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Theorem esumcvg 27732
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 13508. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
esumcvg.f  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
esumcvg.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumcvg.m  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
esumcvg  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Distinct variable groups:    m, n, A    k, n, B    k, m, F, n    k, J, n    ph, k, m, n
Allowed substitution hints:    A( k)    B( m)    J( m)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables  l  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11113 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10890 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  1  e.  ZZ )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
5 mnfxr 11319 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
6 pnfxr 11317 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  RR*
7 mnflt0 11330 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  <  0
8 pnfge 11335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
96, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  <_ +oo
10 icossioo 11611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  0  /\ +oo  <_ +oo ) )  -> 
( 0 [,) +oo )  C_  ( -oo (,) +oo ) )
115, 6, 7, 9, 10mp4an 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( -oo (,) +oo )
12 ioomax 11595 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
1311, 12sseqtri 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
14 ax-resscn 9545 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
1513, 14sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
16 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
1716eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
1817cbvralv 3088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<-> 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
19 rsp 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
2018, 19sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
2120adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
2221imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2315, 22sseldi 3502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
2423adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
25 esumcvg.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
26 fzfid 12047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1 ... n )  e. 
Fin )
27 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
2827, 22sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2928adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3026, 29esumpfinval 27721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A )
3130mpteq2dva 4533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
3225, 31syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
3315, 29sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  CC )
3426, 33fsumcl 13514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  CC )
3532, 34fvmpt2d 5957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
3635adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
371, 3, 4, 24, 36isumclim3 13533 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A
)
38 esumcvg.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
3926, 29fsumrp0cl 27347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,) +oo )
)
4030, 39eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4140, 25fmptd 6043 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F : NN
--> ( 0 [,) +oo ) )
4241adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
43 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
44 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  B )  =  ( m  e.  NN  |->  B ) )
45 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  <->  m  =  k )
46 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
4716, 45, 463imtr3i 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  B  =  A )
4847adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  =  k )  ->  B  =  A )
49 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
50 esumcvg.a . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5144, 48, 49, 50fvmptd 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
5243, 51sylancom 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
5322adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
54 elrege0 11623 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
5553, 54sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
5655simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
57 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
58 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
5927adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
6058, 59, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6160ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,] +oo )
)
62 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
6362esumcl 27683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6457, 61, 63sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6564, 25fmptd 6043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
66 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  NN )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  Fn  NN )
69 seqfn 12083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
702, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
711fneq2i 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
7270, 71mpbir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN )
74 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
7527, 51sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
7674, 75sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
7877, 1syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7976, 78, 33fsumser 13511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
8035, 79eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )
8168, 73, 80eqfnfvd 5976 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  =  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) )
8382, 4eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  e. 
dom 
~~>  )
841, 3, 52, 56, 83isumrecl 13539 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  RR )
8555simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
861, 3, 52, 56, 83, 85isumge0 13540 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A )
87 elrege0 11623 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A ) )
8884, 86, 87sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo )
)
89 ssid 3523 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,) +oo )
9038, 42, 88, 89lmlimxrge0 27566 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) sum_ k  e.  NN  A  <->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A ) )
9137, 90mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
) sum_ k  e.  NN  A )
9225, 4syl5eqelr 2560 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~>  )
9331eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
9493adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
9592, 94mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
9653, 16, 95esumpcvgval 27724 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sum_ k  e.  NN  A )
9791, 96breqtrrd 4473 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
)Σ* k  e.  NN A
)
9841adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
99 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
10099nnzd 10961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
101 uzid 11092 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
102 peano2uz 11130 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
103100, 101, 1023syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
104 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
105104, 22sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10699, 103, 105esumpmono 27725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
10735, 30eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
108107adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
109 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  n  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... n
) )
110 esumeq1 27687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... n )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
111109, 110syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  n  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
112111cbvmptv 4538 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
11325, 112eqtr4i 2499 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
114113a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
115 simpr3 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  ->  l  =  ( n  +  1
) )
116 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
117 esumeq1 27687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
118115, 116, 1173syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
1191183anassrs 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  l  =  ( n  + 
1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
12099peano2nnd 10549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
121 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
122 simp-4l 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  ph )
123 elfznn 11710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
124123adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
125122, 124, 50syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
126125ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
