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Theorem esumcvg 26540
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 13209. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
esumcvg.f  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
esumcvg.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumcvg.m  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
esumcvg  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Distinct variable groups:    m, n, A    k, n, B    k, m, F, n    k, J, n    ph, k, m, n
Allowed substitution hints:    A( k)    B( m)    J( m)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables  l  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10901 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10681 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  1  e.  ZZ )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
5 mnfxr 11099 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
6 pnfxr 11097 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  RR*
7 mnflt0 11110 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  <  0
8 pnfge 11115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
96, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  <_ +oo
10 icossioo 26067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  0  /\ +oo  <_ +oo ) )  -> 
( 0 [,) +oo )  C_  ( -oo (,) +oo ) )
115, 6, 7, 9, 10mp4an 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( -oo (,) +oo )
12 ioomax 11375 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
1311, 12sseqtri 3393 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
14 ax-resscn 9344 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
1513, 14sstri 3370 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
16 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
1716eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
1817cbvralv 2952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<-> 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
19 rsp 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
2018, 19sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
2120adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
2221imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2315, 22sseldi 3359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2423adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
25 esumcvg.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
26 fzfid 11800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1 ... n )  e. 
Fin )
27 elfznn 11483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
2827, 22sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2928adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3026, 29esumpfinval 26529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A )
3130mpteq2dva 4383 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
3225, 31syl5eq 2487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
3315, 29sseldi 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  CC )
3426, 33fsumcl 13215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  CC )
3532, 34fvmpt2d 5788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
3635adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
371, 3, 4, 24, 36isumclim3 13231 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A
)
38 esumcvg.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
3926, 29fsumrp0cl 26163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,) +oo )
)
4030, 39eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4140, 25fmptd 5872 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F : NN
--> ( 0 [,) +oo ) )
4241adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
43 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
44 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  B )  =  ( m  e.  NN  |->  B ) )
45 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  <->  m  =  k )
46 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
4716, 45, 463imtr3i 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  B  =  A )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  =  k )  ->  B  =  A )
49 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
50 esumcvg.a . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5144, 48, 49, 50fvmptd 5784 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
5243, 51sylancom 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
5322adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
54 elrege0 11397 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
5553, 54sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
5655simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
57 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
58 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
5927adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
6058, 59, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6160ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,] +oo )
)
62 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
6362esumcl 26491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6457, 61, 63sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6564, 25fmptd 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
66 ffn 5564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  NN )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  Fn  NN )
69 seqfn 11823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
702, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
711fneq2i 5511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
7270, 71mpbir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN )
74 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
7527, 51sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
7674, 75sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
7877, 1syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7976, 78, 33fsumser 13212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
8035, 79eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )
8168, 73, 80eqfnfvd 5805 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  =  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) )
8382, 4eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  e. 
dom 
~~>  )
841, 3, 52, 56, 83isumrecl 13237 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  RR )
8555simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
861, 3, 52, 56, 83, 85isumge0 13238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A )
87 elrege0 11397 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A ) )
8884, 86, 87sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo )
)
89 ssid 3380 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,) +oo )
9038, 42, 88, 89lmlimxrge0 26383 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) sum_ k  e.  NN  A  <->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A ) )
9137, 90mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
) sum_ k  e.  NN  A )
9225, 4syl5eqelr 2528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~>  )
9331eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
9493adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
9592, 94mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
9653, 16, 95esumpcvgval 26532 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sum_ k  e.  NN  A )
9791, 96breqtrrd 4323 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
)Σ* k  e.  NN A
)
9841adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
99 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
10099nnzd 10751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
101 uzid 10880 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
102 peano2uz 10913 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
104 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
105104, 22sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10699, 103, 105esumpmono 26533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
10735, 30eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
108107adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
109 oveq2 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  n  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... n
) )
110 esumeq1 26495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... n )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
111109, 110syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  n  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
112111cbvmptv 4388 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
11325, 112eqtr4i 2466 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
114113a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
115 simpr3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  ->  l  =  ( n  +  1
) )
116 oveq2 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
117 esumeq1 26495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
118115, 116, 1173syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
1191183anassrs 1209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  l  =  ( n  + 
1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
12099peano2nnd 10344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
121 ovex 6121 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
122 simp-4l 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  ph )
123 elfznn 11483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
124123adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
125122, 124, 50syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
126125ralrimiva 2804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
127 nfcv 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... (
n  +  1 ) )
