Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcl Structured version   Unicode version

Theorem esumcl 26620
Description: Closure for extended sum in the extended positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumcl.1  |-  F/_ k A
Assertion
Ref Expression
esumcl  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem esumcl
StepHypRef Expression
1 xrge0base 26280 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 xrge0cmn 17964 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
4 xrge0tps 26506 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp )
6 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A  e.  V )
7 esumcl.1 . . . . . 6  |-  F/_ k A
87nfel1 2628 . . . . 5  |-  F/ k  A  e.  V
9 nfra1 2875 . . . . 5  |-  F/ k A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo )
108, 9nfan 1863 . . . 4  |-  F/ k ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11 nfcv 2613 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
12 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1312r19.21bi 2910 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 eqid 2451 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
1510, 7, 11, 13, 14fmptdF 26106 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
161, 3, 5, 6, 15tsmscl 19821 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  C_  ( 0 [,] +oo ) )
17 df-esum 26618 . . 3  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
18 eqid 2451 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
1918, 6, 15xrge0tsmsbi 26388 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (Σ* k  e.  A B  e.  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums 
( k  e.  A  |->  B ) )  <-> Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) ) )
2017, 19mpbiri 233 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
2116, 20sseldd 3455 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   F/_wnfc 2599   A.wral 2795   U.cuni 4189    |-> cmpt 4448  (class class class)co 6190   0cc0 9383   +oocpnf 9516   [,]cicc 11404   ↾s cress 14277   RR*scxrs 14540  CMndccmn 16381   TopSpctps 18617   tsums ctsu 19812  Σ*cesum 26617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-xadd 11191  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-seq 11908  df-hash 12205  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-ordt 14541  df-xrs 14542  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-ps 15472  df-tsr 15473  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-ntr 18740  df-nei 18818  df-cn 18947  df-haus 19035  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-tsms 19813  df-esum 26618
This theorem is referenced by:  esumel  26635  esumle  26642  esummono  26643  esumlef  26647  esumfsup  26653  esumpinfval  26656  esumpinfsum  26660  esumpmono  26662  esummulc1  26664  esummulc2  26665  esumdivc  26666  hasheuni  26668  esumcvg  26669  measiun  26766  oms0  26844  omsmon  26845
  Copyright terms: Public domain W3C validator