Theorem esumcst 28884

Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcst.1	|- F/_ k A
esumcst.2	|- F/_ k B

Assertion

Ref	Expression
esumcst	|- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) xe B ) )

Distinct variable group:   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem esumcst

Dummy variables a l n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcst.1	. . . . 5 |- F/_ k A
2	1	nfel1 2606	. . . 4 |- F/ k A e. V
3		esumcst.2	. . . . 5 |- F/_ k B
4	3	nfel1 2606	. . . 4 |- F/ k B e. ( 0 [,] +oo )
5	2, 4	nfan 2011	. . 3 |- F/ k ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) )
6		simpl 459	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A e. V )
7		simplr 762	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xrge0tmd 28752	. . . . . . 7 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd
9		tmdmnd 21090	. . . . . . 7 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
12		inss2 3653	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
13		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
14	12, 13	sseldi 3430	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
15		simplr 762	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
16		xrge0base 28447	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
17		eqid 2451	. . . . . 6 |- (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) = (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
18	3, 16, 17	gsumconstf 17568	. . . . 5 |- ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd /\ x e. Fin /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
19	11, 14, 15, 18	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
20		hashcl 12538	. . . . . 6 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
21	14, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. NN0 )
22		xrge0mulgnn0 28451	. . . . 5 |- ( ( ( # ` x ) e. NN0 /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
23	21, 15, 22	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
24	19, 23	eqtrd 2485	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
25	5, 1, 6, 7, 24	esumval 28867	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) )
26		nn0ssre 10873	. . . . . . . . . 10 |- NN0 C_ RR
27		ressxr 9684	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
28	26, 27	sstri 3441	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ RR*
29		pnfxr 11412	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
30		snssi 4116	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo e. RR* -> { +oo } C_ RR* )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { +oo } C_ RR*
32	28, 31	unssi 3609	. . . . . . . 8 |- ( NN0 u. { +oo } ) C_ RR*
33		hashf 12522	. . . . . . . . 9 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
34		vex 3048	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
35		ffvelrn 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } ) )
36	33, 34, 35	mp2an 678	. . . . . . . 8 |- ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } )
37	32, 36	sselii 3429	. . . . . . 7 |- ( # ` x ) e. RR*
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. RR* )
39		iccssxr 11717	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
40		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
41	39, 40	sseldi 3430	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. RR* )
42	41	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. RR* )
43	38, 42	xmulcld 11588	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) e. RR* )
44		eqid 2451	. . . . 5 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) )
45	43, 44	fmptd 6046	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* )
46		frn 5735	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* )
47	45, 46	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* )
48		hashxrcl 12539	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( # ` A ) e. RR* )
49	48	adantr 467	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
50	49, 41	xmulcld 11588	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. RR* )
51		vex 3048	. . . . . . . 8 |- y e. _V
52	44	elrnmpt 5081	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) )
54	53	biimpi 198	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) )
55	49	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
56		0xr 9687	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 e. RR* )
58	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> +oo e. RR* )
59		iccgelb 11691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
60	57, 58, 15, 59	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 <_ B )
61	42, 60	jca 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
62	6	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A e. V )
63		inss1 3652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
64	63	sseli 3428	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
65		elpwi 3960	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
66	13, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x C_ A )
67		ssdomg 7615	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( x C_ A -> x ~<_ A ) )
68	62, 66, 67	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x ~<_ A )
69		hashdomi 12559	. . . . . . . . 9 |- ( x ~<_ A -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
71		xlemul1a 11574	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( # ` x ) e. RR* /\ ( # ` A ) e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) /\ ( # ` x ) <_ ( # ` A ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
72	38, 55, 61, 70, 71	syl31anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
73	72	ralrimiva 2802	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
74		r19.29r 2926	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) )
75	54, 73, 74	syl2anr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) )
76		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y = ( ( # ` x ) xe B ) )
77		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
78	76, 77	eqbrtrd 4423	. . . . . 6 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
79	78	rexlimivw 2876	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
80	75, 79	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
81	80	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
82		pwidg 3964	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> A e. ~P A )
83	82	ancri 555	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
84		elin 3617	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
85	83, 84	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> A e. ( ~P A i^i Fin ) )
86		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B )
87		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( # ` x ) = ( # ` A ) )
88	87	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
89	88	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) <-> ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) ) )
90	89	rspcev 3150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
91	86, 90	mpan2 677	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
92		ovex 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) xe B ) e. _V
93	44	elrnmpt 5081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` A ) xe B ) e. _V -> ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) ) )
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
95	91, 94	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
96	85, 95	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
97	96	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
98		simplr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> y < ( ( # ` A ) xe B ) )
99		breq2 4406	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( # ` A ) xe B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` A ) xe B ) ) )
100	99	rspcev 3150	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
101	97, 98, 100	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
102		0elpw 4572	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. ~P A
103		0fin 7799	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. Fin
104		elin 3617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P A /\ (/) e. Fin ) )
105	102, 103, 104	mpbir2an 931	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> (/) e. ( ~P A i^i Fin ) )
107		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
108	107	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` (/) ) xe B ) = ( ( # ` (/) ) xe 0 ) )
109		hash0 12548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` (/) ) = 0
110	109, 56	eqeltri 2525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( # ` (/) ) e. RR*
111		xmul01 11553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` (/) ) e. RR* -> ( ( # ` (/) ) xe 0 ) = 0 )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` (/) ) xe 0 ) = 0
113	108, 112	syl6req 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) )
114		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
115	114	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` (/) ) xe B ) )
116	115	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( 0 = ( ( # ` x ) xe B ) <-> 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) ) )
117	116	rspcev 3150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
118	106, 113, 117	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
119		ovex 6318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` x ) xe B ) e. _V
120	44, 119	elrnmpti 5085	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
121	118, 120	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
122		simpllr 769	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < ( ( # ` A ) xe B ) )
123	107	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe 0 ) )
124	49	ad4antr 738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( # ` A ) e. RR* )
125		xmul01 11553	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) e. RR* -> ( ( # ` A ) xe 0 ) = 0 )
