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Theorem esum2dlem 28964
Description: Lemma for esum2d 28965 (finite case). (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esum2d.0  |-  F/_ k F
esum2d.1  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  F  =  C )
esum2d.2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esum2d.3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
esum2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
esum2dlem.e  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
esum2dlem  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) F )
Distinct variable groups:    j, k, A, z    z, C    B, k, z    j, F    j, W, k    ph, j, k, z
Allowed substitution hints:    B( j)    C( j, k)    F( z, k)    V( z, j, k)    W( z)

Proof of Theorem esum2dlem
Dummy variables  i 
l  t  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumeq1 28906 . . 3  |-  ( a  =  (/)  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C )
2 nfv 1772 . . . 4  |-  F/ z  a  =  (/)
3 iuneq1 4306 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) )
42, 3esumeq1d 28907 . . 3  |-  ( a  =  (/)  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F )
51, 4eqeq12d 2477 . 2  |-  ( a  =  (/)  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  <-> Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F ) )
6 esumeq1 28906 . . 3  |-  ( a  =  b  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C )
7 nfv 1772 . . . 4  |-  F/ z  a  =  b
8 iuneq1 4306 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
) )
97, 8esumeq1d 28907 . . 3  |-  ( a  =  b  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )
106, 9eqeq12d 2477 . 2  |-  ( a  =  b  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  <-> Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F ) )
11 esumeq1 28906 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  ( b  u.  {
l } )Σ* k  e.  B C )
12 nfv 1772 . . . 4  |-  F/ z  a  =  ( b  u.  { l } )
13 iuneq1 4306 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  ->  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B )  = 
U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) )
1412, 13esumeq1d 28907 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) F )
1511, 14eqeq12d 2477 . 2  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ l } )  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  <-> Σ* j  e.  ( b  u.  {
l } )Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) F ) )
16 esumeq1 28906 . . 3  |-  ( a  =  A  -> Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C )
17 nfv 1772 . . . 4  |-  F/ z  a  =  A
18 iuneq1 4306 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
)  =  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
1917, 18esumeq1d 28907 . . 3  |-  ( a  =  A  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) F )
2016, 19eqeq12d 2477 . 2  |-  ( a  =  A  ->  (Σ* j  e.  aΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  a  ( {
j }  X.  B
) F  <-> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) F ) )
21 esumnul 28920 . . . 4  |- Σ* z  e.  (/) F  =  0
22 0iun 4349 . . . . 5  |-  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B )  =  (/)
23 esumeq1 28906 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
)  =  (/)  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
) F  = Σ* z  e.  (/) F )
2422, 23ax-mp 5 . . . 4  |- Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B
) F  = Σ* z  e.  (/) F
25 esumnul 28920 . . . 4  |- Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  =  0
2621, 24, 253eqtr4ri 2495 . . 3  |- Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F
2726a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  (/)Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  (/)  ( { j }  X.  B ) F )
28 simpr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )
29 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j [_ l  /  j ]_ B
30 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j [_ l  /  j ]_ C
3129, 30nfesum2 28913 . . . . . . . 8  |-  F/_ jΣ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C
32 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  l  ->  B  =  [_ l  /  j ]_ B )
33 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  l  ->  C  =  [_ l  /  j ]_ C )
3432, 33esumeq12d 28905 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  l  -> Σ* k  e.  B C  = Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C )
3534adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  =  l )  -> Σ* k  e.  B C  = Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C )
36 simprr 771 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
l  e.  ( A 
\  b ) )
37 difss 3572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  b )  C_  A
3837, 36sseldi 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
l  e.  A )
39 esum2d.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  B  e.  W )
4039adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  A
)  ->  B  e.  W )
4140ralrimiva 2814 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. j  e.  A  B  e.  W )
42 rspcsbela 3807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( l  e.  A  /\  A. j  e.  A  B  e.  W )  ->  [_ l  /  j ]_ B  e.  W )
4338, 41, 42syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  [_ l  /  j ]_ B  e.  W
)
44 simpll 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  ph )
4538adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  l  e.  A )
46 simpr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  k  e.  [_ l  /  j ]_ B )
47 esum2d.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4847ex 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
4948sbcimdv 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( [. l  / 
j ]. ( j  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  [. l  /  j ]. C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
50 sbcan 3322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. l  /  j ]. (
j  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  (
[. l  /  j ]. j  e.  A  /\  [. l  /  j ]. k  e.  B
) )
51 sbcel1v 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. l  /  j ]. j  e.  A  <->  l  e.  A
)
52 sbcel2 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. l  /  j ]. k  e.  B  <->  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)
5351, 52anbi12i 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[. l  /  j ]. j  e.  A  /\  [. l  /  j ]. k  e.  B
)  <->  ( l  e.  A  /\  k  e. 
