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Theorem esum2dlem 28525
Description: Lemma for esum2d 28526 (finite case) (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esum2d.0  |-  F/_ k F
esum2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  F  =  C )
esum2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esum2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
esum2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esum2dlem.e  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
esum2dlem  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) F )
Distinct variable groups:    j, k, A, z    z, C    B, k, z    j, F    j, W, k    ph, j, k, z
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    F( z, k)    V( z, j, k)    W( z)

Proof of Theorem esum2dlem
Dummy variables  i 
l  t  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumeq1 28467 . . 3  |-  ( a  =  (/)  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C )
2 nfv 1728 . . . 4  |-  F/ z  a  =  (/)
3 iuneq1 4284 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) )
42, 3esumeq1d 28468 . . 3  |-  ( a  =  (/)  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F )
51, 4eqeq12d 2424 . 2  |-  ( a  =  (/)  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  <-> Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F ) )
6 esumeq1 28467 . . 3  |-  ( a  =  b  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C )
7 nfv 1728 . . . 4  |-  F/ z  a  =  b
8 iuneq1 4284 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
) )
97, 8esumeq1d 28468 . . 3  |-  ( a  =  b  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )
106, 9eqeq12d 2424 . 2  |-  ( a  =  b  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  <-> Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F ) )
11 esumeq1 28467 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  ( b  u.  {
l } )Σ* k  e.  B C )
12 nfv 1728 . . . 4  |-  F/ z  a  =  ( b  u.  { l } )
13 iuneq1 4284 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  ->  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B )  = 
U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) )
1412, 13esumeq1d 28468 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) F )
1511, 14eqeq12d 2424 . 2  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  <-> Σ* j  e.  ( b  u.  {
l } )Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) F ) )
16 esumeq1 28467 . . 3  |-  ( a  =  A  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C )
17 nfv 1728 . . . 4  |-  F/ z  a  =  A
18 iuneq1 4284 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
1917, 18esumeq1d 28468 . . 3  |-  ( a  =  A  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) F )
2016, 19eqeq12d 2424 . 2  |-  ( a  =  A  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  <-> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) F ) )
21 esumnul 28481 . . . 4  |- Σ* z  e.  (/) F  =  0
22 0iun 4327 . . . . 5  |-  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B )  =  (/)
23 esumeq1 28467 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
)  =  (/)  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
) F  = Σ* z  e.  (/) F )
2422, 23ax-mp 5 . . . 4  |- Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
) F  = Σ* z  e.  (/) F
25 esumnul 28481 . . . 4  |- Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  =  0
2621, 24, 253eqtr4ri 2442 . . 3  |- Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F
2726a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F )
28 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )
29 nfcsb1v 3388 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j [_ l  /  j ]_ B
30 nfcsb1v 3388 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j [_ l  /  j ]_ C
3129, 30nfesum2 28474 . . . . . . . 8  |-  F/_ jΣ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C
32 csbeq1a 3381 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  l  ->  B  =  [_ l  /  j ]_ B )
33 csbeq1a 3381 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  l  ->  C  =  [_ l  /  j ]_ C )
3432, 33esumeq12d 28466 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  l  -> Σ* k  e.  B C  = Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C )
3534adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  =  l )  -> Σ* k  e.  B C  = Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C )
36 simprr 758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
l  e.  ( A 
\  b ) )
37 difss 3569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  b )  C_  A
3837, 36sseldi 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
l  e.  A )
39 esum2d.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
4039adantlr 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  A
)  ->  B  e.  W )
4140ralrimiva 2817 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. j  e.  A  B  e.  W )
42 rspcsbela 3799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( l  e.  A  /\  A. j  e.  A  B  e.  W )  ->  [_ l  /  j ]_ B  e.  W )
4338, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  [_ l  /  j ]_ B  e.  W
)
44 simpll 752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  ph )
4538adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  l  e.  A )
46 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  k  e.  [_ l  /  j ]_ B )
47 esum2d.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4847ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
4948sbcimdv 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( [. l  / 
j ]. ( j  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  [. l  /  j ]. C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
50 sbcan 3319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. l  /  j ]. (
j  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  (
[. l  /  j ]. j  e.  A  /\  [. l  /  j ]. k  e.  B
) )
51 sbcel1v 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. l  /  j ]. j  e.  A  <->  l  e.  A
)
52 sbcel2 3782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. l  /  j ]. k  e.  B  <->  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)
5351, 52anbi12i 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[. l  /  j ]. j  e.  A  /\  [. l  /  j ]. k  e.  B
)  <->  ( l  e.  A  /\  k  e. 
