Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumf1o Structured version   Unicode version

Theorem esumf1o 26440
Description: Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumf1o.0  |-  F/ n ph
esumf1o.a  |-  F/_ n A
esumf1o.c  |-  F/_ n C
esumf1o.f  |-  F/_ n F
esumf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
esumf1o.2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
esumf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
esumf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumf1o  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = Σ* n  e.  C D )
Distinct variable groups:    k, n    A, k    B, n    C, k    D, k    k, G    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    B( k)    C( n)    D( n)    F( k, n)    G( n)    V( k, n)

Proof of Theorem esumf1o
StepHypRef Expression
1 xrge0base 26079 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 xrge0cmn 17814 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
4 xrge0tps 26308 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp )
6 esumf1o.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 esumf1o.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
97, 8fmptd 5864 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
10 esumf1o.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
111, 3, 5, 6, 9, 10tsmsf1o 19678 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  F ) ) )
12 esumf1o.c . . . . . 6  |-  F/_ n C
13 esumf1o.a . . . . . 6  |-  F/_ n A
14 esumf1o.0 . . . . . 6  |-  F/ n ph
15 esumf1o.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
16 f1of 5638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
1710, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
1817ffvelrnda 5840 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
1915, 18eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
2019ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  C  ->  G  e.  A ) )
2114, 20ralrimi 2795 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  G  e.  A )
22 esumf1o.f . . . . . . . 8  |-  F/_ n F
2312, 22, 17feqmptdf 25913 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  C  |->  ( F `
 n ) ) )
2414, 15mpteq2da 4374 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  C  |->  ( F `  n
) )  =  ( n  e.  C  |->  G ) )
2523, 24eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  C  |->  G ) )
26 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B ) )
27 esumf1o.1 . . . . . 6  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
2812, 13, 14, 21, 25, 26, 27fmptcof2 25914 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  F )  =  ( n  e.  C  |->  D ) )
2928oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  F ) )  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
3011, 29eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
3130unieqd 4098 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
32 df-esum 26420 . 2  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
33 df-esum 26420 . 2  |- Σ* n  e.  C D  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) )
3431, 32, 333eqtr4g 2498 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = Σ* n  e.  C D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   F/wnf 1594    e. wcel 1761   F/_wnfc 2564   U.cuni 4088    e. cmpt 4347    o. ccom 4840   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   +oocpnf 9411   [,]cicc 11299   ↾s cress 14171   RR*scxrs 14434  CMndccmn 16270   TopSpctps 18460   tsums ctsu 19655  Σ*cesum 26419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-xadd 11086  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-ordt 14435  df-xrs 14436  df-ps 15366  df-tsr 15367  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-ntr 18583  df-nei 18661  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-tsms 19656  df-esum 26420
This theorem is referenced by:  esumc  26441  volmeas  26583
  Copyright terms: Public domain W3C validator