Theorem esumcst 28723

Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcst.1	|- F/_ k A
esumcst.2	|- F/_ k B

Assertion

Ref	Expression
esumcst	|- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) xe B ) )

Distinct variable group:   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem esumcst

Dummy variables a l n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcst.1	. . . . 5 |- F/_ k A
2	1	nfel1 2607	. . . 4 |- F/ k A e. V
3		esumcst.2	. . . . 5 |- F/_ k B
4	3	nfel1 2607	. . . 4 |- F/ k B e. ( 0 [,] +oo )
5	2, 4	nfan 1986	. . 3 |- F/ k ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) )
6		simpl 458	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A e. V )
7		simplr 760	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
8		xrge0tmd 28591	. . . . . . 7 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd
9		tmdmnd 21021	. . . . . . 7 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopMnd -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd )
12		inss2 3689	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
13		simpr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
14	12, 13	sseldi 3468	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
15		simplr 760	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
16		xrge0base 28284	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
17		eqid 2429	. . . . . 6 |- (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) = (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
18	3, 16, 17	gsumconstf 17503	. . . . 5 |- ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. Mnd /\ x e. Fin /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
19	11, 14, 15, 18	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) )
20		hashcl 12535	. . . . . 6 |- ( x e. Fin -> ( # ` x ) e. NN0 )
21	14, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. NN0 )
22		xrge0mulgnn0 28288	. . . . 5 |- ( ( ( # ` x ) e. NN0 /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
23	21, 15, 22	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) (.g ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
24	19, 23	eqtrd 2470	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. x |-> B ) ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
25	5, 1, 6, 7, 24	esumval 28706	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) )
26		nn0ssre 10873	. . . . . . . . . 10 |- NN0 C_ RR
27		ressxr 9683	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR*
28	26, 27	sstri 3479	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ RR*
29		pnfxr 11412	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
30		snssi 4147	. . . . . . . . . 10 |- ( +oo e. RR* -> { +oo } C_ RR* )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { +oo } C_ RR*
32	28, 31	unssi 3647	. . . . . . . 8 |- ( NN0 u. { +oo } ) C_ RR*
33		hashf 12519	. . . . . . . . 9 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
34		vex 3090	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
35		ffvelrn 6035	. . . . . . . . 9 |- ( ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) /\ x e. _V ) -> ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } ) )
36	33, 34, 35	mp2an 676	. . . . . . . 8 |- ( # ` x ) e. ( NN0 u. { +oo } )
37	32, 36	sselii 3467	. . . . . . 7 |- ( # ` x ) e. RR*
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) e. RR* )
39		iccssxr 11717	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
40		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
41	39, 40	sseldi 3468	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> B e. RR* )
42	41	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> B e. RR* )
43	38, 42	xmulcld 11588	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) e. RR* )
44		eqid 2429	. . . . 5 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) )
45	43, 44	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* )
46		frn 5752	. . . 4 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* )
47	45, 46	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* )
48		hashxrcl 12536	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( # ` A ) e. RR* )
49	48	adantr 466	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
50	49, 41	xmulcld 11588	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. RR* )
51		vex 3090	. . . . . . . 8 |- y e. _V
52	44	elrnmpt 5101	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) )
54	53	biimpi 197	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) )
55	49	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` A ) e. RR* )
56		0xr 9686	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 e. RR* )
58	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> +oo e. RR* )
59		iccgelb 11691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
60	57, 58, 15, 59	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 <_ B )
61	42, 60	jca 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
62	6	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A e. V )
63		inss1 3688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
64	63	sseli 3466	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
65		elpwi 3994	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
66	13, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x C_ A )
67		ssdomg 7622	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( x C_ A -> x ~<_ A ) )
68	62, 66, 67	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x ~<_ A )
69		hashdomi 12556	. . . . . . . . 9 |- ( x ~<_ A -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( # ` x ) <_ ( # ` A ) )
71		xlemul1a 11574	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( # ` x ) e. RR* /\ ( # ` A ) e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) ) /\ ( # ` x ) <_ ( # ` A ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
72	38, 55, 61, 70, 71	syl31anc 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
73	72	ralrimiva 2846	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
74		r19.29r 2971	. . . . . 6 |- ( ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ A. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) )
75	54, 73, 74	syl2anr 480	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) )
76		simpl 458	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y = ( ( # ` x ) xe B ) )
77		simpr 462	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
78	76, 77	eqbrtrd 4446	. . . . . 6 |- ( ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
79	78	rexlimivw 2921	. . . . 5 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( y = ( ( # ` x ) xe B ) /\ ( ( # ` x ) xe B ) <_ ( ( # ` A ) xe B ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
80	75, 79	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) ) -> y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
81	80	ralrimiva 2846	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y <_ ( ( # ` A ) xe B ) )
82		pwidg 3998	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Fin -> A e. ~P A )
83	82	ancri 554	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
84		elin 3655	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( A e. ~P A /\ A e. Fin ) )
85	83, 84	sylibr 215	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> A e. ( ~P A i^i Fin ) )
86		eqid 2429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B )
87		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( # ` x ) = ( # ` A ) )
88	87	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
