Theorem esumcst 24408

Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcst.1	|- F/_ k A
esumcst.2	|- F/_ k B

Assertion

Ref	Expression
esumcst	|- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) x e B ) )

Distinct variable group:   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem esumcst

Dummy variables a l n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcst.1	. . . . 5 |- F/_ k A
2	1	nfel1 2550	. . . 4 |- F/ k A e. V
3		esumcst.2	. . . . 5 |- F/_ k B
4	3	nfel1 2550	. . . 4 |- F/ k B e. ( 0 [,] +oo )
5	2, 4	nfan 1842	. . 3 |- F/ k ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) )
6		simpl 444	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A e. V )
7		simplr 732	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xrge0tmd 24285	. . . . . . 7 |- ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd
9		tmdmnd 18058	. . . . . . 7 |- ( ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd -> ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
10	8, 9	ax-mp 8	. . . . . 6 |- ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
12		inss2 3522	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
13		simpr 448	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
14	12, 13	sseldi 3306	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
15		simplr 732	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
16		xrge0base 24160	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
17		eqid 2404	. . . . . 6 |- (.g ` ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) = (.g ` ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
18	3, 16, 17	gsumconstf 24175	. . . . 5 |- ( ( ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd /\ x e. Fin /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
19	11, 14, 15, 18	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
20		hashcl 11594	. . . . . 6 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
21	14, 20	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. NN0 )
22		xrge0mulgnn0 24163	. . . . 5 |- ( ( ( # ` x ) e. NN0 /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) x e B ) )
23	21, 15, 22	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) x e B ) )
24	19, 23	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR* s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) x e B ) )
25	5, 1, 6, 7, 24	esumval 24394	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) , RR* , < ) )
26		nn0ssre 10181	. . . . . . . . . 10 |- NN0 C_ RR
27		ressxr 9085	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
28	26, 27	sstri 3317	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ RR*
29		pnfxr 10669	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
30		snssi 3902	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo e. RR* -> { +oo } C_ RR* )
31	29, 30	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- { +oo } C_ RR*
32	28, 31	unssi 3482	. . . . . . . 8 |- ( NN0 u. { +oo } ) C_ RR*
33		hashf 11580	. . . . . . . . 9 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
34		vex 2919	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
35		ffvelrn 5827	. . . . . . . . 9 |- ( ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } ) )
36	33, 34, 35	mp2an 654	. . . . . . . 8 |- ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } )
37	32, 36	sselii 3305	. . . . . . 7 |- ( # ` x ) e. RR*
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. RR* )
39		iccssxr 10949	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
40		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
41	39, 40	sseldi 3306	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. RR* )
42	41	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. RR* )
43	38, 42	xmulcld 10837	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) x e B ) e. RR* )
44		eqid 2404	. . . . 5 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) )
45	43, 44	fmptd 5852	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* )
46		frn 5556	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) C_ RR* )
47	45, 46	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) C_ RR* )
48		hashxrcl 11595	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( # ` A ) e. RR* )
49	48	adantr 452	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
50	49, 41	xmulcld 10837	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` A ) x e B ) e. RR* )
51		vex 2919	. . . . . . . 8 |- y e. _V
52	44	elrnmpt 5076	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) x e B ) ) )
53	51, 52	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) x e B ) )
54	53	biimpi 187	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) x e B ) )
55	49	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
56		0xr 9087	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 e. RR* )
58	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> +oo e. RR* )
59		iccgelb 24089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
60	57, 58, 15, 59	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 <_ B )
61	42, 60	jca 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
62	6	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A e. V )
63		inss1 3521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
64	63	sseli 3304	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
65		elpwi 3767	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
66	13, 64, 65	3syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x C_ A )
67		ssdomg 7112	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( x C_ A -> x ~<_ A ) )
68	62, 66, 67	sylc 58	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x ~<_ A )
69		hashdomi 11609	. . . . . . . . 9 |- ( x ~<_ A -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
71		xlemul1a 10823	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( # ` x ) e. RR* /\ ( # ` A ) e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) /\ ( # ` x ) <_ ( # ` A ) ) -> ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) )
72	38, 55, 61, 70, 71	syl31anc 1187	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) )
73	72	ralrimiva 2749	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) )
74		r19.29r 2807	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) x e B ) /\ A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) x e B ) /\ ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) ) )
75	54, 73, 74	syl2anr 465	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) x e B ) /\ ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) ) )
76		simpl 444	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) x e B ) /\ ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) ) -> y = ( ( # ` x ) x e B ) )
77		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) x e B ) /\ ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) ) -> ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) )
78	76, 77	eqbrtrd 4192	. . . . . 6 |- ( ( y = ( ( # ` x ) x e B ) /\ ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) x e B ) )
79	78	rexlimivw 2786	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) x e B ) /\ ( ( # ` x ) x e B ) <_ ( ( # ` A ) x e B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) x e B ) )
80	75, 79	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) x e B ) )
81	80	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y <_ ( ( # ` A ) x e B ) )
82		pwidg 3771	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> A e. ~P A )
83	82	ancri 536	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
84		elin 3490	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
