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Theorem esumcst 28723
Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcst.1  |-  F/_ k A
esumcst.2  |-  F/_ k B
Assertion
Ref Expression
esumcst  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( # `  A ) xe B ) )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem esumcst
Dummy variables  a 
l  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcst.1 . . . . 5  |-  F/_ k A
21nfel1 2607 . . . 4  |-  F/ k  A  e.  V
3 esumcst.2 . . . . 5  |-  F/_ k B
43nfel1 2607 . . . 4  |-  F/ k  B  e.  ( 0 [,] +oo )
52, 4nfan 1986 . . 3  |-  F/ k ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)
6 simpl 458 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A  e.  V
)
7 simplr 760 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 xrge0tmd 28591 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd
9 tmdmnd 21021 . . . . . . 7  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
12 inss2 3689 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
13 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
1412, 13sseldi 3468 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
15 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16 xrge0base 28284 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
17 eqid 2429 . . . . . 6  |-  (.g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
183, 16, 17gsumconstf 17503 . . . . 5  |-  ( ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd  /\  x  e.  Fin  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( # `  x
) (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) B ) )
1911, 14, 15, 18syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( # `  x
) (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) B ) )
20 hashcl 12535 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
2114, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
22 xrge0mulgnn0 28288 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  x
)  e.  NN0  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( # `  x ) (.g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) B )  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
2321, 15, 22syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) B )  =  ( ( # `  x ) xe B ) )
2419, 23eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
255, 1, 6, 7, 24esumval 28706 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) , 
RR* ,  <  ) )
26 nn0ssre 10873 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  RR
27 ressxr 9683 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
2826, 27sstri 3479 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR*
29 pnfxr 11412 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
30 snssi 4147 . . . . . . . . . 10  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  { +oo }  C_ 
RR* )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { +oo } 
C_  RR*
3228, 31unssi 3647 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
u.  { +oo } ) 
C_  RR*
33 hashf 12519 . . . . . . . . 9  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
34 vex 3090 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
35 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# : _V --> ( NN0 
u.  { +oo } )  /\  x  e.  _V )  ->  ( # `  x
)  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
3633, 34, 35mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( # `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )
3732, 36sselii 3467 . . . . . . 7  |-  ( # `  x )  e.  RR*
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  e. 
RR* )
39 iccssxr 11717 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
40 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4139, 40sseldi 3468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  B  e.  RR* )
4241adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  RR* )
4338, 42xmulcld 11588 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) xe B )  e.  RR* )
44 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )
4543, 44fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> RR* )
46 frn 5752 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) : ( ~P A  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  C_  RR* )
4745, 46syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) )  C_  RR* )
48 hashxrcl 12536 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
4948adantr 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( # `  A
)  e.  RR* )
5049, 41xmulcld 11588 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( # `  A ) xe B )  e.  RR* )
51 vex 3090 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
5244elrnmpt 5101 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
5453biimpi 197 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
5549adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
56 0xr 9686 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  0  e.  RR* )
5829a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  -> +oo  e.  RR* )
59 iccgelb 11691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  B )
6057, 58, 15, 59syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  0  <_  B )
6142, 60jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )
626adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
63 inss1 3688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
6463sseli 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
65 elpwi 3994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
6613, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
67 ssdomg 7622 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  C_  A  ->  x  ~<_  A ) )
6862, 66, 67sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  ~<_  A )
69 hashdomi 12556 . . . . . . . . 9  |-  ( x  ~<_  A  ->  ( # `  x
)  <_  ( # `  A
) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  <_ 
( # `  A ) )
71 xlemul1a 11574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  x
)  e.  RR*  /\  ( # `
 A )  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )  /\  ( # `  x )  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) )
7238, 55, 61, 70, 71syl31anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) )
7372ralrimiva 2846 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )
74 r19.29r 2971 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  ( (
# `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) ) )
7554, 73, 74syl2anr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  ( (
# `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) ) )
76 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) xe B )  /\  ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  y  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
77 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) xe B )  /\  ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  ( ( # `
 x ) xe B )  <_ 
( ( # `  A
) xe B ) )
7876, 77eqbrtrd 4446 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) xe B )  /\  ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  y  <_  ( ( # `  A
) xe B ) )
7978rexlimivw 2921 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  ( (
# `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) )  -> 
y  <_  ( ( # `
 A ) xe B ) )
8075, 79syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) )  ->  y  <_  (
( # `  A ) xe B ) )
8180ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  <_ 
( ( # `  A
) xe B ) )
82 pwidg 3998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  ~P A )
8382ancri 554 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e.  ~P A  /\  A  e.  Fin ) )
84 elin 3655 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( A  e.  ~P A  /\  A  e.  Fin ) )
8583, 84sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
86 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A ) xe B )  =  ( ( # `  A ) xe B )
87 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
8887oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  x ) xe B )  =  ( ( # `  A ) xe B ) )
8988eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  x ) xe B )  <-> 
( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  A ) xe B ) ) )
9089rspcev 3188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  A ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
9186, 90mpan2 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
92 ovex 6333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A ) xe B )  e.  _V
9344elrnmpt 5101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  _V  ->  ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
9591, 94sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (
( # `  A ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) ) )
9685, 95syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) ) )
9796adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( # `  A ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) ) )
98 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )
99 breq2 4430 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( # `  A ) xe B )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) ) )
10099rspcev 3188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
10197, 98, 100syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
102 0elpw 4594 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  ~P A
103 0fin 7805 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  Fin
104 elin 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
105102, 103, 104mpbir2an 928 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  (/) 
e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
107 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
108107oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  (/) ) xe B )  =  ( ( # `  (/) ) xe 0 ) )
109 hash0 12545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  (/) )  =  0
110109, 56eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # `  (/) )  e.  RR*
111 xmul01 11553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  (/) )  e. 
