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Theorem esumfsup 26522
Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1  |-  F/_ k F
Assertion
Ref Expression
esumfsup  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F
) ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem esumfsup
Dummy variables  a  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10679 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2 seqfn 11821 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  seq 1
( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
4 nnuz 10899 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54fneq2i 5509 . . . . 5  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  <->  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
63, 5mpbir 209 . . . 4  |-  seq 1
( +e ,  F )  Fn  NN
7 iccssxr 11381 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8 esumfsup.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ k F
98esumfzf 26521 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  =  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )
)
10 ovex 6119 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 nfcv 2582 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k NN
12 nfcv 2582 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
138, 11, 12nff 5558 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  F : NN --> ( 0 [,] +oo )
14 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  NN
1513, 14nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )
16 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  F : NN
--> ( 0 [,] +oo ) )
17 1nn 10336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
18 fzssnn 26077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1 ... n )  C_  NN )
1917, 18mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
2119, 20sseldd 3360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  NN )
2216, 21ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2322ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
2415, 23ralrimi 2800 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
25 nfcv 2582 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
2625esumcl 26489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2710, 24, 26sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
289, 27eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
297, 28sseldi 3357 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )  e.  RR* )
3029ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN  (  seq 1 ( +e ,  F ) `
 n )  e. 
RR* )
31 fnfvrnss 5874 . . . 4  |-  ( (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  e.  RR* )  ->  ran  seq 1 ( +e ,  F
)  C_  RR* )
326, 30, 31sylancr 663 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  ran  seq 1 ( +e ,  F ) 
C_  RR* )
33 nnex 10331 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
34 ffvelrn 5844 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3534ex 434 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( k  e.  NN  ->  ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
3613, 35ralrimi 2800 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3711esumcl 26489 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3833, 36, 37sylancr 663 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
397, 38sseldi 3357 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )
40 fvelrnb 5742 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  ->  ( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
416, 40mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
42 eqcom 2445 . . . . . . . . . 10  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  x  <-> 
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
439eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  =  x  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4442, 43syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4544rexbidva 2735 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4641, 45bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
4746biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
4833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
4934adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5017, 18mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  C_  NN )
5115, 48, 49, 50esummono 26512 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5251ralrimiva 2802 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5447, 53jca 532 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  -> 
( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
55 r19.29r 2861 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
56 breq1 4298 . . . . . . 7  |-  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  ->  ( x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  <-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
5756biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5857rexlimivw 2840 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5954, 55, 583syl 20 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6059ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
61 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  x  e.  RR
6213, 61nfan 1861 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )
63 nfcv 2582 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
x
64 nfcv 2582 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k  <
6511nfesum1 26499 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ kΣ* k  e.  NN ( F `  k )
6663, 64, 65nfbr 4339 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )
6762, 66nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  NN  e.  _V )
69 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
7069, 34sylancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
71 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR )
7271rexrd 9436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR* )
73 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
7467, 68, 70, 72, 73esumlub 26514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
) )
75 ssnnssfz 26079 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )
76 r19.42v 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  <->  ( (
( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) ) )
77 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  a  C_  ( 1 ... n )
7867, 77nfan 1861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )
7910a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  (
1 ... n )  e. 
_V )
80 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
8117, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
8381, 82sseldi 3357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
8480, 83ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
85 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  a  C_  ( 1 ... n
) )
8678, 79, 84, 85esummono 26512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8786reximi 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
8876, 87sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8975, 88sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
9089ralrimiva 2802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
91 r19.29r 2861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
92 r19.42v 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `
 k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9392rexbii 2743 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9491, 93sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9574, 90, 94syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
96 simp-4r 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
9796rexrd 9436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
98 vex 2978 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
99 nfcv 2582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
a
10099nfel1 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
10167, 100nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
102101, 14nfan 1861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )
103 simp-5l 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
104 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
105 inss1 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
106105sseli 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  a  e.  ~P NN )
107 elpwi 3872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ~P NN  ->  a 
C_  NN )
108104, 106, 1073syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  C_  NN )
109 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  a )
110108, 109sseldd 3360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  NN )
111103, 110ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
112111ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  a  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
113102, 112ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11499esumcl 26489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  _V  /\  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11598, 113, 114sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1167, 115sseldi 3357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR* )
117 simp-5l 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
118 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
11981, 118sseldi 3357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
120117, 119ffvelrnd 5847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
121120ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  ( 1 ... n )  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
122102, 121ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
12310, 122, 26sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1247, 123sseldi 3357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )
125 xrltletr 11134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )  ->  ( ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
12697, 116, 124, 125syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
127126reximdva 2831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
128127rexlimdva 2844 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
12995, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
130 fvelrnb 5742 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  ->  ( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
1316, 130mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
132 eqcom 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  y  <-> 
y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
1339eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  =  y  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
134132, 133syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
135134rexbidva 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
136131, 135bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
137 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
138137breq2d 4307 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  (
x  <  y  <->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
13927, 136, 138rexxfr2d 4512 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. y  e. 
ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <  y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
140139ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. y  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) x  < 
y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) ) )
141129, 140mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F
) x  <  y
)
142141ex 434 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) )
143142ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  RR  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) )
144 supxr2 11279 . . 3  |-  ( ( ( ran  seq 1
( +e ,  F )  C_  RR*  /\ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )  /\  ( A. x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  /\  A. x  e.  RR  (
x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
14532, 39, 60, 143, 144syl22anc 1219 . 2  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  sup ( ran  seq 1
( +e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
146145eqcomd 2448 1  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F
) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   F/_wnfc 2569   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    i^i cin 3330    C_ wss 3331   ~Pcpw 3863   class class class wbr 4295   ran crn 4844    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   supcsup 7693   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286   +oocpnf 9418   RR*cxr 9420    < clt 9421    <_ cle 9422   NNcn 10325   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   +ecxad 11090   [,]cicc 11306   ...cfz 11440    seqcseq 11809  Σ*cesum 26486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-ordt 14442  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-ps 15373  df-tsr 15374  df-mnd 15418  df-plusf 15419  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-cring 16651  df-subrg 16866  df-abv 16905  df-lmod 16953  df-scaf 16954  df-sra 17256  df-rgmod 17257  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-tmd 19646  df-tgp 19647  df-tsms 19700  df-trg 19737  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-nm 20178  df-ngp 20179  df-nrg 20181  df-nlm 20182  df-ii 20456  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-esum 26487
This theorem is referenced by:  esumfsupre  26523
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