[_ l  /  j ]_ B ) )
5450, 53bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. l  /  j ]. (
j  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( l  e.  A  /\  k  e.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
55 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  l  e. 
_V
56 sbcel1g 3780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  j ]. C  e.  (
0 [,] +oo )  <->  [_ l  /  j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. l  /  j ]. C  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<-> 
[_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
5849, 54, 573imtr3g 269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( l  e.  A  /\  k  e. 
[_ l  /  j ]_ B )  ->  [_ l  /  j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
5958imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( l  e.  A  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B ) )  ->  [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
6044, 45, 46, 59syl12anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  [_ l  / 
j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6160ralrimiva 2817 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. k  e.  [_  l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
62 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ l  /  j ]_ B
6362esumcl 28463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ l  /  j ]_ B  e.  W  /\  A. k  e.  [_  l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
6443, 61, 63syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6531, 35, 36, 64esumsnf 28497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C  = Σ* k  e. 
[_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C )
66 esum2d.0 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k F
67 nfv 1728 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )
68 nfv 1728 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  z  =  <. l ,  k >.
6930nfeq2 2581 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  F  =  [_ l  /  j ]_ C
7068, 69nfim 1948 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( z  =  <. l ,  k >.  ->  F  =  [_ l  /  j ]_ C )
71 opeq1 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  <. j ,  k >.  =  <. l ,  k >. )
7271eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  (
z  =  <. j ,  k >.  <->  z  =  <. l ,  k >.
) )
7333eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( F  =  C  <->  F  =  [_ l  /  j ]_ C ) )
7472, 73imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  l  ->  (
( z  =  <. j ,  k >.  ->  F  =  C )  <->  ( z  =  <. l ,  k
>.  ->  F  =  [_ l  /  j ]_ C
) ) )
75 esum2d.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  F  =  C )
7670, 74, 75chvar 2040 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. l ,  k
>.  ->  F  =  [_ l  /  j ]_ C
)
77 ssnid 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  j  e. 
{ j }
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  j  e.  { j } )
79 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
8078, 79jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  (
j  e.  { j }  /\  k  e.  B ) )
81 opelxp 4852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( { j }  X.  B )  <->  ( j  e.  { j }  /\  k  e.  B )
)
8280, 81sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
83 xp2nd 6814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  B )
8483adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  B )
85 eqop 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( z  = 
<. j ,  k >.  <->  ( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  =  k ) ) )
86 xp1st 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { j } )
87 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1st `  z )  e.  _V
8887elsnc 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { j }  <-> 
( 1st `  z
)  =  j )
8986, 88sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
9089biantrurd 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( ( 2nd `  z )  =  k  <-> 
( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  =  k ) ) )
9185, 90bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( z  = 
<. j ,  k >.  <->  ( 2nd `  z )  =  k ) )
92 eqcom 2411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2nd `  z )  =  k  <->  k  =  ( 2nd `  z ) )
9391, 92syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( z  = 
<. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z
) ) )
9493ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  ->  ( z  =  <. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z ) ) )
9594ralrimiva 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( z  =  <. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z ) ) )
96 reu6i 3239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2nd `  z
)  e.  B  /\  A. k  e.  B  ( z  =  <. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z ) ) )  ->  E! k  e.  B  z  =  <. j ,  k
>. )
9784, 95, 96syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  E! k  e.  B  z  =  <. j ,  k >. )
9882, 97f1mptrn 27901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  Fun  `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
) )
9998ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  ->  Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )
) )
10099sbcimdv 3338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [. l  / 
j ]. j  e.  A  ->  [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )
) )
101 sbcfung 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )  <->  Fun  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k
>. ) ) )
102 csbcnv 5006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  `' [_ l  /  j ]_ (
k  e.  B  |->  <.
j ,  k >.
