Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngmul Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem erngmul 34444
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
erngset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngset.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erng.m  |-  .x.  =  ( .r `  D )
Assertion
Ref Expression
erngmul  |-  ( ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H
)  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U  .x.  V
)  =  ( U  o.  V ) )

Proof of Theorem erngmul
Dummy variables  s 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngset.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 erngset.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 erng.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngfmul 34443 . . 3  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  .x.  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) )
76oveqd 6325 . 2  |-  ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H )  ->  ( U  .x.  V
)  =  ( U ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t
) ) V ) )
8 coexg 6763 . . 3  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  ->  ( U  o.  V
)  e.  _V )
9 coeq1 4997 . . . 4  |-  ( s  =  U  ->  (
s  o.  t )  =  ( U  o.  t ) )
10 coeq2 4998 . . . 4  |-  ( t  =  V  ->  ( U  o.  t )  =  ( U  o.  V ) )
11 eqid 2471 . . . 4  |-  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) )  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) )
129, 10, 11ovmpt2g 6450 . . 3  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  ( U  o.  V
)  e.  _V )  ->  ( U ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) V )  =  ( U  o.  V ) )
138, 12mpd3an3 1391 . 2  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  ->  ( U ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( s  o.  t ) ) V )  =  ( U  o.  V ) )
147, 13sylan9eq 2525 1  |-  ( ( ( K  e.  X  /\  W  e.  H
)  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U  .x.  V
)  =  ( U  o.  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    o. ccom 4843   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   .rcmulr 15269   LHypclh 33620   LTrncltrn 33737   TEndoctendo 34390   EDRingcedring 34391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-edring 34395
This theorem is referenced by:  erng1lem  34625  erngdvlem3  34628  erngdvlem4  34629  erng1r  34633
  Copyright terms: Public domain W3C validator