Theorem esumdivc 28953

Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumdivc.a	|- ( ph -> A e. V )
esumdivc.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
esumdivc.c	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
esumdivc	|- ( ph -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = Σ* k e. A ( B /𝑒 C ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   k, V   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem esumdivc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumdivc.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		esumdivc.b	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
3		1red 9684	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
4		esumdivc.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR+ )
5	4	rpred 11370	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
6	4	rpne0d 11375	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= 0 )
7		rexdiv 28444	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ C e. RR /\ C =/= 0 ) -> ( 1 /𝑒 C ) = ( 1 / C ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1276	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 /𝑒 C ) = ( 1 / C ) )
9		ioorp 11741	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
10		ioossico 11752	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) C_ ( 0 [,) +oo )
11	9, 10	eqsstr3i 3475	. . . . 5 |- RR+ C_ ( 0 [,) +oo )
12	4	rpreccld 11380	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / C ) e. RR+ )
13	11, 12	sseldi 3442	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
14	8, 13	eqeltrd 2540	. . 3 |- ( ph -> ( 1 /𝑒 C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
15	1, 2, 14	esummulc1 28951	. 2 |- ( ph -> (Σ* k e. A B xe ( 1 /𝑒 C ) ) = Σ* k e. A ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
16		iccssxr 11746	. . . 4 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
17	2	ralrimiva 2814	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
18		nfcv 2603	. . . . . 6 |- F/_ k A
19	18	esumcl 28900	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
20	1, 17, 19	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
21	16, 20	sseldi 3442	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. RR* )
22		xdivrec 28445	. . 3 |- ( (Σ* k e. A B e. RR* /\ C e. RR /\ C =/= 0 ) -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = (Σ* k e. A B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
23	21, 5, 6, 22	syl3anc 1276	. 2 |- ( ph -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = (Σ* k e. A B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
24	16, 2	sseldi 3442	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR* )
25	5	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
26	6	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C =/= 0 )
27		xdivrec 28445	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR /\ C =/= 0 ) -> ( B /𝑒 C ) = ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B /𝑒 C ) = ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
29	28	esumeq2dv 28908	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. A ( B /𝑒 C ) = Σ* k e. A ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
30	15, 23, 29	3eqtr4d 2506	1 |- ( ph -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = Σ* k e. A ( B /𝑒 C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749  (class class class)co 6315   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   +oocpnf 9698   RR*cxr 9700   / cdiv 10297   RR+crp 11331   xecxmu 11437   (,)cioo 11664   [,)cico 11666   [,]cicc 11667   /_𝑒 cxdiv 28435  Σ^*cesum 28897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-ioc 11669  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-ordt 15448  df-xrs 15449  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-ps 16495  df-tsr 16496  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-mhm 16631  df-submnd 16632  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-ntr 20084  df-nei 20163  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-haus 20380  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-tsms 21190  df-xdiv 28436  df-esum 28898

This theorem is referenced by:  measdivcstOLD  29095  measdivcst  29096