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Theorem erngdvlem4-rN 33998
Description: Lemma for erngdv 33992. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d-r  |-  D  =  ( ( EDRingR `  K ) `  W
)
ernggrplem.b-r  |-  B  =  ( Base `  K
)
ernggrplem.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
ernggrplem.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
ernggrplem.p-r  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
ernggrplem.o-r  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
ernggrplem.i-r  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m-r  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
edlemk6.j-r  |-  .\/  =  ( join `  K )
edlemk6.m-r  |-  ./\  =  ( meet `  K )
edlemk6.r-r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
edlemk6.p-r  |-  Q  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
edlemk6.z-r  |-  Z  =  ( ( Q  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
h `  Q )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' ( s `  h ) ) ) ) )
edlemk6.y-r  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
edlemk6.x-r  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T  A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  ( s `  h ) )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  g ) )  -> 
( z `  Q
)  =  Y ) )
edlemk6.u-r  |-  U  =  ( g  e.  T  |->  if ( ( s `
 h )  =  h ,  g ,  X ) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4-rN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  DivRing )
Distinct variable groups:    B, f    D, s    a, b, s, E    f, a, K, b, s    f, H, s    O, s    T, a, b, f, s    W, a, b, f, s    P, s    g, b, z,  ./\    .\/ , b, g, z    B, b   
g, s, B, z    H, b, g, z    g, K, z    M, s    P, g, z    Q, b, g, z    R, b, g, z    T, g, z    g, W, z    z, Y    g, Z    f, g, z    h, b, g, s, z
Allowed substitution hints:    B( h, a)    D( z, f, g, h, a, b)    P( f, h, a, b)    Q( f, h, s, a)    R( f, h, s, a)    T( h)    U( z, f, g, h, s, a, b)    E( z, f, g, h)    H( h, a)    I( z, f, g, h, s, a, b)    .\/ ( f, h, s, a)    K( h)    M( z, f, g, h, a, b)    ./\ ( f, h, s, a)    O( z, f, g, h, a, b)    W( h)    X( z,
f, g, h, s, a, b)    Y( f, g, h, s, a, b)    Z( z, f, h, s, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN
Dummy variables  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 ernggrplem.t-r . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 ernggrplem.e-r . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d-r . . . . 5  |-  D  =  ( ( EDRingR `  K ) `  W
)
5 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 33808 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2410 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
87adantr 463 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  E  =  ( Base `  D
) )
9 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
101, 2, 3, 4, 9erngfmul-rN 33812 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a ) ) )
11 erngrnglem.m-r . . . 4  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
1210, 11syl6reqr 2462 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( .r
`  D ) )
1312adantr 463 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  M  =  ( .r `  D ) )
14 ernggrplem.b-r . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
15 ernggrplem.o-r . . . . . . 7  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 33789 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
1716, 6eleqtrrd 2493 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( Base `  D ) )
18 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
191, 2, 3, 4, 18erngfplus-rN 33809 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
20 ernggrplem.p-r . . . . . . . 8  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
2119, 20syl6reqr 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
2221oveqd 6294 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O P O )  =  ( O ( +g  `  D
) O ) )
2314, 1, 2, 3, 15, 20tendo0pl 33790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  O  e.  E
)  ->  ( O P O )  =  O )
2416, 23mpdan 666 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O P O )  =  O )
2522, 24eqtr3d 2445 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )
26 ernggrplem.i-r . . . . . . 7  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
271, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26erngdvlem1-rN 33995 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
28 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
295, 18, 28isgrpid2 16408 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Grp  ->  (
( O  e.  (
Base `  D )  /\  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )  <->  ( 0g `  D )  =  O ) )
3027, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( O  e.  ( Base `  D
)  /\  ( O
( +g  `  D ) O )  =  O )  <->  ( 0g `  D )  =  O ) )
3117, 25, 30mpbi2and 922 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  D
)  =  O )
3231eqcomd 2410 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  =  ( 0g
`  D ) )
3332adantr 463 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  O  =  ( 0g `  D ) )
341, 2, 3tendoidcl 33768 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
3534, 6eleqtrrd 2493 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
) )
366eleq2d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  <->  u  e.  E ) )
37 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3834adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
39 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  u  e.  E )
401, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 33813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  u  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
4137, 38, 39, 40syl12anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
421, 2, 3tendo1mulr 33770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u  o.  (  _I  |`  T ) )  =  u )
4341, 42eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  u )
441, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 33813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
u ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
4537, 39, 38, 44syl12anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
461, 2, 3tendo1mul 33769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  u )  =  u )
4745, 46eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u )
