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Theorem esum2dlem 28921
Description: Lemma for esum2d 28922 (finite case) (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esum2d.0  |-  F/_ k F
esum2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  F  =  C )
esum2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esum2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
esum2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esum2dlem.e  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
esum2dlem  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) F )
Distinct variable groups:    j, k, A, z    z, C    B, k, z    j, F    j, W, k    ph, j, k, z
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    F( z, k)    V( z, j, k)    W( z)

Proof of Theorem esum2dlem
Dummy variables  i 
l  t  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumeq1 28863 . . 3  |-  ( a  =  (/)  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C )
2 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ z  a  =  (/)
3 iuneq1 4313 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) )
42, 3esumeq1d 28864 . . 3  |-  ( a  =  (/)  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F )
51, 4eqeq12d 2444 . 2  |-  ( a  =  (/)  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  <-> Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F ) )
6 esumeq1 28863 . . 3  |-  ( a  =  b  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C )
7 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ z  a  =  b
8 iuneq1 4313 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
) )
97, 8esumeq1d 28864 . . 3  |-  ( a  =  b  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )
106, 9eqeq12d 2444 . 2  |-  ( a  =  b  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  <-> Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F ) )
11 esumeq1 28863 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  ( b  u.  {
l } )Σ* k  e.  B C )
12 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ z  a  =  ( b  u.  { l } )
13 iuneq1 4313 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  ->  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B )  = 
U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) )
1412, 13esumeq1d 28864 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) F )
1511, 14eqeq12d 2444 . 2  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  <-> Σ* j  e.  ( b  u.  {
l } )Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) F ) )
16 esumeq1 28863 . . 3  |-  ( a  =  A  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C )
17 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ z  a  =  A
18 iuneq1 4313 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
1917, 18esumeq1d 28864 . . 3  |-  ( a  =  A  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) F )
2016, 19eqeq12d 2444 . 2  |-  ( a  =  A  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  <-> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) F ) )
21 esumnul 28877 . . . 4  |- Σ* z  e.  (/) F  =  0
22 0iun 4356 . . . . 5  |-  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B )  =  (/)
23 esumeq1 28863 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
)  =  (/)  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
) F  = Σ* z  e.  (/) F )
2422, 23ax-mp 5 . . . 4  |- Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
) F  = Σ* z  e.  (/) F
25 esumnul 28877 . . . 4  |- Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  =  0
2621, 24, 253eqtr4ri 2462 . . 3  |- Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F
2726a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F )
28 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )
29 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j [_ l  /  j ]_ B
30 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j [_ l  /  j ]_ C
3129, 30nfesum2 28870 . . . . . . . 8  |-  F/_ jΣ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C
32 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  l  ->  B  =  [_ l  /  j ]_ B )
33 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  l  ->  C  =  [_ l  /  j ]_ C )
3432, 33esumeq12d 28862 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  l  -> Σ* k  e.  B C  = Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C )
3534adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  =  l )  -> Σ* k  e.  B C  = Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C )
36 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
l  e.  ( A 
\  b ) )
37 difss 3592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  b )  C_  A
3837, 36sseldi 3462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
l  e.  A )
39 esum2d.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
4039adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  A
)  ->  B  e.  W )
4140ralrimiva 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. j  e.  A  B  e.  W )
42 rspcsbela 3825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( l  e.  A  /\  A. j  e.  A  B  e.  W )  ->  [_ l  /  j ]_ B  e.  W )
4338, 41, 42syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  [_ l  /  j ]_ B  e.  W
)
44 simpll 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  ph )
4538adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  l  e.  A )
46 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  k  e.  [_ l  /  j ]_ B )
47 esum2d.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4847ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
4948sbcimdv 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( [. l  / 
j ]. ( j  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  [. l  /  j ]. C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
50 sbcan 3342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. l  /  j ]. (
j  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  (
[. l  /  j ]. j  e.  A  /\  [. l  /  j ]. k  e.  B
) )
51 sbcel1v 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. l  /  j ]. j  e.  A  <->  l  e.  A
)
52 sbcel2 3808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. l  /  j ]. k  e.  B  <->  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)
5351, 52anbi12i 701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[. l  /  j ]. j  e.  A  /\  [. l  /  j ]. k  e.  B
)  <->  ( l  e.  A  /\  k  e. 
[_ l  /  j ]_ B ) )
5450, 53bitri 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. l  /  j ]. (
j  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( l  e.  A  /\  k  e.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
55 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  l  e. 
_V
56 sbcel1g 3806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  j ]. C  e.  (
0 [,] +oo )  <->  [_ l  /  j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. l  /  j ]. C  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<-> 
[_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
5849, 54, 573imtr3g 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( l  e.  A  /\  k  e. 
