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Theorem esumcvg 28746
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 13771. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
esumcvg.f  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
esumcvg.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumcvg.m  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
esumcvg  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Distinct variable groups:    m, n, A    k, n, B    k, m, F, n    k, J, n    ph, k, m, n
Allowed substitution hints:    A( k)    B( m)    J( m)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables  l  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10968 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  1  e.  ZZ )
3 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
4 rge0ssre 11738 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
5 ax-resscn 9595 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
64, 5sstri 3479 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
7 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
87eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
98cbvralv 3062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<-> 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10 rsp 2798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
119, 10sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
1211adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
1312imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
146, 13sseldi 3468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
1514adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
16 esumcvg.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
17 fzfid 12183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1 ... n )  e. 
Fin )
18 elfznn 11826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
1918, 13sylan2 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2019adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2117, 20esumpfinval 28735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A )
2221mpteq2dva 4512 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
2316, 22syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
246, 20sseldi 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  CC )
2517, 24fsumcl 13777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  CC )
2623, 25fvmpt2d 5975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
2726adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
281, 2, 3, 15, 27isumclim3 13798 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A
)
29 esumcvg.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
3017, 20fsumrp0cl 28296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,) +oo )
)
3121, 30eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3231, 16fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F : NN
--> ( 0 [,) +oo ) )
3332adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
34 simplll 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
35 eqidd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  B )  =  ( m  e.  NN  |->  B ) )
36 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  <->  m  =  k )
37 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
387, 36, 373imtr3i 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  B  =  A )
3938adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  =  k )  ->  B  =  A )
40 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
41 esumcvg.a . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4235, 39, 40, 41fvmptd 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
4334, 42sylancom 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
4413adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
45 elrege0 11737 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4644, 45sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4746simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
48 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
49 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
5018adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
5149, 50, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5251ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,] +oo )
)
53 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
5453esumcl 28690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5548, 52, 54sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5655, 16fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
57 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  NN )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  Fn  NN )
60 1z 10967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
61 seqfn 12222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
631fneq2i 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
6462, 63mpbir 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN )
66 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
6718, 42sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
6866, 67sylancom 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
69 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
7069, 1syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7168, 70, 24fsumser 13774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
7226, 71eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )
7359, 65, 72eqfnfvd 5994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  =  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) ) )
7473adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) )
7574, 3eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  e. 
dom 
~~>  )
761, 2, 43, 47, 75isumrecl 13804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  RR )
7746simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
781, 2, 43, 47, 75, 77isumge0 13805 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A )
79 elrege0 11737 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A ) )
8076, 78, 79sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo )
)
81 ssid 3489 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,) +oo )
8229, 33, 80, 81lmlimxrge0 28593 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) sum_ k  e.  NN  A  <->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A ) )
8328, 82mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
) sum_ k  e.  NN  A )
8416, 3syl5eqelr 2522 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~>  )
8522eleq1d 2498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
8685adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
8784, 86mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
8844, 7, 87esumpcvgval 28738 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sum_ k  e.  NN  A )
8983, 88breqtrrd 4452 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
)Σ* k  e.  NN A
)
9032adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
91 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
9291nnzd 11039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
93 uzid 11173 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
94 peano2uz 11212 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
96 simplll 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
9796, 13sylancom 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9891, 95, 97esumpmono 28739 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
9926, 21eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
10099adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
101 oveq2 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  n  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... n
) )
102 esumeq1 28694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... n )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  n  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
104103cbvmptv 4518 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
10516, 104eqtr4i 2461 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
106105a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
107 simpr3 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  ->  l  =  ( n  +  1
) )
108 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
109 esumeq1 28694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
1111103anassrs 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  l  =  ( n  + 
1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
11291peano2nnd 10626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
113 ovex 6333 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
114 simp-4l 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  ph )
115 elfznn 11826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
116115adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
117114, 116, 41syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
118117ralrimiva 2846 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
119 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... (
n  +  1 ) )
120119esumcl 28690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
n  +  1 ) )  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
121113, 118, 120sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
122106, 111, 112, 121fvmptd 5970 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
12398, 100, 1223brtr4d 4456 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
124 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
12529, 90, 123, 124lmdvglim 28599 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
126 nfv 1754 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
127 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ k NN
128 nnex 10615 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
129128a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  NN  e.  _V )
13041adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
132 simpll 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
133 inss1 3688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
134 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
135133, 134sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ~P NN )
136135elpwid 3995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  C_  NN )
137 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  x )
138136, 137sseldd 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  NN )
139132, 138, 13syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
140 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  x  |->  A )  =  ( k  e.  x  |->  A )
141139, 140fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )
142 esumpfinvallem 28734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  ( k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
143131, 141, 142syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
144 inss2 3689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
Fin
145144, 131sseldi 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
146132, 138, 14syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  CC )
147145, 146gsumfsum 18969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
148143, 147eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
149126, 127, 129, 130, 148esumval 28706 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
150149adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
15190, 123, 124lmdvg 28598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
152151r19.21bi 2801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
153 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ZZ )
154 uzid 11173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  ZZ  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
156 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  n  =  l )
157156fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( F `  n
)  =  ( F `
 l ) )
158157breq2d 4438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( y  <  ( F `  n )  <->  y  <  ( F `  l ) ) )
159155, 158rspcdv 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  NN  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  l ) y  <  ( F `  n )  ->  y  <  ( F `  l
) ) )
160159reximia 2898 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
)  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )
)
161152, 160syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l ) )
162 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
16390ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
164 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
165163, 164ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1664, 165sseldi 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
167 ltle 9721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  l )  e.  RR )  -> 
( y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
168162, 166, 167syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l
) ) )
16916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
170 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... l
) )
171 esumeq1 28694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  l  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
173172adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  n  =  l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
174 esumex 28689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )
176169, 173, 164, 175fvmptd 5970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
177 fzfid 12183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
1 ... l )  e. 
