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Theorem erngdvlem3 31472
Description: Lemma for erngrng 31474. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erngdv.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
erngdv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngdv.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngdv.p  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
erngdv.o  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
erngdv.i  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m  |-  .+  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b
) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Distinct variable groups:    B, f    a, b, E    f, a, K, b    f, H    T, a, b, f    W, a, b, f
Allowed substitution hints:    B( a, b)    D( f, a, b)    P( f, a, b)    .+ ( f, a, b)    E( f)    H( a, b)    I( f, a, b)    .0. ( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngdv.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngdv.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase 31283 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2409 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
8 eqid 2404 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
91, 2, 3, 4, 8erngfplus 31284 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
10 erngdv.p . . 3  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
119, 10syl6reqr 2455 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
12 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul 31287 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b ) ) )
14 erngrnglem.m . . 3  |-  .+  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b
) )
1513, 14syl6reqr 2455 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( .r
`  D ) )
16 erngdv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
17 erngdv.o . . 3  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
18 erngdv.i . . 3  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1 31470 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
2015oveqd 6057 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  t
)  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
21203ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  =  ( s ( .r `  D ) t ) )
221, 2, 3, 4, 12erngmul 31288 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( s  o.  t ) )
23223impb 1149 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) t )  =  ( s  o.  t
) )
2421, 23eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  =  ( s  o.  t ) )
251, 3tendococl 31254 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  o.  t )  e.  E
)
2624, 25eqeltrd 2478 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  e.  E
)
27 coass 5347 . . 3  |-  ( ( s  o.  t )  o.  u )  =  ( s  o.  (
t  o.  u ) )
2815oveqd 6057 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  t ) ( .r `  D
) u ) )
2928adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  t ) ( .r `  D
) u ) )
30 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31263adant3r3 1164 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  e.  E )
32 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  u  e.  E )
331, 2, 3, 4, 12erngmul 31288 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s 
.+  t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s  .+  t )  o.  u ) )
3430, 31, 32, 33syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s  .+  t )  o.  u ) )
3515proplem3 13871 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
36223adantr3 1118 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( s  o.  t ) )
3735, 36eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  =  ( s  o.  t ) )
3837coeq1d 4993 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  o.  u
)  =  ( ( s  o.  t )  o.  u ) )
3929, 34, 383eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  o.  t )  o.  u ) )
4015oveqd 6057 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s ( .r `  D
) ( t  .+  u ) ) )
4140adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s ( .r `  D
) ( t  .+  u ) ) )
42 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
4315proplem3 13871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
441, 2, 3, 4, 12erngmul 31288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( t  o.  u ) )
45443adantr1 1116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( t  o.  u ) )
4643, 45eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  =  ( t  o.  u ) )
471, 3tendococl 31254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t  o.  u )  e.  E
)
48473adant3r1 1162 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  o.  u
)  e.  E )
4946, 48eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  e.  E )
501, 2, 3, 4, 12erngmul 31288 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t 
.+  u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t  .+  u ) )  =  ( s  o.  ( t  .+  u ) ) )
5130, 42, 49, 50syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t  .+  u ) )  =  ( s  o.  ( t  .+  u ) ) )
5246coeq2d 4994 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  o.  (
t  .+  u )
)  =  ( s  o.  ( t  o.  u ) ) )
5341, 51, 523eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s  o.  ( t  o.  u ) ) )
5427, 39, 533eqtr4a 2462 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( s 
.+  ( t  .+  u ) ) )
551, 2, 3, 10tendodi1 31266 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  o.  (
t P u ) )  =  ( ( s  o.  t ) P ( s  o.  u ) ) )
5615oveqd 6057 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
5756adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
581, 2, 3, 10tendoplcl 31263 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t P u )  e.  E )
59583adant3r1 1162 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t P u )  e.  E )
601, 2, 3, 4, 12erngmul 31288 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t P u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6130, 42, 59, 60syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6257, 61eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6315proplem3 13871 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  u
)  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
641, 2, 3, 4, 12erngmul 31288 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( s  o.  u ) )
65643adantr2 1117 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( s  o.  u ) )
6663, 65eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  u
)  =  ( s  o.  u ) )
6737, 66oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) P ( s  .+  u ) )  =  ( ( s  o.  t ) P ( s  o.  u ) ) )
6855, 62, 673eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( ( s  .+  t ) P ( s  .+  u ) ) )
691, 2, 3, 10tendodi2 31267 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  o.  u
)  =  ( ( s  o.  u ) P ( t  o.  u ) ) )
7015oveqd 6057 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
7170adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
721, 2, 3, 10tendoplcl 31263 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s P t )  e.  E )
73723adant3r3 1164 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s P t )  e.  E )
741, 2, 3, 4, 12erngmul 31288 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s P t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7530, 73, 32, 74syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7671, 75eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7766, 46oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  u ) P ( t  .+  u ) )  =  ( ( s  o.  u ) P ( t  o.  u ) ) )
7869, 76, 773eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  u ) P ( t  .+  u ) ) )
791, 2, 3tendoidcl 31251 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
8015oveqd 6057 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) 
.+  s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
8180adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .+  s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
82 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8379adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
84 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  s  e.  E )
851, 2, 3, 4, 12erngmul 31288 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
8682, 83, 84, 85syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) s )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
871, 2, 3tendo1mul 31252 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  s )  =  s )
8881, 86, 873eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .+  s )  =  s )
8915oveqd 6057 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) ) )
9089adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
911, 2, 3, 4, 12erngmul 31288 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
9282, 84, 83, 91syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
931, 2, 3tendo1mulr 31253 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  o.  (  _I  |`  T ) )  =  s )
9490, 92, 933eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  s )
957, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94isrngd 15653 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    e. cmpt 4226    _I cid 4453   `'ccnv 4836    |` cres 4839    o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   Ringcrg 15615   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   TEndoctendo 31234   EDRingcedring 31235
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  31473  erngrng  31474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237  df-edring 31239
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