Theorem esumcst 28958

Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcst.1	|- F/_ k A
esumcst.2	|- F/_ k B

Assertion

Ref	Expression
esumcst	|- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) xe B ) )

Distinct variable group:   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem esumcst

Dummy variables a l n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcst.1	. . . . 5 |- F/_ k A
2	1	nfel1 2626	. . . 4 |- F/ k A e. V
3		esumcst.2	. . . . 5 |- F/_ k B
4	3	nfel1 2626	. . . 4 |- F/ k B e. ( 0 [,] +oo )
5	2, 4	nfan 2031	. . 3 |- F/ k ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) )
6		simpl 464	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A e. V )
7		simplr 770	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xrge0tmd 28826	. . . . . . 7 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd
9		tmdmnd 21168	. . . . . . 7 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
12		inss2 3644	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
13		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
14	12, 13	sseldi 3416	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
15		simplr 770	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
16		xrge0base 28522	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
17		eqid 2471	. . . . . 6 |- (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) = (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
18	3, 16, 17	gsumconstf 17646	. . . . 5 |- ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd /\ x e. Fin /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
19	11, 14, 15, 18	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
20		hashcl 12576	. . . . . 6 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
21	14, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. NN0 )
22		xrge0mulgnn0 28526	. . . . 5 |- ( ( ( # ` x ) e. NN0 /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
23	21, 15, 22	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
24	19, 23	eqtrd 2505	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
25	5, 1, 6, 7, 24	esumval 28941	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) )
26		nn0ssre 10897	. . . . . . . . . 10 |- NN0 C_ RR
27		ressxr 9702	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
28	26, 27	sstri 3427	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ RR*
29		pnfxr 11435	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
30		snssi 4107	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo e. RR* -> { +oo } C_ RR* )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { +oo } C_ RR*
32	28, 31	unssi 3600	. . . . . . . 8 |- ( NN0 u. { +oo } ) C_ RR*
33		hashf 12560	. . . . . . . . 9 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
34		vex 3034	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
35		ffvelrn 6035	. . . . . . . . 9 |- ( ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } ) )
36	33, 34, 35	mp2an 686	. . . . . . . 8 |- ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } )
37	32, 36	sselii 3415	. . . . . . 7 |- ( # ` x ) e. RR*
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. RR* )
39		iccssxr 11742	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
40		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
41	39, 40	sseldi 3416	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. RR* )
42	41	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. RR* )
43	38, 42	xmulcld 11613	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) e. RR* )
44		eqid 2471	. . . . 5 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) )
45	43, 44	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* )
46		frn 5747	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* )
47	45, 46	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* )
48		hashxrcl 12577	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( # ` A ) e. RR* )
49	48	adantr 472	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
50	49, 41	xmulcld 11613	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. RR* )
51		vex 3034	. . . . . . . 8 |- y e. _V
52	44	elrnmpt 5087	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) )
54	53	biimpi 199	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) )
55	49	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
56		0xr 9705	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 e. RR* )
58	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> +oo e. RR* )
59		iccgelb 11716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
60	57, 58, 15, 59	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 <_ B )
61	42, 60	jca 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
62	6	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A e. V )
63		inss1 3643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
64	63	sseli 3414	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
65		elpwi 3951	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
66	13, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x C_ A )
67		ssdomg 7633	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( x C_ A -> x ~<_ A ) )
68	62, 66, 67	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x ~<_ A )
69		hashdomi 12597	. . . . . . . . 9 |- ( x ~<_ A -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
71		xlemul1a 11599	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( # ` x ) e. RR* /\ ( # ` A ) e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) /\ ( # ` x ) <_ ( # ` A ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
72	38, 55, 61, 70, 71	syl31anc 1295	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
73	72	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
74		r19.29r 2913	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) )
75	54, 73, 74	syl2anr 486	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) )
76		simpl 464	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y = ( ( # ` x ) xe B ) )
77		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
78	76, 77	eqbrtrd 4416	. . . . . 6 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
79	78	rexlimivw 2869	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
80	75, 79	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
81	80	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
82		pwidg 3955	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> A e. ~P A )
83	82	ancri 561	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
84		elin 3608	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
85	83, 84	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> A e. ( ~P A i^i Fin ) )
86		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B )
87		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( # ` x ) = ( # ` A ) )
88	87	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
89	88	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) <-> ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) ) )
90	89	rspcev 3136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
91	86, 90	mpan2 685	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
92		ovex 6336	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) xe B ) e. _V
93	44	elrnmpt 5087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` A ) xe B ) e. _V -> ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) ) )
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
95	91, 94	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
96	85, 95	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
97	96	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
98		simplr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> y < ( ( # ` A ) xe B ) )
99		breq2 4399	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( # ` A ) xe B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` A ) xe B ) ) )
100	99	rspcev 3136	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
101	97, 98, 100	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
102		0elpw 4570	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. ~P A
103		0fin 7817	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. Fin
104		elin 3608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P A /\ (/) e. Fin ) )
105	102, 103, 104	mpbir2an 934	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> (/) e. ( ~P A i^i Fin ) )
107		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
108	107	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` (/) ) xe B ) = ( ( # ` (/) ) xe 0 ) )
109		hash0 12586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` (/) ) = 0
110	109, 56	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( # ` (/) ) e. RR*
111		xmul01 11578	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` (/) ) e. RR* -> ( ( # ` (/) ) xe 0 ) = 0 )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` (/) ) xe 0 ) = 0
113	108, 112	syl6req 2522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) )
114		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
115	114	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` (/) ) xe B ) )
116	115	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( 0 = ( ( # ` x ) xe B ) <-> 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) ) )
117	116	rspcev 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
118	106, 113, 117	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
119		ovex 6336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` x ) xe B ) e. _V
120	44, 119	elrnmpti 5091	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
121	118, 120	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
122		simpllr 777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < ( ( # ` A ) xe B ) )