128127esumcl 26491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
n  +  1 ) )  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
129121, 126, 128sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
130114, 119, 120, 129fvmptd 5784 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
131106, 108, 1303brtr4d 4327 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
132 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
13338, 98, 131, 132lmdvglim 26389 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
134 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
135 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ k NN
136 nnex 10333 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
137136a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  NN  e.  _V )
13850adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
139 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
140 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
141 inss1 3575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
142 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
143141, 142sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ~P NN )
144143elpwid 3875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  C_  NN )
145 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  x )
146144, 145sseldd 3362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  NN )
147140, 146, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
148 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  x  |->  A )  =  ( k  e.  x  |->  A )
149147, 148fmptd 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )
150 esumpfinvallem 26528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  ( k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
151139, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
152 inss2 3576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
Fin
153152, 139sseldi 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
154140, 146, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  CC )
155153, 154gsumfsum 17884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
156151, 155eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
157134, 135, 137, 138, 156esumval 26505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
158157adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
15998, 131, 132lmdvg 26388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
160159r19.21bi 2819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
161 nnz 10673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ZZ )
162 uzid 10880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  ZZ  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
164 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  n  =  l )
165164fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( F `  n
)  =  ( F `
 l ) )
166165breq2d 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( y  <  ( F `  n )  <->  y  <  ( F `  l ) ) )
167163, 166rspcdv 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  NN  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  l ) y  <  ( F `  n )  ->  y  <  ( F `  l
) ) )
168167reximia 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
)  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )
)
169160, 168syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l ) )
170 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
17198ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
172 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
173171, 172ffvelrnd 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
17413, 173sseldi 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
175 ltle 9468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  l )  e.  RR )  -> 
( y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
176170, 174, 175syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l
) ) )
17725a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
178 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... l
) )
179 esumeq1 26495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
180178, 179syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  l  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
181180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  n  =  l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
182 esumex 26490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )
184177, 181, 172, 183fvmptd 5784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
185 fzfid 11800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
1 ... l )  e. 
Fin )
186 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
187 elfznn 11483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... l )  ->  k  e.  NN )
188187adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  k  e.  NN )
189186, 188, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
190185, 189esumpfinval 26529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A )
191184, 190eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
192191breq2d 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <_  ( F `  l )  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
193176, 192sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <  ( F `  l )  ->  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
194193reximdva 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
195169, 194mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
196 fzssuz 11504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  C_  ( ZZ>= `  1 )
197196, 1sseqtr4i 3394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... l )  C_  NN
198 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  e. 
_V
199198elpw 3871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ~P NN  <->  ( 1 ... l )  C_  NN )
200197, 199mpbir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
~P NN
201 fzfi 11799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
Fin
202 elin 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (
1 ... l )  e. 
~P NN  /\  (
1 ... l )  e. 
Fin ) )
203200, 201, 202mpbir2an 911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
204 sumex 13170 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  _V
205 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  =  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )
206 sumeq1 13171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1 ... l )  ->  sum_ k  e.  x  A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
207205, 206elrnmpt1s 5092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... l
)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) )
208203, 204, 207mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )
209 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A
210 breq2 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  ( y  <_  z  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
211209, 210rspce 3073 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )  /\  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
212208, 211mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
213212rexlimivw 2842 . . . . . . . 8  |-  ( E. l  e.  NN  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
214195, 213syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
215214ralrimiva 2804 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
216 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
217152, 216sseldi 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
218147adantllr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
21913, 218sseldi 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  RR )
220217, 219fsumrecl 13216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR )
221220rexrd 9438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR* )
222221, 205fmptd 5872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR* )
223 frn 5570 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_ 
RR* )
224 supxrunb1 11287 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_  RR*  ->  ( A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
225222, 223, 2243syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( A. y  e.  RR  E. z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
226215, 225mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
227158, 226eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  = +oo )
228133, 227breqtrrd 4323 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
22997, 228pm2.61dan 789 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
23025reseq1i 5111 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)
231 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  (
l  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
232231anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  /\  l  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
233 sbequ12r 1937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  ( [ l  /  k ] A  = +oo  <->  A  = +oo ) )
234232, 233anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo ) 
<->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo ) ) )
235 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( ZZ>=
`  l )  =  ( ZZ>= `  k )
)
236235reseq2d 5115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
) )
237235xpeq1d 4868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )
238236, 237eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  { +oo } )  <->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) )
239234, 238imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{ +oo } ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) ) )
240 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  l  e.  NN )
241 nfs1v 2142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k [ l  /  k ] A  = +oo
