Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcst Structured version   Unicode version

Theorem esumcst 26450
Description: The extended sum of a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcst.1  |-  F/_ k A
esumcst.2  |-  F/_ k B
Assertion
Ref Expression
esumcst  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( # `  A ) xe B ) )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem esumcst
Dummy variables  a 
l  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcst.1 . . . . 5  |-  F/_ k A
21nfel1 2587 . . . 4  |-  F/ k  A  e.  V
3 esumcst.2 . . . . 5  |-  F/_ k B
43nfel1 2587 . . . 4  |-  F/ k  B  e.  ( 0 [,] +oo )
52, 4nfan 1865 . . 3  |-  F/ k ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)
6 simpl 454 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A  e.  V
)
7 simplr 749 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8 xrge0tmd 26312 . . . . . . 7  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd
9 tmdmnd 19605 . . . . . . 7  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. TopMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
12 inss2 3568 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
13 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
1412, 13sseldi 3351 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
15 simplr 749 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16 xrge0base 26079 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
17 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (.g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )  =  (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) )
183, 16, 17gsumconstf 16420 . . . . 5  |-  ( ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd  /\  x  e.  Fin  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( # `  x
) (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) B ) )
1911, 14, 15, 18syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( # `  x
) (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) B ) )
20 hashcl 12122 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
2114, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
22 xrge0mulgnn0 26083 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  x
)  e.  NN0  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( # `  x ) (.g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) ) B )  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
2321, 15, 22syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) (.g `  ( RR*ss  (
0 [,] +oo )
) ) B )  =  ( ( # `  x ) xe B ) )
2419, 23eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  B ) )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
255, 1, 6, 7, 24esumval 26436 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) , 
RR* ,  <  ) )
26 nn0ssre 10579 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  RR
27 ressxr 9423 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
2826, 27sstri 3362 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR*
29 pnfxr 11088 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
30 snssi 4014 . . . . . . . . . 10  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  { +oo }  C_ 
RR* )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  { +oo } 
C_  RR*
3228, 31unssi 3528 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
u.  { +oo } ) 
C_  RR*
33 hashf 12106 . . . . . . . . 9  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
34 vex 2973 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
35 ffvelrn 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# : _V --> ( NN0 
u.  { +oo } )  /\  x  e.  _V )  ->  ( # `  x
)  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
3633, 34, 35mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  ( # `  x )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )
3732, 36sselii 3350 . . . . . . 7  |-  ( # `  x )  e.  RR*
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  e. 
RR* )
39 iccssxr 11374 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
40 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4139, 40sseldi 3351 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  B  e.  RR* )
4241adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  RR* )
4338, 42xmulcld 11261 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) xe B )  e.  RR* )
44 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )
4543, 44fmptd 5864 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> RR* )
46 frn 5562 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) : ( ~P A  i^i  Fin )
--> RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  C_  RR* )
4745, 46syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) )  C_  RR* )
48 hashxrcl 12123 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
4948adantr 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( # `  A
)  e.  RR* )
5049, 41xmulcld 11261 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( ( # `  A ) xe B )  e.  RR* )
51 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
5244elrnmpt 5082 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
5453biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
5549adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 A )  e. 
RR* )
56 0xr 9426 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  0  e.  RR* )
5829a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  -> +oo  e.  RR* )
59 iccgelb 11348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  B )
6057, 58, 15, 59syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  0  <_  B )
6142, 60jca 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )
626adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
63 inss1 3567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
6463sseli 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
65 elpwi 3866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
6613, 64, 653syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  C_  A )
67 ssdomg 7351 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  C_  A  ->  x  ~<_  A ) )
6862, 66, 67sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  ~<_  A )
69 hashdomi 12139 . . . . . . . . 9  |-  ( x  ~<_  A  ->  ( # `  x
)  <_  ( # `  A
) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( # `
 x )  <_ 
( # `  A ) )
71 xlemul1a 11247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  x
)  e.  RR*  /\  ( # `
 A )  e. 
RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )  /\  ( # `  x )  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) )
7238, 55, 61, 70, 71syl31anc 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( # `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) )
7372ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )
74 r19.29r 2856 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  ( (
# `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) ) )
7554, 73, 74syl2anr 475 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  ( (
# `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) ) )
76 simpl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) xe B )  /\  ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  y  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
77 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) xe B )  /\  ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  ( ( # `
 x ) xe B )  <_ 
( ( # `  A
) xe B ) )
7876, 77eqbrtrd 4309 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  ( (
# `  x ) xe B )  /\  ( ( # `  x ) xe B )  <_  (
( # `  A ) xe B ) )  ->  y  <_  ( ( # `  A
) xe B ) )
7978rexlimivw 2835 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  =  ( ( # `  x
) xe B )  /\  ( (
# `  x ) xe B )  <_  ( ( # `  A ) xe B ) )  -> 
y  <_  ( ( # `
 A ) xe B ) )
8075, 79syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) )  ->  y  <_  (
( # `  A ) xe B ) )
8180ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  <_ 
( ( # `  A
) xe B ) )
82 pwidg 3870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  ~P A )
8382ancri 549 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e.  ~P A  /\  A  e.  Fin ) )
84 elin 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( A  e.  ~P A  /\  A  e.  Fin ) )
8583, 84sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
86 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A ) xe B )  =  ( ( # `  A ) xe B )
87 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
8887oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  x ) xe B )  =  ( ( # `  A ) xe B ) )
8988eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  x ) xe B )  <-> 
( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  A ) xe B ) ) )
9089rspcev 3070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  A ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
9186, 90mpan2 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
92 ovex 6115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A ) xe B )  e.  _V
9344elrnmpt 5082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  _V  ->  ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  A ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
9591, 94sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (
( # `  A ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) ) )
9685, 95syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) ) )
9796adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( # `  A ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) ) )
98 simplr 749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )
99 breq2 4293 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( # `  A ) xe B )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) ) )
10099rspcev 3070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  A
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
10197, 98, 100syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  A  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
102 simp-4r 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
103 elxrge02 26040 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  = +oo ) )
104102, 103sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  = +oo )
)
105 0elpw 4458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  ~P A
106 0fin 7536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
107 elin 3536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
108105, 106, 107mpbir2an 906 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  (/) 
e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
110 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
111110oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  (/) ) xe B )  =  ( ( # `  (/) ) xe 0 ) )
112 hash0 12131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  (/) )  =  0
113112, 56eqeltri 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  (/) )  e.  RR*
114 xmul01 11226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  (/) )  e. 
RR*  ->  ( ( # `  (/) ) xe 0 )  =  0 )
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  (/) ) xe 0 )  =  0
116111, 115syl6req 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
0  =  ( (
# `  (/) ) xe B ) )
117 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
118117oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  x ) xe B )  =  ( ( # `  (/) ) xe B ) )
119118eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 0  =  ( ( # `  x ) xe B )  <->  0  =  ( ( # `  (/) ) xe B ) ) )
120119rspcev 3070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  0  =  ( ( # `
 (/) ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
0  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
121109, 116, 120syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
0  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
122 ovex 6115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  x ) xe B )  e.  _V
12344, 122elrnmpti 5086 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
124121, 123sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
0  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
125 simpllr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
y  <  ( ( # `
 A ) xe B ) )
126110oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) xe B )  =  ( (
# `  A ) xe 0 ) )
12749ad4antr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( # `  A )  e.  RR* )
128 xmul01 11226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  RR*  ->  ( ( # `
 A ) xe 0 )  =  0 )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) xe 0 )  =  0 )
130126, 129eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
( ( # `  A
) xe B )  =  0 )
131125, 130breqtrd 4313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  -> 
y  <  0 )
132 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
y  <  z  <->  y  <  0 ) )
133132rspcev 3070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  <  0 )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
134124, 131, 133syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  =  0 )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
135 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  ~P A )
136 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( # `  a
)  =  n )
137 simp-4r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  n  e.  NN )
138136, 137eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( # `  a
)  e.  NN )
139 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  a )  e.  NN  ->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
140 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  a  e. 