)  =  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  _V  ->  `' [_ l  /  j ]_ ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  =  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
) )
104 csbmpt12 4723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ (
k  e.  B  |->  <.
j ,  k >.
)  =  ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  [_ l  /  j ]_ <. j ,  k >. )
)
105 csbopg 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ <. j ,  k >.  =  <. [_ l  /  j ]_ j ,  [_ l  / 
j ]_ k >. )
106 csbvarg 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ j  =  l )
107 csbconstg 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ k  =  k )
108106, 107opeq12d 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  _V  ->  <. [_ l  /  j ]_ j ,  [_ l  /  j ]_ k >.  =  <. l ,  k >. )
109105, 108eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ <. j ,  k >.  =  <. l ,  k >. )
110109mpteq2dv 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  _V  ->  (
k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
[_ l  /  j ]_ <. j ,  k
>. )  =  (
k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
111104, 110eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ (
k  e.  B  |->  <.
j ,  k >.
)  =  ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
)
112111cnveqd 4998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  _V  ->  `' [_ l  /  j ]_ ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  =  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
113103, 112eqtr3d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  =  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
114113funeqd 5589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  _V  ->  ( Fun  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k
>. )  <->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
) )
115101, 114bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )  <->  Fun  `' ( k  e. 
[_ l  /  j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
) )
11655, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  <->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
)
11751, 116imbi12i 324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. l  /  j ]. j  e.  A  ->  [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )
)  <->  ( l  e.  A  ->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) ) )
118100, 117sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( l  e.  A  ->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
) )
119118imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  l  e.  A )  ->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
12038, 119syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  Fun  `' ( k  e. 
[_ l  /  j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
)
12155snid 3999 . . . . . . . . . . . 12  |-  l  e. 
{ l }
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  l  e.  { l } )
123122, 46jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  ( l  e.  { l }  /\  k  e.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
124 opelxp 4852 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
l ,  k >.  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )  <->  ( l  e.  { l }  /\  k  e.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
125123, 124sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  <. l ,  k >.  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
12666, 67, 62, 76, 43, 120, 60, 125esumc 28484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C  = Σ* z  e. 
{ t  |  E. k  e.  [_  l  / 
j ]_ B t  = 
<. l ,  k >. } F )
127 nfab1 2566 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t { t  |  E. k  e.  [_  l  / 
j ]_ B t  = 
<. l ,  k >. }
128 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )
129 opeq1 4158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  l  ->  <. i ,  k >.  =  <. l ,  k >. )
130129eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  l  ->  (
t  =  <. i ,  k >.  <->  t  =  <. l ,  k >.
) )
131130rexbidv 2917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  l  ->  ( E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B
t  =  <. i ,  k >.  <->  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. )
)
13255, 131rexsn 4011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  { l } E. k  e. 
[_  l  /  j ]_ B t  =  <. i ,  k >.  <->  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. )
133 elxp2 4840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
)  <->  E. i  e.  {
l } E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. i ,  k >. )
134 abid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  { t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B
t  =  <. l ,  k >. }  <->  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. )
135132, 133, 1343bitr4ri 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  { t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B
t  =  <. l ,  k >. }  <->  t  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
136127, 128, 135eqri 27812 . . . . . . . . 9  |-  { t  |  E. k  e. 
