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Theorem esumcvg 28859
Description: The sequence of partial sums of an extended sum converges to the whole sum. cf. fsumcvg2 13736. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
esumcvg.f  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
esumcvg.a  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumcvg.m  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
esumcvg  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Distinct variable groups:    m, n, A    k, n, B    k, m, F, n    k, J, n    ph, k, m, n
Allowed substitution hints:    A( k)    B( m)    J( m)

Proof of Theorem esumcvg
Dummy variables  l  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11145 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10919 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  1  e.  ZZ )
3 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  e.  dom  ~~>  )
4 rge0ssre 11691 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
5 ax-resscn 9547 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
64, 5sstri 3416 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
7 esumcvg.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  A  =  B )
87eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
98cbvralv 2996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<-> 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10 rsp 2731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
119, 10sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
1211adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( k  e.  NN  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
1312imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
146, 13sseldi 3405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
1514adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
16 esumcvg.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
17 fzfid 12136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
1 ... n )  e. 
Fin )
18 elfznn 11779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
1918, 13sylan2 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2019adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2117, 20esumpfinval 28848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A )
2221mpteq2dva 4453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
2316, 22syl5eq 2474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
246, 20sseldi 3405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  CC )
2517, 24fsumcl 13742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  CC )
2623, 25fvmpt2d 5919 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
2726adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )
281, 2, 3, 15, 27isumclim3 13763 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A
)
29 esumcvg.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
3017, 20fsumrp0cl 28409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,) +oo )
)
3121, 30eqeltrd 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3231, 16fmptd 6005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F : NN
--> ( 0 [,) +oo ) )
3332adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
34 simplll 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
35 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  e.  NN  |->  B )  =  ( m  e.  NN  |->  B ) )
36 eqcom 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  <->  m  =  k )
37 eqcom 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  B  <->  B  =  A )
387, 36, 373imtr3i 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  B  =  A )
3938adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  =  k )  ->  B  =  A )
40 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
41 esumcvg.a . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4235, 39, 40, 41fvmptd 5914 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  B ) `  k )  =  A )
4334, 42sylancom 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
4413adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
45 elrege0 11689 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4644, 45sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4746simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
48 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
49 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
5018adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
5149, 50, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5251ralrimiva 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... n
) A  e.  ( 0 [,] +oo )
)
53 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( 1 ... n
)
5453esumcl 28803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5548, 52, 54sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5655, 16fmptd 6005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
57 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  NN )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  Fn  NN )
60 1z 10918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
61 seqfn 12175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
631fneq2i 5632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN  <->  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
6462, 63mpbir 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) )  Fn  NN )
66 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
6718, 42sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
6866, 67sylancom 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  (
( m  e.  NN  |->  B ) `  k
)  =  A )
69 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
7069, 1syl6eleq 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7168, 70, 24fsumser 13739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) A  =  (  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `
 n ) )
7226, 71eqtrd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) `  n
) )
7359, 65, 72eqfnfvd 5938 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F  =  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) ) )
7473adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F  =  seq 1 (  +  ,  ( m  e.  NN  |->  B ) ) )
7574, 3eqeltrrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  seq 1 (  +  , 
( m  e.  NN  |->  B ) )  e. 
dom 
~~>  )
761, 2, 43, 47, 75isumrecl 13769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  RR )
7746simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
781, 2, 43, 47, 75, 77isumge0 13770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A )
79 elrege0 11689 . . . . . . 7  |-  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( sum_ k  e.  NN  A  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  NN  A ) )
8076, 78, 79sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sum_ k  e.  NN  A  e.  ( 0 [,) +oo )
)
81 ssid 3426 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,) +oo )
8229, 33, 80, 81lmlimxrge0 28706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) sum_ k  e.  NN  A  <->  F  ~~>  sum_ k  e.  NN  A ) )
8328, 82mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
) sum_ k  e.  NN  A )
8416, 3syl5eqelr 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~>  )
8522eleq1d 2490 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
8685adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  e. 
