Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem esum0 28918
Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esum0.k  |-  F/_ k A
Assertion
Ref Expression
esum0  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  0 )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem esum0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum0.k . . . 4  |-  F/_ k A
21nfel1 2616 . . 3  |-  F/ k  A  e.  V
3 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
4 0e0iccpnf 11771 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6 xrge0cmn 19058 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
7 cmnmnd 17493 . . . . . 6  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
9 vex 3059 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
10 xrge00 28496 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
1110gsumz 16669 . . . . 5  |-  ( ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd  /\  x  e.  _V )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0 )
128, 9, 11mp2an 683 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0 )
142, 1, 3, 5, 13esumval 28915 . 2  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  ) )
15 fconstmpt 4896 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )
1615eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )
17 0xr 9712 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
1817rgenw 2760 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  e.  RR*
19 eqid 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )
2019fnmpt 5725 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin ) )
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin )
22 0elpw 4585 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ~P A
23 0fin 7824 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
24 elin 3628 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
2522, 23, 24mpbir2an 936 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
2625ne0ii 3749 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/)
27 fconst5 6145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  {
0 } )  <->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } ) )
2821, 26, 27mp2an 683 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } )
2916, 28mpbi 213 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 }
3029a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 } )
3130supeq1d 7985 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
32 xrltso 11468 . . . 4  |-  <  Or  RR*
33 supsn 8013 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
3432, 17, 33mp2an 683 . . 3  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
3531, 34syl6eq 2511 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
3614, 35eqtrd 2495 1  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   F/_wnfc 2589    =/= wne 2632   A.wral 2748   _Vcvv 3056    i^i cin 3414   (/)c0 3742   ~Pcpw 3962   {csn 3979    |-> cmpt 4474    Or wor 4772    X. cxp 4850   ran crn 4853    Fn wfn 5595  (class class class)co 6314   Fincfn 7594   supcsup 7979   0cc0 9564   +oocpnf 9697   RR*cxr 9699    < clt 9700   [,]cicc 11666   ↾s cress 15170    gsumg cgsu 15387   RR*scxrs 15446   Mndcmnd 16583  CMndccmn 17478  Σ*cesum 28896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-xadd 11438  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-hash 12547  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-ordt 15447  df-xrs 15448  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-ps 16494  df-tsr 16495  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-ntr 20083  df-nei 20162  df-cn 20291  df-haus 20379  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-tsms 21189  df-esum 28897
This theorem is referenced by:  esumpad  28924  esumrnmpt2  28937  measvunilem0  29083  ddemeas  29107
  Copyright terms: Public domain W3C validator