RR*  ->  ( ( # `  (/) ) xe 0 )  =  0 )
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  (/) ) xe 0 )  =  0
113108, 112syl6req 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
0  =  ( (
# `  (/) ) xe B ) )
114 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
115114oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  x ) xe B )  =  ( ( # `  (/) ) xe B ) )
116115eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 0  =  ( ( # `  x ) xe B )  <->  0  =  ( ( # `  (/) ) xe B ) ) )
117116rspcev 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  0  =  ( ( # `
 (/) ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
0  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
118106, 113, 117syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
0  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
119 ovex 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  x ) xe B )  e.  _V
12044, 119elrnmpti 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
121118, 120sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
0  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
122 simpllr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
y  <  ( ( # `
 A ) xe B ) )
123107oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  A ) xe 0 ) )
12449ad4antr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( # `  A )  e.  RR* )
125 xmul01 11553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  RR*  ->  ( ( # `
 A ) xe 0 )  =  0 )
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) xe 0 )  =  0 )
127123, 126eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) xe B )  =  0 )
128122, 127breqtrd 4450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
y  <  0 )
129 breq2 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  0  ->  (
y  <  z  <->  y  <  0 ) )
130129rspcev 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  <  0 )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
131121, 128, 130syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
132 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  ~P A )
133 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( # `  a
)  =  n )
134 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  n  e.  NN )
135133, 134eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( # `  a
)  e.  NN )
136 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  a )  e.  NN  ->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
137 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  a  e. 
_V
138 hashclb 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  Fin  <->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
)
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  Fin  <->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
140136, 139sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  a )  e.  NN  ->  a  e.  Fin )
141135, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  Fin )
142132, 141elind 3656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
143 eqidd 2430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  a
) xe B ) )
144 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  a
) )
145144oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
( # `  x ) xe B )  =  ( ( # `  a ) xe B ) )
146145eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( # `  a
) xe B )  =  ( (
# `  x ) xe B )  <-> 
( ( # `  a
) xe B )  =  ( (
# `  a ) xe B ) ) )
147146rspcev 3188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ( # `  a
) xe B )  =  ( (
# `  a ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
148142, 143, 147syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
14944, 119elrnmpti 5105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  a
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
150148, 149sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
151 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( y  /  B )  <  n
)
152 simp-8r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  e.  RR )
153134nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  n  e.  RR )
154 simp-5r 777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  B  e.  RR+ )
155152, 153, 154ltdivmul2d 11390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( y  /  B )  < 
n  <->  y  <  (
n  x.  B ) ) )
156151, 155mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  <  (
n  x.  B ) )
157133oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  =  ( n xe B ) )
158154rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  B  e.  RR )
159 rexmul 11557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( n xe B )  =  ( n  x.  B ) )
160153, 158, 159syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( n xe B )  =  ( n  x.  B
) )
161157, 160eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  =  ( n  x.  B ) )
162156, 161breqtrrd 4452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  <  (
( # `  a ) xe B ) )
163 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( # `  a ) xe B )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( ( # `  a
) xe B ) ) )
164163rspcev 3188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( # `  a
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  <  ( ( # `  a
) xe B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
165150, 162, 164syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
166165ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  /  B )  <  n
)  /\  a  e.  ~P A )  ->  (
( # `  a )  =  n  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) )
167166rexlimdva 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  /  B )  <  n
)  ->  ( E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) )
168167impr 623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( y  /  B )  < 
n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a )  =  n ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
169 simp-4r 775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR )
170 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
171169, 170rerpdivcld 11369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
y  /  B )  e.  RR )
172 arch 10866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( y  /  B )  <  n
)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. n  e.  NN  ( y  /  B )  <  n
)
174 ishashinf 28217 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  NN  E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n )
175174ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  NN  E. a  e. 
