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Theorem esumcst 26517
Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcst.1  |-  F/_ k A
esumcst.2  |-  F/_ k B
Assertion
Ref Expression
esumcst  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( # `  A ) xe B ) )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem esumcst
Dummy variables  a 
l  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcst.1 . . . . 5  |-  F/_ k A
21nfel1 2592 . . . 4  |-  F/ k  A  e.  V
3 esumcst.2 . . . . 5  |-  F/_ k B
43nfel1 2592 . . . 4  |-  F/ k  B  e.  ( 0 [,] +oo )
52, 4nfan 1861 . . 3  |-  F/ k ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)
6 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A  e.  V
)
7 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 xrge0tmd 26379 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd
9 tmdmnd 19649 . . . . . . 7  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
12 inss2 3574 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
13 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
1412, 13sseldi 3357 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
15 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16 xrge0base 26149 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
17 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (.g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
183, 16, 17gsumconstf 16431 . . . . 5  |-  ( ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd  /\  x  e.  Fin  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( # `  x
) (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) B ) )
1911, 14, 15, 18syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( # `  x
) (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) B ) )
20 hashcl 12129 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
2114, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
22 xrge0mulgnn0 26153 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  x
)  e.  NN0  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( # `  x ) (.g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) B )  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
2321, 15, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) B )  =  ( ( # `  x ) xe B ) )
2419, 23eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
255, 1, 6, 7, 24esumval 26503 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) , 
RR* ,  <  ) )
26 nn0ssre 10586 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  RR
27 ressxr 9430 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
2826, 27sstri 3368 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR*
29 pnfxr 11095 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
30 snssi 4020 . . . . . . . . . 10  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  { +oo }  C_ 
RR* )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { +oo } 
C_  RR*
3228, 31unssi 3534 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
u.  { +oo } ) 
C_  RR*
33 hashf 12113 . . . . . . . . 9  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
34 vex 2978 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
35 ffvelrn 5844 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# : _V --> ( NN0 
u.  { +oo } )  /\  x  e.  _V )  ->  ( # `  x
)  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
3633, 34, 35mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( # `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )
3732, 36sselii 3356 . . . . . . 7  |-  ( # `  x )  e.  RR*
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  e. 
RR* )
39 iccssxr 11381 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
40 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4139, 40sseldi 3357 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  B  e.  RR* )
4241adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  RR* )
4338, 42xmulcld 11268 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) xe B )  e.  RR* )
44 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )
4543, 44fmptd 5870 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> RR* )
46 frn 5568 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) : ( ~P A  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  C_  RR* )
4745, 46syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) )  C_  RR* )
48 hashxrcl 12130 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
4948adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( # `  A
)  e.  RR* )
5049, 41xmulcld 11268 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( # `  A ) xe B )  e.  RR* )
51 vex 2978 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
5244elrnmpt 5089 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
5453biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
5549adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
56 0xr 9433 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  0  e.  RR* )
5829a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  -> +oo  e.  RR* )
59 iccgelb 11355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  B )
6057, 58, 15, 59syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  0  <_  B )
6142, 60jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )
626adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
63 inss1 3573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
6463sseli 3355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
65 elpwi 3872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
6613, 64, 653syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
67 ssdomg 7358 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  C_  A  ->  x  ~<_  A ) )
6862, 66, 67sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  ~<_  A )
69 hashdomi 12146 . . . . . . . . 9  |-  ( x  ~<_  A  ->  ( # `  x
)  <_  ( # `  A
) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  <_ 
( # `  A ) )
71 xlemul1a 11254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  x
)  e.  RR*  /\  ( # `
 A )  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )  /\  ( # `  x )  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) )
7238, 55, 61, 70, 71syl31anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) )
7372ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )
74 r19.29r 2861 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  ( (
# `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) ) )
7554, 73, 74syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  ( (
# `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) ) )
76 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) xe B )  /\  ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  y  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
77 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) xe B )  /\  ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  ( ( # `
 x ) xe B )  <_ 
( ( # `  A
) xe B ) )
7876, 77eqbrtrd 4315 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) xe B )  /\  ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  y  <_  ( ( # `  A
) xe B ) )
7978rexlimivw 2840 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  ( (
# `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) )  -> 
y  <_  ( ( # `
 A ) xe B ) )
8075, 79syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) )  ->  y  <_  (
( # `  A ) xe B ) )
8180ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  <_ 
( ( # `  A
) xe B ) )
82 pwidg 3876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  ~P A )
8382ancri 552 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e.  ~P A  /\  A  e.  Fin ) )
84 elin 3542 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( A  e.  ~P A  /\  A  e.  Fin ) )
8583, 84sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
86 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A ) xe B )  =  ( ( # `  A ) xe B )
87 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
8887oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  x ) xe B )  =  ( ( # `  A ) xe B ) )
8988eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  x ) xe B )  <-> 
( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  A ) xe B ) ) )
9089rspcev 3076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  A ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
9186, 90mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
92 ovex 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A ) xe B )  e.  _V
9344elrnmpt 5089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  _V  ->  ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
9591, 94sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (
( # `  A ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) ) )
9685, 95syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) ) )
9796adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( # `  A ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) ) )
98 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )
99 breq2 4299 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( # `  A ) xe B )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) ) )
10099rspcev 3076 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
10197, 98, 100syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
102 simp-4r 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
103 elxrge02 26110 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  = +oo ) )
104102, 103sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  = +oo )
)
105 0elpw 4464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  ~P A
106 0fin 7543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
107 elin 3542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
108105, 106, 107mpbir2an 911 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  (/) 
e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
110 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
111110oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  (/) ) xe B )  =  ( ( # `  (/) ) xe 0 ) )
112 hash0 12138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  (/) )  =  0
113112, 56eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  (/) )  e.  RR*
114 xmul01 11233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  (/) )  e. 
