn 9967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
18 fzssnn 24100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1 ... n )  C_  NN )
1917, 18mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
20 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
2119, 20sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  NN )
2216, 21ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
2322ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  ( 1 ... n )  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2415, 23ralrimi 2747 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
25 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
2625esumcl 24380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
2710, 24, 26sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
289, 27eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 ( + e ,  F ) `  n
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
297, 28sseldi 3306 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq  1 ( + e ,  F ) `  n
)  e.  RR* )
3029ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. n  e.  NN  (  seq  1
( + e ,  F ) `  n
)  e.  RR* )
31 fnfvrnss 5855 . . . 4  |-  ( (  seq  1 ( + e ,  F )  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (  seq  1 ( + e ,  F ) `  n
)  e.  RR* )  ->  ran  seq  1 ( + e ,  F
)  C_  RR* )
326, 30, 31sylancr 645 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ran  seq  1 ( + e ,  F )  C_  RR* )
33 nnex 9962 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
34 ffvelrn 5827 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3534ex 424 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) ) )
3613, 35ralrimi 2747 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
3711esumcl 24380 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
3833, 36, 37sylancr 645 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
397, 38sseldi 3306 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )
40 fvelrnb 5733 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 ( + e ,  F )  Fn  NN  ->  ( x  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq  1
( + e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
416, 40mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
x  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq  1
( + e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
42 eqcom 2406 . . . . . . . . . 10  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  x  <-> 
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
439eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  x  <-> 
(  seq  1 ( + e ,  F
) `  n )  =  x ) )
4442, 43syl5bbr 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <->  (  seq  1
( + e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4544rexbidva 2683 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <->  E. n  e.  NN  (  seq  1 ( + e ,  F ) `
 n )  =  x ) )
4641, 45bitr4d 248 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
x  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
4746biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F
) )  ->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) )
4833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
4934adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
5017, 18mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1 ... n )  C_  NN )
5115, 48, 49, 50esummono 24403 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5251ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5352adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F
) )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5447, 53jca 519 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F
) )  ->  ( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
55 r19.29r 2807 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
56 breq1 4175 . . . . . . 7  |-  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  ->  ( x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  <-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
5756biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5857rexlimivw 2786 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5954, 55, 583syl 19 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F
) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )
6059ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. x  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F
) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
61 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  x  e.  RR
6213, 61nfan 1842 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )
63 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
x
64 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k  <
6511nfesum1 24390 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ kΣ* k  e.  NN ( F `  k )
6663, 64, 65nfbr 4216 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )
6762, 66nfan 1842 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  NN  e.  _V )
69 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,] 
+oo ) )
7069, 34sylancom 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
71 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR )
7271rexrd 9090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR* )
73 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
7467, 68, 70, 72, 73esumlub 24405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
) )
75 ssnnssfz 24101 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )
76 r19.42v 2822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  <->  ( (
( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) ) )
77 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  a  C_  ( 1 ... n )
7867, 77nfan 1842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  C_  (
1 ... n ) )
7910a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  (
1 ... n )  e. 
_V )
80 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  C_  (
1 ... n ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  F : NN
--> ( 0 [,]  +oo ) )
8117, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
82 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  C_  (
1 ... n ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
8381, 82sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  C_  (
1 ... n ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  NN )
8480, 83ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  C_  (
1 ... n ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
85 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  a  C_  ( 1 ... n
) )
8678, 79, 84, 85esummono 24403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8786reximi 2773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
8876, 87sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8975, 88sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
9089ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
91 r19.29r 2807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
92 r19.42v 2822 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `
 k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9392rexbii 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9491, 93sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9574, 90, 94syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
96 simp-4r 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
9796rexrd 9090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
98 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
99 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
a
10099nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
10167, 100nfan 1842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
102101, 14nfan 1842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )
103 simp-5l 745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  F : NN --> ( 0 [,] 
+oo ) )
104 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
105 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
106105sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  a  e.  ~P NN )
107 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ~P NN  ->  a 
C_  NN )
108104, 106, 1073syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  C_  NN )
109 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  a )
110108, 109sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  NN )
111103, 110ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
112111ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  a  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
113102, 112ralrimi 2747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
11499esumcl 24380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  _V  /\  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
11598, 113, 114sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1167, 115sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR* )
117 simp-5l 745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] 
+oo ) )
118 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
11981, 118sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
120117, 119ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
121120ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  ( 1 ... n )  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
122102, 121ralrimi 2747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
12310, 122, 26sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1247, 123sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )
125 xrltletr 10703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )  ->  ( ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
12697, 116, 124, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `
 k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
127126reximdva 2778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
128127rexlimdva 2790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
12995, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
130 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 ( + e ,  F )  Fn  NN  ->  ( y  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq  1
( + e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
1316, 130mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
y  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq  1
( + e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
132 eqcom 2406 . . . . . . . . . . 11  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  y  <-> 
y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
1339eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  y  <-> 
(  seq  1 ( + e ,  F
) `  n )  =  y ) )
134132, 133syl5bbr 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (
y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <->  (  seq  1
( + e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
135134rexbidva 2683 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <->  E. n  e.  NN  (  seq  1 ( + e ,  F ) `
 n )  =  y ) )
136131, 135bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
y  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
137 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) )
138137breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  ( x  <  y  <->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
13927, 136, 138rexxfr2d 4699 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( E. y  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F ) x  < 
y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) ) )
140139ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. y  e.  ran  seq  1
( + e ,  F ) x  < 
y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) ) )
141129, 140mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. y  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F
) x  <  y
)
142141ex 424 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F ) x  < 
y ) )
143142ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. x  e.  RR  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F
) x  <  y
) )
144 supxr2 10848 . . 3  |-  ( ( ( ran  seq  1
( + e ,  F )  C_  RR*  /\ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )  /\  ( A. x  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  /\  A. x  e.  RR  (
x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq  1 ( + e ,  F ) x  < 
y ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 ( + e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
14532, 39, 60, 143, 144syl22anc 1185 . 2  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  sup ( ran  seq  1 ( + e ,  F
) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
146145eqcomd 2409 1  |-  ( F : NN --> ( 0 [,]  +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran 
seq  1 ( + e ,  F ) ,  RR* ,  <  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   + ecxad 10664   [,]cicc 10875   ...cfz 10999    seq cseq 11278  Σ*cesum 24377
This theorem is referenced by:  esumfsupre  24414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-lmod 15907  df-scaf 15908  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-tmd 18055  df-tgp 18056  df-tsms 18109  df-trg 18142  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587  df-ii 18860  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-esum 24378
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