Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumc Structured version   Unicode version

Theorem esumc 28711
 Description: Convert from the collection form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumc.0
esumc.1
esumc.2
esumc.3
esumc.4
esumc.5
esumc.6
esumc.7
Assertion
Ref Expression
esumc Σ* Σ*
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   ()   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem esumc
StepHypRef Expression
1 esumc.1 . . 3
2 esumc.0 . . 3
3 nfcv 2591 . . 3
4 nfre1 2893 . . . 4
54nfab 2595 . . 3
6 esumc.2 . . 3
7 nfmpt1 4515 . . 3
8 esumc.3 . . 3
9 esumc.4 . . . . 5
10 elex 3096 . . . . 5
119, 10syl 17 . . . 4
126, 11abrexexd 27979 . . 3
13 esumc.7 . . . . . . 7
1413ex 435 . . . . . 6
151, 14ralrimi 2832 . . . . 5
166fnmptf 5718 . . . . 5
1715, 16syl 17 . . . 4
18 esumc.5 . . . 4
19 eqid 2429 . . . . . 6
2019rnmpt 5100 . . . . 5
2120a1i 11 . . . 4
22 dff1o2 5836 . . . 4
2317, 18, 21, 22syl3anbrc 1189 . . 3
24 simpr 462 . . . 4
256fvmpt2f 5965 . . . 4
2624, 13, 25syl2anc 665 . . 3
27 vex 3090 . . . . . 6
28 eqeq1 2433 . . . . . . 7
2928rexbidv 2946 . . . . . 6
3027, 29elab 3224 . . . . 5
318reximi 2900 . . . . 5
3230, 31sylbi 198 . . . 4
33 nfcv 2591 . . . . . . 7
342, 33nfel 2604 . . . . . 6
35 esumc.6 . . . . . . . 8
36 eleq1 2501 . . . . . . . 8
3735, 36syl5ibrcom 225 . . . . . . 7
3837ex 435 . . . . . 6
391, 34, 38rexlimd 2916 . . . . 5
4039imp 430 . . . 4
4132, 40sylan2 476 . . 3
421, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 23, 26, 41esumf1o 28710 . 2 Σ* Σ*
4342eqcomd 2437 1 Σ* Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437  wnf 1663   wcel 1870  cab 2414  wnfc 2577  wral 2782  wrex 2783  cvv 3087   cmpt 4484  ccnv 4853   crn 4855   wfun 5595   wfn 5596  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc0 9538   cpnf 9671  cicc 11638  Σ*cesum 28687 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-xadd 11410  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-ntr 19966  df-nei 20045  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tsms 21072  df-esum 28688 This theorem is referenced by:  esumrnmpt  28712  esum2dlem  28752  measvunilem  28873  omssubadd  28961
 Copyright terms: Public domain W3C validator