Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumc Structured version   Unicode version

Theorem esumc 28711
Description: Convert from the collection form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumc.0  |-  F/_ k D
esumc.1  |-  F/ k
ph
esumc.2  |-  F/_ k A
esumc.3  |-  ( y  =  C  ->  D  =  B )
esumc.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumc.5  |-  ( ph  ->  Fun  `' ( k  e.  A  |->  C ) )
esumc.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumc.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  W )
Assertion
Ref Expression
esumc  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = Σ* y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C } D )
Distinct variable groups:    y, k,
z    y, A, z    y, B    y, C, z    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( z, k)    A( k)    B( z, k)    C( k)    D( y, z, k)    V( y, z, k)    W( y, z, k)

Proof of Theorem esumc
StepHypRef Expression
1 esumc.1 . . 3  |-  F/ k
ph
2 esumc.0 . . 3  |-  F/_ k D
3 nfcv 2591 . . 3  |-  F/_ y B
4 nfre1 2893 . . . 4  |-  F/ k E. k  e.  A  z  =  C
54nfab 2595 . . 3  |-  F/_ k { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }
6 esumc.2 . . 3  |-  F/_ k A
7 nfmpt1 4515 . . 3  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  C )
8 esumc.3 . . 3  |-  ( y  =  C  ->  D  =  B )
9 esumc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
10 elex 3096 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
126, 11abrexexd 27979 . . 3  |-  ( ph  ->  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }  e.  _V )
13 esumc.7 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  W )
1413ex 435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  W ) )
151, 14ralrimi 2832 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  W )
166fnmptf 5718 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  W  ->  ( k  e.  A  |->  C )  Fn  A )
1715, 16syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C )  Fn  A
)
18 esumc.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  `' ( k  e.  A  |->  C ) )
19 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2019rnmpt 5100 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  A  |->  C )  =  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  A  |->  C )  =  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C } )
22 dff1o2 5836 . . . 4  |-  ( ( k  e.  A  |->  C ) : A -1-1-onto-> { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }  <->  ( ( k  e.  A  |->  C )  Fn  A  /\  Fun  `' ( k  e.  A  |->  C )  /\  ran  ( k  e.  A  |->  C )  =  {
z  |  E. k  e.  A  z  =  C } ) )
2317, 18, 21, 22syl3anbrc 1189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A -1-1-onto-> {
z  |  E. k  e.  A  z  =  C } )
24 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
256fvmpt2f 5965 . . . 4  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  W )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
2624, 13, 25syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
27 vex 3090 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
28 eqeq1 2433 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  C  <->  y  =  C ) )
2928rexbidv 2946 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( E. k  e.  A  z  =  C  <->  E. k  e.  A  y  =  C ) )
3027, 29elab 3224 . . . . 5  |-  ( y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }  <->  E. k  e.  A  y  =  C )
318reximi 2900 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  A  y  =  C  ->  E. k  e.  A  D  =  B )
3230, 31sylbi 198 . . . 4  |-  ( y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }  ->  E. k  e.  A  D  =  B )
33 nfcv 2591 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
342, 33nfel 2604 . . . . . 6  |-  F/ k  D  e.  ( 0 [,] +oo )
35 esumc.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
36 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( D  =  B  ->  ( D  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
3735, 36syl5ibrcom 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( D  =  B  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
3837ex 435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  ( D  =  B  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
) ) )
391, 34, 38rexlimd 2916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  A  D  =  B  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
4039imp 430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  D  =  B )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4132, 40sylan2 476 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C } )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
421, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 23, 26, 41esumf1o 28710 . 2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C } D  = Σ* k  e.  A B )
4342eqcomd 2437 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = Σ* y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C } D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   F/wnf 1663    e. wcel 1870   {cab 2414   F/_wnfc 2577   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   ran crn 4855   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   +oocpnf 9671   [,]cicc 11638  Σ*cesum 28687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-xadd 11410  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-ntr 19966  df-nei 20045  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tsms 21072  df-esum 28688
This theorem is referenced by:  esumrnmpt  28712  esum2dlem  28752  measvunilem  28873  omssubadd  28961
  Copyright terms: Public domain W3C validator