[_ l  /  j ]_ B ) )
5450, 53bitri 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. l  /  j ]. (
j  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( l  e.  A  /\  k  e.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
55 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  l  e. 
_V
56 sbcel1g 3788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  j ]. C  e.  (
0 [,] +oo )  <->  [_ l  /  j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. l  /  j ]. C  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<-> 
[_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
5849, 54, 573imtr3g 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( l  e.  A  /\  k  e. 
[_ l  /  j ]_ B )  ->  [_ l  /  j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo ) ) )
5958imp 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( l  e.  A  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B ) )  ->  [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
6044, 45, 46, 59syl12anc 1274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  [_ l  / 
j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6160ralrimiva 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. k  e.  [_  l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
62 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ l  /  j ]_ B
6362esumcl 28902 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ l  /  j ]_ B  e.  W  /\  A. k  e.  [_  l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  /  j ]_ C  e.  (
0 [,] +oo )
)
6443, 61, 63syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6531, 35, 36, 64esumsnf 28936 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C  = Σ* k  e. 
[_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C )
66 esum2d.0 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k F
67 nfv 1772 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )
68 nfv 1772 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  z  =  <. l ,  k >.
6930nfeq2 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j  F  =  [_ l  /  j ]_ C
7068, 69nfim 2014 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( z  =  <. l ,  k >.  ->  F  =  [_ l  /  j ]_ C )
71 opeq1 4180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  <. j ,  k >.  =  <. l ,  k >. )
7271eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  (
z  =  <. j ,  k >.  <->  z  =  <. l ,  k >.
) )
7333eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( F  =  C  <->  F  =  [_ l  /  j ]_ C ) )
7472, 73imbi12d 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  l  ->  (
( z  =  <. j ,  k >.  ->  F  =  C )  <->  ( z  =  <. l ,  k
>.  ->  F  =  [_ l  /  j ]_ C
) ) )
75 esum2d.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. j ,  k
>.  ->  F  =  C )
7670, 74, 75chvar 2117 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. l ,  k
>.  ->  F  =  [_ l  /  j ]_ C
)
77 ssnid 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  j  e. 