[_ l  /  j ]_ B )  ->  [_ l  /  j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
5958imp 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( l  e.  A  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B ) )  ->  [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
6044, 45, 46, 59syl12anc 1262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  [_ l  / 
j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6160ralrimiva 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. k  e.  [_  l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
62 nfcv 2580 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ l  /  j ]_ B
6362esumcl 28859 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ l  /  j ]_ B  e.  W  /\  A. k  e.  [_  l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
6443, 61, 63syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6531, 35, 36, 64esumsnf 28893 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C  = Σ* k  e. 
[_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C )
66 esum2d.0 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k F
67 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )
68 nfv 1755 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  z  =  <. l ,  k >.
6930nfeq2 2597 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  F  =  [_ l  /  j ]_ C
7068, 69nfim 1980 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( z  =  <. l ,  k >.  ->  F  =  [_ l  /  j ]_ C )
71 opeq1 4187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  <. j ,  k >.  =  <. l ,  k >. )
7271eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  (
z  =  <. j ,  k >.  <->  z  =  <. l ,  k >.
) )
7333eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( F  =  C  <->  F  =  [_ l  /  j ]_ C ) )
7472, 73imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  l  ->  (
( z  =  <. j ,  k >.  ->  F  =  C )  <->  ( z  =  <. l ,  k
>.  ->  F  =  [_ l  /  j ]_ C
) ) )
75 esum2d.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  F  =  C )
7670, 74, 75chvar 2071 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. l ,  k
>.  ->  F  =  [_ l  /  j ]_ C
)
77 ssnid 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  j  e. 
{ j }
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  j  e.  { j } )
79 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
8078, 79jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  (
j  e.  { j }  /\  k  e.  B ) )
81 opelxp 4883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( { j }  X.  B )  <->  ( j  e.  { j }  /\  k  e.  B )
)
8280, 81sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
83 xp2nd 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  B )
8483adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  B )
85 eqop 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( z  = 
<. j ,  k >.  <->  ( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  =  k ) ) )
86 xp1st 6837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { j } )
87 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1st `  z )  e.  _V
8887elsnc 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { j }  <-> 
( 1st `  z
)  =  j )
8986, 88sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
9089biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( ( 2nd `  z )  =  k  <-> 
( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  =  k ) ) )
9185, 90bitr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( z  = 
<. j ,  k >.  <->  ( 2nd `  z )  =  k ) )
92 eqcom 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2nd `  z )  =  k  <->  k  =  ( 2nd `  z ) )
9391, 92syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( z  = 
<. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z
) ) )
9493ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  ->  ( z  =  <. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z ) ) )
9594ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( z  =  <. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z ) ) )
96 reu6i 3261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2nd `  z
)  e.  B  /\  A. k  e.  B  ( z  =  <. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z ) ) )  ->  E! k  e.  B  z  =  <. j ,  k
>. )
9784, 95, 96syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  E! k  e.  B  z  =  <. j ,  k >. )
9882, 97f1mptrn 28234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  Fun  `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
) )
9998ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  ->  Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )
) )
10099sbcimdv 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [. l  / 
j ]. j  e.  A  ->  [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )
) )
101 sbcfung 5624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )  <->  Fun  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k
>. ) ) )
102 csbcnv 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  `' [_ l  /  j ]_ (
k  e.  B  |->  <.
j ,  k >.
)  =  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  _V  ->  `' [_ l  /  j ]_ ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  =  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
) )
104 csbmpt12 4754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ (
k  e.  B  |->  <.
j ,  k >.
)  =  ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  [_ l  /  j ]_ <. j ,  k >. )
)
105 csbopg 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ <. j ,  k >.  =  <. [_ l  /  j ]_ j ,  [_ l  / 
j ]_ k >. )
106 csbvarg 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ j  =  l )
107 csbconstg 3408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ k  =  k )
108106, 107opeq12d 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  _V  ->  <. [_ l  /  j ]_ j ,  [_ l  /  j ]_ k >.  =  <. l ,  k >. )
109105, 108eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ <. j ,  k >.  =  <. l ,  k >. )
110109mpteq2dv 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  _V  ->  (
k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
[_ l  /  j ]_ <. j ,  k
>. )  =  (
k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
111104, 110eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ (
k  e.  B  |->  <.
j ,  k >.
)  =  ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
)
112111cnveqd 5029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  _V  ->  `' [_ l  /  j ]_ ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  =  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
113103, 112eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  =  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
114113funeqd 5622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  _V  ->  ( Fun  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k
>. )  <->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
) )
115101, 114bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )  <->  Fun  `' ( k  e. 