[_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. }  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )
137 esumeq1 28467 . . . . . . . . 9  |-  ( { t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. }  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )  -> Σ* z  e.  {
t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. } F  = Σ* z  e.  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F )
138136, 137ax-mp 5 . . . . . . . 8  |- Σ* z  e.  {
t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. } F  = Σ* z  e.  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F
139126, 138syl6eq 2459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C  = Σ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F )
14065, 139eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F )
141140adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  {
l }Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F )
14228, 141oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  ->  (Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C +eΣ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C )  =  (Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F ) )
143 nfv 1728 . . . . . 6  |-  F/ j ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )
144 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ j
b
145 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ j { l }
146 vex 3061 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
147146a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  e.  _V )
148 snex 4631 . . . . . . 7  |-  { l }  e.  _V
149148a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  { l }  e.  _V )
15036eldifbd 3426 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  -.  l  e.  b
)
151 disjsn 4031 . . . . . . 7  |-  ( ( b  i^i  { l } )  =  (/)  <->  -.  l  e.  b )
152150, 151sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( b  i^i  {
l } )  =  (/) )
153 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  ph )
154 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  C_  A )
155154sselda 3441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  A )
15647anassrs 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
157156ralrimiva 2817 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
158 nfcv 2564 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k B
159158esumcl 28463 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  W  /\  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16039, 157, 159syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
161153, 155, 160syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
162 simpll 752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  {
l } )  ->  ph )
16355snss 4095 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  A  <->  { l }  C_  A )
16438, 163sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  { l }  C_  A )
165164sselda 3441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  {
l } )  -> 
j  e.  A )
166162, 165, 160syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  {
l } )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
167143, 144, 145, 147, 149, 152, 161, 166esumsplit 28486 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* j  e.  ( b  u.  {
l } )Σ* k  e.  B C  =  (Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C +eΣ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C ) )
168167adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  ( b  u.  { l } )Σ* k  e.  B C  =  (Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C +eΣ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C ) )
169 iunxun 4355 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u. 
U_ j  e.  {
l }  ( { j }  X.  B
) )
170145, 29nfxp 4849 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )
171 sneq 3981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  { j }  =  { l } )
172171, 32xpeq12d 4847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( { j }  X.  B )  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
173170, 172iunxsngf 27840 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  _V  ->  U_ j  e.  { l }  ( { j }  X.  B )  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
17455, 173ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  { l }  ( { j }  X.  B )  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )
175174uneq2i 3593 . . . . . . . 8  |-  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  U_ j  e.  { l }  ( { j }  X.  B ) )  =  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
176169, 175eqtri 2431 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
177 esumeq1 28467 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B )  =  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) ) F )
178176, 177ax-mp 5 . . . . . 6  |- Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) ) F
179 nfv 1728 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )
180 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ z U_ j  e.  b 
( { j }  X.  B )
181 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ z
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )
182 snex 4631 . . . . . . . . . 10  |-  { j }  e.  _V
183155, 40syldan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  B  e.  W )
184 xpexg 6583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  B  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  B
)  e.  _V )
185182, 183, 184sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  ( {
j }  X.  B
)  e.  _V )
186185ralrimiva 2817 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. j  e.  b 
( { j }  X.  B )  e. 
_V )
187 iunexg 6759 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  _V  /\  A. j  e.  b  ( { j }  X.  B )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  e. 
_V )
188147, 186, 187syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  U_ j  e.  b 
( { j }  X.  B )  e. 
_V )
189 xpexg 6583 . . . . . . . 8  |-  ( ( { l }  e.  _V  /\  [_ l  / 
j ]_ B  e.  W
)  ->  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
)  e.  _V )
190148, 43, 189sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )  e. 