_V
141 hashclb 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  _V  ->  (
a  e.  Fin  <->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
)
142140, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  Fin  <->  ( # `  a
)  e.  NN0 )
143139, 142sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  a )  e.  NN  ->  a  e.  Fin )
144138, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  Fin )
145135, 144elind 3537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
146 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  a
) xe B ) )
147 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  a
) )
148147oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
( # `  x ) xe B )  =  ( ( # `  a ) xe B ) )
149148eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( # `  a
) xe B )  =  ( (
# `  x ) xe B )  <-> 
( ( # `  a
) xe B )  =  ( (
# `  a ) xe B ) ) )
150149rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ( # `  a
) xe B )  =  ( (
# `  a ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
151145, 146, 150syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
15244, 122elrnmpti 5086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  a
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( # `  a ) xe B )  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
153151, 152sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) )
154 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( y  /  B )  <  n
)
155 simp-8r 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  e.  RR )
156137nnred 10333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  n  e.  RR )
157 simp-5r 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  B  e.  RR+ )
158155, 156, 157ltdivmul2d 11071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( y  /  B )  < 
n  <->  y  <  (
n  x.  B ) ) )
159154, 158mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  <  (
n  x.  B ) )
160136oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  =  ( n xe B ) )
161157rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  B  e.  RR )
162 rexmul 11230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( n xe B )  =  ( n  x.  B ) )
163156, 161, 162syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( n xe B )  =  ( n  x.  B
) )
164160, 163eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  ( ( # `  a ) xe B )  =  ( n  x.  B ) )
165159, 164breqtrrd 4315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  y  <  (
( # `  a ) xe B ) )
166 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( # `  a ) xe B )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( ( # `  a
) xe B ) ) )
167166rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( # `  a
) xe B )  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  <  ( ( # `  a
) xe B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
168153, 165, 167syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  /  B )  <  n )  /\  a  e.  ~P A
)  /\  ( # `  a
)  =  n )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
169168ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  /  B )  <  n
)  /\  a  e.  ~P A )  ->  (
( # `  a )  =  n  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) )
170169rexlimdva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  /  B )  <  n
)  ->  ( E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) )
171170impr 616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( y  /  B )  < 
n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a )  =  n ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
172 simp-4r 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR )
173 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
174172, 173rerpdivcld 11050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
y  /  B )  e.  RR )
175 arch 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( y  /  B )  <  n
)
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. n  e.  NN  ( y  /  B )  <  n
)
177 ishashinf 26018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  NN  E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n )
178177ad2antlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A. n  e.  NN  E. a  e. 
~P  A ( # `  a )  =  n )
179 r19.29r 2856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. n  e.  NN  ( y  /  B
)  <  n  /\  A. n  e.  NN  E. a  e.  ~P  A
( # `  a )  =  n )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  /  B )  <  n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a
)  =  n ) )
180176, 178, 179syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. n  e.  NN  ( ( y  /  B )  < 
n  /\  E. a  e.  ~P  A ( # `  a )  =  n ) )
181171, 180r19.29a 2860 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
182 nfielex 7537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. l  l  e.  A
)
183182adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  = +oo )  ->  E. l  l  e.  A )
184 snelpwi 4534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  A  ->  { l }  e.  ~P A
)
185 snfi 7386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { l }  e.  Fin
186184, 185jctir 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  A  ->  ( { l }  e.  ~P A  /\  { l }  e.  Fin )
)
187 elin 3536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( { l }  e.  ~P A  /\  { l }  e.  Fin ) )
188186, 187sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  A  ->  { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
189188adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
190 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  B  = +oo )
191190oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  (
( # `  { l } ) xe B )  =  ( ( # `  {
l } ) xe +oo ) )
192 hashsng 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  A  ->  ( # `
 { l } )  =  1 )
193 1re 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
19427, 193sselii 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR*
195192, 194syl6eqel 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  A  ->  ( # `
 { l } )  e.  RR* )
196 0lt1 9858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  1
197196, 192syl5breqr 4325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  A  ->  0  <  ( # `  {
l } ) )
198 xmulpnf1 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  {
l } )  e. 
