Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumc Structured version   Unicode version

Theorem esumc 27730
Description: Convert from the collection form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumc.1  |-  F/ k
ph
esumc.2  |-  F/_ k A
esumc.3  |-  ( y  =  C  ->  D  =  B )
esumc.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumc.5  |-  ( ph  ->  Fun  `' ( k  e.  A  |->  C ) )
esumc.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esumc.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  W )
Assertion
Ref Expression
esumc  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = Σ* y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C } D )
Distinct variable groups:    y, k,
z    y, A, z    y, B    D, k    y, C, z    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( z, k)    A( k)    B( z, k)    C( k)    D( y, z)    V( y, z, k)    W( y, z, k)

Proof of Theorem esumc
StepHypRef Expression
1 esumc.1 . . 3  |-  F/ k
ph
2 nfre1 2925 . . . 4  |-  F/ k E. k  e.  A  z  =  C
32nfab 2633 . . 3  |-  F/_ k { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }
4 esumc.2 . . 3  |-  F/_ k A
5 nfmpt1 4536 . . 3  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  C )
6 esumc.3 . . 3  |-  ( y  =  C  ->  D  =  B )
7 esumc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 elex 3122 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
104, 9abrexexd 27109 . . 3  |-  ( ph  ->  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }  e.  _V )
11 esumc.7 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  W )
1211ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  W ) )
131, 12ralrimi 2864 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  W )
144fnmptf 27200 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  W  ->  ( k  e.  A  |->  C )  Fn  A )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C )  Fn  A
)
16 esumc.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  `' ( k  e.  A  |->  C ) )
17 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
1817rnmpt 5248 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  A  |->  C )  =  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e.  A  |->  C )  =  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C } )
20 dff1o2 5821 . . . 4  |-  ( ( k  e.  A  |->  C ) : A -1-1-onto-> { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }  <->  ( ( k  e.  A  |->  C )  Fn  A  /\  Fun  `' ( k  e.  A  |->  C )  /\  ran  ( k  e.  A  |->  C )  =  {
z  |  E. k  e.  A  z  =  C } ) )
2115, 16, 19, 20syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A -1-1-onto-> {
z  |  E. k  e.  A  z  =  C } )
22 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
234fvmpt2f 27198 . . . 4  |-  ( ( k  e.  A  /\  C  e.  W )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k )  =  C )
2422, 11, 23syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  C )
25 vex 3116 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
26 eqeq1 2471 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  C  <->  y  =  C ) )
2726rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( E. k  e.  A  z  =  C  <->  E. k  e.  A  y  =  C ) )
2825, 27elab 3250 . . . . 5  |-  ( y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }  <->  E. k  e.  A  y  =  C )
296reximi 2932 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  A  y  =  C  ->  E. k  e.  A  D  =  B )
3028, 29sylbi 195 . . . 4  |-  ( y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C }  ->  E. k  e.  A  D  =  B )
31 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ k  D  e.  ( 0 [,] +oo )
32 esumc.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
33 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( D  =  B  ->  ( D  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
3432, 33syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( D  =  B  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
3534ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  ( D  =  B  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
) ) )
361, 31, 35rexlimd 2947 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  A  D  =  B  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo )
) )
3736imp 429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E. k  e.  A  D  =  B )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3830, 37sylan2 474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C } )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
391, 3, 4, 5, 6, 10, 21, 24, 38esumf1o 27729 . 2  |-  ( ph  -> Σ* y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C } D  = Σ* k  e.  A B )
4039eqcomd 2475 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = Σ* y  e.  { z  |  E. k  e.  A  z  =  C } D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   F/wnf 1599    e. wcel 1767   {cab 2452   F/_wnfc 2615   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   +oocpnf 9625   [,]cicc 11532  Σ*cesum 27708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-xadd 11319  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-ordt 14756  df-xrs 14757  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-ntr 19315  df-nei 19393  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-tsms 20388  df-esum 27709
This theorem is referenced by:  measvunilem  27851
  Copyright terms: Public domain W3C validator