123	107	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe 0 ) )
124	49	ad4antr 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( # ` A ) e. RR* )
125		xmul01 11578	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) e. RR* -> ( ( # ` A ) xe 0 ) = 0 )
126	124, 125	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe 0 ) = 0 )
127	123, 126	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe B ) = 0 )
128	122, 127	breqtrd 4420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < 0 )
129		breq2 4399	. . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( y < z <-> y < 0 ) )
130	129	rspcev 3136	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
131	121, 128, 130	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
132		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ~P A )
133		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) = n )
134		simp-4r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. NN )
135	133, 134	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) e. NN )
136		nnnn0 10900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` a ) e. NN -> ( # ` a ) e. NN0 )
137		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- a e. _V
138		hashclb 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. _V -> ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 ) )
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 )
140	136, 139	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` a ) e. NN -> a e. Fin )
141	135, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. Fin )
142	132, 141	elind 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ( ~P A i^i Fin ) )
143		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) )
144		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( # ` x ) = ( # ` a ) )
145	144	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) )
146	145	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) <-> ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) ) )
147	146	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
148	142, 143, 147	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
149	44, 119	elrnmpti 5091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
150	148, 149	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
151		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( y / B ) < n )
152		simp-8r 793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y e. RR )
153	134	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. RR )
154		simp-5r 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR+ )
155	152, 153, 154	ltdivmul2d 11413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( y / B ) < n <-> y < ( n x. B ) ) )
156	151, 155	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( n x. B ) )
157	133	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( n xe B ) )
158	154	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR )
159		rexmul 11582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. RR /\ B e. RR ) -> ( n xe B ) = ( n x. B ) )
160	153, 158, 159	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( n xe B ) = ( n x. B ) )
161	157, 160	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( n x. B ) )
162	156, 161	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( ( # ` a ) xe B ) )
163		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( # ` a ) xe B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` a ) xe B ) ) )
164	163	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < ( ( # ` a ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
165	150, 162, 164	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
166	165	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) -> ( ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
167	166	rexlimdva 2871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) -> ( E. a e. ~P A ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
168	167	impr 631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
169		simp-4r 785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> y e. RR )
170		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
171	169, 170	rerpdivcld 11392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> ( y / B ) e. RR )
172		arch 10890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y / B ) e. RR -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
174		ishashinf 12667	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
175	174	ad2antlr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
176		r19.29r 2913	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. n e. NN ( y / B ) < n /\ A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
177	173, 175, 176	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
178	168, 177	r19.29a 2918	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
179		nfielex 7818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. Fin -> E. l l e. A )
180	179	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. l l e. A )
181		snelpwi 4645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> { l } e. ~P A )
182		snfi 7668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { l } e. Fin
183	181, 182	jctir 547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. A -> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
184		elin 3608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
185	183, 184	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l e. A -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
186	185	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
187		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> B = +oo )
188	187	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) xe B ) = ( ( # ` { l } ) xe +oo ) )
189		hashsng 12587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) = 1 )
190		1re 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
191	27, 190	sselii 3415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR*
192	189, 191	syl6eqel 2557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) e. RR* )
193		0lt1 10157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
194	193, 189	syl5breqr 4432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> 0 < ( # ` { l } ) )
195		xmulpnf1 11585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` { l } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { l } ) ) -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
196	192, 194, 195	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. A -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
197	196	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
198	188, 197	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) )
199		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { l } -> ( # ` x ) = ( # ` { l } ) )
200	199	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { l } -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` { l } ) xe B ) )
201	200	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { l } -> ( +oo = ( ( # ` x ) xe B ) <-> +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) ) )
202	201	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) /\ +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
203	186, 198, 202	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
204	180, 203	exlimddv 1789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
205	204	adantll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
206	44, 119	elrnmpti 5091	. . . . . . . . 9 |- ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
207	205, 206	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
208		simp-4r 785	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y e. RR )
209		ltpnf 11445	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> y < +oo )
210	208, 209	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y < +oo )
211		breq2 4399	. . . . . . . . 9 |- ( z = +oo -> ( y < z <-> y < +oo ) )
212	211	rspcev 3136	. . . . . . . 8 |- ( ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
213	207, 210, 212	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
214		simp-4r 785	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
215		elxrge02 28476	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
216	214, 215	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
217	131, 178, 213, 216	mpjao3dan 1361	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
218	101, 217	pm2.61dan 808	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
219	218	ex 441	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) -> ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
220	219	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
221		supxr2 11624	. . 3 |- ( ( ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* /\ ( ( # ` A ) xe B ) e. RR* ) /\ ( A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y <_ ( ( # ` A ) xe B ) /\ A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
222	47, 50, 81, 220, 221	syl22anc 1293	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
223	25, 222	eqtrd 2505	1 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) xe B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   \/ w3o 1006   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ~<_ cdom 7585   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   RR+crp 11325   xecxmu 11431   [,]cicc 11663   #chash 12553   ↾_s cress 15200   gsum_g cgsu 15417   RR*scxrs 15476   Mndcmnd 16613  ._gcmg 16750  TopMndctmd 21163  Σ^*cesum 28922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923

This theorem is referenced by:  esumpinfval  28968  esumpinfsum  28972