Theorem esumcst 28235

Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcst.1	|- F/_ k A
esumcst.2	|- F/_ k B

Assertion

Ref	Expression
esumcst	|- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) xe B ) )

Distinct variable group:   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem esumcst

Dummy variables a l n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcst.1	. . . . 5 |- F/_ k A
2	1	nfel1 2635	. . . 4 |- F/ k A e. V
3		esumcst.2	. . . . 5 |- F/_ k B
4	3	nfel1 2635	. . . 4 |- F/ k B e. ( 0 [,] +oo )
5	2, 4	nfan 1929	. . 3 |- F/ k ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) )
6		simpl 457	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A e. V )
7		simplr 755	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xrge0tmd 28089	. . . . . . 7 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd
9		tmdmnd 20700	. . . . . . 7 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
12		inss2 3715	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
13		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
14	12, 13	sseldi 3497	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
15		simplr 755	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
16		xrge0base 27833	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
17		eqid 2457	. . . . . 6 |- (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) = (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
18	3, 16, 17	gsumconstf 17082	. . . . 5 |- ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd /\ x e. Fin /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
19	11, 14, 15, 18	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
20		hashcl 12431	. . . . . 6 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
21	14, 20	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. NN0 )
22		xrge0mulgnn0 27837	. . . . 5 |- ( ( ( # ` x ) e. NN0 /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
23	21, 15, 22	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
24	19, 23	eqtrd 2498	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
25	5, 1, 6, 7, 24	esumval 28220	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) )
26		nn0ssre 10820	. . . . . . . . . 10 |- NN0 C_ RR
27		ressxr 9654	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
28	26, 27	sstri 3508	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ RR*
29		pnfxr 11346	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
30		snssi 4176	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo e. RR* -> { +oo } C_ RR* )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { +oo } C_ RR*
32	28, 31	unssi 3675	. . . . . . . 8 |- ( NN0 u. { +oo } ) C_ RR*
33		hashf 12415	. . . . . . . . 9 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
34		vex 3112	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
35		ffvelrn 6030	. . . . . . . . 9 |- ( ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } ) )
36	33, 34, 35	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } )
37	32, 36	sselii 3496	. . . . . . 7 |- ( # ` x ) e. RR*
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. RR* )
39		iccssxr 11632	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
40		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
41	39, 40	sseldi 3497	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. RR* )
42	41	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. RR* )
43	38, 42	xmulcld 11519	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) e. RR* )
44		eqid 2457	. . . . 5 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) )
45	43, 44	fmptd 6056	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* )
46		frn 5743	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* )
47	45, 46	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* )
48		hashxrcl 12432	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( # ` A ) e. RR* )
49	48	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
50	49, 41	xmulcld 11519	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. RR* )
51		vex 3112	. . . . . . . 8 |- y e. _V
52	44	elrnmpt 5259	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) )
54	53	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) )
55	49	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
56		0xr 9657	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 e. RR* )
58	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> +oo e. RR* )
59		iccgelb 11606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
60	57, 58, 15, 59	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 <_ B )
61	42, 60	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
62	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A e. V )
63		inss1 3714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
64	63	sseli 3495	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
65		elpwi 4024	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
66	13, 64, 65	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x C_ A )
67		ssdomg 7580	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( x C_ A -> x ~<_ A ) )
68	62, 66, 67	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x ~<_ A )
69		hashdomi 12451	. . . . . . . . 9 |- ( x ~<_ A -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
71		xlemul1a 11505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( # ` x ) e. RR* /\ ( # ` A ) e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) /\ ( # ` x ) <_ ( # ` A ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
72	38, 55, 61, 70, 71	syl31anc 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
73	72	ralrimiva 2871	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
74		r19.29r 2993	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) )
75	54, 73, 74	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) )
76		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y = ( ( # ` x ) xe B ) )
77		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
78	76, 77	eqbrtrd 4476	. . . . . 6 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
79	78	rexlimivw 2946	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
80	75, 79	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
81	80	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
82		pwidg 4028	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> A e. ~P A )
83	82	ancri 552	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
84		elin 3683	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
85	83, 84	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> A e. ( ~P A i^i Fin ) )
86		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B )
87		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( # ` x ) = ( # ` A ) )
88	87	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
89	88	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) <-> ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) ) )
90	89	rspcev 3210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
91	86, 90	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
92		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) xe B ) e. _V
93	44	elrnmpt 5259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` A ) xe B ) e. _V -> ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) ) )
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
95	91, 94	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
96	85, 95	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
97	96	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
98		simplr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> y < ( ( # ` A ) xe B ) )
99		breq2 4460	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( # ` A ) xe B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` A ) xe B ) ) )
100	99	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
101	97, 98, 100	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
102		0elpw 4625	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. ~P A
103		0fin 7766	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. Fin
104		elin 3683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P A /\ (/) e. Fin ) )
105	102, 103, 104	mpbir2an 920	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> (/) e. ( ~P A i^i Fin ) )
107		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
108	107	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` (/) ) xe B ) = ( ( # ` (/) ) xe 0 ) )
109		hash0 12440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` (/) ) = 0
110	109, 56	eqeltri 2541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( # ` (/) ) e. RR*
111		xmul01 11484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` (/) ) e. RR* -> ( ( # ` (/) ) xe 0 ) = 0 )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` (/) ) xe 0 ) = 0
113	108, 112	syl6req 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) )
114		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
115	114	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` (/) ) xe B ) )
116	115	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( 0 = ( ( # ` x ) xe B ) <-> 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) ) )
117	116	rspcev 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
118	106, 113, 117	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
119		ovex 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` x ) xe B ) e. _V
120	44, 119	elrnmpti 5263	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
121	118, 120	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
122		simpllr 760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < ( ( # ` A ) xe B ) )
123	107	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe 0 ) )
124	49	ad4antr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( # ` A ) e. RR* )
125		xmul01 11484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) e. RR* -> ( ( # ` A ) xe 0 ) = 0 )