dom 
~~> 
<->  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  ) )
8784, 86mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) A )  e.  dom  ~~>  )
8844, 7, 87esumpcvgval 28851 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sum_ k  e.  NN  A )
8983, 88breqtrrd 4393 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F
( ~~> t `  J
)Σ* k  e.  NN A
)
9032adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
91 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
9291nnzd 10990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
93 uzid 11124 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
94 peano2uz 11163 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  n ) )
96 simplll 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
9796, 13sylancom 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9891, 95, 97esumpmono 28852 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  <_ Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
9926, 21eqtr4d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
10099adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
101 oveq2 6257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  n  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... n
) )
102 esumeq1 28807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... n )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  n  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )
104103cbvmptv 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )
10516, 104eqtr4i 2453 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
106105a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( l  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
107 simpr3 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  ->  l  =  ( n  +  1
) )
108 oveq2 6257 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... l )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
109 esumeq1 28807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... l )  =  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  ( -.  F  e.  dom  ~~>  /\  n  e.  NN  /\  l  =  ( n  +  1 ) ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
1111103anassrs 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  l  =  ( n  + 
1 ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A )
11291peano2nnd 10577 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
113 ovex 6277 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
114 simp-4l 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  ph )
115 elfznn 11779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
116115adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
117114, 116, 41syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
118117ralrimiva 2779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
119 nfcv 2569 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( 1 ... (
n  +  1 ) )
120119esumcl 28803 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
n  +  1 ) )  e.  _V  /\  A. k  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
121113, 118, 120sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
122106, 111, 112, 121fvmptd 5914 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  = Σ* k  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) A )
12398, 100, 1223brtr4d 4397 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
124 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  -.  F  e.  dom  ~~>  )
12529, 90, 123, 124lmdvglim 28712 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
126 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
127 nfcv 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ k NN
128 nnex 10566 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
129128a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  NN  e.  _V )
13041adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
131 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
132 simpll 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
133 inss1 3625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
~P NN
134 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
135133, 134sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  e.  ~P NN )
136135elpwid 3934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  x  C_  NN )
137 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  x )
138136, 137sseldd 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  NN )
139132, 138, 13syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
140 eqid 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  x  |->  A )  =  ( k  e.  x  |->  A )
141139, 140fmptd 6005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )
142 esumpfinvallem 28847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  ( k  e.  x  |->  A ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
143131, 141, 142syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  =  ( ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
)  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) ) )
144 inss2 3626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P NN  i^i  Fin )  C_ 
Fin
145144, 131sseldi 3405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
146132, 138, 14syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  CC )
147145, 146gsumfsum 18977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (fld  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
148143, 147eqtr3d 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  A ) )  = 
sum_ k  e.  x  A )
149126, 127, 129, 130, 148esumval 28819 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
150149adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  ) )
15190, 123, 124lmdvg 28711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
152151r19.21bi 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
) )
153 nnz 10910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ZZ )
154 uzid 11124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  ZZ  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
155153, 154syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  e.  NN  ->  l  e.  ( ZZ>= `  l )
)
156 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  n  =  l )
157156fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( F `  n
)  =  ( F `
 l ) )
158157breq2d 4378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  =  l )  ->  ( y  <  ( F `  n )  <->  y  <  ( F `  l ) ) )
159155, 158rspcdv 3128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  NN  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  l ) y  <  ( F `  n )  ->  y  <  ( F `  l
) ) )
160159reximia 2830 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. l  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  l ) y  < 
( F `  n
)  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )
)
161152, 160syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l ) )
162 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
16390ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
164 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  l  e.  NN )
165163, 164ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1664, 165sseldi 3405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  e.  RR )
167 ltle 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  l )  e.  RR )  -> 
( y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l ) ) )
168162, 166, 167syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <  ( F `  l )  ->  y  <_  ( F `  l
) ) )
16916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
170 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... l
) )
171 esumeq1 28807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... n )  =  ( 1 ... l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
172170, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  l  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
173172adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  n  =  l )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = Σ* k  e.  ( 1 ... l
) A )
174 esumex 28802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )
176169, 173, 164, 175fvmptd 5914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  = Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A )
177 fzfid 12136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
1 ... l )  e. 
