Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvgsum Structured version   Unicode version

Theorem esumcvgsum 28748
 Description: The value of the extended sum when the corresponding sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvgsum.1
esumcvgsum.2
esumcvgsum.3
esumcvgsum.4
esumcvgsum.5
Assertion
Ref Expression
esumcvgsum Σ*
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem esumcvgsum
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcvgsum.2 . 2
2 esumcvgsum.1 . 2
3 simpll 758 . . . . . 6
4 elfznn 11826 . . . . . . 7
54adantl 467 . . . . . 6
6 esumcvgsum.3 . . . . . 6
73, 5, 6syl2anc 665 . . . . 5
8 nnuz 11194 . . . . . . . 8
98eleq2i 2507 . . . . . . 7
109biimpi 197 . . . . . 6
1110adantl 467 . . . . 5
12 mnfxr 11414 . . . . . . . . 9
13 pnfxr 11412 . . . . . . . . 9
14 0re 9642 . . . . . . . . . 10
15 mnflt 11425 . . . . . . . . . 10
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9
17 pnfge 11432 . . . . . . . . . 10
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9
19 icossioo 11725 . . . . . . . . 9
2012, 13, 16, 18, 19mp4an 677 . . . . . . . 8
21 ioomax 11709 . . . . . . . 8
2220, 21sseqtri 3502 . . . . . . 7
233, 5, 1syl2anc 665 . . . . . . 7
2422, 23sseldi 3468 . . . . . 6
2524recnd 9668 . . . . 5
267, 11, 25fsumser 13774 . . . 4
2726mpteq2dva 4512 . . 3
28 1z 10967 . . . . . . 7
29 seqfn 12222 . . . . . . 7
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6
31 fneq2 5683 . . . . . . 7
328, 31ax-mp 5 . . . . . 6
3330, 32mpbir 212 . . . . 5
34 dffn5 5926 . . . . 5
3533, 34mpbi 211 . . . 4
36 seqex 12212 . . . . . 6
3736a1i 11 . . . . 5
38 esumcvgsum.5 . . . . 5
39 esumcvgsum.4 . . . . 5
40 breldmg 5060 . . . . 5
4137, 38, 39, 40syl3anc 1264 . . . 4
4235, 41syl5eqelr 2522 . . 3
4327, 42eqeltrd 2517 . 2
441, 2, 43esumpcvgval 28738 1 Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   wss 3442   class class class wbr 4426   cmpt 4484   cdm 4854   wfn 5596  cfv 5601  (class class class)co 6305  cr 9537  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541   cpnf 9671   cmnf 9672  cxr 9673   clt 9674   cle 9675  cn 10609  cz 10937  cuz 11159  cioo 11635  cico 11637  cfz 11782   cseq 12210   cli 13526  csu 13730  Σ*cesum 28687 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-ntr 19966  df-nei 20045  df-cn 20174  df-haus 20262  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tsms 21072  df-esum 28688 This theorem is referenced by:  omssubadd  28961
 Copyright terms: Public domain W3C validator