Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumel Structured version   Unicode version

Theorem esumel 26437
Description: The extended sum is a limit point of the corresponding infinite group sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumel.1  |-  F/ k
ph
esumel.2  |-  F/_ k A
esumel.3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumel.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumel  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)

Proof of Theorem esumel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumel.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 esumel.1 . . . . 5  |-  F/ k
ph
3 esumel.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
43ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
52, 4ralrimi 2795 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6 esumel.2 . . . . 5  |-  F/_ k A
76esumcl 26422 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
81, 5, 7syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9 snidg 3900 . . 3  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo )  -> Σ* k  e.  A B  e. 
{Σ* k  e.  A B } )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
{Σ* k  e.  A B } )
11 eqid 2441 . . 3  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
12 nfcv 2577 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
13 eqid 2441 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
142, 6, 12, 3, 13fmptdF 25907 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
15 inss1 3567 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
16 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
1715, 16sseldi 3351 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ~P A )
1817elpwid 3867 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
19 nfcv 2577 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
x
206, 19resmptf 25909 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  |`  x
)  =  ( k  e.  x  |->  B ) )
2118, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  |`  x
)  =  ( k  e.  x  |->  B ) )
2221eqcomd 2446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  x  |->  B )  =  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x )
)
2322oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) )
242, 6, 1, 3, 23esumval 26436 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( ( k  e.  A  |->  B )  |`  x ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
2511, 1, 14, 24xrge0tsmsd 26188 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  {Σ* k  e.  A B } )
2610, 25eleqtrrd 2518 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   F/wnf 1594    e. wcel 1761   F/_wnfc 2564   A.wral 2713    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   {csn 3874    e. cmpt 4347    |` cres 4838  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   0cc0 9278   +oocpnf 9411   [,]cicc 11299   ↾s cress 14171    gsumg cgsu 14375   RR*scxrs 14434   tsums ctsu 19655  Σ*cesum 26419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-xadd 11086  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-ordt 14435  df-xrs 14436  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-ps 15366  df-tsr 15367  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-ntr 18583  df-nei 18661  df-cn 18790  df-haus 18878  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-tsms 19656  df-esum 26420
This theorem is referenced by:  esumsplit  26442  esumadd  26443  esumaddf  26448  esumcocn  26465
  Copyright terms: Public domain W3C validator