Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum0 Structured version   Unicode version

Theorem esum0 27885
Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esum0.k  |-  F/_ k A
Assertion
Ref Expression
esum0  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  0 )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem esum0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum0.k . . . 4  |-  F/_ k A
21nfel1 2645 . . 3  |-  F/ k  A  e.  V
3 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
4 0e0iccpnf 11643 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6 xrge0cmn 18330 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
7 cmnmnd 16686 . . . . . 6  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
9 vex 3121 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
10 xrge00 27498 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
1110gsumz 15877 . . . . 5  |-  ( ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd  /\  x  e.  _V )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0 )
128, 9, 11mp2an 672 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0 )
142, 1, 3, 5, 13esumval 27882 . 2  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  ) )
15 fconstmpt 5049 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )
1615eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )
17 0xr 9652 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
1817rgenw 2828 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  e.  RR*
19 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )
2019fnmpt 5713 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin ) )
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin )
22 0elpw 4622 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ~P A
23 0fin 7759 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
24 elin 3692 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
2522, 23, 24mpbir2an 918 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
26 ne0i 3796 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/)
28 fconst5 6129 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  {
0 } )  <->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } ) )
2921, 27, 28mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } )
3016, 29mpbi 208 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 }
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 } )
3231supeq1d 7918 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
33 xrltso 11359 . . . 4  |-  <  Or  RR*
34 supsn 7942 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
3533, 17, 34mp2an 672 . . 3  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
3632, 35syl6eq 2524 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
3714, 36eqtrd 2508 1  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118    i^i cin 3480   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033    |-> cmpt 4511    Or wor 4805    X. cxp 5003   ran crn 5006    Fn wfn 5589  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   supcsup 7912   0cc0 9504   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    < clt 9640   [,]cicc 11544   ↾s cress 14508    gsumg cgsu 14713   RR*scxrs 14772   Mndcmnd 15793  CMndccmn 16671  Σ*cesum 27865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-xadd 11331  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-ordt 14773  df-xrs 14774  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-ps 15704  df-tsr 15705  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-ntr 19389  df-nei 19467  df-cn 19596  df-haus 19684  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-tsms 20493  df-esum 27866
This theorem is referenced by:  measvunilem0  28009  ddemeas  28033
  Copyright terms: Public domain W3C validator