Theorem esumcst 26517

Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcst.1	|- F/_ k A
esumcst.2	|- F/_ k B

Assertion

Ref	Expression
esumcst	|- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) xe B ) )

Distinct variable group:   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem esumcst

Dummy variables a l n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcst.1	. . . . 5 |- F/_ k A
2	1	nfel1 2592	. . . 4 |- F/ k A e. V
3		esumcst.2	. . . . 5 |- F/_ k B
4	3	nfel1 2592	. . . 4 |- F/ k B e. ( 0 [,] +oo )
5	2, 4	nfan 1861	. . 3 |- F/ k ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) )
6		simpl 457	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A e. V )
7		simplr 754	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xrge0tmd 26379	. . . . . . 7 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd
9		tmdmnd 19649	. . . . . . 7 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
12		inss2 3574	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
13		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
14	12, 13	sseldi 3357	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
15		simplr 754	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
16		xrge0base 26149	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
17		eqid 2443	. . . . . 6 |- (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) = (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
18	3, 16, 17	gsumconstf 16431	. . . . 5 |- ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd /\ x e. Fin /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
19	11, 14, 15, 18	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
20		hashcl 12129	. . . . . 6 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
21	14, 20	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. NN0 )
22		xrge0mulgnn0 26153	. . . . 5 |- ( ( ( # ` x ) e. NN0 /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
23	21, 15, 22	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
24	19, 23	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
25	5, 1, 6, 7, 24	esumval 26503	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) )
26		nn0ssre 10586	. . . . . . . . . 10 |- NN0 C_ RR
27		ressxr 9430	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
28	26, 27	sstri 3368	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ RR*
29		pnfxr 11095	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
30		snssi 4020	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo e. RR* -> { +oo } C_ RR* )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { +oo } C_ RR*
32	28, 31	unssi 3534	. . . . . . . 8 |- ( NN0 u. { +oo } ) C_ RR*
33		hashf 12113	. . . . . . . . 9 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
34		vex 2978	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
35		ffvelrn 5844	. . . . . . . . 9 |- ( ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } ) )
36	33, 34, 35	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } )
37	32, 36	sselii 3356	. . . . . . 7 |- ( # ` x ) e. RR*
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. RR* )
39		iccssxr 11381	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
40		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
41	39, 40	sseldi 3357	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. RR* )
42	41	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. RR* )
43	38, 42	xmulcld 11268	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) e. RR* )
44		eqid 2443	. . . . 5 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) )
45	43, 44	fmptd 5870	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* )
46		frn 5568	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* )
47	45, 46	syl 16	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* )
48		hashxrcl 12130	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( # ` A ) e. RR* )
49	48	adantr 465	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
50	49, 41	xmulcld 11268	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. RR* )
51		vex 2978	. . . . . . . 8 |- y e. _V
52	44	elrnmpt 5089	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) )
54	53	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) )
55	49	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
56		0xr 9433	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 e. RR* )
58	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> +oo e. RR* )
59		iccgelb 11355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
60	57, 58, 15, 59	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 <_ B )
61	42, 60	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
62	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A e. V )
63		inss1 3573	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
64	63	sseli 3355	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
65		elpwi 3872	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
66	13, 64, 65	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x C_ A )
67		ssdomg 7358	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( x C_ A -> x ~<_ A ) )
68	62, 66, 67	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x ~<_ A )
69		hashdomi 12146	. . . . . . . . 9 |- ( x ~<_ A -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
71		xlemul1a 11254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( # ` x ) e. RR* /\ ( # ` A ) e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) /\ ( # ` x ) <_ ( # ` A ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
72	38, 55, 61, 70, 71	syl31anc 1221	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
73	72	ralrimiva 2802	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
74		r19.29r 2861	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) )
75	54, 73, 74	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) )
76		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y = ( ( # ` x ) xe B ) )
77		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
78	76, 77	eqbrtrd 4315	. . . . . 6 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
79	78	rexlimivw 2840	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
80	75, 79	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
81	80	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
82		pwidg 3876	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> A e. ~P A )
83	82	ancri 552	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
84		elin 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
85	83, 84	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> A e. ( ~P A i^i Fin ) )
86		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B )
87		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( # ` x ) = ( # ` A ) )
88	87	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
