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Theorem esumcst 24408
Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcst.1  |-  F/_ k A
esumcst.2  |-  F/_ k B
Assertion
Ref Expression
esumcst  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( # `  A
) x e B ) )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem esumcst
Dummy variables  a 
l  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcst.1 . . . . 5  |-  F/_ k A
21nfel1 2550 . . . 4  |-  F/ k  A  e.  V
3 esumcst.2 . . . . 5  |-  F/_ k B
43nfel1 2550 . . . 4  |-  F/ k  B  e.  ( 0 [,]  +oo )
52, 4nfan 1842 . . 3  |-  F/ k ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )
6 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  A  e.  V )
7 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8 xrge0tmd 24285 . . . . . . 7  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. TopMnd
9 tmdmnd 18058 . . . . . . 7  |-  ( (
RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  e. TopMnd  ->  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. 
Mnd )
108, 9ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  Mnd
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e.  Mnd )
12 inss2 3522 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
13 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
1412, 13sseldi 3306 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
15 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
16 xrge0base 24160 . . . . . 6  |-  ( 0 [,]  +oo )  =  (
Base `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )
17 eqid 2404 . . . . . 6  |-  (.g `  ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) ) )  =  (.g `  ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) )
183, 16, 17gsumconstf 24175 . . . . 5  |-  ( ( ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  e. 
Mnd  /\  x  e.  Fin  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo )
)  ->  ( ( RR* ss  ( 0 [,]  +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( # `  x
) (.g `  ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) ) B ) )
1911, 14, 15, 18syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( (
# `  x )
(.g `  ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) ) B ) )
20 hashcl 11594 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
2114, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
22 xrge0mulgnn0 24163 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  x
)  e.  NN0  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( ( # `  x
) (.g `  ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) ) B )  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
2321, 15, 22syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) (.g `  ( RR* ss  (
0 [,]  +oo ) ) ) B )  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
2419, 23eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR* ss  ( 0 [,] 
+oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( (
# `  x ) x e B ) )
255, 1, 6, 7, 24esumval 24394 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) , 
RR* ,  <  ) )
26 nn0ssre 10181 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  RR
27 ressxr 9085 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
2826, 27sstri 3317 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR*
29 pnfxr 10669 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e.  RR*
30 snssi 3902 . . . . . . . . . 10  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  {  +oo }  C_ 
RR* )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  {  +oo } 
C_  RR*
3228, 31unssi 3482 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
u.  {  +oo } ) 
C_  RR*
33 hashf 11580 . . . . . . . . 9  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  {  +oo } )
34 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
35 ffvelrn 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# : _V --> ( NN0 
u.  {  +oo } )  /\  x  e.  _V )  ->  ( # `  x
)  e.  ( NN0 
u.  {  +oo } ) )
3633, 34, 35mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( # `  x )  e.  ( NN0  u.  {  +oo } )
3732, 36sselii 3305 . . . . . . 7  |-  ( # `  x )  e.  RR*
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  e. 
RR* )
39 iccssxr 10949 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
40 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4139, 40sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  B  e.  RR* )
4241adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  RR* )
4338, 42xmulcld 10837 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) x e B )  e.  RR* )
44 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) )
4543, 44fmptd 5852 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> RR* )
46 frn 5556 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) : ( ~P A  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) ) 
C_  RR* )
4745, 46syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) )  C_  RR* )
48 hashxrcl 11595 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
4948adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( # `  A )  e.  RR* )
5049, 41xmulcld 10837 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> 
( ( # `  A
) x e B )  e.  RR* )
51 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
5244elrnmpt 5076 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) x e B ) ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
y  =  ( (
# `  x ) x e B ) )
5453biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
5549adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
56 0xr 9087 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  0  e.  RR* )
5829a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  +oo  e.  RR* )
59 iccgelb 24089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  0  <_  B )
6057, 58, 15, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  0  <_  B )
6142, 60jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )
626adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
63 inss1 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
6463sseli 3304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
65 elpwi 3767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
6613, 64, 653syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
67 ssdomg 7112 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  C_  A  ->  x  ~<_  A ) )