85	83, 84	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> A e. ( ~P A i^i Fin ) )
86		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) x e B ) = ( ( # ` A ) x e B )
87		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( # ` x ) = ( # ` A ) )
88	87	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( ( # ` x ) x e B ) = ( ( # ` A ) x e B ) )
89	88	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( ( ( # ` A ) x e B ) = ( ( # ` x ) x e B ) <-> ( ( # ` A ) x e B ) = ( ( # ` A ) x e B ) ) )
90	89	rspcev 3012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` A ) x e B ) = ( ( # ` A ) x e B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) x e B ) = ( ( # ` x ) x e B ) )
91	86, 90	mpan2 653	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) x e B ) = ( ( # ` x ) x e B ) )
92		ovex 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) x e B ) e. _V
93	44	elrnmpt 5076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` A ) x e B ) e. _V -> ( ( ( # ` A ) x e B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) x e B ) = ( ( # ` x ) x e B ) ) )
94	92, 93	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` A ) x e B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) x e B ) = ( ( # ` x ) x e B ) )
95	91, 94	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( # ` A ) x e B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) )
96	85, 95	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) x e B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) )
97	96	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) x e B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) )
98		simplr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ A e. Fin ) -> y < ( ( # ` A ) x e B ) )
99		breq2 4176	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( # ` A ) x e B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` A ) x e B ) ) )
100	99	rspcev 3012	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( # ` A ) x e B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
101	97, 98, 100	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
102		simp-4r 744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
103		elxrge02 24131	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
104	102, 103	sylib 189	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
105		0elpw 4329	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. ~P A
106		0fin 7295	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Fin
107		elin 3490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P A /\ (/) e. Fin ) )
108	105, 106, 107	mpbir2an 887	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> (/) e. ( ~P A i^i Fin ) )
110		simpr 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
111	110	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` (/) ) x e B ) = ( ( # ` (/) ) x e 0 ) )
112		hash0 11601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( # ` (/) ) = 0
113	112, 56	eqeltri 2474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` (/) ) e. RR*
114		xmul01 10802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` (/) ) e. RR* -> ( ( # ` (/) ) x e 0 ) = 0 )
115	113, 114	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` (/) ) x e 0 ) = 0
116	111, 115	syl6req 2453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 = ( ( # ` (/) ) x e B ) )
117		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
118	117	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( ( # ` x ) x e B ) = ( ( # ` (/) ) x e B ) )
119	118	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( 0 = ( ( # ` x ) x e B ) <-> 0 = ( ( # ` (/) ) x e B ) ) )
120	119	rspcev 3012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ 0 = ( ( # ` (/) ) x e B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) x e B ) )
121	109, 116, 120	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) x e B ) )
122		ovex 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` x ) x e B ) e. _V
123	44, 122	elrnmpti 5080	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) x e B ) )
124	121, 123	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) )
125		simpllr 736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < ( ( # ` A ) x e B ) )
126	110	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) x e B ) = ( ( # ` A ) x e 0 ) )
127	49	ad4antr 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( # ` A ) e. RR* )
128		xmul01 10802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` A ) e. RR* -> ( ( # ` A ) x e 0 ) = 0 )
129	127, 128	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) x e 0 ) = 0 )
130	126, 129	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) x e B ) = 0 )
131	125, 130	breqtrd 4196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < 0 )
132		breq2 4176	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( y < z <-> y < 0 ) )
133	132	rspcev 3012	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) /\ y < 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
134	124, 131, 133	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
135		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ~P A )
136		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) = n )
137		simp-4r 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. NN )
138	136, 137	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) e. NN )
139		nnnn0 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` a ) e. NN -> ( # ` a ) e. NN0 )
140		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- a e. _V
141		hashclb 11596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. _V -> ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 ) )
142	140, 141	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 )
143	139, 142	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` a ) e. NN -> a e. Fin )
144	138, 143	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. Fin )
145		elin 3490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( a e. ~P A /\ a e. Fin ) )
146	135, 144, 145	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ( ~P A i^i Fin ) )
147		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) x e B ) = ( ( # ` a ) x e B ) )
148		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( # ` x ) = ( # ` a ) )
149	148	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( ( # ` x ) x e B ) = ( ( # ` a ) x e B ) )
150	149	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( ( # ` a ) x e B ) = ( ( # ` x ) x e B ) <-> ( ( # ` a ) x e B ) = ( ( # ` a ) x e B ) ) )
151	150	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` a ) x e B ) = ( ( # ` a ) x e B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) x e B ) = ( ( # ` x ) x e B ) )
152	146, 147, 151	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) x e B ) = ( ( # ` x ) x e B ) )
153	44, 122	elrnmpti 5080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` a ) x e B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) x e B ) = ( ( # ` x ) x e B ) )
154	152, 153	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) x e B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) )
155		simpllr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( y / B ) < n )
156		simp-8r 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y e. RR )
157	137	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. RR )
158		simp-5r 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR+ )
159	156, 157, 158	ltdivmul2d 10652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( y / B ) < n <-> y < ( n x. B ) ) )