89	88	eqeq2d 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) <-> ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) ) )
90	89	rspcev 3188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
91	86, 90	mpan2 675	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
92		ovex 6333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) xe B ) e. _V
93	44	elrnmpt 5101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` A ) xe B ) e. _V -> ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) ) )
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
95	91, 94	sylibr 215	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
96	85, 95	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
97	96	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
98		simplr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> y < ( ( # ` A ) xe B ) )
99		breq2 4430	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( # ` A ) xe B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` A ) xe B ) ) )
100	99	rspcev 3188	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( # ` A ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
101	97, 98, 100	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
102		0elpw 4594	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. ~P A
103		0fin 7805	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. Fin
104		elin 3655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P A /\ (/) e. Fin ) )
105	102, 103, 104	mpbir2an 928	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> (/) e. ( ~P A i^i Fin ) )
107		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
108	107	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` (/) ) xe B ) = ( ( # ` (/) ) xe 0 ) )
109		hash0 12545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # ` (/) ) = 0
110	109, 56	eqeltri 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( # ` (/) ) e. RR*
111		xmul01 11553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` (/) ) e. RR* -> ( ( # ` (/) ) xe 0 ) = 0 )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` (/) ) xe 0 ) = 0
113	108, 112	syl6req 2487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) )
114		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
115	114	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` (/) ) xe B ) )
116	115	eqeq2d 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( 0 = ( ( # ` x ) xe B ) <-> 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) ) )
117	116	rspcev 3188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ 0 = ( ( # ` (/) ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
118	106, 113, 117	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
119		ovex 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` x ) xe B ) e. _V
120	44, 119	elrnmpti 5105	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) 0 = ( ( # ` x ) xe B ) )
121	118, 120	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
122		simpllr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < ( ( # ` A ) xe B ) )
123	107	oveq2d 6321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe B ) = ( ( # ` A ) xe 0 ) )
124	49	ad4antr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( # ` A ) e. RR* )
125		xmul01 11553	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) e. RR* -> ( ( # ` A ) xe 0 ) = 0 )
126	124, 125	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe 0 ) = 0 )
127	123, 126	eqtrd 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> ( ( # ` A ) xe B ) = 0 )
128	122, 127	breqtrd 4450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> y < 0 )
129		breq2 4430	. . . . . . . . 9 |- ( z = 0 -> ( y < z <-> y < 0 ) )
130	129	rspcev 3188	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
131	121, 128, 130	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = 0 ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
132		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ~P A )
133		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) = n )
134		simp-4r 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. NN )
135	133, 134	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( # ` a ) e. NN )
136		nnnn0 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` a ) e. NN -> ( # ` a ) e. NN0 )
137		vex 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- a e. _V
138		hashclb 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. _V -> ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 ) )
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. Fin <-> ( # ` a ) e. NN0 )
140	136, 139	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` a ) e. NN -> a e. Fin )
141	135, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. Fin )
142	132, 141	elind 3656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> a e. ( ~P A i^i Fin ) )
143		eqidd 2430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) )
144		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( # ` x ) = ( # ` a ) )
145	144	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) )
146	145	eqeq2d 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) <-> ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) ) )
147	146	rspcev 3188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` a ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
148	142, 143, 147	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
149	44, 119	elrnmpti 5105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( # ` a ) xe B ) = ( ( # ` x ) xe B ) )
150	148, 149	sylibr 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
151		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( y / B ) < n )
152		simp-8r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y e. RR )
153	134	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> n e. RR )
154		simp-5r 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR+ )
155	152, 153, 154	ltdivmul2d 11390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( y / B ) < n <-> y < ( n x. B ) ) )
156	151, 155	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( n x. B ) )
157	133	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( n xe B ) )
158	154	rpred 11341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> B e. RR )
159		rexmul 11557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. RR /\ B e. RR ) -> ( n xe B ) = ( n x. B ) )
160	153, 158, 159	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( n xe B ) = ( n x. B ) )
161	157, 160	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> ( ( # ` a ) xe B ) = ( n x. B ) )
162	156, 161	breqtrrd 4452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> y < ( ( # ` a ) xe B ) )
163		breq2 4430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( # ` a ) xe B ) -> ( y < z <-> y < ( ( # ` a ) xe B ) ) )
164	163	rspcev 3188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( # ` a ) xe B ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < ( ( # ` a ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
165	150, 162, 164	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) /\ ( # ` a ) = n ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
166	165	ex 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) /\ a e. ~P A ) -> ( ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
167	166	rexlimdva 2924	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( y / B ) < n ) -> ( E. a e. ~P A ( # ` a ) = n -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
168	167	impr 623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) /\ n e. NN ) /\ ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
