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Theorem erngdvlem4-rN 34365
Description: Lemma for erngdv 34359. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d-r  |-  D  =  ( ( EDRingR `  K ) `  W
)
ernggrplem.b-r  |-  B  =  ( Base `  K
)
ernggrplem.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
ernggrplem.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
ernggrplem.p-r  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
ernggrplem.o-r  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
ernggrplem.i-r  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m-r  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
edlemk6.j-r  |-  .\/  =  ( join `  K )
edlemk6.m-r  |-  ./\  =  ( meet `  K )
edlemk6.r-r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
edlemk6.p-r  |-  Q  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
edlemk6.z-r  |-  Z  =  ( ( Q  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
h `  Q )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' ( s `  h ) ) ) ) )
edlemk6.y-r  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
edlemk6.x-r  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T  A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  ( s `  h ) )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  g ) )  -> 
( z `  Q
)  =  Y ) )
edlemk6.u-r  |-  U  =  ( g  e.  T  |->  if ( ( s `
 h )  =  h ,  g ,  X ) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem4-rN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  DivRing )
Distinct variable groups:    B, f    D, s    a, b, s, E    f, a, K, b, s    f, H, s    O, s    T, a, b, f, s    W, a, b, f, s    P, s    g, b, z,  ./\    .\/ , b, g, z    B, b   
g, s, B, z    H, b, g, z    g, K, z    M, s    P, g, z    Q, b, g, z    R, b, g, z    T, g, z    g, W, z    z, Y    g, Z    f, g, z    h, b, g, s, z
Allowed substitution hints:    B( h, a)    D( z, f, g, h, a, b)    P( f, h, a, b)    Q( f, h, s, a)    R( f, h, s, a)    T( h)    U( z, f, g, h, s, a, b)    E( z, f, g, h)    H( h, a)    I( z, f, g, h, s, a, b)    .\/ ( f, h, s, a)    K( h)    M( z, f, g, h, a, b)    ./\ ( f, h, s, a)    O( z, f, g, h, a, b)    W( h)    X( z,
f, g, h, s, a, b)    Y( f, g, h, s, a, b)    Z( z, f, h, s, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem4-rN
Dummy variables  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 ernggrplem.t-r . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 ernggrplem.e-r . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d-r . . . . 5  |-  D  =  ( ( EDRingR `  K ) `  W
)
5 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 34175 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2446 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
87adantr 462 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  E  =  ( Base `  D
) )
9 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
101, 2, 3, 4, 9erngfmul-rN 34179 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a ) ) )
11 erngrnglem.m-r . . . 4  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
1210, 11syl6reqr 2492 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( .r
`  D ) )
1312adantr 462 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  M  =  ( .r `  D ) )
14 ernggrplem.b-r . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
15 ernggrplem.o-r . . . . . . 7  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 34156 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
1716, 6eleqtrrd 2518 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( Base `  D ) )
18 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
191, 2, 3, 4, 18erngfplus-rN 34176 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
20 ernggrplem.p-r . . . . . . . 8  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
2119, 20syl6reqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
2221oveqd 6107 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O P O )  =  ( O ( +g  `  D
) O ) )
2314, 1, 2, 3, 15, 20tendo0pl 34157 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  O  e.  E
)  ->  ( O P O )  =  O )
2416, 23mpdan 663 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O P O )  =  O )
2522, 24eqtr3d 2475 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )
26 ernggrplem.i-r . . . . . . 7  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
271, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26erngdvlem1-rN 34362 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
28 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
295, 18, 28isgrpid2 15567 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Grp  ->  (
( O  e.  (
Base `  D )  /\  ( O ( +g  `  D ) O )  =  O )  <->  ( 0g `  D )  =  O ) )
3027, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( O  e.  ( Base `  D
)  /\  ( O
( +g  `  D ) O )  =  O )  <->  ( 0g `  D )  =  O ) )
3117, 25, 30mpbi2and 907 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 0g `  D
)  =  O )
3231eqcomd 2446 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  =  ( 0g
`  D ) )
3332adantr 462 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  O  =  ( 0g `  D ) )
341, 2, 3tendoidcl 34135 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
3534, 6eleqtrrd 2518 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
) )
366eleq2d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  <->  u  e.  E ) )
37 simpl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3834adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
39 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  u  e.  E )
401, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 34180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  u  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
4137, 38, 39, 40syl12anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  ( u  o.  (  _I  |`  T ) ) )
421, 2, 3tendo1mulr 34137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u  o.  (  _I  |`  T ) )  =  u )
4341, 42eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) u )  =  u )
441, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 34180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
u ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
4537, 39, 38, 44syl12anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  u ) )
461, 2, 3tendo1mul 34136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  u )  =  u )
4745, 46eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( u
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u )
4843, 47jca 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E
)  ->  ( (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )
4948ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  E  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
5036, 49sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( u  e.  (
