Theorem esum2d 28916

Description: Write a double extended sum as a sum over a two-dimensional region. Note that B ( j ) is a function of j. This can be seen as "slicing" the relation A. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esum2d.0	|- F/_ k F
esum2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> F = C )
esum2d.2	|- ( ph -> A e. V )
esum2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
esum2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
esum2d	|- ( ph -> Σ* j e. AΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )

Distinct variable groups:   j, k, A, z   z, C   B, k, z   j, F   j, W, k   ph, j, k, z

Allowed substitution hints:   B( j)   C( j, k)   F( z, k)   V( z, j, k)   W( z)

Proof of Theorem esum2d

Dummy variables t a c r s u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11442	. . . 4 |- < Or RR*
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> < Or RR* )
3		nfv 1752	. . . . . . . . 9 |- F/ c ph
4		nfcv 2585	. . . . . . . . . 10 |- F/_ c s
5		nfmpt1 4511	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ c ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
6	5	nfrn 5094	. . . . . . . . . 10 |- F/_ c ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
7	4, 6	nfel 2598	. . . . . . . . 9 |- F/ c s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
8	3, 7	nfan 1985	. . . . . . . 8 |- F/ c ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
9		iccssxr 11719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
10		xrge0base 28448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
11		xrge0cmn 19003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd )
13		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
14	13	elin2d 28147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. Fin )
15		simpll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> ph )
16	13	elin1d 28146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) )
17	16	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> c e. ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) )
18		vex 3085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- c e. _V
19	18	elpw 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c e. ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
20	17, 19	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
21		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> z e. c )
22	20, 21	sseldd 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
23		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ j ph
24		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ j z
25		nfiu1 4327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. B )
26	24, 25	nfel 2598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ j z e. U_ j e. A ( { j } X. B )
27	23, 26	nfan 1985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ j ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
28		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ k ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) )
29		esum2d.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k F
30		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k ( 0 [,] +oo )
31	29, 30	nfel 2598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ k F e. ( 0 [,] +oo )
32		esum2d.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = <. j , k >. -> F = C )
33	32	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> F = C )
34		simp-5l 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> ph )
35		simp-4r 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> j e. A )
36		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> k e. B )
37		esum2d.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
38	34, 35, 36, 37	syl12anc 1263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
39	33, 38	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. B ) /\ z = <. j , k >. ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
40		elsnxp 5395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. A -> ( z e. ( { j } X. B ) <-> E. k e. B z = <. j , k >. ) )
41	40	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. A /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> E. k e. B z = <. j , k >. )
42	41	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> E. k e. B z = <. j , k >. )
43	28, 31, 39, 42	r19.29af2 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
44		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
45		eliun 4302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> E. j e. A z e. ( { j } X. B ) )
46	44, 45	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> E. j e. A z e. ( { j } X. B ) )
47	27, 43, 46	r19.29af 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
48	15, 22, 47	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
49	48	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> A. z e. c F e. ( 0 [,] +oo ) )
50	10, 12, 14, 49	gsummptcl 17592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
51	9, 50	sseldi 3463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. RR* )
52	51	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. RR* )
53		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) = ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
54	53	rnmptss 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. RR* -> ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) C_ RR* )
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) C_ RR* )
56	55	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) C_ RR* )
57		simpllr 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
58	56, 57	sseldd 3466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s e. RR* )
59		esum2d.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. V )
60		snex 4660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { j } e. _V
61		esum2d.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
62		xpexg 6605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { j } e. _V /\ B e. W ) -> ( { j } X. B ) e. _V )
63	60, 61, 62	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( { j } X. B ) e. _V )
64	63	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
65		iunexg 6781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A ( { j } X. B ) e. _V ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
66	59, 64, 65	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
67	47	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. ( 0 [,] +oo ) )
68		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z U_ j e. A ( { j } X. B )
69	68	esumcl 28853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V /\ A. z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. ( 0 [,] +oo ) )
70	66, 67, 69	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. ( 0 [,] +oo ) )
71	9, 70	sseldi 3463	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* )
72	71	ad3antrrr 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* )
73		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
74		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
75		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z c
76	74, 75, 14, 48	esumgsum 28868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* z e. c F = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
77	66	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
78	47	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
79	16, 19	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
80	74, 77, 78, 79	esummono 28877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* z e. c F <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