6862, 66, 67sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  ~<_  A )
69 hashdomi 11609 . . . . . . . . 9  |-  ( x  ~<_  A  ->  ( # `  x
)  <_  ( # `  A
) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  <_ 
( # `  A ) )
71 xlemul1a 10823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  x
)  e.  RR*  /\  ( # `
 A )  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )  /\  ( # `  x )  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  x ) x e B )  <_  ( ( # `  A ) x e B ) )
7238, 55, 61, 70, 71syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) x e B )  <_  ( ( # `  A ) x e B ) )
7372ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( ( # `  x
) x e B )  <_  ( ( # `
 A ) x e B ) )
74 r19.29r 2807 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) x e B )  /\  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  x ) x e B )  <_  (
( # `  A ) x e B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  =  ( ( # `  x
) x e B )  /\  ( (
# `  x ) x e B )  <_ 
( ( # `  A
) x e B ) ) )
7554, 73, 74syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  =  ( ( # `  x
) x e B )  /\  ( (
# `  x ) x e B )  <_ 
( ( # `  A
) x e B ) ) )
76 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) x e B )  /\  ( ( # `  x
) x e B )  <_  ( ( # `
 A ) x e B ) )  ->  y  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
77 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) x e B )  /\  ( ( # `  x
) x e B )  <_  ( ( # `
 A ) x e B ) )  ->  ( ( # `  x ) x e B )  <_  (
( # `  A ) x e B ) )
7876, 77eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) x e B )  /\  ( ( # `  x
) x e B )  <_  ( ( # `
 A ) x e B ) )  ->  y  <_  (
( # `  A ) x e B ) )
7978rexlimivw 2786 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  =  ( ( # `  x
) x e B )  /\  ( (
# `  x ) x e B )  <_ 
( ( # `  A
) x e B ) )  ->  y  <_  ( ( # `  A
) x e B ) )
8075, 79syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) )  -> 
y  <_  ( ( # `
 A ) x e B ) )
8180ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) y  <_ 
( ( # `  A
) x e B ) )
82 pwidg 3771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  ~P A )
8382ancri 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e.  ~P A  /\  A  e.  Fin ) )
84 elin 3490 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( A  e.  ~P A  /\  A  e.  Fin ) )
8583, 84sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
86 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A ) x e B )  =  ( ( # `  A
) x e B )
87 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
8887oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  x ) x e B )  =  ( ( # `  A ) x e B ) )
8988eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( # `  A
) x e B )  =  ( (
# `  x ) x e B )  <->  ( ( # `
 A ) x e B )  =  ( ( # `  A
) x e B ) ) )
9089rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ( # `  A
) x e B )  =  ( (
# `  A ) x e B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) x e B )  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
9186, 90mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) x e B )  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
92 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A ) x e B )  e. 
_V
9344elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  A
) x e B )  e.  _V  ->  ( ( ( # `  A
) x e B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) x e B )  =  ( ( # `  x
) x e B ) ) )
9492, 93ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
) x e B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) x e B )  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
9591, 94sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (
( # `  A ) x e B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) ) )
9685, 95syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A ) x e B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) ) )
9796adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( # `  A ) x e B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) ) )
98 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )
99 breq2 4176 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( # `  A ) x e B )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) ) )
10099rspcev 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  A
) x e B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z )
10197, 98, 100syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z )
102 simp-4r 744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
103 elxrge02 24131 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  = 
+oo ) )
104102, 103sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  =  +oo )
)
105 0elpw 4329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  ~P A
106 0fin 7295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
107 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
108105, 106, 107mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  ->  (/) 
e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
110 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
111110oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  (/) ) x e B )  =  ( ( # `  (/) ) x e 0 ) )
112 hash0 11601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  (/) )  =  0
113112, 56eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  (/) )  e.  RR*
114 xmul01 10802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  (/) )  e. 
RR*  ->  ( ( # `  (/) ) x e 0 )  =  0 )
115113, 114ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  (/) ) x e 0 )  =  0
116111, 115syl6req 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
0  =  ( (
# `  (/) ) x e B ) )
117 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
118117oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  x ) x e B )  =  ( ( # `  (/) ) x e B ) )
119118eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 0  =  ( ( # `  x ) x e B )  <->  0  =  ( ( # `  (/) ) x e B ) ) )
120119rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  0  =  ( ( # `
 (/) ) x e B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
0  =  ( (
# `  x ) x e B ) )
121109, 116, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
0  =  ( (
# `  x ) x e B ) )
122 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  x ) x e B )  e. 