RR*  /\  0  <  (
# `  { l } ) )  -> 
( ( # `  {
l } ) xe +oo )  = +oo )
199195, 197, 198syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  A  ->  (
( # `  { l } ) xe +oo )  = +oo )
200199adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  (
( # `  { l } ) xe +oo )  = +oo )
201191, 200eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  -> +oo  =  ( ( # `  {
l } ) xe B ) )
202 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  { l }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { l } ) )
203202oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  { l }  ->  ( ( # `  x ) xe B )  =  ( ( # `  {
l } ) xe B ) )
204203eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  { l }  ->  ( +oo  =  ( ( # `  x
) xe B )  <-> +oo  =  ( (
# `  { l } ) xe B ) ) )
205204rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { l }  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\ +oo  =  ( ( # `  {
l } ) xe B ) )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
206189, 201, 205syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  B  = +oo )  /\  l  e.  A )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
207183, 206exlimddv 1697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  B  = +oo )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( (
# `  x ) xe B ) )
208207adantll 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
20944, 122elrnmpti 5086 . . . . . . . . . 10  |-  ( +oo  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) +oo  =  ( ( # `  x
) xe B ) )
210208, 209sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  -> +oo  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) )
211 simp-4r 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  y  e.  RR )
212 ltpnf 11098 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  y  < +oo )
213211, 212syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  y  < +oo )
214 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  = +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  < +oo ) )
215214rspcev 3070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( +oo  e.  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) )  /\  y  < +oo )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
216210, 213, 215syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  B  = +oo )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
217134, 181, 2163jaodan 1279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  (
( # `  A ) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  /\  ( B  =  0  \/  B  e.  RR+  \/  B  = +oo ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
218104, 217mpdan 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z )
219101, 218pm2.61dan 784 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  ( ( # `  A
) xe B ) )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z )
220219ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  (
0 [,] +oo )
)  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <  ( ( # `  A ) xe B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) )
221220ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  <  (
( # `  A ) xe B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  < 
z ) )
222 supxr2 11272 . . 3  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( (
# `  x ) xe B ) )  C_  RR*  /\  (
( # `  A ) xe B )  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) y  <_ 
( ( # `  A
) xe B )  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
( ( # `  A
) xe B )  ->  E. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) y  <  z ) ) )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x ) xe B ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( ( # `  A
) xe B ) )
22347, 50, 81, 221, 222syl22anc 1214 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( ( # `  x
) xe B ) ) ,  RR* ,  <  )  =  ( ( # `  A
) xe B ) )
22425, 223eqtrd 2473 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  =  ( ( # `  A ) xe B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 959    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   F/_wnfc 2564   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ran crn 4837   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ~<_ cdom 7304   Fincfn 7306   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   NN0cn0 10575   RR+crp 10987   xecxmu 11084   [,]cicc 11299   #chash 12099   ↾s cress 14171    gsumg cgsu 14375   RR*scxrs 14434   Mndcmnd 15405  .gcmg 15410  TopMndctmd 19600  Σ*cesum 26419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-ordt 14435  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-ps 15366  df-tsr 15367  df-mnd 15411  df-plusf 15412  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-subrg 16843  df-abv 16882  df-lmod 16930  df-scaf 16931  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-tmd 19602  df-tgp 19603  df-tsms 19656  df-trg 19693  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-nm 20134  df-ngp 20135  df-nrg 20137  df-nlm 20138  df-ii 20412  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-esum 26420
This theorem is referenced by:  esumpinfval  26458  esumpinfsum  26462
  Copyright terms: Public domain W3C validator