Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumdivc Structured version   Unicode version

Theorem esumdivc 26531
Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumdivc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumdivc.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumdivc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
esumdivc  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B /𝑒  C )  = Σ* k  e.  A
( B /𝑒  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    k, V    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem esumdivc
StepHypRef Expression
1 esumdivc.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 esumdivc.b . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3 1re 9384 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5 esumdivc.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
65rpred 11026 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
75rpne0d 11031 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
8 rexdiv 26100 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  C  =/=  0 )  ->  (
1 /𝑒 
C )  =  ( 1  /  C ) )
94, 6, 7, 8syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 /𝑒  C )  =  ( 1  /  C ) )
10 ioorp 11372 . . . . . 6  |-  ( 0 (,) +oo )  = 
RR+
11 ioossico 26059 . . . . . 6  |-  ( 0 (,) +oo )  C_  ( 0 [,) +oo )
1210, 11eqsstr3i 3386 . . . . 5  |-  RR+  C_  (
0 [,) +oo )
135rpreccld 11036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  RR+ )
1412, 13sseldi 3353 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
159, 14eqeltrd 2516 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 /𝑒  C )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
161, 2, 15esummulc1 26529 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B xe ( 1 /𝑒  C ) )  = Σ* k  e.  A ( B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
17 iccssxr 11377 . . . 4  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
182ralrimiva 2798 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
19 nfcv 2578 . . . . . 6  |-  F/_ k A
2019esumcl 26485 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
211, 18, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2217, 21sseldi 3353 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
23 xdivrec 26101 . . 3  |-  ( (Σ* k  e.  A B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR  /\  C  =/=  0
)  ->  (Σ* k  e.  A B /𝑒  C )  =  (Σ* k  e.  A B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
2422, 6, 7, 23syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B /𝑒  C )  =  (Σ* k  e.  A B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
2517, 2sseldi 3353 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
266adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
277adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
28 xdivrec 26101 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B /𝑒  C )  =  ( B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B /𝑒  C )  =  ( B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
3029esumeq2dv 26493 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A ( B /𝑒  C )  = Σ* k  e.  A
( B xe ( 1 /𝑒  C ) ) )
3116, 24, 303eqtr4d 2484 1  |-  ( ph  ->  (Σ* k  e.  A B /𝑒  C )  = Σ* k  e.  A
( B /𝑒  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714  (class class class)co 6090   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282   +oocpnf 9414   RR*cxr 9416    / cdiv 9992   RR+crp 10990   xecxmu 11087   (,)cioo 11299   [,)cico 11301   [,]cicc 11302   /𝑒 cxdiv 26091  Σ*cesum 26482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ioc 11304  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-hash 12103  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-ordt 14438  df-xrs 14439  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-ps 15369  df-tsr 15370  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-submnd 15464  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-ntr 18623  df-nei 18701  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-haus 18918  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-tsms 19696  df-xdiv 26092  df-esum 26483
This theorem is referenced by:  measdivcstOLD  26637  measdivcst  26638
  Copyright terms: Public domain W3C validator