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Theorem esumfsup 26375
Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1  |-  F/_ k F
Assertion
Ref Expression
esumfsup  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F
) ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem esumfsup
Dummy variables  a  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10666 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2 seqfn 11804 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  seq 1
( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
4 nnuz 10886 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54fneq2i 5496 . . . . 5  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  <->  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
63, 5mpbir 209 . . . 4  |-  seq 1
( +e ,  F )  Fn  NN
7 iccssxr 11368 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8 esumfsup.1 . . . . . . . 8  |-  F/_ k F
98esumfzf 26374 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  =  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )
)
10 ovex 6107 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k NN
12 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
138, 11, 12nff 5545 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  F : NN --> ( 0 [,] +oo )
14 nfv 1674 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  NN
1513, 14nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )
16 simpll 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  F : NN
--> ( 0 [,] +oo ) )
17 1nn 10323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
18 fzssnn 25899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1 ... n )  C_  NN )
1917, 18mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... n )  C_  NN )
20 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
2119, 20sseldd 3347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  NN )
2216, 21ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2322ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
2415, 23ralrimi 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
25 nfcv 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
2625esumcl 26342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2710, 24, 26sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
289, 27eqeltrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
297, 28sseldi 3344 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (  seq 1 ( +e ,  F
) `  n )  e.  RR* )
3029ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN  (  seq 1 ( +e ,  F ) `
 n )  e. 
RR* )
31 fnfvrnss 5860 . . . 4  |-  ( (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  e.  RR* )  ->  ran  seq 1 ( +e ,  F
)  C_  RR* )
326, 30, 31sylancr 658 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  ran  seq 1 ( +e ,  F ) 
C_  RR* )
33 nnex 10318 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
34 ffvelrn 5831 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3534ex 434 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( k  e.  NN  ->  ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
3613, 35ralrimi 2789 . . . . 5  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3711esumcl 26342 . . . . 5  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3833, 36, 37sylancr 658 . . . 4  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
397, 38sseldi 3344 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )
40 fvelrnb 5729 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  ->  ( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
416, 40mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
42 eqcom 2437 . . . . . . . . . 10  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  x  <-> 
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
439eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  =  x  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4442, 43syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4544rexbidva 2724 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  x ) )
4641, 45bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
4746biimpa 481 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
4833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  NN  e.  _V )
4934adantlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
5017, 18mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  C_  NN )
5115, 48, 49, 50esummono 26365 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5251ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5352adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5447, 53jca 529 . . . . 5  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  -> 
( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
55 r19.29r 2850 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  NN  x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\  A. n  e.  NN Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
56 breq1 4285 . . . . . . 7  |-  ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  ->  ( x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  <-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) ) )
5756biimpar 482 . . . . . 6  |-  ( ( x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5857rexlimivw 2829 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
5954, 55, 583syl 20 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) )  ->  x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6059ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
61 nfv 1674 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  x  e.  RR
6213, 61nfan 1861 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )
63 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
x
64 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k  <
6511nfesum1 26352 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ kΣ* k  e.  NN ( F `  k )
6663, 64, 65nfbr 4326 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )
6762, 66nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
6833a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  NN  e.  _V )
69 simplll 752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
7069, 34sylancom 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
71 simplr 749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR )
7271rexrd 9423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  e.  RR* )
73 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
7467, 68, 70, 72, 73esumlub 26367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
) )
75 ssnnssfz 25901 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )
76 r19.42v 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  <->  ( (
( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) ) )
77 nfv 1674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  a  C_  ( 1 ... n )
7867, 77nfan 1861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )
7910a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  (
1 ... n )  e. 
_V )
80 simp-4l 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
8117, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
82 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
8381, 82sseldi 3344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
8480, 83ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
85 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  a  C_  ( 1 ... n
) )
8678, 79, 84, 85esummono 26365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8786reximi 2815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  (
( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  C_  ( 1 ... n
) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
8876, 87sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  E. n  e.  NN  a  C_  (
1 ... n ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
8975, 88sylan2 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
9089ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
91 r19.29r 2850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
92 r19.42v 2867 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `
 k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9392rexbii 2732 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  <->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\  E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9491, 93sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\  A. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN Σ* k  e.  a ( F `  k )  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
9574, 90, 94syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
96 simp-4r 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
9796rexrd 9423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
98 vex 2967 . . . . . . . . . . . 12  |-  a  e. 
_V
99 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
a
10099nfel1 2581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
10167, 100nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
102101, 14nfan 1861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )
103 simp-5l 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
104 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
105 inss1 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
106105sseli 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  ->  a  e.  ~P NN )
107 elpwi 3859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ~P NN  ->  a 
C_  NN )
108104, 106, 1073syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  a  C_  NN )
109 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  a )
110108, 109sseldd 3347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  k  e.  NN )
111103, 110ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  a )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
112111ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  a  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
113102, 112ralrimi 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
11499esumcl 26342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  _V  /\  A. k  e.  a  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11598, 113, 114sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1167, 115sseldi 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR* )
117 simp-5l 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
118 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  ( 1 ... n
) )
11981, 118sseldi 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
120117, 119ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
121120ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  e.  ( 1 ... n )  -> 
( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
122102, 121ralrimi 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
12310, 122, 26sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1247, 123sseldi 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )
125 xrltletr 11121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  e.  RR*  /\ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
)  e.  RR* )  ->  ( ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k )  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
12697, 116, 124, 125syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k ) ) )
127126reximdva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  /\  a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
128127rexlimdva 2833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. a  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) E. n  e.  NN  (
x  < Σ* k  e.  a ( F `  k
)  /\ Σ* k  e.  a ( F `  k
)  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
12995, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
130 fvelrnb 5729 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 ( +e ,  F )  Fn  NN  ->  ( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
1316, 130mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
132 eqcom 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  (Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  =  y  <-> 
y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )
1339eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k )  =  y  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
134132, 133syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  (  seq 1 ( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
135134rexbidva 2724 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k )  <->  E. n  e.  NN  (  seq 1
( +e ,  F ) `  n
)  =  y ) )
136131, 135bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F )  <->  E. n  e.  NN  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
137 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
138137breq2d 4294 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) )  ->  (
x  <  y  <->  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n
) ( F `  k ) ) )
13927, 136, 138rexxfr2d 4499 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. y  e. 
ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <  y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k
) ) )
140139ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  ( E. y  e.  ran  seq 1
( +e ,  F ) x  < 
y  <->  E. n  e.  NN  x  < Σ* k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) ) )
141129, 140mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F
) x  <  y
)
142141ex 434 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) )
143142ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  RR  ( x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) )
144 supxr2 11266 . . 3  |-  ( ( ( ran  seq 1
( +e ,  F )  C_  RR*  /\ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  e.  RR* )  /\  ( A. x  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  <_ Σ* k  e.  NN ( F `  k )  /\  A. x  e.  RR  (
x  < Σ* k  e.  NN ( F `  k )  ->  E. y  e.  ran  seq 1 ( +e ,  F ) x  < 
y ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
14532, 39, 60, 143, 144syl22anc 1214 . 2  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  sup ( ran  seq 1
( +e ,  F ) ,  RR* ,  <  )  = Σ* k  e.  NN ( F `  k ) )
146145eqcomd 2440 1  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  NN ( F `  k )  =  sup ( ran  seq 1 ( +e ,  F
) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1757   F/_wnfc 2558   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2964    i^i cin 3317    C_ wss 3318   ~Pcpw 3850   class class class wbr 4282   ran crn 4830    Fn wfn 5403   -->wf 5404   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   Fincfn 7300   supcsup 7680   RRcr 9271   0cc0 9272   1c1 9273   +oocpnf 9405   RR*cxr 9407    < clt 9408    <_ cle 9409   NNcn 10312   ZZcz 10636   ZZ>=cuz 10851   +ecxad 11077   [,]cicc 11293   ...cfz 11426    seqcseq 11792  Σ*cesum 26339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-inf2 7837  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350  ax-addf 9351  ax-mulf 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-iin 4164  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-se 4669  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6311  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-supp 6682  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-2o 6911  df-oadd 6914  df-er 7091  df-map 7206  df-pm 7207  df-ixp 7254  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-fsupp 7611  df-fi 7651  df-sup 7681  df-oi 7714  df-card 8099  df-cda 8327  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-4 10372  df-5 10373  df-6 10374  df-7 10375  df-8 10376  df-9 10377  df-10 10378  df-n0 10570  df-z 10637  df-dec 10746  df-uz 10852  df-q 10944  df-rp 10982  df-xneg 11079  df-xadd 11080  df-xmul 11081  df-ioo 11294  df-ioc 11295  df-ico 11296  df-icc 11297  df-fz 11427  df-fzo 11535  df-fl 11628  df-mod 11695  df-seq 11793  df-exp 11852  df-fac 12038  df-bc 12065  df-hash 12090  df-shft 12542  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-limsup 12935  df-clim 12952  df-rlim 12953  df-sum 13150  df-ef 13338  df-sin 13340  df-cos 13341  df-pi 13343  df-struct 14161  df-ndx 14162  df-slot 14163  df-base 14164  df-sets 14165  df-ress 14166  df-plusg 14236  df-mulr 14237  df-starv 14238  df-sca 14239  df-vsca 14240  df-ip 14241  df-tset 14242  df-ple 14243  df-ds 14245  df-unif 14246  df-hom 14247  df-cco 14248  df-rest 14346  df-topn 14347  df-0g 14365  df-gsum 14366  df-topgen 14367  df-pt 14368  df-prds 14371  df-ordt 14424  df-xrs 14425  df-qtop 14430  df-imas 14431  df-xps 14433  df-mre 14509  df-mrc 14510  df-acs 14512  df-ps 15355  df-tsr 15356  df-mnd 15400  df-plusf 15401  df-mhm 15449  df-submnd 15450  df-grp 15527  df-minusg 15528  df-sbg 15529  df-mulg 15530  df-subg 15660  df-cntz 15817  df-cmn 16261  df-abl 16262  df-mgp 16568  df-rng 16582  df-cring 16583  df-ur 16584  df-subrg 16789  df-abv 16828  df-lmod 16876  df-scaf 16877  df-sra 17177  df-rgmod 17178  df-psmet 17655  df-xmet 17656  df-met 17657  df-bl 17658  df-mopn 17659  df-fbas 17660  df-fg 17661  df-cnfld 17665  df-top 18347  df-bases 18349  df-topon 18350  df-topsp 18351  df-cld 18467  df-ntr 18468  df-cls 18469  df-nei 18546  df-lp 18584  df-perf 18585  df-cn 18675  df-cnp 18676  df-haus 18763  df-tx 18979  df-hmeo 19172  df-fil 19263  df-fm 19355  df-flim 19356  df-flf 19357  df-tmd 19487  df-tgp 19488  df-tsms 19541  df-trg 19578  df-xms 19739  df-ms 19740  df-tms 19741  df-nm 20019  df-ngp 20020  df-nrg 20022  df-nlm 20023  df-ii 20297  df-cncf 20298  df-limc 21185  df-dv 21186  df-log 21895  df-esum 26340
This theorem is referenced by:  esumfsupre  26376
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