Fin )
178 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
179 elfznn 11779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... l )  ->  k  e.  NN )
180179adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  k  e.  NN )
181178, 180, 13syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... l
) )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
182177, 181esumpfinval 28848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... l ) A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A )
183176, 182eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  ( F `  l )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
184183breq2d 4378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <_  ( F `  l )  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
185168, 184sylibd 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  y  e.  RR )  /\  l  e.  NN )  ->  (
y  <  ( F `  l )  ->  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
186185reximdva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. l  e.  NN  y  <  ( F `  l )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A ) )
187161, 186mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. l  e.  NN  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
188 fzssuz 11790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  C_  ( ZZ>= `  1 )
189188, 1sseqtr4i 3440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... l )  C_  NN
190 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... l )  e. 
_V
191190elpw 3930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ~P NN  <->  ( 1 ... l )  C_  NN )
192189, 191mpbir 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
~P NN
193 fzfi 12135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... l )  e. 
Fin
194 elin 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  <->  ( (
1 ... l )  e. 
~P NN  /\  (
1 ... l )  e. 
Fin ) )
195192, 193, 194mpbir2an 928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... l )  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )
196 sumex 13697 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  _V
197 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  =  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )
198 sumeq1 13698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1 ... l )  ->  sum_ k  e.  x  A  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )
199197, 198elrnmpt1s 5044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... l
)  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  _V )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) )
200195, 196, 199mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )
201 nfv 1755 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A
202 breq2 4370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  ( y  <_  z  <->  y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l
) A ) )
203201, 202rspce 3120 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A )  /\  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
204200, 203mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( y  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
205204rexlimivw 2853 . . . . . . . 8  |-  ( E. l  e.  NN  y  <_ 
sum_ k  e.  ( 1 ... l ) A  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
206187, 205syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
207206ralrimiva 2779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z )
208 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )
209144, 208sseldi 3405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
210139adantllr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2114, 210sseldi 3405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e. 
dom 
~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  A  e.  RR )
212209, 211fsumrecl 13743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR )
213212rexrd 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  /\  x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  A  e.  RR* )
214213, 197fmptd 6005 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR* )
215 frn 5695 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) : ( ~P NN  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_ 
RR* )
216 supxrunb1 11556 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A )  C_  RR*  ->  ( A. y  e.  RR  E. z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
217214, 215, 2163syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> 
( A. y  e.  RR  E. z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) y  <_ 
z  <->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
218207, 217mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P NN  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  A ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
219150, 218eqtrd 2462 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  -> Σ* k  e.  NN A  = +oo )
220125, 219breqtrrd 4393 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  /\  -.  F  e.  dom  ~~>  )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
22189, 220pm2.61dan 798 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A )
22216reseq1i 5063 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)
223 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  (
l  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
224223anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ph  /\  l  e.  NN )  <->  ( ph  /\  k  e.  NN ) ) )
225 sbequ12r 2058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  ( [ l  /  k ] A  = +oo  <->  A  = +oo ) )
226224, 225anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo ) 
<->  ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo ) ) )
227 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  k  ->  ( ZZ>=
`  l )  =  ( ZZ>= `  k )
)
228227reseq2d 5067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
) )
229227xpeq1d 4819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  =  k  ->  (
( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )
230228, 229eqeq12d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  { +oo } )  <->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) )
231226, 230imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  l )
)  =  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{ +oo } ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) ) )
232 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  l  e.  NN )
233 nfs1v 2243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k [ l  /  k ] A  = +oo