Fin )
178 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
179 elfznn 11826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... l )  ->  k  e.  NN )
180179adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  k  e.  NN )
181178, 180, 13syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
182177, 181esumpfinval 28735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A )
183176, 182eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
184183breq2d 4438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <_  ( F `  l )  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
185168, 184sylibd 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <  ( F `  l )  ->  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
186185reximdva 2907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
187161, 186mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
188 fzssuz 11837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  C_  ( ZZ>= `  1 )
189188, 1sseqtr4i 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... l )  C_  NN
190 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  e. 
_V
191190elpw 3991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ~P NN  <->  ( 1 ... l )  C_  NN )
192189, 191mpbir 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
~P NN
193 fzfi 12182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
Fin
194 elin 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (
1 ... l )  e. 
~P NN  /\  (
1 ... l )  e. 
Fin ) )
195192, 193, 194mpbir2an 928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
196 sumex 13732 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  _V
197 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  =  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )
198 sumeq1 13733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1 ... l )  ->  sum_ k  e.  x  A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
199197, 198elrnmpt1s 5102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... l
)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) )
200195, 196, 199mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )
201 nfv 1754 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A
202 breq2 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  ( y  <_  z  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
203201, 202rspce 3183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )  /\  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
204200, 203mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
205204rexlimivw 2921 . . . . . . . 8  |-  ( E. l  e.  NN  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
206187, 205syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
207206ralrimiva 2846 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
208 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
209144, 208sseldi 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
210139adantllr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2114, 210sseldi 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  RR )
212209, 211fsumrecl 13778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR )
213212rexrd 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR* )
214213, 197fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR* )
215 frn 5752 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_ 
RR* )
216 supxrunb1 11605 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_  RR*  ->  ( A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
217214, 215, 2163syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( A. y  e.  RR  E. z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
218207, 217mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
219150, 218eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  = +oo )
220125, 219breqtrrd 4452 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
22189, 220pm2.61dan 798 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
22216reseq1i 5121 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)
223 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  (
l  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
224223anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  /\  l  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
225 sbequ12r 2050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  ( [ l  /  k ] A  = +oo  <->  A  = +oo ) )
226224, 225anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo ) 
<->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo ) ) )
227 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( ZZ>=
`  l )  =  ( ZZ>= `  k )
)
228227reseq2d 5125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
) )
229227xpeq1d 4877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )
230228, 229eqeq12d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  { +oo } )  <->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) )
231226, 230imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{ +oo } ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) ) )
232 nfv 1754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  l  e.  NN )
233 nfs1v 2233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k [ l  /  k ] A  = +oo
234232, 233nfan 1986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )
235 nfv 1754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  n  e.  ( ZZ>= `  l )
236234, 235nfan 1986 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)
23748a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  _V )
238 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
23918adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
240238, 239, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
241 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  NN )
242 elnnuz 11195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  NN  <->  l  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
243 eluzfz 11793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( l  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  l  e.  ( 1 ... n
) )
244242, 243sylanb 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l ) )  -> 
l  e.  ( 1 ... n ) )
245241, 244sylancom 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  ( 1 ... n ) )
246 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  [ l  / 
k ] A  = +oo )
247 sbequ12 2049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( A  = +oo  <->  [ l  /  k ] A  = +oo ) )
248233, 247rspce 3183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  ( 1 ... n )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
249245, 246, 248syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
250236, 237, 240, 249esumpinfval 28733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
251250ralrimiva 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )
252 eqidd 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
) )
253 mpteq12 4505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
)  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo ) )
254252, 253sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo ) )
255 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  l  e.  NN )
256 uznnssnn 11206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
257 resmpt 5174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  l )  C_  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
