Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumf1o Structured version   Unicode version

Theorem esumf1o 28279
Description: Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumf1o.0  |-  F/ n ph
esumf1o.b  |-  F/_ n B
esumf1o.d  |-  F/_ k D
esumf1o.a  |-  F/_ n A
esumf1o.c  |-  F/_ n C
esumf1o.f  |-  F/_ n F
esumf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
esumf1o.2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
esumf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
esumf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumf1o  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = Σ* n  e.  C D )
Distinct variable groups:    k, n    A, k    C, k    k, G    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    B( k, n)    C( n)    D( k, n)    F( k, n)    G( n)    V( k, n)

Proof of Theorem esumf1o
StepHypRef Expression
1 xrge0base 27907 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 xrge0cmn 18655 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
4 xrge0tps 28159 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp )
6 esumf1o.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 esumf1o.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
97, 8fmptd 6031 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
10 esumf1o.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
111, 3, 5, 6, 9, 10tsmsf1o 20813 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  F ) ) )
12 esumf1o.b . . . . . 6  |-  F/_ n B
13 esumf1o.d . . . . . 6  |-  F/_ k D
14 esumf1o.c . . . . . 6  |-  F/_ n C
15 esumf1o.a . . . . . 6  |-  F/_ n A
16 esumf1o.0 . . . . . 6  |-  F/ n ph
17 esumf1o.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
18 f1of 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
1910, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2019ffvelrnda 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
2117, 20eqeltrrd 2543 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
2221ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  C  ->  G  e.  A ) )
2316, 22ralrimi 2854 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  G  e.  A )
24 esumf1o.f . . . . . . . 8  |-  F/_ n F
2514, 24, 19feqmptdf 27723 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  C  |->  ( F `
 n ) ) )
2616, 17mpteq2da 4524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  C  |->  ( F `  n
) )  =  ( n  e.  C  |->  G ) )
2725, 26eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  C  |->  G ) )
28 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B ) )
29 esumf1o.1 . . . . . 6  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
3012, 13, 14, 15, 16, 23, 27, 28, 29fmptcof2 27724 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  F )  =  ( n  e.  C  |->  D ) )
3130oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  F ) )  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
3211, 31eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
3332unieqd 4245 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
34 df-esum 28257 . 2  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
35 df-esum 28257 . 2  |- Σ* n  e.  C D  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) )
3633, 34, 353eqtr4g 2520 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = Σ* n  e.  C D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   F/wnf 1621    e. wcel 1823   F/_wnfc 2602   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   +oocpnf 9614   [,]cicc 11535   ↾s cress 14717   RR*scxrs 14989  CMndccmn 16997   TopSpctps 19564   tsums ctsu 20790  Σ*cesum 28256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-xadd 11322  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-ordt 14990  df-xrs 14991  df-ps 16029  df-tsr 16030  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-ntr 19688  df-nei 19766  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tsms 20791  df-esum 28257
This theorem is referenced by:  esumc  28280  esumiun  28323  volmeas  28440
  Copyright terms: Public domain W3C validator