127 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... (
n  +  1 ) )
128127esumcl 27683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
n  +  1 ) )  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
129121, 126, 128sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
130114, 119, 120, 129fvmptd 5953 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
131106, 108, 1303brtr4d 4477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
132 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
13338, 98, 131, 132lmdvglim 27572 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
134 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
135 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ k NN
136 nnex 10538 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
137136a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  NN  e.  _V )
13850adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
139 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
140 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
141 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
142 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
143141, 142sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ~P NN )
144143elpwid 4020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  C_  NN )
145 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  x )
146144, 145sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  NN )
147140, 146, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
148 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  x  |->  A )  =  ( k  e.  x  |->  A )
149147, 148fmptd 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )
150 esumpfinvallem 27720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  ( k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
151139, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
152 inss2 3719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
Fin
153152, 139sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
154140, 146, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  CC )
155153, 154gsumfsum 18252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
156151, 155eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
157134, 135, 137, 138, 156esumval 27697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
158157adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
15998, 131, 132lmdvg 27571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
160159r19.21bi 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
161 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ZZ )
162 uzid 11092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  ZZ  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
164 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  n  =  l )
165164fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( F `  n
)  =  ( F `
 l ) )
166165breq2d 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( y  <  ( F `  n )  <->  y  <  ( F `  l ) ) )
167163, 166rspcdv 3217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  NN  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  l ) y  <  ( F `  n )  ->  y  <  ( F `  l
) ) )
168167reximia 2930 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
)  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )
)
169160, 168syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l ) )
170 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
17198ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
172 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
173171, 172ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
17413, 173sseldi 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
175 ltle 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  l )  e.  RR )  -> 
( y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
176170, 174, 175syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l
) ) )
17725a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
178 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... l
) )
179 esumeq1 27687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
180178, 179syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  l  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
181180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  n  =  l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
182 esumex 27682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )
184177, 181, 172, 183fvmptd 5953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
185 fzfid 12047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
1 ... l )  e. 
Fin )
186 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
187 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... l )  ->  k  e.  NN )
188187adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  k  e.  NN )
189186, 188, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
190185, 189esumpfinval 27721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A )
191184, 190eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
192191breq2d 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <_  ( F `  l )  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
193176, 192sylibd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <  ( F `  l )  ->  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
194193reximdva 2938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
195169, 194mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
196 fzssuz 11720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  C_  ( ZZ>= `  1 )
197196, 1sseqtr4i 3537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... l )  C_  NN
198 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  e. 
_V
199198elpw 4016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ~P NN  <->  ( 1 ... l )  C_  NN )
200197, 199mpbir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
~P NN
201 fzfi 12046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
Fin
202 elin 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (
1 ... l )  e. 
~P NN  /\  (
1 ... l )  e. 
Fin ) )
203200, 201, 202mpbir2an 918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
204 sumex 13469 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  _V
205 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  =  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )
206 sumeq1 13470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1 ... l )  ->  sum_ k  e.  x  A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
207205, 206elrnmpt1s 5248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... l
)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) )
208203, 204, 207mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )
209 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A
210 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  ( y  <_  z  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
211209, 210rspce 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )  /\  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
212208, 211mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
213212rexlimivw 2952 . . . . . . . 8  |-  ( E. l  e.  NN  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
214195, 213syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
215214ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
216 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
217152, 216sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
218147adantllr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
21913, 218sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  RR )
220217, 219fsumrecl 13515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR )
221220rexrd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR* )
222221, 205fmptd 6043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR* )
223 frn 5735 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_ 
RR* )
224 supxrunb1 11507 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_  RR*  ->  ( A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
225222, 223, 2243syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( A. y  e.  RR  E. z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
226215, 225mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
227158, 226eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  = +oo )
228133, 227breqtrrd 4473 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
22997, 228pm2.61dan 789 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
23025reseq1i 5267 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)
231 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  (
l  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
232231anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  /\  l  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
233 sbequ12r 1962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  ( [ l  /  k ] A  = +oo  <->  A  = +oo ) )
234232, 233anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo ) 
<->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo ) ) )
235 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( ZZ>=
`  l )  =  ( ZZ>= `  k )
)
236235reseq2d 5271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
) )
237235xpeq1d 5022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )
238236, 237eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  { +oo } )  <->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) )
239234, 238imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{ +oo } ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) ) )
