Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcocn Structured version   Unicode version

Theorem esumcocn 28748
 Description: Lemma for esummulc2 28750 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcocn.j ordTop t
esumcocn.a
esumcocn.b
esumcocn.1
esumcocn.0
esumcocn.f
Assertion
Ref Expression
esumcocn Σ* Σ*
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem esumcocn
StepHypRef Expression
1 nfv 1754 . . 3
2 nfcv 2591 . . 3
3 esumcocn.a . . 3
4 esumcocn.1 . . . . . 6
5 xrge0tps 28595 . . . . . . . 8 s
6 xrge0base 28292 . . . . . . . . 9 s
7 esumcocn.j . . . . . . . . . 10 ordTop t
8 xrge0topn 28596 . . . . . . . . . 10 s ordTop t
97, 8eqtr4i 2461 . . . . . . . . 9 s
106, 9tpsuni 19888 . . . . . . . 8 s
115, 10ax-mp 5 . . . . . . 7
1211, 11cnf 20197 . . . . . 6
134, 12syl 17 . . . . 5
1413adantr 466 . . . 4
15 esumcocn.b . . . 4
1614, 15ffvelrnd 6038 . . 3
17 xrge0cmn 18949 . . . . . 6 s CMnd
1817a1i 11 . . . . 5 s CMnd
195a1i 11 . . . . 5 s
20 cmnmnd 17384 . . . . . . . 8 s CMnd s
2117, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 s
2221a1i 11 . . . . . 6 s
23 esumcocn.f . . . . . . . 8
24233expib 1208 . . . . . . 7
2524ralrimivv 2852 . . . . . 6
26 esumcocn.0 . . . . . 6
27 xrge0plusg 28294 . . . . . . . 8 s
28 xrge00 28293 . . . . . . . 8 s
296, 6, 27, 27, 28, 28ismhm 16539 . . . . . . 7 s MndHom s s s
3029biimpri 209 . . . . . 6 s s s MndHom s
3122, 22, 13, 25, 26, 30syl23anc 1271 . . . . 5 s MndHom s
32 eqidd 2430 . . . . . 6
3332, 15fmpt3d 6062 . . . . 5
341, 2, 3, 15esumel 28715 . . . . 5 Σ* s tsums
356, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34tsmsmhm 21095 . . . 4 Σ* s tsums
3613, 15cofmpt 28114 . . . . 5
3736oveq2d 6321 . . . 4 s tsums s tsums
3835, 37eleqtrd 2519 . . 3 Σ* s tsums
391, 2, 3, 16, 38esumid 28712 . 2 Σ* Σ*
4039eqcomd 2437 1 Σ* Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  cuni 4222   cmpt 4484   ccom 4858  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc0 9538   cpnf 9671   cle 9675  cxad 11407  cicc 11638   ↾s cress 15085   ↾t crest 15282  ctopn 15283  ordTopcordt 15360  cxrs 15361  cmnd 16490   MndHom cmhm 16535  CMndccmn 17369  ctps 19854   ccn 20175   tsums ctsu 21075  Σ*cesum 28695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-tset 15172  df-ple 15173  df-ds 15175  df-rest 15284  df-topn 15285  df-0g 15303  df-gsum 15304  df-topgen 15305  df-ordt 15362  df-xrs 15363  df-mre 15447  df-mrc 15448  df-acs 15450  df-ps 16401  df-tsr 16402  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-mhm 16537  df-submnd 16538  df-cntz 16926  df-cmn 17371  df-fbas 18906  df-fg 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-ntr 19970  df-nei 20049  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-tsms 21076  df-esum 28696 This theorem is referenced by:  esummulc1  28749
 Copyright terms: Public domain W3C validator