Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esum0 Structured version   Unicode version

Theorem esum0 26503
Description: Extended sum of zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esum0.k  |-  F/_ k A
Assertion
Ref Expression
esum0  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  0 )
Distinct variable group:    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem esum0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum0.k . . . 4  |-  F/_ k A
21nfel1 2589 . . 3  |-  F/ k  A  e.  V
3 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
4 0e0iccpnf 11396 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6 xrge0cmn 17855 . . . . . 6  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd
7 cmnmnd 16292 . . . . . 6  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e. CMnd  ->  (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd
9 vex 2975 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
10 xrge00 26147 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g `  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) ) )
1110gsumz 15511 . . . . 5  |-  ( ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  e.  Mnd  /\  x  e.  _V )  ->  (
( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0 )
128, 9, 11mp2an 672 . . . 4  |-  ( (
RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )  gsumg  ( k  e.  x  |->  0 ) )  =  0 )
142, 1, 3, 5, 13esumval 26500 . 2  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  ) )
15 fconstmpt 4882 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )
1615eqcomi 2447 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )
17 0xr 9430 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
1817rgenw 2783 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  e.  RR*
19 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )
2019fnmpt 5537 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 0  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin ) )
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin )
22 0elpw 4461 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ~P A
23 0fin 7540 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  Fin
24 elin 3539 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P A  /\  (/)  e.  Fin )
)
2522, 23, 24mpbir2an 911 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
26 ne0i 3643 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/)
28 fconst5 5935 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  Fn  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  =/=  (/) )  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  {
0 } )  <->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } ) )
2921, 27, 28mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  ( ( ~P A  i^i  Fin )  X.  { 0 } )  <->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  { 0 } )
3016, 29mpbi 208 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 }
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 )  =  {
0 } )
3231supeq1d 7696 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
33 xrltso 11118 . . . 4  |-  <  Or  RR*
34 supsn 7719 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
3533, 17, 34mp2an 672 . . 3  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
3632, 35syl6eq 2491 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  0 ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
3714, 36eqtrd 2475 1  |-  ( A  e.  V  -> Σ* k  e.  A
0  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   F/_wnfc 2566    =/= wne 2606   A.wral 2715   _Vcvv 2972    i^i cin 3327   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877    e. cmpt 4350    Or wor 4640    X. cxp 4838   ran crn 4841    Fn wfn 5413  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   supcsup 7690   0cc0 9282   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418   [,]cicc 11303   ↾s cress 14175    gsumg cgsu 14379   RR*scxrs 14438   Mndcmnd 15409  CMndccmn 16277  Σ*cesum 26483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-xadd 11090  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-ordt 14439  df-xrs 14440  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-ps 15370  df-tsr 15371  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-ntr 18624  df-nei 18702  df-cn 18831  df-haus 18919  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-tsms 19697  df-esum 26484
This theorem is referenced by:  measvunilem0  26627  ddemeas  26652
  Copyright terms: Public domain W3C validator