[_ l  /  j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
) )
11655, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  <->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
)
11751, 116imbi12i 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. l  /  j ]. j  e.  A  ->  [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )
)  <->  ( l  e.  A  ->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) ) )
118100, 117sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( l  e.  A  ->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
) )
119118imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  l  e.  A )  ->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
12038, 119syldan 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  Fun  `' ( k  e. 
[_ l  /  j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
)
12155snid 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  l  e. 
{ l }
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  l  e.  { l } )
123122, 46jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  ( l  e.  { l }  /\  k  e.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
124 opelxp 4883 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
l ,  k >.  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )  <->  ( l  e.  { l }  /\  k  e.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
125123, 124sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  <. l ,  k >.  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
12666, 67, 62, 76, 43, 120, 60, 125esumc 28880 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C  = Σ* z  e. 
{ t  |  E. k  e.  [_  l  / 
j ]_ B t  = 
<. l ,  k >. } F )
127 nfab1 2582 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t { t  |  E. k  e.  [_  l  / 
j ]_ B t  = 
<. l ,  k >. }
128 nfcv 2580 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )
129 opeq1 4187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  l  ->  <. i ,  k >.  =  <. l ,  k >. )
130129eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  l  ->  (
t  =  <. i ,  k >.  <->  t  =  <. l ,  k >.
) )
131130rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  l  ->  ( E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B
t  =  <. i ,  k >.  <->  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. )
)
13255, 131rexsn 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  { l } E. k  e. 
[_  l  /  j ]_ B t  =  <. i ,  k >.  <->  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. )
133 elxp2 4871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
)  <->  E. i  e.  {
l } E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. i ,  k >. )
134 abid 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  { t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B
t  =  <. l ,  k >. }  <->  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. )
135132, 133, 1343bitr4ri 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  { t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B
t  =  <. l ,  k >. }  <->  t  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
136127, 128, 135eqri 28146 . . . . . . . . 9  |-  { t  |  E. k  e. 
[_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. }  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )
137 esumeq1 28863 . . . . . . . . 9  |-  ( { t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. }  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )  -> Σ* z  e.  {
t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. } F  = Σ* z  e.  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F )
138136, 137ax-mp 5 . . . . . . . 8  |- Σ* z  e.  {
t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. } F  = Σ* z  e.  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F
139126, 138syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C  = Σ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F )
14065, 139eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F )
141140adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  {
l }Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F )
14228, 141oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  ->  (Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C +eΣ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C )  =  (Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F ) )
143 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ j ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )
144 nfcv 2580 . . . . . 6  |-  F/_ j
b
145 nfcv 2580 . . . . . 6  |-  F/_ j { l }
146 vex 3083 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
147146a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  e.  _V )
148 snex 4662 . . . . . . 7  |-  { l }  e.  _V
149148a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  { l }  e.  _V )
15036eldifbd 3449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  -.  l  e.  b
)
151 disjsn 4060 . . . . . . 7  |-  ( ( b  i^i  { l } )  =  (/)  <->  -.  l  e.  b )
152150, 151sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( b  i^i  {
l } )  =  (/) )
153 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  ph )
154 simprl 762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  C_  A )
155154sselda 3464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  A )
15647anassrs 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
157156ralrimiva 2836 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
158 nfcv 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k B
159158esumcl 28859 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  W  /\  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16039, 157, 159syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
161153, 155, 160syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
162 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  {
l } )  ->  ph )
16355snss 4124 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  A  <->  { l }  C_  A )
16438, 163sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  { l }  C_  A )
165164sselda 3464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  {
l } )  -> 
j  e.  A )
166162, 165, 160syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  {
l } )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
167143, 144, 145, 147, 149, 152, 161, 166esumsplit 28882 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* j  e.  ( b  u.  {
l } )Σ* k  e.  B C  =  (Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C +eΣ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C ) )
168167adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  ( b  u.  { l } )Σ* k  e.  B C  =  (Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C +eΣ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C ) )
169 iunxun 4384 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u. 
U_ j  e.  {
l }  ( { j }  X.  B
) )
170145, 29nfxp 4880 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )
171 sneq 4008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  { j }  =  { l } )
172171, 32xpeq12d 4878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( { j }  X.  B )  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
173170, 172iunxsngf 28174 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  _V  ->  U_ j  e.  { l }  ( { j }  X.  B )  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
17455, 173ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  { l }  ( { j }  X.  B )  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )
175174uneq2i 3617 . . . . . . . 8  |-  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  U_ j  e.  { l }  ( { j }  X.  B ) )  =  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
176169, 175eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
177 esumeq1 28863 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B )  =  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) ) F )
178176, 177ax-mp 5 . . . . . 6  |- Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) ) F
179 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )
180 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ z U_ j  e.  b 
( { j }  X.  B )
181 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ z
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )
182 snex 4662 . . . . . . . . . 10  |-  { j }  e.  _V
183155, 40syldan 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  B  e.  W )
184 xpexg 6607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  B  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  B
)  e.  _V )
185182, 183, 184sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  ( {
j }  X.  B
)  e.  _V )
186185ralrimiva 2836 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. j  e.  b 
( { j }  X.  B )  e. 