81	76, 80	eqbrtrrd 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
82	81	adantlr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
83	82	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
84	73, 83	eqbrtrd 4442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
85		xrlenlt 9701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. RR* /\ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* ) -> ( s <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F <-> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s ) )
86	85	biimpa 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s e. RR* /\ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* ) /\ s <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s )
87	58, 72, 84, 86	syl21anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s )
88		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) -> s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
89		ovex 6331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. _V
90	53, 89	elrnmpti 5102	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) <-> E. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
91	88, 90	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) -> E. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
92	8, 87, 91	r19.29af 2969	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) -> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s )
93	92	ralrimiva 2840	. . . . . 6 |- ( ph -> A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s )
94		nfv 1752	. . . . . . . . 9 |- F/ c ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
95		nfv 1752	. . . . . . . . . 10 |- F/ c s < t
96	6, 95	nfrex 2889	. . . . . . . . 9 |- F/ c E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t
97	76	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* z e. c F = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
98	97	adantlr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> Σ* z e. c F = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
99	98	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> Σ* z e. c F = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
100		simplr 761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
101	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. _V )
102	53	elrnmpt1 5100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) /\ ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. _V ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
103	100, 101, 102	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
104	99, 103	eqeltrd 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> Σ* z e. c F e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
105		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) /\ t = Σ* z e. c F ) -> t = Σ* z e. c F )
106	105	breq2d 4433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) /\ t = Σ* z e. c F ) -> ( s < t <-> s < Σ* z e. c F ) )
107		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> s < Σ* z e. c F )
108	104, 106, 107	rspcedvd 3188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ s < Σ* z e. c F ) -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t )
109		nfv 1752	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ph /\ s e. RR* )
110		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z s
111		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z <
112	68	nfesum1 28863	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ zΣ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F
113	110, 111, 112	nfbr 4466	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F
114	109, 113	nfan 1985	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
115	66	ad2antrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
116	47	3ad2antr3 1173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
117	116	3anassrs 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
118		simplr 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> s e. RR* )
119		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
120	114, 115, 117, 118, 119	esumlub 28883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> E. c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) s < Σ* z e. c F )
121	94, 96, 108, 120	r19.29af2 2967	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t )
122	121	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR* ) -> ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) )
123	122	ralrimiva 2840	. . . . . 6 |- ( ph -> A. s e. RR* ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) )
124	93, 123	jca 535	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s /\ A. s e. RR* ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) )
125		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
126	125	breq1d 4431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( r < s <-> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s ) )
127	126	notbid 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( -. r < s <-> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s ) )
128	127	ralbidv 2865	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. r < s <-> A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s ) )
129	125	breq2d 4433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( s < r <-> s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) )
130	129	imbi1d 319	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( ( s < r -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) <-> ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) )
131	130	ralbidv 2865	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( A. s e. RR* ( s < r -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) <-> A. s e. RR* ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) )
132	128, 131	anbi12d 716	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F ) -> ( ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. r < s /\ A. s e. RR* ( s < r -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) <-> ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s /\ A. s e. RR* ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) ) )
133	71, 132	rspcedv 3187	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < s /\ A. s e. RR* ( s < Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) -> E. r e. RR* ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. r < s /\ A. s e. RR* ( s < r -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) ) )
134	124, 133	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. r e. RR* ( A. s e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -. r < s /\ A. s e. RR* ( s < r -> E. t e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) s < t ) ) )
135	2, 134	supcl 7976	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
136		nfv 1752	. . . . 5 |- F/ a ph
137		nfcv 2585	. . . . . 6 |- F/_ a s
138		nfmpt1 4511	. . . . . . 7 |- F/_ a ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
139	138	nfrn 5094	. . . . . 6 |- F/_ a ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
140	137, 139	nfel 2598	. . . . 5 |- F/ a s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
141	136, 140	nfan 1985	. . . 4 |- F/ a ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
142		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> a e. ( ~P A i^i Fin ) )
143		simpll 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ j e. a ) -> ph )
144	142	elin1d 28146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> a e. ~P A )
