Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngplus2-rN Structured version   Unicode version

Theorem erngplus2-rN 33811
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
erngset.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngset.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngset.d-r  |-  D  =  ( ( EDRingR `  K ) `  W
)
erng.p-r  |-  .+  =  ( +g  `  D )
Assertion
Ref Expression
erngplus2-rN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T ) )  -> 
( ( U  .+  V ) `  F
)  =  ( ( U `  F )  o.  ( V `  F ) ) )

Proof of Theorem erngplus2-rN
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h-r . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngset.t-r . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngset.e-r . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 erngset.d-r . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRingR `  K ) `  W
)
5 erng.p-r . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngplus-rN 33810 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U  .+  V
)  =  ( f  e.  T  |->  ( ( U `  f )  o.  ( V `  f ) ) ) )
763adantr3 1158 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T ) )  -> 
( U  .+  V
)  =  ( f  e.  T  |->  ( ( U `  f )  o.  ( V `  f ) ) ) )
8 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( U `  f )  =  ( U `  F ) )
9 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( V `  f )  =  ( V `  F ) )
108, 9coeq12d 4987 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( U `  f
)  o.  ( V `
 f ) )  =  ( ( U `
 F )  o.  ( V `  F
) ) )
1110adantl 464 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T )
)  /\  f  =  F )  ->  (
( U `  f
)  o.  ( V `
 f ) )  =  ( ( U `
 F )  o.  ( V `  F
) ) )
12 simpr3 1005 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T ) )  ->  F  e.  T )
13 fvex 5858 . . . 4  |-  ( U `
 F )  e. 
_V
14 fvex 5858 . . . 4  |-  ( V `
 F )  e. 
_V
1513, 14coex 6735 . . 3  |-  ( ( U `  F )  o.  ( V `  F ) )  e. 
_V
1615a1i 11 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T ) )  -> 
( ( U `  F )  o.  ( V `  F )
)  e.  _V )
177, 11, 12, 16fvmptd 5937 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  F  e.  T ) )  -> 
( ( U  .+  V ) `  F
)  =  ( ( U `  F )  o.  ( V `  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    |-> cmpt 4452    o. ccom 4826   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   +g cplusg 14907   HLchlt 32348   LHypclh 32981   LTrncltrn 33098   TEndoctendo 33751   EDRingRcedring-rN 33753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-edring-rN 33755
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator