Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvgre Structured version   Unicode version

Theorem esumcvgre 28920
Description: All terms of a converging extended sum shall be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvgre.0  |-  F/ k
ph
esumcvgre.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumcvgre.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumcvgre.3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
esumcvgre  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Distinct variable groups:    A, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem esumcvgre
StepHypRef Expression
1 esumcvgre.0 . . . . . . 7  |-  F/ k
ph
2 nfre1 2883 . . . . . . 7  |-  F/ k E. k  e.  A  B  = +oo
31, 2nfan 1988 . . . . . 6  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  A  B  = +oo )
4 esumcvgre.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
54adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  = +oo )  ->  A  e.  V )
6 esumcvgre.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
76adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  = +oo )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  = +oo )  ->  E. k  e.  A  B  = +oo )
93, 5, 7, 8esumpinfval 28902 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  = +oo )  -> Σ* k  e.  A B  = +oo )
10 esumcvgre.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  RR )
11 ltpnf 11429 . . . . . . . . . 10  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR  -> Σ* k  e.  A B  < +oo )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  < +oo )
1310, 12gtned 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> +oo  =/= Σ* k  e.  A B )
1413adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  = +oo )  -> +oo  =/= Σ* k  e.  A B )
15 necom 2689 . . . . . . . 8  |-  ( +oo  =/= Σ* k  e.  A B  <-> Σ* k  e.  A B  =/= +oo )
1615imbi2i 313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  = +oo )  -> +oo  =/= Σ* k  e.  A B )  <->  ( ( ph  /\  E. k  e.  A  B  = +oo )  -> Σ* k  e.  A B  =/= +oo ) )
1714, 16mpbi 211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  = +oo )  -> Σ* k  e.  A B  =/= +oo )
1817neneqd 2621 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  B  = +oo )  ->  -. Σ* k  e.  A B  = +oo )
199, 18pm2.65da 578 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  E. k  e.  A  B  = +oo )
20 ralnex 2868 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  -.  B  = +oo  <->  -.  E. k  e.  A  B  = +oo )
2119, 20sylibr 215 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  -.  B  = +oo )
2221r19.21bi 2791 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  B  = +oo )
23 iccssxr 11724 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2423sseli 3460 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  B  e. 
RR* )
25 xrge0neqmnf 11744 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  B  =/= -oo )
26 xrnemnf 11426 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo ) )
2726biimpi 197 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo )
)
2824, 25, 27syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo ) )
296, 28syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo )
)
3029orcomd 389 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  = +oo  \/  B  e.  RR ) )
3130orcanai 921 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  = +oo )  ->  B  e.  RR )
3222, 31mpdan 672 1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   F/wnf 1661    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546   +oocpnf 9679   -oocmnf 9680   RR*cxr 9681    < clt 9682   [,]cicc 11645  Σ*cesum 28856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-ordt 15398  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-ps 16445  df-tsr 16446  df-plusf 16486  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-subrg 18005  df-abv 18044  df-lmod 18092  df-scaf 18093  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-tmd 21085  df-tgp 21086  df-tsms 21139  df-trg 21172  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-nm 21595  df-ngp 21596  df-nrg 21598  df-nlm 21599  df-ii 21907  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-esum 28857
This theorem is referenced by:  omssubadd  29136  omssubaddOLD  29140
  Copyright terms: Public domain W3C validator