Theorem esumdivc 26531

Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumdivc.a	|- ( ph -> A e. V )
esumdivc.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
esumdivc.c	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
esumdivc	|- ( ph -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = Σ* k e. A ( B /𝑒 C ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   k, V   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem esumdivc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumdivc.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		esumdivc.b	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
3		1re 9384	. . . . . 6 |- 1 e. RR
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
5		esumdivc.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR+ )
6	5	rpred 11026	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
7	5	rpne0d 11031	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= 0 )
8		rexdiv 26100	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ C e. RR /\ C =/= 0 ) -> ( 1 /𝑒 C ) = ( 1 / C ) )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 /𝑒 C ) = ( 1 / C ) )
10		ioorp 11372	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
11		ioossico 26059	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) C_ ( 0 [,) +oo )
12	10, 11	eqsstr3i 3386	. . . . 5 |- RR+ C_ ( 0 [,) +oo )
13	5	rpreccld 11036	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / C ) e. RR+ )
14	12, 13	sseldi 3353	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
15	9, 14	eqeltrd 2516	. . 3 |- ( ph -> ( 1 /𝑒 C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
16	1, 2, 15	esummulc1 26529	. 2 |- ( ph -> (Σ* k e. A B xe ( 1 /𝑒 C ) ) = Σ* k e. A ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
17		iccssxr 11377	. . . 4 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
18	2	ralrimiva 2798	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
19		nfcv 2578	. . . . . 6 |- F/_ k A
20	19	esumcl 26485	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
21	1, 18, 20	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
22	17, 21	sseldi 3353	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. RR* )
23		xdivrec 26101	. . 3 |- ( (Σ* k e. A B e. RR* /\ C e. RR /\ C =/= 0 ) -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = (Σ* k e. A B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
24	22, 6, 7, 23	syl3anc 1218	. 2 |- ( ph -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = (Σ* k e. A B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
25	17, 2	sseldi 3353	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR* )
26	6	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
27	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C =/= 0 )
28		xdivrec 26101	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR /\ C =/= 0 ) -> ( B /𝑒 C ) = ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B /𝑒 C ) = ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
30	29	esumeq2dv 26493	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. A ( B /𝑒 C ) = Σ* k e. A ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
31	16, 24, 30	3eqtr4d 2484	1 |- ( ph -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = Σ* k e. A ( B /𝑒 C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2605   A.wral 2714  (class class class)co 6090   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282   +oocpnf 9414   RR*cxr 9416   / cdiv 9992   RR+crp 10990   xecxmu 11087   (,)cioo 11299   [,)cico 11301   [,]cicc 11302   /_𝑒 cxdiv 26091  Σ^*cesum 26482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ioc 11304  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-hash 12103  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-ordt 14438  df-xrs 14439  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-ps 15369  df-tsr 15370  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-submnd 15464  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-ntr 18623  df-nei 18701  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-haus 18918  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-tsms 19696  df-xdiv 26092  df-esum 26483

This theorem is referenced by:  measdivcstOLD  26637  measdivcst  26638