Theorem esumdivc 28245

Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumdivc.a	|- ( ph -> A e. V )
esumdivc.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
esumdivc.c	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
esumdivc	|- ( ph -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = Σ* k e. A ( B /𝑒 C ) )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   k, V   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem esumdivc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumdivc.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		esumdivc.b	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
3		1red 9628	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
4		esumdivc.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR+ )
5	4	rpred 11281	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR )
6	4	rpne0d 11286	. . . . 5 |- ( ph -> C =/= 0 )
7		rexdiv 27774	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ C e. RR /\ C =/= 0 ) -> ( 1 /𝑒 C ) = ( 1 / C ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 /𝑒 C ) = ( 1 / C ) )
9		ioorp 11627	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
10		ioossico 11638	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) C_ ( 0 [,) +oo )
11	9, 10	eqsstr3i 3530	. . . . 5 |- RR+ C_ ( 0 [,) +oo )
12	4	rpreccld 11291	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / C ) e. RR+ )
13	11, 12	sseldi 3497	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
14	8, 13	eqeltrd 2545	. . 3 |- ( ph -> ( 1 /𝑒 C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
15	1, 2, 14	esummulc1 28243	. 2 |- ( ph -> (Σ* k e. A B xe ( 1 /𝑒 C ) ) = Σ* k e. A ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
16		iccssxr 11632	. . . 4 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
17	2	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
18		nfcv 2619	. . . . . 6 |- F/_ k A
19	18	esumcl 28196	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
20	1, 17, 19	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
21	16, 20	sseldi 3497	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. RR* )
22		xdivrec 27775	. . 3 |- ( (Σ* k e. A B e. RR* /\ C e. RR /\ C =/= 0 ) -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = (Σ* k e. A B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
23	21, 5, 6, 22	syl3anc 1228	. 2 |- ( ph -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = (Σ* k e. A B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
24	16, 2	sseldi 3497	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR* )
25	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
26	6	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C =/= 0 )
27		xdivrec 27775	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR /\ C =/= 0 ) -> ( B /𝑒 C ) = ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B /𝑒 C ) = ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
29	28	esumeq2dv 28204	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. A ( B /𝑒 C ) = Σ* k e. A ( B xe ( 1 /𝑒 C ) ) )
30	15, 23, 29	3eqtr4d 2508	1 |- ( ph -> (Σ* k e. A B /𝑒 C ) = Σ* k e. A ( B /𝑒 C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644   / cdiv 10227   RR+crp 11245   xecxmu 11342   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   [,]cicc 11557   /_𝑒 cxdiv 27765  Σ^*cesum 28193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-ordt 14917  df-xrs 14918  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-ps 15956  df-tsr 15957  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-ntr 19647  df-nei 19725  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-tsms 20750  df-xdiv 27766  df-esum 28194

This theorem is referenced by:  measdivcstOLD  28356  measdivcst  28357