RR*  ->  ( ( # `  (/) ) xe 0 )  =  0 )
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  (/) ) xe 0 )  =  0
116111, 115syl6req 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
0  =  ( (
# `  (/) ) xe B ) )
117 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
118117oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  x ) xe B )  =  ( ( # `  (/) ) xe B ) )
119118eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 0  =  ( ( # `  x ) xe B )  <->  0  =  ( ( # `  (/) ) xe B ) ) )
120119rspcev 3076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  0  =  ( ( # `
 (/) ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
0  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
121109, 116, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
0  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
122 ovex 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  x ) xe B )  e.  _V
12344, 122elrnmpti 5093 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
124121, 123sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
0  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
125 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
y  <  ( ( # `
 A ) xe B ) )
126110oveq2d 6110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  A ) xe 0 ) )
12749ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( # `  A )  e.  RR* )
128 xmul01 11233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  RR*  ->  ( ( # `
 A ) xe 0 )  =  0 )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) xe 0 )  =  0 )
130126, 129eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) xe B )  =  0 )
131125, 130breqtrd 4319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
y  <  0 )
132 breq2 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
y  <  z  <->  y  <  0 ) )
133132rspcev 3076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  <  0 )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
134124, 131, 133syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
135 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  ~P A )
136 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( # `  a
)  =  n )
137 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  n  e.  NN )
138136, 137eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( # `  a
)  e.  NN )
139 nnnn0 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  a )  e.  NN  ->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
140 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  a  e. 
_V
141 hashclb 12131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  Fin  <->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
)
142140, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  Fin  <->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
143139, 142sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  a )  e.  NN  ->  a  e.  Fin )
144138, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  Fin )
145135, 144elind 3543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
146 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  a
) xe B ) )
147 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  a
) )
148147oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( # `  x ) xe B )  =  ( ( # `  a ) xe B ) )
149148eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( # `  a
) xe B )  =  ( (
# `  x ) xe B )  <-> 
( ( # `  a
) xe B )  =  ( (
# `  a ) xe B ) ) )
150149rspcev 3076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ( # `  a
) xe B )  =  ( (
# `  a ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
151145, 146, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
15244, 122elrnmpti 5093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  a
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
153151, 152sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
154 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( y  /  B )  <  n
)
155 simp-8r 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  e.  RR )
156137nnred 10340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  n  e.  RR )
157 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  B  e.  RR+ )
158155, 156, 157ltdivmul2d 11078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( y  /  B )  < 
n  <->  y  <  (
n  x.  B ) ) )
159154, 158mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  <  (
n  x.  B ) )
160136oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  =  ( n xe B ) )
161157rpred 11030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  B  e.  RR )
162 rexmul 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( n xe B )  =  ( n  x.  B ) )
163156, 161, 162syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( n xe B )  =  ( n  x.  B
) )
164160, 163eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  =  ( n  x.  B ) )
165159, 164breqtrrd 4321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  <  (
( # `  a ) xe B ) )
166 breq2 4299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( # `  a ) xe B )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( ( # `  a
) xe B ) ) )
167166rspcev 3076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( # `  a
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  <  ( ( # `  a
) xe B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
168153, 165, 167syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
169168ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  /  B )  <  n
)  /\  a  e.  ~P A )  ->  (
( # `  a )  =  n  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) )
170169rexlimdva 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  /  B )  <  n
)  ->  ( E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) )
171170impr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( y  /  B )  < 
n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a )  =  n ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
172 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR )
173 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
174172, 173rerpdivcld 11057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
y  /  B )  e.  RR )
175 arch 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( y  /  B )  <  n
)
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. n  e.  NN  ( y  /  B )  <  n
)
177 ishashinf 26088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  NN  E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n )
178177ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  NN  E. a  e. 
