Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumf1o Structured version   Unicode version

Theorem esumf1o 26638
Description: Re-index an extended sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumf1o.0  |-  F/ n ph
esumf1o.a  |-  F/_ n A
esumf1o.c  |-  F/_ n C
esumf1o.f  |-  F/_ n F
esumf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
esumf1o.2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
esumf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
esumf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumf1o  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = Σ* n  e.  C D )
Distinct variable groups:    k, n    A, k    B, n    C, k    D, k    k, G    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    B( k)    C( n)    D( n)    F( k, n)    G( n)    V( k, n)

Proof of Theorem esumf1o
StepHypRef Expression
1 xrge0base 26280 . . . . 5  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 xrge0cmn 17964 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
4 xrge0tps 26506 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp )
6 esumf1o.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 esumf1o.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
97, 8fmptd 5966 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
10 esumf1o.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
111, 3, 5, 6, 9, 10tsmsf1o 19835 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  F ) ) )
12 esumf1o.c . . . . . 6  |-  F/_ n C
13 esumf1o.a . . . . . 6  |-  F/_ n A
14 esumf1o.0 . . . . . 6  |-  F/ n ph
15 esumf1o.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
16 f1of 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
1710, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
1817ffvelrnda 5942 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
1915, 18eqeltrrd 2540 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
2019ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  C  ->  G  e.  A ) )
2114, 20ralrimi 2815 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  G  e.  A )
22 esumf1o.f . . . . . . . 8  |-  F/_ n F
2312, 22, 17feqmptdf 26112 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  C  |->  ( F `
 n ) ) )
2414, 15mpteq2da 4475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  C  |->  ( F `  n
) )  =  ( n  e.  C  |->  G ) )
2523, 24eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  C  |->  G ) )
26 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B ) )
27 esumf1o.1 . . . . . 6  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
2812, 13, 14, 21, 25, 26, 27fmptcof2 26113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  F )  =  ( n  e.  C  |->  D ) )
2928oveq2d 6206 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  F ) )  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
3011, 29eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
3130unieqd 4199 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) ) )
32 df-esum 26618 . 2  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
33 df-esum 26618 . 2  |- Σ* n  e.  C D  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( n  e.  C  |->  D ) )
3431, 32, 333eqtr4g 2517 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = Σ* n  e.  C D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758   F/_wnfc 2599   U.cuni 4189    |-> cmpt 4448    o. ccom 4942   -->wf 5512   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   0cc0 9383   +oocpnf 9516   [,]cicc 11404   ↾s cress 14277   RR*scxrs 14540  CMndccmn 16381   TopSpctps 18617   tsums ctsu 19812  Σ*cesum 26617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-oi 7825  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-xadd 11191  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-seq 11908  df-hash 12205  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-ordt 14541  df-xrs 14542  df-ps 15472  df-tsr 15473  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-ntr 18740  df-nei 18818  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-tsms 19813  df-esum 26618
This theorem is referenced by:  esumc  26639  volmeas  26781
  Copyright terms: Public domain W3C validator