_V )
191 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  b )
192150adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  -.  l  e.  b )
193 nelne2 2733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  b  /\  -.  l  e.  b
)  ->  j  =/=  l )
194191, 192, 193syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  j  =/=  l )
195 disjsn2 4032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =/=  l  ->  ( { j }  i^i  { l } )  =  (/) )
196 xpdisj1 5245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { j }  i^i  { l } )  =  (/)  ->  ( ( { j }  X.  B
)  i^i  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
197194, 195, 1963syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  ( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  =  (/) )
198197ralrimiva 2817 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. j  e.  b 
( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
199 iuneq2 4287 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  b  (
( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) )  =  (/)  ->  U_ j  e.  b  ( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  = 
U_ j  e.  b  (/) )
200198, 199syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  U_ j  e.  b 
( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  =  U_ j  e.  b  (/) )
201170iunin1f 27839 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  b  ( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  =  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )
202 iun0 4326 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  b  (/)  =  (/)
203200, 201, 2023eqtr3g 2466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) )  =  (/) )
204 simpll 752 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) )  ->  ph )
205 iunss1 4282 . . . . . . . . . 10  |-  ( b 
C_  A  ->  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
)  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
206154, 205syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  U_ j  e.  b 
( { j }  X.  B )  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
207206sselda 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) )  -> 
z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
208 nfv 1728 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
ph
209 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
z
210 nfiu1 4300 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
211209, 210nfel 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)
212208, 211nfan 1956 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
213 nfv 1728 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )
214 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
21566, 214nfel 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  F  e.  ( 0 [,] +oo )
21675adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  F  =  C )
217 simp-5l 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  ph )
218 simp-4r 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  j  e.  A )
219 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  k  e.  B )
220217, 218, 219, 47syl12anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
221216, 220eqeltrd 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
222 elsnxp 27892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  A  ->  (
z  e.  ( { j }  X.  B
)  <->  E. k  e.  B  z  =  <. j ,  k >. ) )
223222biimpa 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  A  /\  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )  ->  E. k  e.  B  z  =  <. j ,  k >.
)
224223adantll 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  E. k  e.  B  z  =  <. j ,  k >. )
225213, 215, 221, 224r19.29af2 2944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo )
)
226 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  -> 
z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
227 eliun 4275 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  A  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
228226, 227sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  E. j  e.  A  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
229212, 225, 228r19.29af 2946 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
230204, 207, 229syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
231 simpll 752 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  ->  ph )
232 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j A
233 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
l
234232, 233, 170, 172ssiun2sf 27842 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  A  ->  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )  C_  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
23538, 234syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
236235sselda 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  -> 
z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
237231, 236, 229syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
238179, 180, 181, 188, 190, 203, 230, 237esumsplit 28486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* z  e.  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) ) F  =  (Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F ) )
239178, 238syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) F  =  (Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F ) )
240239adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B ) F  =  (Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F ) )
241142, 168, 2403eqtr4d 2453 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  ( b  u.  { l } )Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B ) F )
242241ex 432 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
(Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F  -> Σ* j  e.  ( b  u.  { l } )Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B ) F ) )
243 esum2dlem.e . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2445, 10, 15, 20, 27, 242, 243findcard2d 7795 1  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   F/_wnfc 2550    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   E!wreu 2755   _Vcvv 3058   [.wsbc 3276   [_csb 3372    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   <.cop 3977   U_ciun 4270    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   `'ccnv 4821   Fun wfun 5562   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   1stc1st 6781   2ndc2nd 6782   Fincfn 7553   0cc0 9521   +oocpnf 9654   +ecxad 11368   [,]cicc 11584  Σ*cesum 28460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-ef 14010  df-sin 14012  df-cos 14013  df-pi 14015  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-ordt 15113  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-ps 16152  df-tsr 16153  df-plusf 16193  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-subrg 17745  df-abv 17784  df-lmod 17832  df-scaf 17833  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-tmd 20861  df-tgp 20862  df-tsms 20915  df-trg 20952  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-nm 21393  df-ngp 21394  df-nrg 21396  df-nlm 21397  df-ii 21671  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561  df-log 23234  df-esum 28461
This theorem is referenced by:  esum2d  28526
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