258255, 256, 2573syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
259258adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
260 fconstmpt 4898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{ +oo } )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> +oo )
261260a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo )
)
262254, 259, 2613eqtr4d 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } ) )
263251, 262mpdan 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  { +oo } ) )
264231, 263chvarv 2070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) )
265222, 264syl5eq 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )
266265ex 435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  = +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) )
267266reximdva 2907 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  A  = +oo  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } ) ) )
268267imp 430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } ) )
269 xrge0topn 28588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
27029, 269eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
271 letopon 20152 . . . . . . . . . . 11  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
272 iccssxr 11717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
273 resttopon 20108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
274271, 272, 273mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
275270, 274eqeltri 2513 . . . . . . . . 9  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
276275a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) ) )
277 0xr 9686 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
278 pnfxr 11412 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
279 0lepnf 11433 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_ +oo
280 ubicc2 11747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
281277, 278, 279, 280mp3an 1360 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
282281a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
28340nnzd 11039 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
284 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
285284lmconst 20208 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )  /\ +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo )
286276, 282, 283, 285syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo )
287 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J ) +oo  <->  ( ( ZZ>=
`  k )  X. 
{ +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo ) )
288287biimprd 226 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } )  ->  ( (
( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ( ~~> t `  J
) +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
)
289286, 288mpan9 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
290276elfvexd 5909 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V )
291 cnex 9619 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
292291a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
29356adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( 0 [,] +oo ) )
294 nnsscn 10614 . . . . . . . . . 10  |-  NN  C_  CC
295294a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  NN  C_  CC )
296 elpm2r 7497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 0 [,] +oo )  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  NN  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] +oo )  ^pm  CC ) )
297290, 292, 293, 295, 296syl22anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] +oo )  ^pm  CC ) )
298276, 297, 283lmres 20247 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F ( ~~> t `  J
) +oo  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
)
299298biimpar 487 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J ) +oo )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
300289, 299syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
301300r19.29an 2976 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
302268, 301syldan 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
303 nfv 1754 . . . . 5  |-  F/ k
ph
304 nfre1 2893 . . . . 5  |-  F/ k E. k  e.  NN  A  = +oo
305303, 304nfan 1986 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )
306128a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  NN  e.  _V )
30741adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
308 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  A  = +oo )
309305, 306, 307, 308esumpinfval 28733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  -> Σ* k  e.  NN A  = +oo )
310302, 309breqtrrd 4452 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
311 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  NN  <->  m  e.  NN ) )
312311anbi2d 708 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  /\  k  e.  NN )  <->  ( ph  /\  m  e.  NN ) ) )
3137eleq1d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
314312, 313imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
315314, 41chvarv 2070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
316 eliccelico 28195 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) ) )
317277, 278, 279, 316mp3an 1360 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
318315, 317sylib 199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
319318ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( B  e.  (
0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
320 r19.30 2980 . . . 4  |-  ( A. m  e.  NN  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo )  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
321319, 320syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
3227eqeq1d 2431 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( A  = +oo  <->  B  = +oo ) )
323322cbvrexv 3063 . . . 4  |-  ( E. k  e.  NN  A  = +oo  <->  E. m  e.  NN  B  = +oo )
324323orbi2i 521 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/ 
E. k  e.  NN  A  = +oo )  <->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/ 
E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
325321, 324sylibr 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  = +oo )
)
326221, 310, 325mpjaodan 793 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   [wsb 1789    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   dom cdm 4854   ran crn 4855    |` cres 4856    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^pm cpm 7481   Fincfn 7577   supcsup 7960   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   ...cfz 11782    seqcseq 12210    ~~> cli 13526   sum_csu 13730   ↾s cress 15085   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279    gsumg cgsu 15298  ordTopcordt 15356   RR*scxrs 15357  ℂfldccnfld 18905  TopOnctopon 19849   ~~> tclm 20173  Σ*cesum 28687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-subrg 17941  df-abv 17980  df-lmod 18028  df-scaf 18029  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-lm 20176  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tmd 21018  df-tgp 21019  df-tsms 21072  df-trg 21105  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-nm 21528  df-ngp 21529  df-nrg 21531  df-nlm 21532  df-ii 21805  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-esum 28688
This theorem is referenced by:  esumcvg2  28747
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