160	155, 159	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( n x. B ) )
161	136	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) x e B ) = ( n x e B ) )
162	158	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR )
163		rexmul 10806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. RR /\ B e. RR ) -> ( n x e B ) = ( n x. B ) )
164	157, 162, 163	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( n x e B ) = ( n x. B ) )
165	161, 164	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) x e B ) = ( n x. B ) )
166	160, 165	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( ( # ` a ) x e B ) )
167		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( # ` a ) x e B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` a ) x e B ) ) )
168	167	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( # ` a ) x e B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) /\ y < ( ( # ` a ) x e B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
169	154, 166, 168	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
170	169	ex 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) -> ( ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z ) )
171	170	rexlimdva 2790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) -> ( E. a e. ~P A ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z ) )
172	171	impr 603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
173		simp-4r 744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> y e. RR )
174		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
175	173, 174	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> ( y / B ) e. RR )
176		arch 10174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y / B ) e. RR -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
177	175, 176	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
178		ishashinf 24112	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. Fin -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
179	178	ad2antlr 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
180		r19.29r 2807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. n e. NN ( y / B ) < n /\ A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
181	177, 179, 180	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
182	172, 181	r19.29a 2810	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
183		nfielex 7296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A e. Fin -> E. l l e. A )
184	183	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. l l e. A )
185		snelpwi 4369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. A -> { l } e. ~P A )
186		snfi 7146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { l } e. Fin
187	185, 186	jctir 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
188		elin 3490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
189	187, 188	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. A -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
190	189	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
191		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> B = +oo )
192	191	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) x e B ) = ( ( # ` { l } ) x e +oo ) )
193		hashsng 11602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) = 1 )
194		1re 9046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
195	27, 194	sselii 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR*
196	193, 195	syl6eqel 2492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) e. RR* )
197		0lt1 9506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 1
198	197, 193	syl5breqr 4208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. A -> 0 < ( # ` { l } ) )
199		xmulpnf1 10809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( # ` { l } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { l } ) ) -> ( ( # ` { l } ) x e +oo ) = +oo )
200	196, 198, 199	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> ( ( # ` { l } ) x e +oo ) = +oo )
201	200	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) x e +oo ) = +oo )
202	192, 201	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> +oo = ( ( # ` { l } ) x e B ) )
203		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = { l } -> ( # ` x ) = ( # ` { l } ) )
204	203	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { l } -> ( ( # ` x ) x e B ) = ( ( # ` { l } ) x e B ) )
205	204	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { l } -> ( +oo = ( ( # ` x ) x e B ) <-> +oo = ( ( # ` { l } ) x e B ) ) )
206	205	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) /\ +oo = ( ( # ` { l } ) x e B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) x e B ) )
207	190, 202, 206	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) x e B ) )
208	184, 207	exlimddv 1645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) x e B ) )
209	208	adantll 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) x e B ) )
210	44, 122	elrnmpti 5080	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) x e B ) )
211	209, 210	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) )
212		simp-4r 744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y e. RR )
213		ltpnf 10677	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> y < +oo )
214	212, 213	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y < +oo )
215		breq2 4176	. . . . . . . . . 10 |- ( z = +oo -> ( y < z <-> y < +oo ) )
216	215	rspcev 3012	. . . . . . . . 9 |- ( ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) /\ y < +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
217	211, 214, 216	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
218	134, 182, 217	3jaodan 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
219	104, 218	mpdan 650	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
220	101, 219	pm2.61dan 767	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) x e B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z )
221	220	ex 424	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) -> ( y < ( ( # ` A ) x e B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z ) )
222	221	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) x e B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z ) )
223		supxr2 10848	. . 3 |- ( ( ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) C_ RR* /\ ( ( # ` A ) x e B ) e. RR* ) /\ ( A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y <_ ( ( # ` A ) x e B ) /\ A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) x e B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) y < z ) ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) x e B ) )
224	47, 50, 81, 222, 223	syl22anc 1185	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) x e B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) x e B ) )
225	25, 224	eqtrd 2436	1 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) x e B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   \/ w3o 935   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   RR+crp 10568   x ecxmu 10665   [,]cicc 10875   #chash 11573   ↾_s cress 13425   RR* scxrs 13677   gsum_g cgsu 13679   Mndcmnd 14639  ._gcmg 14644  TopMndctmd 18053  Σ^*cesum 24377

This theorem is referenced by:  esumpinfval  24416  esumpinfsum  24420

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-lmod 15907  df-scaf 15908  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-tmd 18055  df-tgp 18056  df-tsms 18109  df-trg 18142  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587  df-ii 18860  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-esum 24378