{ j }
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  j  e.  { j } )
79 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
8078, 79jca 539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  (
j  e.  { j }  /\  k  e.  B ) )
81 opelxp 4886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  ( { j }  X.  B )  <->  ( j  e.  { j }  /\  k  e.  B )
)
8280, 81sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( { j }  X.  B ) )
83 xp2nd 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  B )
8483adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  B )
85 eqop 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( z  = 
<. j ,  k >.  <->  ( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  =  k ) ) )
86 xp1st 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { j } )
87 fvex 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1st `  z )  e.  _V
8887elsnc 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { j }  <-> 
( 1st `  z
)  =  j )
8986, 88sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( 1st `  z
)  =  j )
9089biantrurd 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( ( 2nd `  z )  =  k  <-> 
( ( 1st `  z
)  =  j  /\  ( 2nd `  z )  =  k ) ) )
9185, 90bitr4d 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( z  = 
<. j ,  k >.  <->  ( 2nd `  z )  =  k ) )
92 eqcom 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2nd `  z )  =  k  <->  k  =  ( 2nd `  z ) )
9391, 92syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( { j }  X.  B )  ->  ( z  = 
<. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z
) ) )
9493ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  ->  ( z  =  <. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z ) ) )
9594ralrimiva 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( z  =  <. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z ) ) )
96 reu6i 3241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2nd `  z
)  e.  B  /\  A. k  e.  B  ( z  =  <. j ,  k >.  <->  k  =  ( 2nd `  z ) ) )  ->  E! k  e.  B  z  =  <. j ,  k
>. )
9784, 95, 96syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  E! k  e.  B  z  =  <. j ,  k >. )
9882, 97f1mptrn 28285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  Fun  `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
) )
9998ex 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A  ->  Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )
) )
10099sbcimdv 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( [. l  / 
j ]. j  e.  A  ->  [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )
) )
101 sbcfung 5628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )  <->  Fun  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k
>. ) ) )
102 csbcnv 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  `' [_ l  /  j ]_ (
k  e.  B  |->  <.
j ,  k >.
)  =  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  _V  ->  `' [_ l  /  j ]_ ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  =  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
) )
104 csbmpt12 4752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ (
k  e.  B  |->  <.
j ,  k >.
)  =  ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  [_ l  /  j ]_ <. j ,  k >. )
)
105 csbopg 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ <. j ,  k >.  =  <. [_ l  /  j ]_ j ,  [_ l  / 
j ]_ k >. )
106 csbvarg 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ j  =  l )
107 csbconstg 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ k  =  k )
108106, 107opeq12d 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( l  e.  _V  ->  <. [_ l  /  j ]_ j ,  [_ l  /  j ]_ k >.  =  <. l ,  k >. )
109105, 108eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ <. j ,  k >.  =  <. l ,  k >. )
110109mpteq2dv 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( l  e.  _V  ->  (
k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
[_ l  /  j ]_ <. j ,  k
>. )  =  (
k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
111104, 110eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ (
k  e.  B  |->  <.
j ,  k >.
)  =  ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
)
112111cnveqd 5032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( l  e.  _V  ->  `' [_ l  /  j ]_ ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  =  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
113103, 112eqtr3d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  e.  _V  ->  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  =  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
114113funeqd 5626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  _V  ->  ( Fun  [_ l  /  j ]_ `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k
>. )  <->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
) )
115101, 114bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  _V  ->  ( [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )  <->  Fun  `' ( k  e. 
[_ l  /  j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
) )
11655, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |-> 
<. j ,  k >.
)  <->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
)
11751, 116imbi12i 332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. l  /  j ]. j  e.  A  ->  [. l  /  j ]. Fun  `' ( k  e.  B  |->  <. j ,  k >. )
)  <->  ( l  e.  A  ->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) ) )
118100, 117sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( l  e.  A  ->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  / 
j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
) )
119118imp 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  l  e.  A )  ->  Fun  `' ( k  e.  [_ l  /  j ]_ B  |-> 
<. l ,  k >.
) )
12038, 119syldan 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  Fun  `' ( k  e. 
[_ l  /  j ]_ B  |->  <. l ,  k >. )
)
12155snid 4008 . . . . . . . . . . . 12  |-  l  e. 
{ l }
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  l  e.  { l } )
123122, 46jca 539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  ( l  e.  { l }  /\  k  e.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
124 opelxp 4886 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
l ,  k >.  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )  <->  ( l  e.  { l }  /\  k  e.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
125123, 124sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  k  e.  [_ l  /  j ]_ B
)  ->  <. l ,  k >.  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
12666, 67, 62, 76, 43, 120, 60, 125esumc 28923 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C  = Σ* z  e. 