234232, 233nfan 1988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )
235 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k  n  e.  ( ZZ>= `  l )
236234, 235nfan 1988 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)
23748a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  _V )
238 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  ph )
23918adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  k  e.  NN )
240238, 239, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  / 
k ] A  = +oo )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
241 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  NN )
242 elnnuz 11146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  NN  <->  l  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
243 eluzfz 11746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( l  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l )
)  ->  l  e.  ( 1 ... n
) )
244242, 243sylanb 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( l  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  l ) )  -> 
l  e.  ( 1 ... n ) )
245241, 244sylancom 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  l  e.  ( 1 ... n ) )
246 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  [ l  / 
k ] A  = +oo )
247 sbequ12 2057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  l  ->  ( A  = +oo  <->  [ l  /  k ] A  = +oo ) )
248233, 247rspce 3120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( l  e.  ( 1 ... n )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
249245, 246, 248syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  ->  E. k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
250236, 237, 240, 249esumpinfval 28846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  l ) )  -> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A  = +oo )
251250ralrimiva 2779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )
252 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
) )
253 mpteq12 4446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  l
)  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo ) )
254252, 253sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo ) )
255 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  l  e.  NN )
256 uznnssnn 11157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  l )  C_  NN )
257 resmpt 5116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ZZ>= `  l )  C_  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
258255, 256, 2573syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A ) )
259258adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A ) )
260 fconstmpt 4840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ZZ>= `  l )  X. 
{ +oo } )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  l )  |-> +oo )
261260a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } )  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  l )  |-> +oo )
)
262254, 259, 2613eqtr4d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [ l  /  k ] A  = +oo )  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  l )Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>=
`  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l )  X.  { +oo } ) )
263251, 262mpdan 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  NN )  /\  [
l  /  k ] A  = +oo )  ->  ( ( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n ) A )  |`  ( ZZ>= `  l ) )  =  ( ( ZZ>= `  l
)  X.  { +oo } ) )
264231, 263chvarv 2079 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  (
( n  e.  NN  |-> Σ* k  e.  ( 1 ... n
) A )  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) )
265222, 264syl5eq 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  = +oo )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )
266265ex 435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  = +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ) )
267266reximdva 2839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  NN  A  = +oo  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } ) ) )
268267imp 430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } ) )
269 xrge0topn 28701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
27029, 269eqtri 2450 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo )
)
271 letopon 20163 . . . . . . . . . . 11  |-  (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )
272 iccssxr 11668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
273 resttopon 20119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ordTop `  <_  )  e.  (TopOn `  RR* )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  (
(ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  (
0 [,] +oo )
) )
274271, 272, 273mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( 0 [,] +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
275270, 274eqeltri 2502 . . . . . . . . 9  |-  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )
276275a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) ) )
277 0xr 9638 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
278 pnfxr 11363 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
279 0lepnf 11384 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_ +oo
280 ubicc2 11700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
281277, 278, 279, 280mp3an 1360 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  ( 0 [,] +oo )
282281a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  -> +oo  e.  ( 0 [,] +oo ) )
28340nnzd 10990 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
284 eqid 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
285284lmconst 20219 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( 0 [,] +oo ) )  /\ +oo  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo )
286276, 282, 283, 285syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo )
287 breq1 4369 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } )  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J ) +oo  <->  ( ( ZZ>=
`  k )  X. 
{ +oo } ) ( ~~> t `  J ) +oo ) )
288287biimprd 226 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  k ) )  =  ( ( ZZ>= `  k
)  X.  { +oo } )  ->  ( (
( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) ( ~~> t `  J
) +oo  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
)
289286, 288mpan9 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )  ->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
290276elfvexd 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0 [,] +oo )  e. 