145		elpwi 3989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ~P A -> a C_ A )
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> a C_ A )
147	146	sselda 3465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ j e. a ) -> j e. A )
148	143, 147, 61	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ j e. a ) -> B e. W )
149	143	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( j e. a /\ k e. B ) ) -> ph )
150	147	adantrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( j e. a /\ k e. B ) ) -> j e. A )
151		simprr 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( j e. a /\ k e. B ) ) -> k e. B )
152	149, 150, 151, 37	syl12anc 1263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( j e. a /\ k e. B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
153	142	elin2d 28147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> a e. Fin )
154	29, 32, 142, 148, 152, 153	esum2dlem 28915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* j e. aΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F )
155		nfv 1752	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) )
156		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j a
157	37	anassrs 653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
158	157	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> A. k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
159		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k B
160	159	esumcl 28853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. W /\ A. k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
161	61, 158, 160	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
162	143, 147, 161	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ j e. a ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
163	155, 156, 153, 162	esumgsum 28868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* j e. aΣ* k e. B C = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
164	154, 163	eqtr3d 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
165		nfv 1752	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) )
166	66	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
167	47	adantlr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
168		iunss1 4309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a C_ A -> U_ j e. a ( { j } X. B ) C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
169	146, 168	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> U_ j e. a ( { j } X. B ) C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
170	165, 166, 167, 169	esummono 28877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* z e. U_ j e. a ( { j } X. B ) F <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
171	164, 170	eqbrtrrd 4444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F )
172	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd )
173	162	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A. j e. a Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
174	10, 172, 153, 173	gsummptcl 17592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
175	9, 174	sseldi 3463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) e. RR* )
176	71	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* )
177		xrlenlt 9701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) e. RR* /\ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F e. RR* ) -> ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F <-> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
178	175, 176, 177	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F <-> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
179	171, 178	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
180		nfv 1752	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ph
181		eqidd 2424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
182	180, 68, 66, 47, 181	esumval 28869	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F = sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
183	182	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F = sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
184	183	breq1d 4431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) F < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) <-> sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
185	179, 184	mtbid 302	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
186	185	adantlr 720	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
187	186	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
188		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
189	188	breq2d 4433	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> ( sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < s <-> sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
190	189	notbid 296	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> ( -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < s <-> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
191	187, 190	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) /\ a e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < s )
192		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) = ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
193		ovex 6331	. . . . . . 7 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) e. _V
194	192, 193	elrnmpti 5102	. . . . . 6 |- ( s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) <-> E. a e. ( ~P A i^i Fin ) s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
195	194	biimpi 198	. . . . 5 |- ( s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> E. a e. ( ~P A i^i Fin ) s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
196	195	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) -> E. a e. ( ~P A i^i Fin ) s = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) )
197	141, 191, 196	r19.29af 2969	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) ) -> -. sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) < s )
198	4	nfel1 2601	. . . . . . . . 9 |- F/ c s e. RR*
199		nfcv 2585	. . . . . . . . . 10 |- F/_ c <
200		nfcv 2585	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ c RR*
201	6, 200, 199	nfsup 7969	. . . . . . . . . 10 |- F/_ c sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < )
202	4, 199, 201	nfbr 4466	. . . . . . . . 9 |- F/ c s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < )
203	198, 202	nfan 1985	. . . . . . . 8 |- F/ c ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
204	3, 203	nfan 1985	. . . . . . 7 |- F/ c ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) )
205		nfcv 2585	. . . . . . . 8 |- F/_ c u
206	205, 6	nfel 2598	. . . . . . 7 |- F/ c u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
207	204, 206	nfan 1985	. . . . . 6 |- F/ c ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) )
208		nfv 1752	. . . . . 6 |- F/ c s < u
209	207, 208	nfan 1985	. . . . 5 |- F/ c ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u )
210		simp-5l 777	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> ph )
211		simpr1l 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ ( s < u /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) ) -> s e. RR* )
212	211	3anassrs 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ ( s < u /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) -> s e. RR* )
213	212	3anassrs 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s e. RR* )
214	210, 213	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> ( ph /\ s e. RR* ) )