126	124, 125	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe 0 ) = 0 )
127	123, 126	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe B ) = 0 )
128	122, 127	breqtrd 4480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < 0 )
129		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( y < z <-> y < 0 ) )
130	129	rspcev 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
131	121, 128, 130	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
132		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ~P A )
133		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) = n )
134		simp-4r 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. NN )
135	133, 134	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) e. NN )
136		nnnn0 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` a ) e. NN -> ( # ` a ) e. NN0 )
137		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- a e. _V
138		hashclb 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. _V -> ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 ) )
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 )
140	136, 139	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` a ) e. NN -> a e. Fin )
141	135, 140	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. Fin )
142	132, 141	elind 3684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ( ~P A i^i Fin ) )
143		eqidd 2458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) )
144		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( # ` x ) = ( # ` a ) )
145	144	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) )
146	145	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) <-> ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) ) )
147	146	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
148	142, 143, 147	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
149	44, 119	elrnmpti 5263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
150	148, 149	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
151		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( y / B ) < n )
152		simp-8r 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y e. RR )
153	134	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. RR )
154		simp-5r 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR+ )
155	152, 153, 154	ltdivmul2d 11329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( y / B ) < n <-> y < ( n x. B ) ) )
156	151, 155	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( n x. B ) )
157	133	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( n xe B ) )
158	154	rpred 11281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR )
159		rexmul 11488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. RR /\ B e. RR ) -> ( n xe B ) = ( n x. B ) )
160	153, 158, 159	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( n xe B ) = ( n x. B ) )
161	157, 160	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( n x. B ) )
162	156, 161	breqtrrd 4482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( ( # ` a ) xe B ) )
163		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( # ` a ) xe B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` a ) xe B ) ) )
164	163	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < ( ( # ` a ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
165	150, 162, 164	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
166	165	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) -> ( ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
167	166	rexlimdva 2949	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) -> ( E. a e. ~P A ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
168	167	impr 619	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
169		simp-4r 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> y e. RR )
170		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
171	169, 170	rerpdivcld 11308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> ( y / B ) e. RR )
172		arch 10813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y / B ) e. RR -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
173	171, 172	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
174		ishashinf 27766	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
175	174	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
176		r19.29r 2993	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. n e. NN ( y / B ) < n /\ A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
177	173, 175, 176	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
178	168, 177	r19.29a 2999	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
179		nfielex 7767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. Fin -> E. l l e. A )
180	179	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. l l e. A )
181		snelpwi 4701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> { l } e. ~P A )
182		snfi 7615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { l } e. Fin
183	181, 182	jctir 538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. A -> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
184		elin 3683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
185	183, 184	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l e. A -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
186	185	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
187		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> B = +oo )
188	187	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) xe B ) = ( ( # ` { l } ) xe +oo ) )
189		hashsng 12441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) = 1 )
190		1re 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
191	27, 190	sselii 3496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR*
192	189, 191	syl6eqel 2553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) e. RR* )
193		0lt1 10096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
194	193, 189	syl5breqr 4492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> 0 < ( # ` { l } ) )
195		xmulpnf1 11491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` { l } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { l } ) ) -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
196	192, 194, 195	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. A -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
197	196	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
198	188, 197	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) )
199		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { l } -> ( # ` x ) = ( # ` { l } ) )
200	199	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { l } -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` { l } ) xe B ) )
201	200	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { l } -> ( +oo = ( ( # ` x ) xe B ) <-> +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) ) )
202	201	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) /\ +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
203	186, 198, 202	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
204	180, 203	exlimddv 1727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
205	204	adantll 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
206	44, 119	elrnmpti 5263	. . . . . . . . 9 |- ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
207	205, 206	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
208		simp-4r 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y e. RR )
209		ltpnf 11356	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> y < +oo )
210	208, 209	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y < +oo )
211		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( z = +oo -> ( y < z <-> y < +oo ) )
212	211	rspcev 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
213	207, 210, 212	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
214		simp-4r 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
215		elxrge02 27788	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
216	214, 215	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
217	131, 178, 213, 216	mpjao3dan 1295	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
218	101, 217	pm2.61dan 791	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
219	218	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) -> ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
220	219	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
221		supxr2 11530	. . 3 |- ( ( ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* /\ ( ( # ` A ) xe B ) e. RR* ) /\ ( A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y <_ ( ( # ` A ) xe B ) /\ A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
222	47, 50, 81, 220, 221	syl22anc 1229	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
223	25, 222	eqtrd 2498	1 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) xe B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 972   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ~<_ cdom 7533   Fincfn 7535   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   RR+crp 11245   xecxmu 11342   [,]cicc 11557   #chash 12408   ↾_s cress 14645   gsum_g cgsu 14858   RR*scxrs 14917   Mndcmnd 16046  ._gcmg 16183  TopMndctmd 20695  Σ^*cesum 28201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-ordt 14918  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-plusf 15998  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-abv 17593  df-lmod 17641  df-scaf 17642  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-tmd 20697  df-tgp 20698  df-tsms 20751  df-trg 20788  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-nm 21229  df-ngp 21230  df-nrg 21232  df-nlm 21233  df-ii 21507  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-esum 28202

This theorem is referenced by:  esumpinfval  28245  esumpinfsum  28249