242240, 241nfan 1861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )
243 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  n  e.  ( ZZ>= `  l )
244242, 243nfan 1861 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)
24557a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  _V )
246 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
24727adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
248246, 247, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
249 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  NN )
250 elnnuz 10902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  NN  <->  l  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
251 eluzfz 11453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( l  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  l  e.  ( 1 ... n
) )
252250, 251sylanb 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l ) )  -> 
l  e.  ( 1 ... n ) )
253249, 252sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  ( 1 ... n ) )
254 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  [ l  / 
k ] A  = +oo )
255 sbequ12 1936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( A  = +oo  <->  [ l  /  k ] A  = +oo ) )
256241, 255rspce 3073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  ( 1 ... n )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
257253, 254, 256syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
258244, 245, 248, 257esumpinfval 26527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
259258ralrimiva 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )
260 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
) )
261 mpteq12 4376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
)  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo ) )
262260, 261sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo ) )
263 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  l  e.  NN )
264 uznnssnn 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
265 resmpt 5161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  l )  C_  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
266263, 264, 2653syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
267266adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
268 fconstmpt 4887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{ +oo } )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> +oo )
269268a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo )
)
270262, 267, 2693eqtr4d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } ) )
271259, 270mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  { +oo } ) )
272239, 271chvarv 1958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) )
273230, 272syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )
274273ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  = +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) )
275274reximdva 2833 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  A  = +oo  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } ) ) )
276275imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } ) )
277 xrge0topn 26378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
27838, 277eqtri 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
279 letopon 18814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
280 iccssxr 11383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
281 resttopon 18770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
282279, 280, 281mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
283278, 282eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
284283a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) ) )
285 0xr 9435 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
286 0lepnf 11116 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_ +oo
287 ubicc2 11407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
288285, 6, 286, 287mp3an 1314 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
289288a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
29049nnzd 10751 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
291 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
292291lmconst 18870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )  /\ +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo )
293284, 289, 290, 292syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo )
294 breq1 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J ) +oo  <->  ( ( ZZ>=
`  k )  X. 
{ +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo ) )
295294biimprd 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } )  ->  ( (
( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ( ~~> t `  J
) +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
)
296293, 295mpan9 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
297284elfvexd 5723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V )
298 cnex 9368 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
299298a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
30065adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( 0 [,] +oo ) )
301 nnsscn 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  CC
302301a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  NN  C_  CC )
303 elpm2r 7235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 0 [,] +oo )  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  NN  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] +oo )  ^pm  CC ) )
304297, 299, 300, 302, 303syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] +oo )  ^pm  CC ) )
305284, 304, 290lmres 18909 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F ( ~~> t `  J
) +oo  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
)
306305biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J ) +oo )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
307296, 306syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
308307ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo ) )
309308rexlimdva 2846 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
)
310309imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
311276, 310syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
312 nfv 1673 . . . . 5  |-  F/ k
ph
313 nfre1 2777 . . . . 5  |-  F/ k E. k  e.  NN  A  = +oo
314312, 313nfan 1861 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )
315136a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  NN  e.  _V )
31650adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
317 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  A  = +oo )
318314, 315, 316, 317esumpinfval 26527 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  -> Σ* k  e.  NN A  = +oo )
319311, 318breqtrrd 4323 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
320 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  NN  <->  m  e.  NN ) )
321320anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  /\  k  e.  NN )  <->  ( ph  /\  m  e.  NN ) ) )
32216eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
323321, 322imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
324323, 50chvarv 1958 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
325 eliccelico 26072 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) ) )
326285, 6, 286, 325mp3an 1314 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
327324, 326sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
328327ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( B  e.  (
0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
329 r19.30 2870 . . . 4  |-  ( A. m  e.  NN  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo )  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
330328, 329syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
33116eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( A  = +oo  <->  B  = +oo ) )
332331cbvrexv 2953 . . . 4  |-  ( E. k  e.  NN  A  = +oo  <->  E. m  e.  NN  B  = +oo )
333332orbi2i 519 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/ 
E. k  e.  NN  A  = +oo )  <->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/ 
E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
334330, 333sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  = +oo )
)
335229, 319, 334mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   [wsb 1700    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    i^i cin 3332    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^pm cpm 7220   Fincfn 7315   supcsup 7695   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   +oocpnf 9420   -oocmnf 9421   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424   NNcn 10327   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   (,)cioo 11305   [,)cico 11307   [,]cicc 11308   ...cfz 11442    seqcseq 11811    ~~> cli 12967   sum_csu 13168   ↾s cress 14180   ↾t crest 14364   TopOpenctopn 14365    gsumg cgsu 14384  ordTopcordt 14442   RR*scxrs 14443  ℂfldccnfld 17823  TopOnctopon 18504   ~~> tclm 18835  Σ*cesum 26488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-ordt 14444  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-ps 15375  df-tsr 15376  df-mnd 15420  df-plusf 15421  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-subrg 16868  df-abv 16907  df-lmod 16955  df-scaf 16956  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-lm 18838  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-tmd 19648  df-tgp 19649  df-tsms 19702  df-trg 19739  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-nm 20180  df-ngp 20181  df-nrg 20183  df-nlm 20184  df-ii 20458  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-esum 26489
This theorem is referenced by:  esumcvg2  26541
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