{ t  |  E. k  e.  [_  l  / 
j ]_ B t  = 
<. l ,  k >. } F )
127 nfab1 2605 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t { t  |  E. k  e.  [_  l  / 
j ]_ B t  = 
<. l ,  k >. }
128 nfcv 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )
129 opeq1 4180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  l  ->  <. i ,  k >.  =  <. l ,  k >. )
130129eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  l  ->  (
t  =  <. i ,  k >.  <->  t  =  <. l ,  k >.
) )
131130rexbidv 2913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  l  ->  ( E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B
t  =  <. i ,  k >.  <->  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. )
)
13255, 131rexsn 4023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  { l } E. k  e. 
[_  l  /  j ]_ B t  =  <. i ,  k >.  <->  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. )
133 elxp2 4874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
)  <->  E. i  e.  {
l } E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. i ,  k >. )
134 abid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  { t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B
t  =  <. l ,  k >. }  <->  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. )
135132, 133, 1343bitr4ri 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  { t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B
t  =  <. l ,  k >. }  <->  t  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
136127, 128, 135eqri 28203 . . . . . . . . 9  |-  { t  |  E. k  e. 
[_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. }  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )
137 esumeq1 28906 . . . . . . . . 9  |-  ( { t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. }  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )  -> Σ* z  e.  {
t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. } F  = Σ* z  e.  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F )
138136, 137ax-mp 5 . . . . . . . 8  |- Σ* z  e.  {
t  |  E. k  e.  [_  l  /  j ]_ B t  =  <. l ,  k >. } F  = Σ* z  e.  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F
139126, 138syl6eq 2512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* k  e.  [_ l  /  j ]_ B [_ l  / 
j ]_ C  = Σ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F )
14065, 139eqtrd 2496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F )
141140adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  {
l }Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F )
14228, 141oveq12d 6338 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  ->  (Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C +eΣ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C )  =  (Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) F ) )
143 nfv 1772 . . . . . 6  |-  F/ j ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )
144 nfcv 2603 . . . . . 6  |-  F/_ j
b
145 nfcv 2603 . . . . . 6  |-  F/_ j { l }
146 vex 3060 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
147146a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  e.  _V )
148 snex 4658 . . . . . . 7  |-  { l }  e.  _V
149148a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  { l }  e.  _V )
15036eldifbd 3429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  -.  l  e.  b
)
151 disjsn 4044 . . . . . . 7  |-  ( ( b  i^i  { l } )  =  (/)  <->  -.  l  e.  b )
152150, 151sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( b  i^i  {
l } )  =  (/) )
153 simpll 765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  ph )
154 simprl 769 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
b  C_  A )
155154sselda 3444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  A )
15647anassrs 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
157156ralrimiva 2814 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
158 nfcv 2603 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k B
159158esumcl 28902 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  W  /\  A. k  e.  B  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16039, 157, 159syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
161153, 155, 160syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
162 simpll 765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  {
l } )  ->  ph )
16355snss 4109 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  A  <->  { l }  C_  A )
16438, 163sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  { l }  C_  A )
165164sselda 3444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  {
l } )  -> 
j  e.  A )
166162, 165, 160syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  {
l } )  -> Σ* k  e.  B C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
167143, 144, 145, 147, 149, 152, 161, 166esumsplit 28925 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* j  e.  ( b  u.  {
l } )Σ* k  e.  B C  =  (Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C +eΣ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C ) )
168167adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  ( b  u.  { l } )Σ* k  e.  B C  =  (Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C +eΣ* j  e.  { l }Σ* k  e.  B C ) )
169 iunxun 4377 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u. 