169		simp-4r 775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> y e. RR )
170		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
171	169, 170	rerpdivcld 11369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> ( y / B ) e. RR )
172		arch 10866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y / B ) e. RR -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( y / B ) < n )
174		ishashinf 28217	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
175	174	ad2antlr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n )
176		r19.29r 2971	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. n e. NN ( y / B ) < n /\ A. n e. NN E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
177	173, 175, 176	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. n e. NN ( ( y / B ) < n /\ E. a e. ~P A ( # ` a ) = n ) )
178	168, 177	r19.29a 2977	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B e. RR+ ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
179		nfielex 7806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. Fin -> E. l l e. A )
180	179	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. l l e. A )
181		snelpwi 4667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> { l } e. ~P A )
182		snfi 7657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { l } e. Fin
183	181, 182	jctir 540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. A -> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
184		elin 3655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( { l } e. ~P A /\ { l } e. Fin ) )
185	183, 184	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l e. A -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
186	185	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> { l } e. ( ~P A i^i Fin ) )
187		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> B = +oo )
188	187	oveq2d 6321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) xe B ) = ( ( # ` { l } ) xe +oo ) )
189		hashsng 12546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) = 1 )
190		1re 9641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
191	27, 190	sselii 3467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR*
192	189, 191	syl6eqel 2525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> ( # ` { l } ) e. RR* )
193		0lt1 10135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
194	193, 189	syl5breqr 4462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. A -> 0 < ( # ` { l } ) )
195		xmulpnf1 11560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` { l } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { l } ) ) -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
196	192, 194, 195	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l e. A -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
197	196	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> ( ( # ` { l } ) xe +oo ) = +oo )
198	188, 197	eqtr2d 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) )
199		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = { l } -> ( # ` x ) = ( # ` { l } ) )
200	199	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = { l } -> ( ( # ` x ) xe B ) = ( ( # ` { l } ) xe B ) )
201	200	eqeq2d 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = { l } -> ( +oo = ( ( # ` x ) xe B ) <-> +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) ) )
202	201	rspcev 3188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { l } e. ( ~P A i^i Fin ) /\ +oo = ( ( # ` { l } ) xe B ) ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
203	186, 198, 202	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) /\ l e. A ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
204	180, 203	exlimddv 1773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A e. Fin /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
205	204	adantll 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
206	44, 119	elrnmpti 5105	. . . . . . . . 9 |- ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) +oo = ( ( # ` x ) xe B ) )
207	205, 206	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) )
208		simp-4r 775	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y e. RR )
209		ltpnf 11422	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> y < +oo )
210	208, 209	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> y < +oo )
211		breq2 4430	. . . . . . . . 9 |- ( z = +oo -> ( y < z <-> y < +oo ) )
212	211	rspcev 3188	. . . . . . . 8 |- ( ( +oo e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) /\ y < +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
213	207, 210, 212	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) /\ B = +oo ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
214		simp-4r 775	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
215		elxrge02 28239	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
216	214, 215	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> ( B = 0 \/ B e. RR+ \/ B = +oo ) )
217	131, 178, 213, 216	mpjao3dan 1331	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) /\ -. A e. Fin ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
218	101, 217	pm2.61dan 798	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) /\ y < ( ( # ` A ) xe B ) ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z )
219	218	ex 435	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ y e. RR ) -> ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
220	219	ralrimiva 2846	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) )
221		supxr2 11599	. . 3 |- ( ( ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) C_ RR* /\ ( ( # ` A ) xe B ) e. RR* ) /\ ( A. y e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y <_ ( ( # ` A ) xe B ) /\ A. y e. RR ( y < ( ( # ` A ) xe B ) -> E. z e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) y < z ) ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
222	47, 50, 81, 220, 221	syl22anc 1265	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( # ` x ) xe B ) ) , RR* , < ) = ( ( # ` A ) xe B ) )
223	25, 222	eqtrd 2470	1 |- ( ( A e. V /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B = ( ( # ` A ) xe B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   \/ w3o 981   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1870   F/_wnfc 2577   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   u. cun 3440   i^i cin 3441   C_ wss 3442   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   {csn 4002   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   ran crn 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ~<_ cdom 7575   Fincfn 7577   supcsup 7960   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   x. cmul 9543   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673   < clt 9674   <_ cle 9675   / cdiv 10268   NNcn 10609   NN0cn0 10869   RR+crp 11302   xecxmu 11408   [,]cicc 11638   #chash 12512   ↾_s cress 15085   gsum_g cgsu 15298   RR*scxrs 15357   Mndcmnd 16486  ._gcmg 16623  TopMndctmd 21016  Σ^*cesum 28687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-subrg 17941  df-abv 17980  df-lmod 18028  df-scaf 18029  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tmd 21018  df-tgp 21019  df-tsms 21072  df-trg 21105  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-nm 21528  df-ngp 21529  df-nrg 21531  df-nlm 21532  df-ii 21805  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-esum 28688

This theorem is referenced by:  esumpinfval  28733  esumpinfsum  28737