215		simpr1r 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ ( s < u /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) ) -> s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
216	215	3anassrs 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ ( s < u /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) -> s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
217	216	3anassrs 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) )
218	214, 217	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) )
219		simpllr 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s < u )
220		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
221	219, 220	breqtrd 4446	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
222		simplr 761	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. RR* /\ s < sup ( ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) , RR* , < ) ) ) /\ u e. ran ( c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) ) /\ s < u ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ u = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) -> c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
223		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
224	223	elin1d 28146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) )
225		elpwi 3989	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) -> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
226		dmss 5051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> dom c C_ dom U_ j e. A ( { j } X. B ) )
227		dmiun 5060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom U_ j e. A ( { j } X. B ) = U_ j e. A dom ( { j } X. B )
228	226, 227	syl6sseq 3511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> dom c C_ U_ j e. A dom ( { j } X. B ) )
229		dmxpss 5285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom ( { j } X. B ) C_ { j }
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. A -> dom ( { j } X. B ) C_ { j } )
231		snssi 4142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. A -> { j } C_ A )
232	230, 231	sstrd 3475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. A -> dom ( { j } X. B ) C_ A )
233	232	rgen 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A. j e. A dom ( { j } X. B ) C_ A
234		iunss 4338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ j e. A dom ( { j } X. B ) C_ A <-> A. j e. A dom ( { j } X. B ) C_ A )
235	233, 234	mpbir 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ j e. A dom ( { j } X. B ) C_ A
236	228, 235	syl6ss 3477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> dom c C_ A )
237	18	dmex 6738	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom c e. _V
238	237	elpw 3986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom c e. ~P A <-> dom c C_ A )
239	236, 238	sylibr 216	. . . . . . . . . . 11 |- ( c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) -> dom c e. ~P A )
240	224, 225, 239	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> dom c e. ~P A )
241	223	elin2d 28147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c e. Fin )
242		dmfi 7858	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. Fin -> dom c e. Fin )
243	241, 242	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> dom c e. Fin )
244	240, 243	elind 3651	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> dom c e. ( ~P A i^i Fin ) )
245		ovex 6331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. _V
246	245	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. _V )
247		mpteq1 4502	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = dom c -> ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) = ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) )
248	247	oveq2d 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( a = dom c -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) )
249	192, 248	elrnmpt1s 5099	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom c e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. _V ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
250	244, 246, 249	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) e. ran ( a e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. a |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
251		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ t = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> t = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) )
252	251	breq2d 4433	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ t = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) ) -> ( s < t <-> s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( j e. dom c |-> Σ* k e. B C ) ) ) )
253		simpllr 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> s e. RR* )
254	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd )
255		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
256		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z gsumg
257		nfmpt1 4511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ z ( z e. c |-> F )
258	255, 256, 257	nfov 6329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ z ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) )
259	110, 111, 258	nfbr 4466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) )
260	109, 259	nfan 1985	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
261		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin )
262	260, 261	nfan 1985	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
263		simp-4l 775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> ph )
264	224, 225	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> c C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
265	264	sselda 3465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
266	263, 265, 47	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ z e. c ) -> F e. ( 0 [,] +oo ) )
267	266	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( z e. c -> F e. ( 0 [,] +oo ) ) )
268	262, 267	ralrimi 2826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> A. z e. c F e. ( 0 [,] +oo ) )
269	10, 254, 241, 268	gsummptcl 17592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
270	9, 269	sseldi 3463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) e. RR* )
271		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) )
272		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j c
273	25	nfpw 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j ~P U_ j e. A ( { j } X. B )
274		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ j Fin
275	273, 274	nfin 3670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin )
276	272, 275	nfel 2598	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin )
277	271, 276	nfan 1985	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( z e. c |-> F ) ) ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) )
278		simpll 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> ph )
279	79, 236	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) -> dom c C_ A )
280	279	sselda 3465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> j e. A )
281	278, 280, 161	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
282	281	adantllr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ c e. ( ~P U_ j e. A ( { j } X. B ) i^i Fin ) ) /\ j e. dom c ) -> Σ* k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
283	282	adantllr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ s e. RR* ) /\ s < ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg (