Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumfsup Structured version   Unicode version

Theorem esumfsup 27827
Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1  |-  F/_ k F
Assertion
Ref Expression
esumfsup  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F
) ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem esumfsup
Dummy variables  a  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10895 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2 seqfn 12088 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  seq 1
( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
4 nnuz 11118 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54fneq2i 5676 . . . . 5  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  <->  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
63, 5mpbir 209 . . . 4  |-  seq 1
( +e ,  F )  Fn  NN
7 iccssxr 11608 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8 esumfsup.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ k F
98esumfzf 27826 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  =  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )
)
10 ovex 6310 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k NN
12 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
138, 11, 12nff 5727 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  F : NN --> ( 0 [,] +oo )
14 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  NN
1513, 14nfan 1875 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )
16 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  F : NN
--> ( 0 [,] +oo ) )
17 1nn 10548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
18 fzssnn 27360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1 ... n )  C_  NN )
1917, 18mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
2119, 20sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  NN )
2216, 21ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2322ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
2415, 23ralrimi 2864 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
25 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
2625esumcl 27794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2710, 24, 26sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
289, 27eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
297, 28sseldi 3502 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )  e.  RR* )
3029ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN  (  seq 1 ( +e ,  F ) `
 n )  e. 
RR* )
31 fnfvrnss 6050 . . . 4  |-  ( (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  e.  RR* )  ->  ran  seq 1 ( +e ,  F
)  C_  RR* )
326, 30, 31sylancr 663 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  ran  seq 1 ( +e ,  F ) 
C_  RR* )
33 nnex 10543 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
34 ffvelrn 6020 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3534ex 434 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( k  e.  NN  ->  ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
3613, 35ralrimi 2864 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3711esumcl 27794 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3833, 36, 37sylancr 663 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
397, 38sseldi 3502 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )
40 fvelrnb 5915 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  ->  ( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
416, 40mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
42 eqcom 2476 . . . . . . . . . 10  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  x  <-> 
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
439eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  =  x  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4442, 43syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4544rexbidva 2970 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4641, 45bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
4746biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
4833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
4934adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5017, 18mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  C_  NN )
5115, 48, 49, 50esummono 27817 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5251ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5447, 53jca 532 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  -> 
( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
55 r19.29r 2998 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
56 breq1 4450 . . . . . . 7  |-  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  ->  ( x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  <-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
5756biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5857rexlimivw 2952 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5954, 55, 583syl 20 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6059ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
61 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  x  e.  RR
6213, 61nfan 1875 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )
63 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
x
64 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k  <
6511nfesum1 27804 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ kΣ* k  e.  NN ( F `  k )
6663, 64, 65nfbr 4491 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )
6762, 66nfan 1875 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  NN  e.  _V )
69 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
7069, 34sylancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
71 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR )
7271rexrd 9644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR* )
73 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
7467, 68, 70, 72, 73esumlub 27819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
) )
75 ssnnssfz 27362 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )
76 r19.42v 3016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  <->  ( (
( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) ) )
77 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  a  C_  ( 1 ... n )
7867, 77nfan 1875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )
7910a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  (
1 ... n )  e. 
_V )
80 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
8117, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
8381, 82sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
8480, 83ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
85 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  a  C_  ( 1 ... n
) )
8678, 79, 84, 85esummono 27817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8786reximi 2932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
8876, 87sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8975, 88sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
9089ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
91 r19.29r 2998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
92 r19.42v 3016 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `
 k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9392rexbii 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9491, 93sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9574, 90, 94syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
96 simp-4r 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
9796rexrd 9644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
98 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
99 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
a
10099nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
10167, 100nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
102101, 14nfan 1875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )
103 simp-5l 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
104 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
105 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
106105sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  a  e.  ~P NN )
107 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ~P NN  ->  a 
C_  NN )
108104, 106, 1073syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  C_  NN )
109 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  a )
110108, 109sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  NN )
111103, 110ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
112111ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  a  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
113102, 112ralrimi 2864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11499esumcl 27794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  _V  /\  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11598, 113, 114sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1167, 115sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR* )
117 simp-5l 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
118 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
11981, 118sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
120117, 119ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
121120ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  ( 1 ... n )  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
122102, 121ralrimi 2864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
12310, 122, 26sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1247, 123sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )
125 xrltletr 11361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )  ->  ( ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
12697, 116, 124, 125syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
127126reximdva 2938 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
128127rexlimdva 2955 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
12995, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
130 fvelrnb 5915 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  ->  ( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
1316, 130mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
132 eqcom 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  y  <-> 
y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
1339eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  =  y  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
134132, 133syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
135134rexbidva 2970 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
136131, 135bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
137 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
138137breq2d 4459 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  (
x  <  y  <->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
13927, 136, 138rexxfr2d 4664 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. y  e. 
ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <  y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
140139ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. y  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) x  < 
y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) ) )
141129, 140mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F
) x  <  y
)
142141ex 434 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) )
143142ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  RR  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) )
144 supxr2 11506 . . 3  |-  ( ( ( ran  seq 1
( +e ,  F )  C_  RR*  /\ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )  /\  ( A. x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  /\  A. x  e.  RR  (
x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
14532, 39, 60, 143, 144syl22anc 1229 . 2  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  sup ( ran  seq 1
( +e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
146145eqcomd 2475 1  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F
) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   supcsup 7901   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494   +oocpnf 9626   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630   NNcn 10537   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   +ecxad 11317   [,]cicc 11533   ...cfz 11673    seqcseq 12076  Σ*cesum 27791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ioc 11535  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-shft 12866  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-limsup 13260  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-ef 13668  df-sin 13670  df-cos 13671  df-pi 13673  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-ordt 14759  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-ps 15690  df-tsr 15691  df-mnd 15735  df-plusf 15736  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-subrg 17239  df-abv 17278  df-lmod 17326  df-scaf 17327  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-tmd 20398  df-tgp 20399  df-tsms 20452  df-trg 20489  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-nm 20930  df-ngp 20931  df-nrg 20933  df-nlm 20934  df-ii 21208  df-cncf 21209  df-limc 22097  df-dv 22098  df-log 22769  df-esum 27792
This theorem is referenced by:  esumfsupre  27828
  Copyright terms: Public domain W3C validator