U_ j  e.  {
l }  ( { j }  X.  B
) )
170145, 29nfxp 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )
171 sneq 3990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  { j }  =  { l } )
172171, 32xpeq12d 4881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  l  ->  ( { j }  X.  B )  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
173170, 172iunxsngf 28227 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  _V  ->  U_ j  e.  { l }  ( { j }  X.  B )  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
17455, 173ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  { l }  ( { j }  X.  B )  =  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )
175174uneq2i 3597 . . . . . . . 8  |-  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  U_ j  e.  { l }  ( { j }  X.  B ) )  =  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )
176169, 175eqtri 2484 . . . . . . 7  |-  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B )  =  (
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) )
177 esumeq1 28906 . . . . . . 7  |-  ( U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B )  =  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) ) F )
178176, 177ax-mp 5 . . . . . 6  |- Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B ) F  = Σ* z  e.  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) ) F
179 nfv 1772 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )
180 nfcv 2603 . . . . . . 7  |-  F/_ z U_ j  e.  b 
( { j }  X.  B )
181 nfcv 2603 . . . . . . 7  |-  F/_ z
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )
182 snex 4658 . . . . . . . . . 10  |-  { j }  e.  _V
183155, 40syldan 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  B  e.  W )
184 xpexg 6625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  B  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  B
)  e.  _V )
185182, 183, 184sylancr 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  ( {
j }  X.  B
)  e.  _V )
186185ralrimiva 2814 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. j  e.  b 
( { j }  X.  B )  e. 
_V )
187 iunexg 6801 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  _V  /\  A. j  e.  b  ( { j }  X.  B )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  e. 
_V )
188147, 186, 187syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  U_ j  e.  b 
( { j }  X.  B )  e. 
_V )
189 xpexg 6625 . . . . . . . 8  |-  ( ( { l }  e.  _V  /\  [_ l  / 
j ]_ B  e.  W
)  ->  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
)  e.  _V )
190148, 43, 189sylancr 674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )  e. 
_V )
191 simpr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  j  e.  b )
192150adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  -.  l  e.  b )
193 nelne2 2733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  b  /\  -.  l  e.  b
)  ->  j  =/=  l )
194191, 192, 193syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  j  =/=  l )
195 disjsn2 4045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =/=  l  ->  ( { j }  i^i  { l } )  =  (/) )
196 xpdisj1 5280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { j }  i^i  { l } )  =  (/)  ->  ( ( { j }  X.  B
)  i^i  ( {
l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
197194, 195, 1963syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  j  e.  b )  ->  ( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  =  (/) )
198197ralrimiva 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  A. j  e.  b 
( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  =  (/) )
199 iuneq2 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  b  (
( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) )  =  (/)  ->  U_ j  e.  b  ( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  = 
U_ j  e.  b  (/) )
200198, 199syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  U_ j  e.  b 
( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )  =  U_ j  e.  b  (/) )
201170iunin1f 28226 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  b  ( ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  =  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) )
202 iun0 4348 . . . . . . . 8  |-  U_ j  e.  b  (/)  =  (/)
203200, 201, 2023eqtr3g 2519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  i^i  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) )  =  (/) )
204 simpll 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) )  ->  ph )
205 iunss1 4304 . . . . . . . . . 10  |-  ( b 
C_  A  ->  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
)  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
206154, 205syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  ->  U_ j  e.  b 
( { j }  X.  B )  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
207206sselda 3444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) )  -> 
z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
208 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
ph
209 nfcv 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
z
210 nfiu1 4322 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )
211209, 210nfel 2615 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
)
212208, 211nfan 2022 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
213 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )
214 nfcv 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( 0 [,] +oo )
21566, 214nfel 2615 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  F  e.  ( 0 [,] +oo )
21675adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  F  =  C )
217 simp-5l 783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  ph )
218 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  j  e.  A )
219 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  k  e.  B )
220217, 218, 219, 47syl12anc 1274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
221216, 220eqeltrd 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  /\  k  e.  B )  /\  z  =  <. j ,  k >. )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
222 elsnxp 5401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  A  ->  (
z  e.  ( { j }  X.  B
)  <->  E. k  e.  B  z  =  <. j ,  k >. ) )
223222biimpa 491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  A  /\  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )  ->  E. k  e.  B  z  =  <. j ,  k >.