_V )
291 cnex 9571 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
292291a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
29356adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( 0 [,] +oo ) )
294 nnsscn 10565 . . . . . . . . . 10  |-  NN  C_  CC
295294a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  NN  C_  CC )
296 elpm2r 7444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 0 [,] +oo )  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : NN --> ( 0 [,] +oo )  /\  NN  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] +oo )  ^pm  CC ) )
297290, 292, 293, 295, 296syl22anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  e.  ( ( 0 [,] +oo )  ^pm  CC ) )
298276, 297, 283lmres 20258 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F ( ~~> t `  J
) +oo  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
) ( ~~> t `  J ) +oo )
)
299298biimpar 487 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) ) ( ~~> t `  J ) +oo )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
300289, 299syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  ( F  |`  ( ZZ>= `  k
) )  =  ( ( ZZ>= `  k )  X.  { +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
301300r19.29an 2908 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  ( F  |`  ( ZZ>= `  k )
)  =  ( (
ZZ>= `  k )  X. 
{ +oo } ) )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
302268, 301syldan 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  F ( ~~> t `  J ) +oo )
303 nfv 1755 . . . . 5  |-  F/ k
ph
304 nfre1 2825 . . . . 5  |-  F/ k E. k  e.  NN  A  = +oo
305303, 304nfan 1988 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )
306128a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  NN  e.  _V )
30741adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )
308 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  A  = +oo )
309305, 306, 307, 308esumpinfval 28846 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  -> Σ* k  e.  NN A  = +oo )
310302, 309breqtrrd 4393 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  NN  A  = +oo )  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
311 eleq1 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  NN  <->  m  e.  NN ) )
312311anbi2d 708 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  /\  k  e.  NN )  <->  ( ph  /\  m  e.  NN ) ) )
3137eleq1d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( A  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
314312, 313imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( 0 [,] +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) ) )
315314, 41chvarv 2079 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
316 eliccelico 28309 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  0  <_ +oo )  ->  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) ) )
317277, 278, 279, 316mp3an 1360 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
318315, 317sylib 199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
319318ralrimiva 2779 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( B  e.  (
0 [,) +oo )  \/  B  = +oo ) )
320 r19.30 2912 . . . 4  |-  ( A. m  e.  NN  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  B  = +oo )  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
321319, 320syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
3227eqeq1d 2430 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( A  = +oo  <->  B  = +oo ) )
323322cbvrexv 2997 . . . 4  |-  ( E. k  e.  NN  A  = +oo  <->  E. m  e.  NN  B  = +oo )
324323orbi2i 521 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/ 
E. k  e.  NN  A  = +oo )  <->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/ 
E. m  e.  NN  B  = +oo )
)
325321, 324sylibr 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. m  e.  NN  B  e.  ( 0 [,) +oo )  \/  E. k  e.  NN  A  = +oo )
)
326221, 310, 325mpjaodan 793 1  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J )Σ* k  e.  NN A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   [wsb 1790    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022    i^i cin 3378    C_ wss 3379   ~Pcpw 3924   {csn 3941   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425    X. cxp 4794   dom cdm 4796   ran crn 4797    |` cres 4798    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    ^pm cpm 7428   Fincfn 7524   supcsup 7907   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493   +oocpnf 9623   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   NNcn 10560   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   [,)cico 11588   [,]cicc 11589   ...cfz 11735    seqcseq 12163    ~~> cli 13491   sum_csu 13695   ↾s cress 15065   ↾t crest 15262   TopOpenctopn 15263    gsumg cgsu 15282  ordTopcordt 15340   RR*scxrs 15341  ℂfldccnfld 18913  TopOnctopon 19860   ~~> tclm 20184  Σ*cesum 28800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-cos 14067  df-pi 14069  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-ordt 15342  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-ps 16389  df-tsr 16390  df-plusf 16430  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-mhm 16525  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mulg 16619  df-subg 16757  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-cring 17726  df-subrg 17949  df-abv 17988  df-lmod 18036  df-scaf 18037  df-sra 18338  df-rgmod 18339  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-lm 20187  df-haus 20273  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-tmd 21029  df-tgp 21030  df-tsms 21083  df-trg 21116  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-nm 21539  df-ngp 21540  df-nrg 21542  df-nlm 21543  df-ii 21851  df-cncf 21852  df-limc 22763  df-dv 22764  df-log 23448  df-esum 28801
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