Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcl Structured version   Unicode version

Theorem esumcl 28204
Description: Closure for extended sum in the extended positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumcl.1  |-  F/_ k A
Assertion
Ref Expression
esumcl  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)

Proof of Theorem esumcl
StepHypRef Expression
1 xrge0base 27833 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  =  ( Base `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
2 xrge0cmn 18587 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
32a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd )
4 xrge0tps 28085 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  TopSp )
6 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A  e.  V )
7 esumcl.1 . . . . . 6  |-  F/_ k A
87nfel1 2635 . . . . 5  |-  F/ k  A  e.  V
9 nfra1 2838 . . . . 5  |-  F/ k A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo )
108, 9nfan 1929 . . . 4  |-  F/ k ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11 nfcv 2619 . . . 4  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
12 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1312r19.21bi 2826 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 eqid 2457 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
1510, 7, 11, 13, 14fmptdF 27643 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
161, 3, 5, 6, 15tsmscl 20759 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )  C_  ( 0 [,] +oo ) )
17 df-esum 28202 . . 3  |- Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) )
18 eqid 2457 . . . 4  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  =  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
1918, 6, 15xrge0tsmsbi 27937 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (Σ* k  e.  A B  e.  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums 
( k  e.  A  |->  B ) )  <-> Σ* k  e.  A B  =  U. (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) ) )
2017, 19mpbiri 233 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) tsums  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
2116, 20sseldd 3500 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   A.wral 2807   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515  (class class class)co 6296   0cc0 9509   +oocpnf 9642   [,]cicc 11557   ↾s cress 14645   RR*scxrs 14917  CMndccmn 16925   TopSpctps 19524   tsums ctsu 20750  Σ*cesum 28201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-ordt 14918  df-xrs 14919  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-ntr 19648  df-nei 19726  df-cn 19855  df-haus 19943  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-tsms 20751  df-esum 28202
This theorem is referenced by:  esumel  28221  esumle  28229  esummono  28230  esumlef  28234  esumrnmpt2  28240  esumfsup  28242  esumpinfval  28245  esumpinfsum  28249  esumpmono  28251  esummulc1  28253  esummulc2  28254  esumdivc  28255  hasheuni  28257  esumcvg  28258  esumgect  28262  esum2dlem  28264  esum2d  28265  measiun  28362  omscl  28439  oms0  28441  omsmon  28442  omssubadd  28444  carsgclctunlem2  28461
  Copyright terms: Public domain W3C validator