89	88	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) <-> ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) ) )
90	89	rspcev 3076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
91	86, 90	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
92		ovex 6119	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) xe B ) e. _V
93	44	elrnmpt 5089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` A ) xe B ) e. _V -> ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) ) )
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
95	91, 94	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
96	85, 95	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
97	96	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
98		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> y < ( ( # ` A ) xe B ) )
99		breq2 4299	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( # ` A ) xe B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` A ) xe B ) ) )
100	99	rspcev 3076	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
101	97, 98, 100	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
102		simp-4r 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
103		elxrge02 26110	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
104	102, 103	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
105		0elpw 4464	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. ~P A
106		0fin 7543	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Fin
107		elin 3542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P A /\ (/) e. Fin ) )
108	105, 106, 107	mpbir2an 911	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> (/) e. ( ~P A i^i Fin ) )
110		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
111	110	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` (/) ) xe B ) = ( ( # ` (/) ) xe 0 ) )
112		hash0 12138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( # ` (/) ) = 0
113	112, 56	eqeltri 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` (/) ) e. RR*
114		xmul01 11233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` (/) ) e. RR* -> ( ( # ` (/) ) xe 0 ) = 0 )
115	113, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` (/) ) xe 0 ) = 0
116	111, 115	syl6req 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) )
117		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
118	117	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` (/) ) xe B ) )
119	118	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( 0 = ( ( # ` x ) xe B ) <-> 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) ) )
120	119	rspcev 3076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
121	109, 116, 120	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
122		ovex 6119	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` x ) xe B ) e. _V
123	44, 122	elrnmpti 5093	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
124	121, 123	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
125		simpllr 758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < ( ( # ` A ) xe B ) )
126	110	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe 0 ) )
127	49	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( # ` A ) e. RR* )
128		xmul01 11233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` A ) e. RR* -> ( ( # ` A ) xe 0 ) = 0 )
129	127, 128	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe 0 ) = 0 )
130	126, 129	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe B ) = 0 )
131	125, 130	breqtrd 4319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < 0 )
132		breq2 4299	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( y < z <-> y < 0 ) )
133	132	rspcev 3076	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
134	124, 131, 133	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
135		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ~P A )
136		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) = n )
137		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. NN )
138	136, 137	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) e. NN )
139		nnnn0 10589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` a ) e. NN -> ( # ` a ) e. NN0 )
140		vex 2978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- a e. _V
141		hashclb 12131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. _V -> ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 ) )
142	140, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 )
143	139, 142	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` a ) e. NN -> a e. Fin )
144	138, 143	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. Fin )
145	135, 144	elind 3543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ( ~P A i^i Fin ) )
146		eqidd 2444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) )
147		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( # ` x ) = ( # ` a ) )
148	147	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) )
149	148	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) <-> ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) ) )
150	149	rspcev 3076	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
151	145, 146, 150	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
152	44, 122	elrnmpti 5093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
153	151, 152	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
154		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( y / B ) < n )
155		simp-8r 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y e. RR )
156	137	nnred 10340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. RR )
157		simp-5r 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR+ )
158	155, 156, 157	ltdivmul2d 11078	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( y / B ) < n <-> y < ( n x. B ) ) )
159	154, 158	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( n x. B ) )
160	136	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( n xe B ) )
161	157	rpred 11030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR )
162		rexmul 11237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. RR /\ B e. RR ) -> ( n xe B ) = ( n x. B ) )
163	156, 161, 162	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( n xe B ) = ( n x. B ) )
164	160, 163	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( n x. B ) )
165	159, 164	breqtrrd 4321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( ( # ` a ) xe B ) )
166		breq2 4299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( # ` a ) xe B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` a ) xe B ) ) )
167	166	rspcev 3076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < ( ( # ` a ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
168	153, 165, 167	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
