Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngmul Structured version   Unicode version

Theorem erngmul 34813
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
erngset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngset.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erng.m  |-  .x.  =  ( .r `  D )
Assertion
Ref Expression
erngmul  |-  ( ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H
)  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U  .x.  V
)  =  ( U  o.  V ) )

Proof of Theorem erngmul
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngset.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 erngset.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 erng.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngfmul 34812 . . 3  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) )
76oveqd 6220 . 2  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  ( U  .x.  V
)  =  ( U ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t
) ) V ) )
8 coexg 6641 . . 3  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  ->  ( U  o.  V
)  e.  _V )
9 coeq1 5108 . . . 4  |-  ( s  =  U  ->  (
s  o.  t )  =  ( U  o.  t ) )
10 coeq2 5109 . . . 4  |-  ( t  =  V  ->  ( U  o.  t )  =  ( U  o.  V ) )
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) )  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) )
129, 10, 11ovmpt2g 6338 . . 3  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  ( U  o.  V
)  e.  _V )  ->  ( U ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) V )  =  ( U  o.  V ) )
138, 12mpd3an3 1316 . 2  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  ->  ( U ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) V )  =  ( U  o.  V ) )
147, 13sylan9eq 2515 1  |-  ( ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H
)  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U  .x.  V
)  =  ( U  o.  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    o. ccom 4955   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   .rcmulr 14362   LHypclh 33991   LTrncltrn 34108   TEndoctendo 34759   EDRingcedring 34760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-edring 34764
This theorem is referenced by:  erng1lem  34994  erngdvlem3  34997  erngdvlem4  34998  erng1r  35002
  Copyright terms: Public domain W3C validator