~P  A ( # `  a )  =  n )
179 r19.29r 2861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. n  e.  NN  ( y  /  B
)  <  n  /\  A. n  e.  NN  E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  /  B )  <  n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a
)  =  n ) )
180176, 178, 179syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  /  B )  < 
n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a )  =  n ) )
181171, 180r19.29a 2865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
182 nfielex 7544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. l  l  e.  A
)
183182adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  = +oo )  ->  E. l  l  e.  A )
184 snelpwi 4540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  A  ->  { l }  e.  ~P A
)
185 snfi 7393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { l }  e.  Fin
186184, 185jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  A  ->  ( { l }  e.  ~P A  /\  { l }  e.  Fin )
)
187 elin 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( { l }  e.  ~P A  /\  { l }  e.  Fin ) )
188186, 187sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  A  ->  { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
189188adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
190 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  B  = +oo )
191190oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  (
( # `  { l } ) xe B )  =  ( ( # `  {
l } ) xe +oo ) )
192 hashsng 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  A  ->  ( # `
 { l } )  =  1 )
193 1re 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
19427, 193sselii 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR*
195192, 194syl6eqel 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  A  ->  ( # `
 { l } )  e.  RR* )
196 0lt1 9865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  1
197196, 192syl5breqr 4331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  A  ->  0  <  ( # `  {
l } ) )
198 xmulpnf1 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  {
l } )  e. 
RR*  /\  0  <  (
# `  { l } ) )  -> 
( ( # `  {
l } ) xe +oo )  = +oo )
199195, 197, 198syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  A  ->  (
( # `  { l } ) xe +oo )  = +oo )
200199adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  (
( # `  { l } ) xe +oo )  = +oo )
201191, 200eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  -> +oo  =  ( ( # `  {
l } ) xe B ) )
202 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  { l }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { l } ) )
203202oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  { l }  ->  ( ( # `  x ) xe B )  =  ( ( # `  {
l } ) xe B ) )
204203eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  { l }  ->  ( +oo  =  ( ( # `  x
) xe B )  <-> +oo  =  ( (
# `  { l } ) xe B ) ) )
205204rspcev 3076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\ +oo  =  ( ( # `  {
l } ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
206189, 201, 205syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
207183, 206exlimddv 1692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  = +oo )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
208207adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
20944, 122elrnmpti 5093 . . . . . . . . . 10  |-  ( +oo  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
210208, 209sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  -> +oo  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) )
211 simp-4r 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  y  e.  RR )
212 ltpnf 11105 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  y  < +oo )
213211, 212syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  y  < +oo )
214 breq2 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  = +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  < +oo ) )
215214rspcev 3076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( +oo  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  < +oo )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
216210, 213, 215syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
217134, 181, 2163jaodan 1284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  = +oo ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
218104, 217mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
219101, 218pm2.61dan 789 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
220219ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <  ( ( # `  A ) xe B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) )
221220ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  <  (
( # `  A ) xe B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z ) )
222 supxr2 11279 . . 3  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  C_  RR*  /\  (
( # `  A ) xe B )  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  <_ 
( ( # `  A
) xe B )  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
( ( # `  A
) xe B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) ) )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( ( # `  A
) xe B ) )
22347, 50, 81, 221, 222syl22anc 1219 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) ,  RR* ,  <  )  =  ( ( # `  A
) xe B ) )
22425, 223eqtrd 2475 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( # `  A ) xe B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   F/_wnfc 2569   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    u. cun 3329    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   {csn 3880   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   ran crn 4844   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    ~<_ cdom 7311   Fincfn 7313   supcsup 7693   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    x. cmul 9290   +oocpnf 9418   RR*cxr 9420    < clt 9421    <_ cle 9422    / cdiv 9996   NNcn 10325   NN0cn0 10582   RR+crp 10994   xecxmu 11091   [,]cicc 11306   #chash 12106   ↾s cress 14178    gsumg cgsu 14382   RR*scxrs 14441   Mndcmnd 15412  .gcmg 15417  TopMndctmd 19644  Σ*cesum 26486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-ordt 14442  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-ps 15373  df-tsr 15374  df-mnd 15418  df-plusf 15419  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-cring 16651  df-subrg 16866  df-abv 16905  df-lmod 16953  df-scaf 16954  df-sra 17256  df-rgmod 17257  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-tmd 19646  df-tgp 19647  df-tsms 19700  df-trg 19737  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-nm 20178  df-ngp 20179  df-nrg 20181  df-nlm 20182  df-ii 20456  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345  df-log 22011  df-esum 26487
This theorem is referenced by:  esumpinfval  26525  esumpinfsum  26529
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