Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcst Unicode version

Theorem esumcst 24408
 Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcst.1
esumcst.2
Assertion
Ref Expression
esumcst Σ*
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem esumcst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcst.1 . . . . 5
21nfel1 2550 . . . 4
3 esumcst.2 . . . . 5
43nfel1 2550 . . . 4
52, 4nfan 1842 . . 3
6 simpl 444 . . 3
7 simplr 732 . . 3
8 xrge0tmd 24285 . . . . . . 7 s TopMnd
9 tmdmnd 18058 . . . . . . 7 s TopMnd s
108, 9ax-mp 8 . . . . . 6 s
1110a1i 11 . . . . 5 s
12 inss2 3522 . . . . . 6
13 simpr 448 . . . . . 6
1412, 13sseldi 3306 . . . . 5
15 simplr 732 . . . . 5
16 xrge0base 24160 . . . . . 6 s
17 eqid 2404 . . . . . 6 .gs .gs
183, 16, 17gsumconstf 24175 . . . . 5 s s g .gs
1911, 14, 15, 18syl3anc 1184 . . . 4 s g .gs
20 hashcl 11594 . . . . . 6
2114, 20syl 16 . . . . 5
22 xrge0mulgnn0 24163 . . . . 5 .gs
2321, 15, 22syl2anc 643 . . . 4 .gs
2419, 23eqtrd 2436 . . 3 s g
255, 1, 6, 7, 24esumval 24394 . 2 Σ*
26 nn0ssre 10181 . . . . . . . . . 10
27 ressxr 9085 . . . . . . . . . 10
2826, 27sstri 3317 . . . . . . . . 9
29 pnfxr 10669 . . . . . . . . . 10
30 snssi 3902 . . . . . . . . . 10
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . 9
3228, 31unssi 3482 . . . . . . . 8
33 hashf 11580 . . . . . . . . 9
34 vex 2919 . . . . . . . . 9
35 ffvelrn 5827 . . . . . . . . 9
3633, 34, 35mp2an 654 . . . . . . . 8
3732, 36sselii 3305 . . . . . . 7
3837a1i 11 . . . . . 6
39 iccssxr 10949 . . . . . . . 8
40 simpr 448 . . . . . . . 8
4139, 40sseldi 3306 . . . . . . 7
4241adantr 452 . . . . . 6
4338, 42xmulcld 10837 . . . . 5
44 eqid 2404 . . . . 5
4543, 44fmptd 5852 . . . 4
46 frn 5556 . . . 4
4745, 46syl 16 . . 3
48 hashxrcl 11595 . . . . 5
4948adantr 452 . . . 4
5049, 41xmulcld 10837 . . 3
51 vex 2919 . . . . . . . 8
5244elrnmpt 5076 . . . . . . . 8
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . 7
5453biimpi 187 . . . . . 6
5549adantr 452 . . . . . . . 8
56 0xr 9087 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10
5829a1i 11 . . . . . . . . . 10
59 iccgelb 24089 . . . . . . . . . 10
6057, 58, 15, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
6142, 60jca 519 . . . . . . . 8
626adantr 452 . . . . . . . . . 10
63 inss1 3521 . . . . . . . . . . . 12
6463sseli 3304 . . . . . . . . . . 11
65 elpwi 3767 . . . . . . . . . . 11
6613, 64, 653syl 19 . . . . . . . . . 10
67 ssdomg 7112 . . . . . . . . . 10
6862, 66, 67sylc 58 . . . . . . . . 9
69 hashdomi 11609 . . . . . . . . 9
7068, 69syl 16 . . . . . . . 8
71 xlemul1a 10823 . . . . . . . 8
7238, 55, 61, 70, 71syl31anc 1187 . . . . . . 7
7372ralrimiva 2749 . . . . . 6
74 r19.29r 2807 . . . . . 6
7554, 73, 74syl2anr 465 . . . . 5
76 simpl 444 . . . . . . 7
77 simpr 448 . . . . . . 7
7876, 77eqbrtrd 4192 . . . . . 6
7978rexlimivw 2786 . . . . 5
8075, 79syl 16 . . . 4
8180ralrimiva 2749 . . 3
82 pwidg 3771 . . . . . . . . . . 11
8382ancri 536 . . . . . . . . . 10
84 elin 3490 . . . . . . . . . 10
8583, 84sylibr 204 . . . . . . . . 9
86 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
87 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14
8887oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13
8988eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12
9089rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11
9186, 90mpan2 653 . . . . . . . . . 10
92 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11
9344elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . 11
9492, 93ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
9591, 94sylibr 204 . . . . . . . . 9
9685, 95syl 16 . . . . . . . 8
9796adantl 453 . . . . . . 7
98 simplr 732 . . . . . . 7
99 breq2 4176 . . . . . . . 8
10099rspcev 3012 . . . . . . 7
10197, 98, 100syl2anc 643 . . . . . 6
102 simp-4r 744 . . . . . . . 8
103 elxrge02 24131 . . . . . . . 8
104102, 103sylib 189 . . . . . . 7
105 0elpw 4329 . . . . . . . . . . . . 13
106 0fin 7295 . . . . . . . . . . . . 13
107 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13
108105, 106, 107mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11
110 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
111110oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12
112 hash0 11601 . . . . . . . . . . . . . 14
113112, 56eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . 13
114 xmul01 10802 . . . . . . . . . . . . 13
115113, 114ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
116111, 115syl6req 2453 . . . . . . . . . . 11
117 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14
118117oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13
119118eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12
120119rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11
121109, 116, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
122 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11
12344, 122elrnmpti 5080 . . . . . . . . . 10
124121, 123sylibr 204 . . . . . . . . 9
125 simpllr 736 . . . . . . . . . 10
126110oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11
12749ad4antr 713 . . . . . . . . . . . 12
128 xmul01 10802 . . . . . . . . . . . 12
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . 11
130126, 129eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10
131125, 130breqtrd 4196 . . . . . . . . 9
132 breq2 4176 . . . . . . . . . 10
133132rspcev 3012 . . . . . . . . 9
134124, 131, 133syl2anc 643 . . . . . . . 8