240 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  l  e.  NN )
241 nfs1v 2164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k [ l  /  k ] A  = +oo
242240, 241nfan 1875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )
243 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  n  e.  ( ZZ>= `  l )
244242, 243nfan 1875 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)
24557a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  _V )
246 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
24727adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
248246, 247, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
249 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  NN )
250 elnnuz 11114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  NN  <->  l  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
251 eluzfz 11679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( l  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  l  e.  ( 1 ... n
) )
252250, 251sylanb 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l ) )  -> 
l  e.  ( 1 ... n ) )
253249, 252sylancom 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  ( 1 ... n ) )
254 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  [ l  / 
k ] A  = +oo )
255 sbequ12 1961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( A  = +oo  <->  [ l  /  k ] A  = +oo ) )
256241, 255rspce 3209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  ( 1 ... n )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
257253, 254, 256syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
258244, 245, 248, 257esumpinfval 27719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
259258ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )
260 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
) )
261 mpteq12 4526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
)  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo ) )
262260, 261sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo ) )
263 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  l  e.  NN )
264 uznnssnn 11124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
265 resmpt 5321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  l )  C_  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
266263, 264, 2653syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
267266adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
268 fconstmpt 5042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{ +oo } )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> +oo )
269268a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo )
)
270262, 267, 2693eqtr4d 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } ) )
271259, 270mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  { +oo } ) )
272239, 271chvarv 1983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) )
273230, 272syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )
274273ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  = +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) )
275274reximdva 2938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  A  = +oo  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } ) ) )
276275imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } ) )
277 xrge0topn 27561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
27838, 277eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
279 letopon 19472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
280 iccssxr 11603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
281 resttopon 19428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
282279, 280, 281mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
283278, 282eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
284283a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) ) )
285 0xr 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
286 0lepnf 11336 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_ +oo
287 ubicc2 11633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
288285, 6, 286, 287mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
289288a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
29049nnzd 10961 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
291 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
292291lmconst 19528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )  /\ +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo )
293284, 289, 290, 292syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo )
294 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J ) +oo  <->  ( ( ZZ>=
`  k )  X. 
{ +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo ) )
295294biimprd 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } )  ->  ( (
( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ( ~~> t `  J
) +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
)
296293, 295mpan9 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
297284elfvexd 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V )
298 cnex 9569 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
299298a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
30065adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( 0 [,] +oo ) )
301 nnsscn 10537 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  CC
302301a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  NN  C_  CC )
303 elpm2r 7433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 0 [,] +oo )  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  NN  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] +oo )  ^pm  CC ) )
304297, 299, 300, 302, 303syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] +oo )  ^pm  CC ) )
305284, 304, 290lmres 19567 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F ( ~~> t `  J
) +oo  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
)
306305biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J ) +oo )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
307296, 306syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
308307ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo ) )
309308rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
)
310309imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
311276, 310syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
312 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ k
ph
313 nfre1 2925 . . . . 5  |-  F/ k E. k  e.  NN  A  = +oo
314312, 313nfan 1875 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )
315136a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  NN  e.  _V )
31650adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
317 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  A  = +oo )
318314, 315, 316, 317esumpinfval 27719 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  -> Σ* k  e.  NN A  = +oo )
319311, 318breqtrrd 4473 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
320 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  NN  <->  m  e.  NN ) )
321320anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  /\  k  e.  NN )  <->  ( ph  /\  m  e.  NN ) ) )
32216eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
323321, 322imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
324323, 50chvarv 1983 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
325 eliccelico 27256 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) ) )
326285, 6, 286, 325mp3an 1324 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
327324, 326sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
328327ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( B  e.  (
0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
329 r19.30 3006 . . . 4  |-  ( A. m  e.  NN  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo )  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
330328, 329syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
33116eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( A  = +oo  <->  B  = +oo ) )
332331cbvrexv 3089 . . . 4  |-  ( E. k  e.  NN  A  = +oo  <->  E. m  e.  NN  B  = +oo )
333332orbi2i 519 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/ 
E. k  e.  NN  A  = +oo )  <->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/ 
E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
334330, 333sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  = +oo )
)
335229, 319, 334mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   [wsb 1711    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^pm cpm 7418   Fincfn 7513   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   [,]cicc 11528   ...cfz 11668    seqcseq 12071    ~~> cli 13266   sum_csu 13467   ↾s cress 14487   ↾t crest 14672   TopOpenctopn 14673    gsumg cgsu 14692  ordTopcordt 14750   RR*scxrs 14751  ℂfldccnfld 18191  TopOnctopon 19162   ~~> tclm 19493  Σ*cesum 27680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-ordt 14752  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-ps 15683  df-tsr 15684  df-mnd 15728  df-plusf 15729  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-subrg 17210  df-abv 17249  df-lmod 17297  df-scaf 17298  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-lm 19496  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-tmd 20306  df-tgp 20307  df-tsms 20360  df-trg 20397  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-nm 20838  df-ngp 20839  df-nrg 20841  df-nlm 20842  df-ii 21116  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-esum 27681
This theorem is referenced by:  esumcvg2  27733
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