Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvgsum Structured version   Unicode version

Theorem esumcvgsum 28748
Description: The value of the extended sum when the corresponding sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvgsum.1  |-  ( k  =  i  ->  A  =  B )
esumcvgsum.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
esumcvgsum.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
esumcvgsum.4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  L )
esumcvgsum.5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
esumcvgsum  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN A  = 
sum_ k  e.  NN  A )
Distinct variable groups:    i, k    A, i    B, k    k, F    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( k)    B( i)    F( i)    L( i, k)

Proof of Theorem esumcvgsum
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcvgsum.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2 esumcvgsum.1 . 2  |-  ( k  =  i  ->  A  =  B )
3 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ph )
4 elfznn 11826 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... j )  ->  k  e.  NN )
54adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... j
) )  ->  k  e.  NN )
6 esumcvgsum.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  A )
73, 5, 6syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( F `  k )  =  A )
8 nnuz 11194 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
98eleq2i 2507 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
109biimpi 197 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1110adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
12 mnfxr 11414 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
13 pnfxr 11412 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
14 0re 9642 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
15 mnflt 11425 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  RR  -> -oo  <  0 )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- -oo  <  0
17 pnfge 11432 . . . . . . . . . 10  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- +oo  <_ +oo
19 icossioo 11725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  0  /\ +oo  <_ +oo ) )  -> 
( 0 [,) +oo )  C_  ( -oo (,) +oo ) )
2012, 13, 16, 18, 19mp4an 677 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( -oo (,) +oo )
21 ioomax 11709 . . . . . . . 8  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
2220, 21sseqtri 3502 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
233, 5, 1syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... j
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2422, 23sseldi 3468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... j
) )  ->  A  e.  RR )
2524recnd 9668 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... j
) )  ->  A  e.  CC )
267, 11, 25fsumser 13774 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... j
) A  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  j ) )
2726mpteq2dva 4512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... j ) A )  =  ( j  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  j
) ) )
28 1z 10967 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
29 seqfn 12222 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= ` 
1 )
31 fneq2 5683 . . . . . . 7  |-  ( NN  =  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  NN  <->  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) ) )
328, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  NN  <->  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
3330, 32mpbir 212 . . . . 5  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  Fn  NN
34 dffn5 5926 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  +  ,  F )  Fn  NN  <->  seq 1 (  +  ,  F )  =  ( j  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  j ) ) )
3533, 34mpbi 211 . . . 4  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  =  ( j  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  j
) )
36 seqex 12212 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  F
)  e.  _V
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
38 esumcvgsum.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
39 esumcvgsum.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  L )
40 breldmg 5060 . . . . 5  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
_V  /\  L  e.  RR  /\  seq 1 (  +  ,  F )  ~~>  L )  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
4137, 38, 39, 40syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
4235, 41syl5eqelr 2522 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  j ) )  e. 
dom 
~~>  )
4327, 42eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... j ) A )  e.  dom  ~~>  )
441, 2, 43esumpcvgval 28738 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  NN A  = 
sum_ k  e.  NN  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   ...cfz 11782    seqcseq 12210    ~~> cli 13526   sum_csu 13730  Σ*cesum 28687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-ntr 19966  df-nei 20045  df-cn 20174  df-haus 20262  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tsms 21072  df-esum 28688
This theorem is referenced by:  omssubadd  28961
  Copyright terms: Public domain W3C validator