169	168	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) -> ( ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
170	169	rexlimdva 2844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) -> ( E. a e. ~P A ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
171	170	impr 619	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
172		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> y e. RR )
173		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
174	172, 173	rerpdivcld 11057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> ( y / B ) e. RR )
175		arch 10579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y / B ) e. RR -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
176	174, 175	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
177		ishashinf 26088	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. Fin -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
178	177	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
179		r19.29r 2861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. n e. NN ( y / B ) < n /\ A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
180	176, 178, 179	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
181	171, 180	r19.29a 2865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
182		nfielex 7544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A e. Fin -> E. l l e. A )
183	182	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. l l e. A )
184		snelpwi 4540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. A -> { l } e. ~P A )
185		snfi 7393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { l } e. Fin
186	184, 185	jctir 538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
187		elin 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
188	186, 187	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. A -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
189	188	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
190		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> B = +oo )
191	190	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) xe B ) = ( ( # ` { l } ) xe +oo ) )
192		hashsng 12139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) = 1 )
193		1re 9388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
194	27, 193	sselii 3356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR*
195	192, 194	syl6eqel 2531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) e. RR* )
196		0lt1 9865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 1
197	196, 192	syl5breqr 4331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. A -> 0 < ( # ` { l } ) )
198		xmulpnf1 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( # ` { l } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { l } ) ) -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
199	195, 197, 198	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
200	199	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
201	191, 200	eqtr2d 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) )
202		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = { l } -> ( # ` x ) = ( # ` { l } ) )
203	202	oveq1d 6109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { l } -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` { l } ) xe B ) )
204	203	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { l } -> ( +oo = ( ( # ` x ) xe B ) <-> +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) ) )
205	204	rspcev 3076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) /\ +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
206	189, 201, 205	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
207	183, 206	exlimddv 1692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
208	207	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
209	44, 122	elrnmpti 5093	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
210	208, 209	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
211		simp-4r 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y e. RR )
212		ltpnf 11105	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> y < +oo )
213	211, 212	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y < +oo )
214		breq2 4299	. . . . . . . . . 10 |- ( z = +oo -> ( y < z <-> y < +oo ) )
215	214	rspcev 3076	. . . . . . . . 9 |- ( ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
216	210, 213, 215	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
217	134, 181, 216	3jaodan 1284	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
218	104, 217	mpdan 668	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
219	101, 218	pm2.61dan 789	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
220	219	ex 434	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) -> ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
221	220	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
222		supxr2 11279	. . 3 |- ( ( ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* /\ ( ( # ` A ) xe B ) e. RR* ) /\ ( A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y <_ ( ( # ` A ) xe B ) /\ A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
223	47, 50, 81, 221, 222	syl22anc 1219	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
224	25, 223	eqtrd 2475	1 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) xe B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 964   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   F/_wnfc 2569   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975   u. cun 3329   i^i cin 3330   C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   {csn 3880   class class class wbr 4295   e. cmpt 4353   ran crn 4844   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   ~<_ cdom 7311   Fincfn 7313   supcsup 7693   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286   x. cmul 9290   +oocpnf 9418   RR*cxr 9420   < clt 9421   <_ cle 9422   / cdiv 9996   NNcn 10325   NN0cn0 10582   RR+crp 10994   xecxmu 11091   [,]cicc 11306   #chash 12106   ↾_s cress 14178   gsum_g cgsu 14382   RR*scxrs 14441   Mndcmnd 15412  ._gcmg 15417  TopMndctmd 19644  Σ^*cesum 26486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-ordt 14442  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-ps 15373  df-tsr 15374  df-mnd 15418  df-plusf 15419  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-cring 16651  df-subrg 16866  df-abv 16905  df-lmod 16953  df-scaf 16954  df-sra 17256  df-rgmod 17257  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-tmd 19646  df-tgp 19647  df-tsms 19700  df-trg 19737  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-nm 20178  df-ngp 20179  df-nrg 20181  df-nlm 20182  df-ii 20456  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-esum 26487

This theorem is referenced by:  esumpinfval  26525  esumpinfsum  26529