126	124, 125	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe 0 ) = 0 )
127	123, 126	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe B ) = 0 )
128	122, 127	breqtrd 4427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < 0 )
129		breq2 4406	. . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( y < z <-> y < 0 ) )
130	129	rspcev 3150	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
131	121, 128, 130	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
132		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ~P A )
133		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) = n )
134		simp-4r 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. NN )
135	133, 134	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) e. NN )
136		nnnn0 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` a ) e. NN -> ( # ` a ) e. NN0 )
137		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- a e. _V
138		hashclb 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. _V -> ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 ) )
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 )
140	136, 139	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` a ) e. NN -> a e. Fin )
141	135, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. Fin )
142	132, 141	elind 3618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ( ~P A i^i Fin ) )
143		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) )
144		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( # ` x ) = ( # ` a ) )
145	144	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) )
146	145	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) <-> ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) ) )
147	146	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
148	142, 143, 147	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
149	44, 119	elrnmpti 5085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
150	148, 149	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
151		simpllr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( y / B ) < n )
152		simp-8r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y e. RR )
153	134	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. RR )
154		simp-5r 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR+ )
155	152, 153, 154	ltdivmul2d 11390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( y / B ) < n <-> y < ( n x. B ) ) )
156	151, 155	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( n x. B ) )
157	133	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( n xe B ) )
158	154	rpred 11341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR )
159		rexmul 11557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. RR /\ B e. RR ) -> ( n xe B ) = ( n x. B ) )
160	153, 158, 159	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( n xe B ) = ( n x. B ) )
161	157, 160	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( n x. B ) )
162	156, 161	breqtrrd 4429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( ( # ` a ) xe B ) )
163		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( # ` a ) xe B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` a ) xe B ) ) )
164	163	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < ( ( # ` a ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
165	150, 162, 164	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
166	165	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) -> ( ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
167	166	rexlimdva 2879	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) -> ( E. a e. ~P A ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
168	167	impr 625	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
169		simp-4r 777	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> y e. RR )
170		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
171	169, 170	rerpdivcld 11369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> ( y / B ) e. RR )
172		arch 10866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y / B ) e. RR -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
174		ishashinf 12626	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
175	174	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
176		r19.29r 2926	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. n e. NN ( y / B ) < n /\ A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
177	173, 175, 176	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
178	168, 177	r19.29a 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
179		nfielex 7800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. Fin -> E. l l e. A )
180	179	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. l l e. A )
181		snelpwi 4645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> { l } e. ~P A )
182		snfi 7650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { l } e. Fin
183	181, 182	jctir 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. A -> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
184		elin 3617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
185	183, 184	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l e. A -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
186	185	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
187		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> B = +oo )
188	187	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) xe B ) = ( ( # ` { l } ) xe +oo ) )
189		hashsng 12549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) = 1 )
190		1re 9642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
191	27, 190	sselii 3429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR*
192	189, 191	syl6eqel 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) e. RR* )
193		0lt1 10136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
194	193, 189	syl5breqr 4439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> 0 < ( # ` { l } ) )
195		xmulpnf1 11560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` { l } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { l } ) ) -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
196	192, 194, 195	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. A -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
197	196	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
198	188, 197	eqtr2d 2486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) )
199		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { l } -> ( # ` x ) = ( # ` { l } ) )
200	199	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { l } -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` { l } ) xe B ) )
201	200	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { l } -> ( +oo = ( ( # ` x ) xe B ) <-> +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) ) )
202	201	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) /\ +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
203	186, 198, 202	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
204	180, 203	exlimddv 1781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
205	204	adantll 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
206	44, 119	elrnmpti 5085	. . . . . . . . 9 |- ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
207	205, 206	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
208		simp-4r 777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y e. RR )
209		ltpnf 11422	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> y < +oo )
210	208, 209	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y < +oo )
211		breq2 4406	. . . . . . . . 9 |- ( z = +oo -> ( y < z <-> y < +oo ) )
212	211	rspcev 3150	. . . . . . . 8 |- ( ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
213	207, 210, 212	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
214		simp-4r 777	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
215		elxrge02 28401	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
216	214, 215	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
217	131, 178, 213, 216	mpjao3dan 1335	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
218	101, 217	pm2.61dan 800	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
219	218	ex 436	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) -> ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
220	219	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
221		supxr2 11599	. . 3 |- ( ( ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* /\ ( ( # ` A ) xe B ) e. RR* ) /\ ( A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y <_ ( ( # ` A ) xe B ) /\ A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
222	47, 50, 81, 220, 221	syl22anc 1269	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
223	25, 222	eqtrd 2485	1 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) xe B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   \/ w3o 984   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ~<_ cdom 7567   Fincfn 7569   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   / cdiv 10269   NNcn 10609   NN0cn0 10869   RR+crp 11302   xecxmu 11408   [,]cicc 11638   #chash 12515   ↾_s cress 15122   gsum_g cgsu 15339   RR*scxrs 15398   Mndcmnd 16535  ._gcmg 16672  TopMndctmd 21085  Σ^*cesum 28848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-plusf 16487  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-subrg 18006  df-abv 18045  df-lmod 18093  df-scaf 18094  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-tmd 21087  df-tgp 21088  df-tsms 21141  df-trg 21174  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-nm 21597  df-ngp 21598  df-nrg 21600  df-nlm 21601  df-ii 21909  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-esum 28849

This theorem is referenced by:  esumpinfval  28894  esumpinfsum  28898