_V
12344, 122elrnmpti 5080 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
0  =  ( (
# `  x ) x e B ) )
124121, 123sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
0  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) )
125 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
y  <  ( ( # `
 A ) x e B ) )
126110oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) x e B )  =  ( (
# `  A ) x e 0 ) )
12749ad4antr 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( # `  A )  e.  RR* )
128 xmul01 10802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  RR*  ->  ( ( # `
 A ) x e 0 )  =  0 )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) x e 0 )  =  0 )
130126, 129eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) x e B )  =  0 )
131125, 130breqtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
y  <  0 )
132 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
y  <  z  <->  y  <  0 ) )
133132rspcev 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) )  /\  y  <  0 )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z )
134124, 131, 133syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  0 )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) y  < 
z )
135 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  ~P A )
136 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( # `  a
)  =  n )
137 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  n  e.  NN )
138136, 137eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( # `  a
)  e.  NN )
139 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  a )  e.  NN  ->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
140 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  a  e. 
_V
141 hashclb 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  Fin  <->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
)
142140, 141ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  Fin  <->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
143139, 142sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  a )  e.  NN  ->  a  e.  Fin )
144138, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  Fin )
145 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ~P A  /\  a  e.  Fin ) )
146135, 144, 145sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
147 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) x e B )  =  ( ( # `  a
) x e B ) )
148 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  a
) )
149148oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( # `  x ) x e B )  =  ( ( # `  a ) x e B ) )
150149eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( # `  a
) x e B )  =  ( (
# `  x ) x e B )  <->  ( ( # `
 a ) x e B )  =  ( ( # `  a
) x e B ) ) )
151150rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ( # `  a
) x e B )  =  ( (
# `  a ) x e B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) x e B )  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
152146, 147, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) x e B )  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
15344, 122elrnmpti 5080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  a
) x e B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) x e B )  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
154152, 153sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) x e B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) )
155 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( y  /  B )  <  n
)
156 simp-8r 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  e.  RR )
157137nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  n  e.  RR )
158 simp-5r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  B  e.  RR+ )
159156, 157, 158ltdivmul2d 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( y  /  B )  < 
n  <->  y  <  (
n  x.  B ) ) )
160155, 159mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  <  (
n  x.  B ) )
161136oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) x e B )  =  ( n x e B ) )
162158rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  B  e.  RR )
163 rexmul 10806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( n x e B )  =  ( n  x.  B ) )
164157, 162, 163syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( n x e B )  =  ( n  x.  B
) )
165161, 164eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) x e B )  =  ( n  x.  B ) )
166160, 165breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  <  (
( # `  a ) x e B ) )
167 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( # `  a ) x e B )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( ( # `  a
) x e B ) ) )
168167rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( # `  a
) x e B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) )  /\  y  <  ( ( # `  a
) x e B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z )
169154, 166, 168syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) y  < 
z )
170169ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  /  B )  <  n
)  /\  a  e.  ~P A )  ->  (
( # `  a )  =  n  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z ) )
171170rexlimdva 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  /  B )  <  n
)  ->  ( E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z ) )
172171impr 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( y  /  B )  < 
n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a )  =  n ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z )
173 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR )
174 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
175173, 174rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
y  /  B )  e.  RR )
176 arch 10174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( y  /  B )  <  n
)
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. n  e.  NN  ( y  /  B )  <  n
)
178 ishashinf 24112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  NN  E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n )
179178ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  NN  E. a  e. 