Base `  D )  ->  ( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) ) )
5150ralrimiv 2796 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )
521, 4, 14, 2, 3, 20, 15, 26, 11erngdvlem3-rN 34364 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
53 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
545, 9, 53isrngid 16660 . . . . . 6  |-  ( D  e.  Ring  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  ( Base `  D
)  /\  A. u  e.  ( Base `  D
) ( ( (  _I  |`  T )
( .r `  D
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
5552, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( (  _I  |`  T )  e.  (
Base `  D )  /\  A. u  e.  (
Base `  D )
( ( (  _I  |`  T ) ( .r
`  D ) u )  =  u  /\  ( u ( .r
`  D ) (  _I  |`  T )
)  =  u ) )  <->  ( 1r `  D )  =  (  _I  |`  T )
) )
5635, 51, 55mpbi2and 907 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1r `  D
)  =  (  _I  |`  T ) )
5756eqcomd 2446 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D ) )
5857adantr 462 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =  ( 1r `  D
) )
5952adantr 462 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  Ring )
60 simp1l 1007 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6112oveqd 6107 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
6260, 61syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =  ( s ( .r `  D ) t ) )
63 simp2l 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  s  e.  E )
64 simp3l 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  t  e.  E )
651, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 34180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
6660, 63, 64, 65syl12anc 1211 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s ( .r `  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
6762, 66eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =  ( t  o.  s ) )
68 simp3 985 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
t  e.  E  /\  t  =/=  O ) )
69 simp2 984 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )
7014, 1, 2, 3, 15tendoconid 34195 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/= 
O )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( t  o.  s )  =/=  O
)
7160, 68, 69, 70syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
t  o.  s )  =/=  O )
7267, 71eqnetrd 2624 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O )  /\  ( t  e.  E  /\  t  =/=  O
) )  ->  (
s M t )  =/=  O )
7314, 1, 2, 3, 15tendo1ne0 34194 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  =/=  O )
7473adantr 462 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (  _I  |`  T )  =/= 
O )
75 simpll 748 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
76 simplrl 754 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  h  e.  T
)
77 simpr 458 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s  e.  E  /\  s  =/= 
O ) )
78 edlemk6.j-r . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
79 edlemk6.m-r . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
80 edlemk6.r-r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
81 edlemk6.p-r . . . . 5  |-  Q  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
82 edlemk6.z-r . . . . 5  |-  Z  =  ( ( Q  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
h `  Q )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' ( s `  h ) ) ) ) )
83 edlemk6.y-r . . . . 5  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
84 edlemk6.x-r . . . . 5  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T  A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  ( s `  h ) )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  g ) )  -> 
( z `  Q
)  =  Y ) )
85 edlemk6.u-r . . . . 5  |-  U  =  ( g  e.  T  |->  if ( ( s `
 h )  =  h ,  g ,  X ) )
8614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml6 34347 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O
) )  ->  ( U  e.  E  /\  ( U `  ( s `
 h ) )  =  h ) )
8786simpld 456 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O
) )  ->  U  e.  E )
8875, 76, 77, 87syl3anc 1213 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  e.  E
)
8914, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml9 34350 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  =/=  O )
90893expa 1182 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  U  =/=  O
)
9112oveqd 6107 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M U )  =  ( s ( .r `  D
) U ) )
9291ad2antrr 720 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s M U )  =  ( s ( .r `  D ) U ) )
93 simprl 750 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  s  e.  E
)
941, 2, 3, 4, 9erngmul-rN 34180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  U  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) U )  =  ( U  o.  s ) )
9575, 93, 88, 94syl12anc 1211 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s ( .r `  D ) U )  =  ( U  o.  s ) )
9614, 78, 79, 1, 2, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 3, 15cdleml8 34349 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  -> 
( U  o.  s
)  =  (  _I  |`  T ) )
97963expa 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( U  o.  s )  =  (  _I  |`  T )
)
9895, 97eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s ( .r `  D ) U )  =  (  _I  |`  T )
)
9992, 98eqtrd 2473 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  (
s  e.  E  /\  s  =/=  O ) )  ->  ( s M U )  =  (  _I  |`  T )
)
1008, 13, 33, 58, 59, 72, 74, 88, 90, 99isdrngrd 16838 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  D  e.  DivRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   ifcif 3788    e. cmpt 4347    _I cid 4627   `'ccnv 4835    |` cres 4838    o. ccom 4840   ` cfv 5415   iota_crio 6048  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   occoc 14242   0gc0g 14374   joincjn 15110   meetcmee 15111   Grpcgrp 15406   1rcur 16593   Ringcrg 16635   DivRingcdr 16812   HLchlt 32717   LHypclh 33350   LTrncltrn 33467   trLctrl 33524   TEndoctendo 34118   EDRingRcedring-rN 34120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-riotaBAD 32326
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-undef 6788  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-poset 15112  df-plt 15124  df-lub 15140  df-glb 15141  df-join 15142  df-meet 15143  df-p0 15205  df-p1 15206  df-lat 15212  df-clat 15274  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-oposet 32543  df-ol 32545  df-oml 32546  df-covers 32633  df-ats 32634  df-atl 32665  df-cvlat 32689  df-hlat 32718  df-llines 32864  df-lplanes 32865  df-lvols 32866  df-lines 32867  df-psubsp 32869  df-pmap 32870  df-padd 33162  df-lhyp 33354  df-laut 33355  df-ldil 33470  df-ltrn 33471  df-trl 33525  df-tendo 34121  df-edring-rN 34122
This theorem is referenced by:  erngdv-rN  34367
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