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Theorem erngdvlem4-rN 34962
Description: Lemma for erngdv 34956. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d-r  |-  D  =  ( ( EDRingR `  K ) `  W
)
ernggrplem.b-r  |-  B  =  ( Base `  K
)
ernggrplem.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
ernggrplem.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
ernggrplem.p-r  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
ernggrplem.o-r  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
ernggrplem.i-r  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m-r  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
edlemk6.j-r  |-  .\/  =  ( join `  K )
edlemk6.m-r  |-  ./\  =  ( meet `  K )
edlemk6.r-r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
edlemk6.p-r  |-  Q  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
edlemk6.z-r  |-  Z  =  ( ( Q  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
h `  Q )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' ( s `  h ) ) ) ) )
edlemk6.y-r  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
edlemk6.x-r  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T  A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  ( s `  h ) )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  g ) )  -> 
( z `  Q
)  =  Y ) )
edlemk6.u-r  |-  U  =  ( g  e.  T  |->  if ( ( s `
 h )  =  h ,  g ,  X ) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4-rN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  DivRing )
Distinct variable groups:    B, f    D, s    a, b, s, E    f, a, K, b, s    f, H, s    O, s    T, a, b, f, s    W, a, b, f, s    P, s    g, b, z,  ./\    .\/ , b, g, z    B, b   
g, s, B, z    H, b, g, z    g, K, z    M, s    P, g, z    Q, b, g, z    R, b, g, z    T, g, z    g, W, z    z, Y    g, Z    f, g, z    h, b, g, s, z
Allowed substitution hints:    B( h, a)    D( z, f, g, h, a, b)    P( f, h, a, b)    Q( f, h, s, a)    R( f, h, s, a)    T( h)    U( z, f, g, h, s, a, b)    E( z, f, g, h)    H( h, a)    I( z, f, g, h, s, a, b)    .\/ ( f, h, s, a)    K( h)    M( z, f, g, h, a, b)    ./\ ( f, h, s, a)    O( z, f, g, h, a, b)    W( h)    X( z,
f, g, h, s, a, b)    Y( f, g, h, s, a, b)    Z( z, f, h, s, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN
Dummy variables  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 ernggrplem.t-r . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 ernggrplem.e-r . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d-r . . . . 5  |-  D  =  ( ( EDRingR `  K ) `  W
)
5 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 34772 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2460 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
87adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  E  =  ( Base `  D
) )
9 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
101, 2, 3, 4, 9erngfmul-rN 34776 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a ) ) )
11 erngrnglem.m-r . . . 4  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
1210, 11syl6reqr 2512 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( .r
`  D ) )
1312adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  M  =  ( .r `  D ) )
14 ernggrplem.b-r . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
15 ernggrplem.o-r . . . . . . 7  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 34753 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
1716, 6eleqtrrd 2543 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( Base `  D ) )
18 eqid 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
191, 2, 3, 4, 18erngfplus-rN 34773 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
20 ernggrplem.p-r . . . . . . . 8  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
2119, 20syl6reqr 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
2221oveqd 6212 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O P O )  =  ( O ( +g  `  D
) O ) )
2314, 1, 2, 3, 15, 20tendo0pl 34754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  O  e.  E
)  ->  ( O P O )  =  O )
2416, 23mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O P O )  =  O )
2522, 24eqtr3d 2495 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )
26 ernggrplem.i-r . . . . . . 7  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
271, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26erngdvlem1-rN 34959 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
28 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
295, 18, 28isgrpid2 15688 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Grp  ->  (
( O  e.  (
Base `  D )  /\  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )  <->  ( 0g `  D )  =  O ) )
3027, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( O  e.  ( Base `  D
)  /\  ( O
( +g  `  D ) O )  =  O )  <->  ( 0g `  D )  =  O ) )
3117, 25, 30mpbi2and 912 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  D
)  =  O )
3231eqcomd 2460 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  =  ( 0g
`  D ) )
3332adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  O  =  ( 0g `  D ) )
341, 2, 3tendoidcl 34732 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
3534, 6eleqtrrd 2543 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
) )
366eleq2d 2522 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  <->  u  e.  E ) )
37 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3834adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
39 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  u  e.  E )
401, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 34777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  u  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
4137, 38, 39, 40syl12anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
421, 2, 3tendo1mulr 34734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u  o.  (  _I  |`  T ) )  =  u )
4341, 42eqtrd 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  u )
441, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 34777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
u ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
4537, 39, 38, 44syl12anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
461, 2, 3tendo1mul 34733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  u )  =  u )
4745, 46eqtrd 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u )
4843, 47jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )
4948ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  E  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
5036, 49sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
5150ralrimiv 2825 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )
521, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11erngdvlem3-rN 34961 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
53 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
545, 9, 53isrngid 16788 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
)  /\  A. u  e.  ( Base `  D
) ( ( (  _I  |`  T )
( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
5552, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  (
Base `  D )  /\  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
5635, 51, 55mpbi2and 912 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  D
)  =  (  _I  |`  T ) )
5756eqcomd 2460 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D ) )
5857adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D
) )
5952adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  Ring )
60 simp1l 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6112oveqd 6212 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
6260, 61syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =  ( s ( .r `  D ) t ) )
63 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  s  e.  E )
64 simp3l 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  t  e.  E )
651, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 34777 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
6660, 63, 64, 65syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s ( .r `  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
6762, 66eqtrd 2493 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =  ( t  o.  s ) )
68 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
t  e.  E  /\  t  =/=  O ) )
69 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )
7014, 1, 2, 3, 15tendoconid 34792 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/= 
O )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( t  o.  s )  =/=  O
)
7160, 68, 69, 70syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
t  o.  s )  =/=  O )
7267, 71eqnetrd 2742 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =/=  O )
7314, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 34791 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
7473adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =/= 
O )
75 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
76 simplrl 759 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  h  e.  T
)
77 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s  e.  E  /\  s  =/= 
O ) )
78 edlemk6.j-r . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
79 edlemk6.m-r . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
80 edlemk6.r-r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
81 edlemk6.p-r . . . . 5  |-  Q  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
82 edlemk6.z-r . . . . 5  |-  Z  =  ( ( Q  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
h `  Q )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' ( s `  h ) ) ) ) )
83 edlemk6.y-r . . . . 5  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
84 edlemk6.x-r . . . . 5  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T  A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  ( s `  h ) )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  g ) )  -> 
( z `  Q
)  =  Y ) )
85 edlemk6.u-r . . . . 5  |-  U  =  ( g  e.  T  |->  if ( ( s `
 h )  =  h ,  g ,  X ) )
8614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml6 34944 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O
) )  ->  ( U  e.  E  /\  ( U `  ( s `
 h ) )  =  h ) )
8786simpld 459 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O
) )  ->  U  e.  E )
8875, 76, 77, 87syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  e.  E
)
8914, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml9 34947 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  =/=  O )
90893expa 1188 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  =/=  O
)
9112oveqd 6212 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M U )  =  ( s ( .r `  D
) U ) )
9291ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s M U )  =  ( s ( .r `  D ) U ) )
93 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  s  e.  E
)
941, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 34777 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  U  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) U )  =  ( U  o.  s ) )
9575, 93, 88, 94syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s ( .r `  D ) U )  =  ( U  o.  s ) )
9614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml8 34946 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  -> 
( U  o.  s
)  =  (  _I  |`  T ) )
97963expa 1188 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( U  o.  s )  =  (  _I  |`  T )
)
9895, 97eqtrd 2493 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s ( .r `  D ) U )  =  (  _I  |`  T )
)
9992, 98eqtrd 2493 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s M U )  =  (  _I  |`  T )
)
1008, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 90, 99isdrngrd 16976 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  DivRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   ifcif 3894    |-> cmpt 4453    _I cid 4734   `'ccnv 4942    |` cres 4945    o. ccom 4947   ` cfv 5521   iota_crio 6155  (class class class)co 6195    |-> cmpt2 6197   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   .rcmulr 14353   occoc 14360   0gc0g 14492   joincjn 15228   meetcmee 15229   Grpcgrp 15524   1rcur 16720   Ringcrg 16763   DivRingcdr 16950   HLchlt 33314   LHypclh 33947   LTrncltrn 34064   trLctrl 34121   TEndoctendo 34715   EDRingRcedring-rN 34717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-riotaBAD 32923
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-tpos 6850  df-undef 6897  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-0g 14494  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-dvr 16893  df-drng 16952  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-llines 33461  df-lplanes 33462  df-lvols 33463  df-lines 33464  df-psubsp 33466  df-pmap 33467  df-padd 33759  df-lhyp 33951  df-laut 33952  df-ldil 34067  df-ltrn 34068  df-trl 34122  df-tendo 34718  df-edring-rN 34719
This theorem is referenced by:  erngdv-rN  34964
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