Theorem ersym 5330

Description: An equivalence relation is symmetric.

Hypotheses

Ref	Expression
ersym.1	|- A e. _V
ersym.2	|- B e. _V
ersym.3	|- Er R

Assertion

Ref	Expression
ersym	|- (ARB -> BRA)

Proof of Theorem ersym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersym.1	. 2 |- A e. _V
2		ersym.2	. 2 |- B e. _V
3		breq12 3343	. . 3 |- ((x = A /\ y = B) -> (xRy <-> ARB))
4		breq12 3343	. . . 4 |- ((y = B /\ x = A) -> (yRx <-> BRA))
5	4	ancoms 484	. . 3 |- ((x = A /\ y = B) -> (yRx <-> BRA))
6	3, 5	imbi12d 688	. 2 |- ((x = A /\ y = B) -> ((xRy -> yRx) <-> (ARB -> BRA)))
7		ersym.3	. . . . . . 7 |- Er R
8		dfer2 5319	. . . . . . 7 |- (Er R <-> A.xA.yA.z((xRy -> yRx) /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
9	7, 8	mpbi 206	. . . . . 6 |- A.xA.yA.z((xRy -> yRx) /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz))
10	9	a4i 1328	. . . . 5 |- A.yA.z((xRy -> yRx) /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz))
11	10	a4i 1328	. . . 4 |- A.z((xRy -> yRx) /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz))
12	11	a4i 1328	. . 3 |- ((xRy -> yRx) /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz))
13	12	simpli 347	. 2 |- (xRy -> yRx)
14	1, 2, 6, 13	vtocl2 2340	1 |- (ARB -> BRA)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  Er wer 5315

This theorem is referenced by:  ersymb 5331  erth 5340  ensymg 5470

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-er 5318

Copyright terms: Public domain