Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvg2 Structured version   Unicode version

Theorem esumcvg2 26670
Description: Simpler version of esumcvg 26669. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg2.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
esumcvg2.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumcvg2.l  |-  ( k  =  l  ->  A  =  B )
esumcvg2.m  |-  ( k  =  m  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
esumcvg2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
Distinct variable groups:    k, l, m, n    A, l, m, n    B, k, n    C, k, l, n    k, J, n    ph, k, l, n
Allowed substitution hints:    ph( m)    A( k)    B( m, l)    C( m)    J( m, l)

Proof of Theorem esumcvg2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcvg2.m . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  A  =  C )
21cbvesumv 26632 . . . 4  |- Σ* k  e.  ( 1 ... i ) A  = Σ* m  e.  (
1 ... i ) C
3 oveq2 6198 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
1 ... i )  =  ( 1 ... n
) )
4 esumeq1 26624 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... i )  =  ( 1 ... n )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... i ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( i  =  n  -> Σ* k  e.  ( 1 ... i ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
62, 5syl5eqr 2506 . . 3  |-  ( i  =  n  -> Σ* m  e.  (
1 ... i ) C  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
76cbvmptv 4481 . 2  |-  ( i  e.  NN  |-> Σ* m  e.  (
1 ... i ) C )  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
8 esumcvg2.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
9 esumcvg2.a . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10 esumcvg2.l . . 3  |-  ( k  =  l  ->  A  =  B )
118, 7, 9, 10esumcvg 26669 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN  |-> Σ* m  e.  ( 1 ... i
) C ) ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
127, 11syl5eqbrr 4424 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   0cc0 9383   1c1 9384   +oocpnf 9516   NNcn 10423   [,]cicc 11404   ...cfz 11538   ↾s cress 14277   TopOpenctopn 14462   RR*scxrs 14540   ~~> tclm 18946  Σ*cesum 26617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458  df-pi 13460  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-ordt 14541  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-ps 15472  df-tsr 15473  df-mnd 15517  df-plusf 15518  df-mhm 15566  df-submnd 15567  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-mulg 15650  df-subg 15780  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-abl 16384  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-cring 16754  df-subrg 16969  df-abv 17008  df-lmod 17056  df-scaf 17057  df-sra 17359  df-rgmod 17360  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-lm 18949  df-haus 19035  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-tmd 19759  df-tgp 19760  df-tsms 19813  df-trg 19850  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-nm 20291  df-ngp 20292  df-nrg 20294  df-nlm 20295  df-ii 20569  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458  df-log 22124  df-esum 26618
This theorem is referenced by:  meascnbl  26767
  Copyright terms: Public domain W3C validator