_V )
187 iunexg 6783 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  _V  /\  A. j  e.  b  ( { j }  X.  B )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  e. 
_V )
188147, 186, 187syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  U_ j  e.  b 
( { j }  X.  B )  e. 
_V )
189 xpexg 6607 . . . . . . . 8  |-  ( ( { l }  e.  _V  /\  [_ l  / 
j ]_ B  e.  W
)  ->  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
)  e.  _V )
190148, 43, 189sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )  e. 
_V )
191 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  b )
192150adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  -.  l  e.  b )
193 nelne2 2750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  b  /\  -.  l  e.  b
)  ->  j  =/=  l )
194191, 192, 193syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  j  =/=  l )
195 disjsn2 4061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =/=  l  ->  ( { j }  i^i  { l } )  =  (/) )
196 xpdisj1 5277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { j }  i^i  { l } )  =  (/)  ->  ( ( { j }  X.  B
)  i^i  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
197194, 195, 1963syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  ( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  =  (/) )
198197ralrimiva 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. j  e.  b 
( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
199 iuneq2 4316 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  b  (
( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) )  =  (/)  ->  U_ j  e.  b  ( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  = 
U_ j  e.  b  (/) )
200198, 199syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  U_ j  e.  b 
( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  =  U_ j  e.  b  (/) )
201170iunin1f 28173 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  b  ( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  =  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )
202 iun0 4355 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  b  (/)  =  (/)
203200, 201, 2023eqtr3g 2486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) )  =  (/) )
204 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) )  ->  ph )
205 iunss1 4311 . . . . . . . . . 10  |-  ( b 
C_  A  ->  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
)  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
206154, 205syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  U_ j  e.  b 
( { j }  X.  B )  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
207206sselda 3464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) )  -> 
z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
208 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
ph
209 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
z
210 nfiu1 4329 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
211209, 210nfel 2593 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)
212208, 211nfan 1988 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
213 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )
214 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
21566, 214nfel 2593 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  F  e.  ( 0 [,] +oo )
21675adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  F  =  C )
217 simp-5l 776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  ph )
218 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  j  e.  A )
219 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  k  e.  B )
220217, 218, 219, 47syl12anc 1262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
221216, 220eqeltrd 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
222 elsnxp 5397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  A  ->  (
z  e.  ( { j }  X.  B
)  <->  E. k  e.  B  z  =  <. j ,  k >. ) )
223222biimpa 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  A  /\  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )  ->  E. k  e.  B  z  =  <. j ,  k >.
)
224223adantll 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  E. k  e.  B  z  =  <. j ,  k >. )
225213, 215, 221, 224r19.29af2 2963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo )
)
226 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  -> 
z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
227 eliun 4304 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  A  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
228226, 227sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  E. j  e.  A  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
229212, 225, 228r19.29af 2965 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
230204, 207, 229syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
231 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  ->  ph )
232 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j A
233 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
l
234232, 233, 170, 172ssiun2sf 28176 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  A  ->  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )  C_  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
23538, 234syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
236235sselda 3464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  -> 
z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
237231, 236, 229syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
238179, 180, 181, 188, 190, 203, 230, 237esumsplit 28882 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* z  e.  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) ) F  =  (Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F ) )
239178, 238syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) F  =  (Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F ) )
240239adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B ) F  =  (Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F ) )
241142, 168, 2403eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  ( b  u.  { l } )Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B ) F )
242241ex 435 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
(Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F  -> Σ* j  e.  ( b  u.  { l } )Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B ) F ) )
243 esum2dlem.e . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2445, 10, 15, 20, 27, 242, 243findcard2d 7822 1  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2407   F/_wnfc 2566    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   E!wreu 2773   _Vcvv 3080   [.wsbc 3299   [_csb 3395    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   <.cop 4004   U_ciun 4299    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   Fun wfun 5595   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   Fincfn 7580   0cc0 9546   +oocpnf 9679   +ecxad 11414   [,]cicc 11645  Σ*cesum 28856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-ordt 15398  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-ps 16445  df-tsr 16446  df-plusf 16486  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-subrg 18005  df-abv 18044  df-lmod 18092  df-scaf 18093  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-tmd 21085  df-tgp 21086  df-tsms 21139  df-trg 21172  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-nm 21595  df-ngp 21596  df-nrg 21598  df-nlm 21599  df-ii 21907  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-esum 28857
This theorem is referenced by:  esum2d  28922
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