Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcst Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esumcst 28958
 Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcst.1
esumcst.2
Assertion
Ref Expression
esumcst Σ*
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem esumcst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcst.1 . . . . 5
21nfel1 2626 . . . 4
3 esumcst.2 . . . . 5
43nfel1 2626 . . . 4
52, 4nfan 2031 . . 3
6 simpl 464 . . 3
7 simplr 770 . . 3
8 xrge0tmd 28826 . . . . . . 7 s TopMnd
9 tmdmnd 21168 . . . . . . 7 s TopMnd s
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 s
1110a1i 11 . . . . 5 s
12 inss2 3644 . . . . . 6
13 simpr 468 . . . . . 6
1412, 13sseldi 3416 . . . . 5
15 simplr 770 . . . . 5
16 xrge0base 28522 . . . . . 6 s
17 eqid 2471 . . . . . 6 .gs .gs
183, 16, 17gsumconstf 17646 . . . . 5 s s g .gs
1911, 14, 15, 18syl3anc 1292 . . . 4 s g .gs
20 hashcl 12576 . . . . . 6
2114, 20syl 17 . . . . 5
22 xrge0mulgnn0 28526 . . . . 5 .gs
2321, 15, 22syl2anc 673 . . . 4 .gs
2419, 23eqtrd 2505 . . 3 s g
255, 1, 6, 7, 24esumval 28941 . 2 Σ*
26 nn0ssre 10897 . . . . . . . . . 10
27 ressxr 9702 . . . . . . . . . 10
2826, 27sstri 3427 . . . . . . . . 9
29 pnfxr 11435 . . . . . . . . . 10
30 snssi 4107 . . . . . . . . . 10
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3228, 31unssi 3600 . . . . . . . 8
33 hashf 12560 . . . . . . . . 9
34 vex 3034 . . . . . . . . 9
35 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9
3633, 34, 35mp2an 686 . . . . . . . 8
3732, 36sselii 3415 . . . . . . 7
3837a1i 11 . . . . . 6
39 iccssxr 11742 . . . . . . . 8
40 simpr 468 . . . . . . . 8
4139, 40sseldi 3416 . . . . . . 7
4241adantr 472 . . . . . 6
4338, 42xmulcld 11613 . . . . 5
44 eqid 2471 . . . . 5
4543, 44fmptd 6061 . . . 4
46 frn 5747 . . . 4
4745, 46syl 17 . . 3
48 hashxrcl 12577 . . . . 5
4948adantr 472 . . . 4
5049, 41xmulcld 11613 . . 3
51 vex 3034 . . . . . . . 8
5244elrnmpt 5087 . . . . . . . 8
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7
5453biimpi 199 . . . . . 6
5549adantr 472 . . . . . . . 8
56 0xr 9705 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10
5829a1i 11 . . . . . . . . . 10
59 iccgelb 11716 . . . . . . . . . 10
6057, 58, 15, 59syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
6142, 60jca 541 . . . . . . . 8
626adantr 472 . . . . . . . . . 10
63 inss1 3643 . . . . . . . . . . . 12
6463sseli 3414 . . . . . . . . . . 11
65 elpwi 3951 . . . . . . . . . . 11
6613, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . 10
67 ssdomg 7633 . . . . . . . . . 10
6862, 66, 67sylc 61 . . . . . . . . 9
69 hashdomi 12597 . . . . . . . . 9
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8
71 xlemul1a 11599 . . . . . . . 8
7238, 55, 61, 70, 71syl31anc 1295 . . . . . . 7
7372ralrimiva 2809 . . . . . 6
74 r19.29r 2913 . . . . . 6
7554, 73, 74syl2anr 486 . . . . 5
76 simpl 464 . . . . . . 7
77 simpr 468 . . . . . . 7
7876, 77eqbrtrd 4416 . . . . . 6
7978rexlimivw 2869 . . . . 5
8075, 79syl 17 . . . 4
8180ralrimiva 2809 . . 3
82 pwidg 3955 . . . . . . . . . . 11
8382ancri 561 . . . . . . . . . 10
84 elin 3608 . . . . . . . . . 10
8583, 84sylibr 217 . . . . . . . . 9
86 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
87 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
8887oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
8988eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12
9089rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11
9186, 90mpan2 685 . . . . . . . . . 10
92 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11
9344elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . 11
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
9591, 94sylibr 217 . . . . . . . . 9
9685, 95syl 17 . . . . . . . 8
9796adantl 473 . . . . . . 7
98 simplr 770 . . . . . . 7
99 breq2 4399 . . . . . . . 8
10099rspcev 3136 . . . . . . 7
10197, 98, 100syl2anc 673 . . . . . 6
102 0elpw 4570 . . . . . . . . . . . 12
103 0fin 7817 . . . . . . . . . . . 12
104 elin 3608 . . . . . . . . . . . 12
105102, 103, 104mpbir2an 934 . . . . . . . . . . 11
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10
107 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
108107oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
109 hash0 12586 . . . . . . . . . . . . 13
110109, 56eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . 12
111 xmul01 11578 . . . . . . . . . . . 12
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
113108, 112syl6req 2522 . . . . . . . . . 10
114 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
115114oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
116115eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
117116rspcev 3136 . . . . . . . . . 10
118106, 113, 117syl2anc 673 . . . . . . . . 9
119 ovex 6336 . . . . . . . . . 10
12044, 119elrnmpti 5091 . . . . . . . . 9
121118, 120sylibr 217 . . . . . . . 8
122 simpllr 777 . . . . . . . . 9
123107oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
12449ad4antr 746 . . . . . . . . . . 11
125 xmul01 11578 . . . . . . . . . . 11
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . 10
127123, 126eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
128122, 127breqtrd 4420 . . . . . . . 8
129 breq2 4399 . . . . . . . . 9
130129rspcev 3136 . . . . . . . 8
131121, 128, 130syl2anc 673 . . . . . . 7
132 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15
133 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