135 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138136, 137eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141 hashclb 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142140, 141ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143139, 142sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144138, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146135, 144, 145sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15
147 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . 15
148 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149148oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150149eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151150rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15
152146, 147, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
15344, 122elrnmpti 5080 . . . . . . . . . . . . . 14
154152, 153sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13
155 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15
156 simp-8r 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157137nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158 simp-5r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159156, 157, 158ltdivmul2d 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15
160155, 159mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14
161136oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15
162158rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163 rexmul 10806 . . . . . . . . . . . . . . . 16
164157, 162, 163syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
165161, 164eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
166160, 165breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . 13
167 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . 14
168167rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . 13
169154, 166, 168syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
170169ex 424 . . . . . . . . . . 11
171170rexlimdva 2790 . . . . . . . . . 10
172171impr 603 . . . . . . . . 9
173 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . 12
174 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
175173, 174rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . . 11
176 arch 10174 . . . . . . . . . . 11
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . 10
178 ishashinf 24112 . . . . . . . . . . 11
179178ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10
180 r19.29r 2807 . . . . . . . . . 10
181177, 179, 180syl2anc 643 . . . . . . . . 9
182172, 181r19.29a 2810 . . . . . . . 8
183 nfielex 7296 . . . . . . . . . . . . 13
184183adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
185 snelpwi 4369 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186 snfi 7146 . . . . . . . . . . . . . . . 16
187185, 186jctir 525 . . . . . . . . . . . . . . 15
188 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15
189187, 188sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14
190189adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
191 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
192191oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14
193 hashsng 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
194 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19527, 194sselii 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
196193, 195syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16
197 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
198197, 193syl5breqr 4208 . . . . . . . . . . . . . . . 16
199 xmulpnf1 10809 . . . . . . . . . . . . . . . 16
200196, 198, 199syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
201200adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
202192, 201eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . 13
203 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
204203oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15
205204eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14
206205rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . 13
207190, 202, 206syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
208184, 207exlimddv 1645 . . . . . . . . . . 11
209208adantll 695 . . . . . . . . . 10
21044, 122elrnmpti 5080 . . . . . . . . . 10
211209, 210sylibr 204 . . . . . . . . 9
212 simp-4r 744 . . . . . . . . . 10
213 ltpnf 10677 . . . . . . . . . 10
214212, 213syl 16 . . . . . . . . 9
215 breq2 4176 . . . . . . . . . 10
216215rspcev 3012 . . . . . . . . 9
217211, 214, 216syl2anc 643 . . . . . . . 8
218134, 182, 2173jaodan 1250 . . . . . . 7
219104, 218mpdan 650 . . . . . 6
220101, 219pm2.61dan 767 . . . . 5
221220ex 424 . . . 4
222221ralrimiva 2749 . . 3
223 supxr2 10848 . . 3
22447, 50, 81, 222, 223syl22anc 1185 . 2
22525, 224eqtrd 2436 1 Σ*
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3o 935  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  wnfc 2527  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916   cun 3278   cin 3279   wss 3280  c0 3588  cpw 3759  csn 3774   class class class wbr 4172   cmpt 4226   crn 4838  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   cdom 7066  cfn 7068  csup 7403  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   cmul 8951   cpnf 9073  cxr 9075   clt 9076   cle 9077   cdiv 9633  cn 9956  cn0 10177  crp 10568  cxmu 10665  cicc 10875  chash 11573   ↾s cress 13425  cxrs 13677   g cgsu 13679  cmnd 14639  .gcmg 14644  TopMndctmd 18053  Σ*cesum 24377 This theorem is referenced by:  esumpinfval  24416  esumpinfsum  24420 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-lmod 15907  df-scaf 15908  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-tmd 18055  df-tgp 18056  df-tsms 18109  df-trg 18142  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587  df-ii 18860  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-esum 24378
 Copyright terms: Public domain W3C validator