~P  A ( # `  a )  =  n )
180 r19.29r 2807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. n  e.  NN  ( y  /  B
)  <  n  /\  A. n  e.  NN  E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  /  B )  <  n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a
)  =  n ) )
181177, 179, 180syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  /  B )  < 
n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a )  =  n ) )
182172, 181r19.29a 2810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z )
183 nfielex 7296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. l  l  e.  A
)
184183adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  =  +oo )  ->  E. l  l  e.  A )
185 snelpwi 4369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  A  ->  { l }  e.  ~P A
)
186 snfi 7146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { l }  e.  Fin
187185, 186jctir 525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  A  ->  ( { l }  e.  ~P A  /\  { l }  e.  Fin )
)
188 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( { l }  e.  ~P A  /\  { l }  e.  Fin ) )
189187, 188sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  A  ->  { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
190189adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  =  +oo )  /\  l  e.  A )  ->  { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
191 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  =  +oo )  /\  l  e.  A )  ->  B  =  +oo )
192191oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  =  +oo )  /\  l  e.  A )  ->  (
( # `  { l } ) x e B )  =  ( ( # `  {
l } ) x e  +oo ) )
193 hashsng 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  A  ->  ( # `
 { l } )  =  1 )
194 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
19527, 194sselii 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR*
196193, 195syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  A  ->  ( # `
 { l } )  e.  RR* )
197 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  1
198197, 193syl5breqr 4208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  A  ->  0  <  ( # `  {
l } ) )
199 xmulpnf1 10809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  {
l } )  e. 
RR*  /\  0  <  (
# `  { l } ) )  -> 
( ( # `  {
l } ) x e  +oo )  = 
+oo )
200196, 198, 199syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  A  ->  (
( # `  { l } ) x e 
+oo )  =  +oo )
201200adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  =  +oo )  /\  l  e.  A )  ->  (
( # `  { l } ) x e 
+oo )  =  +oo )
202192, 201eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  =  +oo )  /\  l  e.  A )  ->  +oo  =  ( ( # `  {
l } ) x e B ) )
203 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  { l }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { l } ) )
204203oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  { l }  ->  ( ( # `  x ) x e B )  =  ( ( # `  {
l } ) x e B ) )
205204eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  { l }  ->  (  +oo  =  ( ( # `  x
) x e B )  <->  +oo  =  ( (
# `  { l } ) x e B ) ) )
206205rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  +oo  =  (
( # `  { l } ) x e B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  +oo  =  ( ( # `  x ) x e B ) )
207190, 202, 206syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  =  +oo )  /\  l  e.  A )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  +oo  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
208184, 207exlimddv 1645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  =  +oo )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  +oo  =  ( (
# `  x ) x e B ) )
209208adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  +oo )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  +oo  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
21044, 122elrnmpti 5080 . . . . . . . . . 10  |-  (  +oo  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  +oo  =  ( ( # `  x
) x e B ) )
211209, 210sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  +oo )  ->  +oo  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) )
212 simp-4r 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  +oo )  ->  y  e.  RR )
213 ltpnf 10677 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  y  <  +oo )
214212, 213syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  +oo )  ->  y  <  +oo )
215 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  <  +oo ) )
216215rspcev 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
+oo  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) )  /\  y  <  +oo )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) y  < 
z )
217211, 214, 216syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  B  =  +oo )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z )
218134, 182, 2173jaodan 1250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( (
# `  A ) x e B ) )  /\  -.  A  e. 
Fin )  /\  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  =  +oo ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) y  < 
z )
219104, 218mpdan 650 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) y  < 
z )
220101, 219pm2.61dan 767 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) x e B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z )
221220ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,]  +oo ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  < 
( ( # `  A
) x e B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z ) )
222221ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  <  (
( # `  A ) x e B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) y  < 
z ) )
223 supxr2 10848 . . 3  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) ) 
C_  RR*  /\  ( (
# `  A ) x e B )  e. 
RR* )  /\  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) x e B ) ) y  <_ 
( ( # `  A
) x e B )  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
( ( # `  A
) x e B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) y  <  z ) ) )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) x e B ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( ( # `  A
) x e B ) )
22447, 50, 81, 222, 223syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) x e B ) ) ,  RR* ,  <  )  =  ( ( # `  A ) x e B ) )
22525, 224eqtrd 2436 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( # `  A
) x e B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   RR+crp 10568   x ecxmu 10665   [,]cicc 10875   #chash 11573   ↾s cress 13425   RR* scxrs 13677    gsumg cgsu 13679   Mndcmnd 14639  .gcmg 14644  TopMndctmd 18053  Σ*cesum 24377
This theorem is referenced by:  esumpinfval  24416  esumpinfsum  24420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-lmod 15907  df-scaf 15908  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-tmd 18055  df-tgp 18056  df-tsms 18109  df-trg 18142  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587  df-ii 18860  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-esum 24378
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