134 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135133, 134eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138 hashclb 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140136, 139sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141135, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
142132, 141elind 3609 . . . . . . . . . . . . . 14
143 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
144 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145144oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146145eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15
147146rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . 14
148142, 143, 147syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
14944, 119elrnmpti 5091 . . . . . . . . . . . . 13
150148, 149sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12
151 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . 14
152 simp-8r 793 . . . . . . . . . . . . . . 15
153134nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15
154 simp-5r 787 . . . . . . . . . . . . . . 15
155152, 153, 154ltdivmul2d 11413 . . . . . . . . . . . . . 14
156151, 155mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13
157133oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
158154rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15
159 rexmul 11582 . . . . . . . . . . . . . . 15
160153, 158, 159syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
161157, 160eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13
162156, 161breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . 12
163 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13
164163rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12
165150, 162, 164syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
166165ex 441 . . . . . . . . . 10
167166rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9
168167impr 631 . . . . . . . 8
169 simp-4r 785 . . . . . . . . . . 11
170 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
171169, 170rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . 10
172 arch 10890 . . . . . . . . . 10
173171, 172syl 17 . . . . . . . . 9
174 ishashinf 12667 . . . . . . . . . 10
175174ad2antlr 741 . . . . . . . . 9
176 r19.29r 2913 . . . . . . . . 9
177173, 175, 176syl2anc 673 . . . . . . . 8
178168, 177r19.29a 2918 . . . . . . 7
179 nfielex 7818 . . . . . . . . . . . 12
180179adantr 472 . . . . . . . . . . 11
181 snelpwi 4645 . . . . . . . . . . . . . . 15
182 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . 15
183181, 182jctir 547 . . . . . . . . . . . . . 14
184 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . 14
185183, 184sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13
186185adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
187 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14
188187oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13
189 hashsng 12587 . . . . . . . . . . . . . . . 16
190 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19127, 190sselii 3415 . . . . . . . . . . . . . . . 16
192189, 191syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . 15
193 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . 16
194193, 189syl5breqr 4432 . . . . . . . . . . . . . . 15
195 xmulpnf1 11585 . . . . . . . . . . . . . . 15
196192, 194, 195syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
197196adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
198188, 197eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . 12
199 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
200199oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
201200eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13
202201rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12
203186, 198, 202syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
204180, 203exlimddv 1789 . . . . . . . . . 10
205204adantll 728 . . . . . . . . 9
20644, 119elrnmpti 5091 . . . . . . . . 9
207205, 206sylibr 217 . . . . . . . 8
208 simp-4r 785 . . . . . . . . 9
209 ltpnf 11445 . . . . . . . . 9
210208, 209syl 17 . . . . . . . 8
211 breq2 4399 . . . . . . . . 9
212211rspcev 3136 . . . . . . . 8
213207, 210, 212syl2anc 673 . . . . . . 7
214 simp-4r 785 . . . . . . . 8
215 elxrge02 28476 . . . . . . . 8
216214, 215sylib 201 . . . . . . 7
217131, 178, 213, 216mpjao3dan 1361 . . . . . 6
218101, 217pm2.61dan 808 . . . . 5
219218ex 441 . . . 4
220219ralrimiva 2809 . . 3
221 supxr2 11624 . . 3
22247, 50, 81, 220, 221syl22anc 1293 . 2
22325, 222eqtrd 2505 1 Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3o 1006   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wnfc 2599  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cdom 7585  cfn 7587  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  cn 10631  cn0 10893  crp 11325  cxmu 11431  cicc 11663  chash 12553   ↾s cress 15200   g cgsu 15417  cxrs 15476  cmnd 16613  .gcmg 16750  TopMndctmd 21163  Σ*cesum 28922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-abv 18123  df-lmod 18171  df-scaf 18172  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tmd 21165  df-tgp 21166  df-tsms 21219  df-trg 21252  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-nrg 21678  df-nlm 21679  df-ii 21987  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-esum 28923 This theorem is referenced by:  esumpinfval  28968  esumpinfsum  28972
 Copyright terms: Public domain W3C validator