~P  A ( # `  a )  =  n )
176 r19.29r 2971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. n  e.  NN  ( y  /  B
)  <  n  /\  A. n  e.  NN  E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  /  B )  <  n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a
)  =  n ) )
177173, 175, 176syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  /  B )  < 
n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a )  =  n ) )
178168, 177r19.29a 2977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
179 nfielex 7806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. l  l  e.  A
)
180179adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  = +oo )  ->  E. l  l  e.  A )
181 snelpwi 4667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  A  ->  { l }  e.  ~P A
)
182 snfi 7657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { l }  e.  Fin
183181, 182jctir 540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  A  ->  ( { l }  e.  ~P A  /\  { l }  e.  Fin )
)
184 elin 3655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( { l }  e.  ~P A  /\  { l }  e.  Fin ) )
185183, 184sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  e.  A  ->  { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
186185adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
187 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  B  = +oo )
188187oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  (
( # `  { l } ) xe B )  =  ( ( # `  {
l } ) xe +oo ) )
189 hashsng 12546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  A  ->  ( # `
 { l } )  =  1 )
190 1re 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
19127, 190sselii 3467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR*
192189, 191syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  A  ->  ( # `
 { l } )  e.  RR* )
193 0lt1 10135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
194193, 189syl5breqr 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  A  ->  0  <  ( # `  {
l } ) )
195 xmulpnf1 11560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  {
l } )  e. 
RR*  /\  0  <  (
# `  { l } ) )  -> 
( ( # `  {
l } ) xe +oo )  = +oo )
196192, 194, 195syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  A  ->  (
( # `  { l } ) xe +oo )  = +oo )
197196adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  (
( # `  { l } ) xe +oo )  = +oo )
198188, 197eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  -> +oo  =  ( ( # `  {
l } ) xe B ) )
199 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  { l }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { l } ) )
200199oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  { l }  ->  ( ( # `  x ) xe B )  =  ( ( # `  {
l } ) xe B ) )
201200eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { l }  ->  ( +oo  =  ( ( # `  x
) xe B )  <-> +oo  =  ( (
# `  { l } ) xe B ) ) )
202201rspcev 3188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\ +oo  =  ( ( # `  {
l } ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
203186, 198, 202syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
204180, 203exlimddv 1773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  = +oo )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
205204adantll 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
20644, 119elrnmpti 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
207205, 206sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  -> +oo  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) )
208 simp-4r 775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  y  e.  RR )
209 ltpnf 11422 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  y  < +oo )
210208, 209syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  y  < +oo )
211 breq2 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( z  = +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  < +oo ) )
212211rspcev 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ( +oo  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  < +oo )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
213207, 210, 212syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
214 simp-4r 775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
215 elxrge02 28239 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  = +oo ) )
216214, 215sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  = +oo )
)
217131, 178, 213, 216mpjao3dan 1331 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
218101, 217pm2.61dan 798 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
219218ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <  ( ( # `  A ) xe B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) )
220219ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  <  (
( # `  A ) xe B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z ) )
221 supxr2 11599 . . 3  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  C_  RR*  /\  (
( # `  A ) xe B )  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  <_ 
( ( # `  A
) xe B )  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
( ( # `  A
) xe B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) ) )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( ( # `  A
) xe B ) )
22247, 50, 81, 220, 221syl22anc 1265 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) ,  RR* ,  <  )  =  ( ( # `  A
) xe B ) )
22325, 222eqtrd 2470 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( # `  A ) xe B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   F/_wnfc 2577   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ~<_ cdom 7575   Fincfn 7577   supcsup 7960   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    x. cmul 9543   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    / cdiv 10268   NNcn 10609   NN0cn0 10869   RR+crp 11302   xecxmu 11408   [,]cicc 11638   #chash 12512   ↾s cress 15085    gsumg cgsu 15298   RR*scxrs 15357   Mndcmnd 16486  .gcmg 16623  TopMndctmd 21016  Σ*cesum 28687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-subrg 17941  df-abv 17980  df-lmod 18028  df-scaf 18029  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tmd 21018  df-tgp 21019  df-tsms 21072  df-trg 21105  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-nm 21528  df-ngp 21529  df-nrg 21531  df-nlm 21532  df-ii 21805  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-esum 28688
This theorem is referenced by:  esumpinfval  28733  esumpinfsum  28737
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