)
224223adantll 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  E. k  e.  B  z  =  <. j ,  k >. )
225213, 215, 221, 224r19.29af2 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  /\  j  e.  A )  /\  z  e.  ( { j }  X.  B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo )
)
226 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  -> 
z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
227 eliun 4297 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B )  <->  E. j  e.  A  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
228226, 227sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  E. j  e.  A  z  e.  ( {
j }  X.  B
) )
229212, 225, 228r19.29af 2942 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
230204, 207, 229syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
231 simpll 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  ->  ph )
232 nfcv 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j A
233 nfcv 2603 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j
l
234232, 233, 170, 172ssiun2sf 28229 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  e.  A  ->  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B )  C_  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
23538, 234syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B )  C_  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  B ) )
236235sselda 3444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  -> 
z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) )
237231, 236, 229syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  z  e.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B ) )  ->  F  e.  ( 0 [,] +oo ) )
238179, 180, 181, 188, 190, 203, 230, 237esumsplit 28925 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* z  e.  ( U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B )  u.  ( { l }  X.  [_ l  /  j ]_ B
) ) F  =  (Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F ) )
239178, 238syl5eq 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B
) F  =  (Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F ) )
240239adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  { l } ) ( { j }  X.  B ) F  =  (Σ* z  e.  U_ j  e.  b  ( {
j }  X.  B
) F +eΣ* z  e.  ( { l }  X.  [_ l  / 
j ]_ B ) F ) )
241142, 168, 2403eqtr4d 2506 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b ) ) )  /\ Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F )  -> Σ* j  e.  ( b  u.  { l } )Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B ) F )
242241ex 440 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  l  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
(Σ* j  e.  bΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e. 
U_ j  e.  b  ( { j }  X.  B ) F  -> Σ* j  e.  ( b  u.  { l } )Σ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  ( b  u.  {
l } ) ( { j }  X.  B ) F ) )
243 esum2dlem.e . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2445, 10, 15, 20, 27, 242, 243findcard2d 7844 1  |-  ( ph  -> Σ* j  e.  AΣ* k  e.  B C  = Σ* z  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  B
) F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   {cab 2448   F/_wnfc 2590    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   E!wreu 2751   _Vcvv 3057   [.wsbc 3279   [_csb 3375    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   <.cop 3986   U_ciun 4292    |-> cmpt 4477    X. cxp 4854   `'ccnv 4855   Fun wfun 5599   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   1stc1st 6823   2ndc2nd 6824   Fincfn 7600   0cc0 9570   +oocpnf 9703   +ecxad 11441   [,]cicc 11672  Σ*cesum 28899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ioc 11674  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-mod 12135  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13185  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-limsup 13581  df-clim 13607  df-rlim 13608  df-sum 13808  df-ef 14176  df-sin 14178  df-cos 14179  df-pi 14181  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-rest 15376  df-topn 15377  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-topgen 15397  df-pt 15398  df-prds 15401  df-ordt 15454  df-xrs 15455  df-qtop 15461  df-imas 15462  df-xps 15465  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-ps 16501  df-tsr 16502  df-plusf 16542  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-mhm 16637  df-submnd 16638  df-grp 16728  df-minusg 16729  df-sbg 16730  df-mulg 16731  df-subg 16869  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-abl 17488  df-mgp 17779  df-ur 17791  df-ring 17837  df-cring 17838  df-subrg 18061  df-abv 18100  df-lmod 18148  df-scaf 18149  df-sra 18450  df-rgmod 18451  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-cnfld 19026  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-topsp 19979  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-lp 20207  df-perf 20208  df-cn 20298  df-cnp 20299  df-haus 20386  df-tx 20632  df-hmeo 20825  df-fil 20916  df-fm 21008  df-flim 21009  df-flf 21010  df-tmd 21142  df-tgp 21143  df-tsms 21196  df-trg 21229  df-xms 21390  df-ms 21391  df-tms 21392  df-nm 21652  df-ngp 21653  df-nrg 21655  df-nlm 21656  df-ii 21964  df-cncf 21965  df-limc 22877  df-dv 22878  df-log 23562  df-esum 28900
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