4843, 47jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )
4948ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  E  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
5036, 49sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
5150ralrimiv 2815 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )
521, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11erngdvlem3-rN 33997 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
53 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
545, 9, 53isringid 17542 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
)  /\  A. u  e.  ( Base `  D
) ( ( (  _I  |`  T )
( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
5552, 54syl 17 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  (
Base `  D )  /\  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
5635, 51, 55mpbi2and 922 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  D
)  =  (  _I  |`  T ) )
5756eqcomd 2410 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D ) )
5857adantr 463 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D
) )
5952adantr 463 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  Ring )
60 simp1l 1021 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6112oveqd 6294 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
6260, 61syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =  ( s ( .r `  D ) t ) )
63 simp2l 1023 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  s  e.  E )
64 simp3l 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  t  e.  E )
651, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 33813 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
6660, 63, 64, 65syl12anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s ( .r `  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
6762, 66eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =  ( t  o.  s ) )
68 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
t  e.  E  /\  t  =/=  O ) )
69 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )
7014, 1, 2, 3, 15tendoconid 33828 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/= 
O )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( t  o.  s )  =/=  O
)
7160, 68, 69, 70syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
t  o.  s )  =/=  O )
7267, 71eqnetrd 2696 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =/=  O )
7314, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 33827 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
7473adantr 463 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =/= 
O )
75 simpll 752 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
76 simplrl 762 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  h  e.  T
)
77 simpr 459 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s  e.  E  /\  s  =/= 
O ) )
78 edlemk6.j-r . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
79 edlemk6.m-r . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
80 edlemk6.r-r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
81 edlemk6.p-r . . . . 5  |-  Q  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
82 edlemk6.z-r . . . . 5  |-  Z  =  ( ( Q  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
h `  Q )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' ( s `  h ) ) ) ) )
83 edlemk6.y-r . . . . 5  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
84 edlemk6.x-r . . . . 5  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T  A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  ( s `  h ) )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  g ) )  -> 
( z `  Q
)  =  Y ) )
85 edlemk6.u-r . . . . 5  |-  U  =  ( g  e.  T  |->  if ( ( s `
 h )  =  h ,  g ,  X ) )
8614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml6 33980 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O
) )  ->  ( U  e.  E  /\  ( U `  ( s `
 h ) )  =  h ) )
8786simpld 457 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O
) )  ->  U  e.  E )
8875, 76, 77, 87syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  e.  E
)
8914, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml9 33983 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  =/=  O )
90893expa 1197 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  =/=  O
)
9112oveqd 6294 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M U )  =  ( s ( .r `  D
) U ) )
9291ad2antrr 724 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s M U )  =  ( s ( .r `  D ) U ) )
93 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  s  e.  E
)
941, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 33813 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  U  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) U )  =  ( U  o.  s ) )
9575, 93, 88, 94syl12anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s ( .r `  D ) U )  =  ( U  o.  s ) )
9614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml8 33982 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  -> 
( U  o.  s
)  =  (  _I  |`  T ) )
97963expa 1197 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( U  o.  s )  =  (  _I  |`  T )
)
9895, 97eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s ( .r `  D ) U )  =  (  _I  |`  T )
)
9992, 98eqtrd 2443 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s M U )  =  (  _I  |`  T )
)
1008, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 90, 99isdrngrd 17740 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  DivRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   ifcif 3884    |-> cmpt 4452    _I cid 4732   `'ccnv 4821    |` cres 4824    o. ccom 4826   ` cfv 5568   iota_crio 6238  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908   occoc 14915   0gc0g 15052   joincjn 15895   meetcmee 15896   Grpcgrp 16375   1rcur 17471   Ringcrg 17516   DivRingcdr 17714   HLchlt 32348   LHypclh 32981   LTrncltrn 33098   trLctrl 33156   TEndoctendo 33751   EDRingRcedring-rN 33753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-riotaBAD 31957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-0g 15054  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-drng 17716  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496  df-lvols 32497  df-lines 32498  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102  df-trl 33157  df-tendo 33754  df-edring-rN 33755
This theorem is referenced by:  erngdv-rN  34000
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