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Theorem erngdvlem3 35804
Description: Lemma for erngrng 35806. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erngdv.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
erngdv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngdv.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngdv.p  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
erngdv.o  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
erngdv.i  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m  |-  .+  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b
) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Distinct variable groups:    B, f    a, b, E    f, a, K, b    f, H    T, a, b, f    W, a, b, f
Allowed substitution hints:    B( a, b)    D( f, a, b)    P( f, a, b)    .+ ( f, a, b)    E( f)    H( a, b)    I( f, a, b)    .0. ( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngdv.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngdv.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase 35615 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2475 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
8 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
91, 2, 3, 4, 8erngfplus 35616 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
10 erngdv.p . . 3  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
119, 10syl6reqr 2527 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul 35619 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b ) ) )
14 erngrnglem.m . . 3  |-  .+  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b
) )
1513, 14syl6reqr 2527 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( .r
`  D ) )
16 erngdv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
17 erngdv.o . . 3  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
18 erngdv.i . . 3  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1 35802 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
2015oveqd 6301 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  t
)  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
21203ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  =  ( s ( .r `  D ) t ) )
221, 2, 3, 4, 12erngmul 35620 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( s  o.  t ) )
23223impb 1192 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) t )  =  ( s  o.  t
) )
2421, 23eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  =  ( s  o.  t ) )
251, 3tendococl 35586 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  o.  t )  e.  E
)
2624, 25eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  e.  E
)
27 coass 5526 . . 3  |-  ( ( s  o.  t )  o.  u )  =  ( s  o.  (
t  o.  u ) )
2815oveqd 6301 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  t ) ( .r `  D
) u ) )
2928adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  t ) ( .r `  D
) u ) )
30 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31263adant3r3 1207 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  e.  E )
32 simpr3 1004 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  u  e.  E )
331, 2, 3, 4, 12erngmul 35620 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s 
.+  t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s  .+  t )  o.  u ) )
3430, 31, 32, 33syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s  .+  t )  o.  u ) )
3515proplem3 14946 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
36223adantr3 1157 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( s  o.  t ) )
3735, 36eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  =  ( s  o.  t ) )
3837coeq1d 5164 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  o.  u
)  =  ( ( s  o.  t )  o.  u ) )
3929, 34, 383eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  o.  t )  o.  u ) )
4015oveqd 6301 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s ( .r `  D
) ( t  .+  u ) ) )
4140adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s ( .r `  D
) ( t  .+  u ) ) )
42 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
4315proplem3 14946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
441, 2, 3, 4, 12erngmul 35620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( t  o.  u ) )
45443adantr1 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( t  o.  u ) )
4643, 45eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  =  ( t  o.  u ) )
471, 3tendococl 35586 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t  o.  u )  e.  E
)
48473adant3r1 1205 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  o.  u
)  e.  E )
4946, 48eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  e.  E )
501, 2, 3, 4, 12erngmul 35620 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t 
.+  u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t  .+  u ) )  =  ( s  o.  ( t  .+  u ) ) )
5130, 42, 49, 50syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t  .+  u ) )  =  ( s  o.  ( t  .+  u ) ) )
5246coeq2d 5165 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  o.  (
t  .+  u )
)  =  ( s  o.  ( t  o.  u ) ) )
5341, 51, 523eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s  o.  ( t  o.  u ) ) )
5427, 39, 533eqtr4a 2534 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( s 
.+  ( t  .+  u ) ) )
551, 2, 3, 10tendodi1 35598 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  o.  (
t P u ) )  =  ( ( s  o.  t ) P ( s  o.  u ) ) )
5615oveqd 6301 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
5756adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
581, 2, 3, 10tendoplcl 35595 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t P u )  e.  E )
59583adant3r1 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t P u )  e.  E )
601, 2, 3, 4, 12erngmul 35620 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t P u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6130, 42, 59, 60syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6257, 61eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6315proplem3 14946 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  u
)  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
641, 2, 3, 4, 12erngmul 35620 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( s  o.  u ) )
65643adantr2 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( s  o.  u ) )
6663, 65eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  u
)  =  ( s  o.  u ) )
6737, 66oveq12d 6302 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) P ( s  .+  u ) )  =  ( ( s  o.  t ) P ( s  o.  u ) ) )
6855, 62, 673eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( ( s  .+  t ) P ( s  .+  u ) ) )
691, 2, 3, 10tendodi2 35599 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  o.  u
)  =  ( ( s  o.  u ) P ( t  o.  u ) ) )
7015oveqd 6301 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
7170adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
721, 2, 3, 10tendoplcl 35595 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s P t )  e.  E )
73723adant3r3 1207 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s P t )  e.  E )
741, 2, 3, 4, 12erngmul 35620 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s P t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7530, 73, 32, 74syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7671, 75eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7766, 46oveq12d 6302 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  u ) P ( t  .+  u ) )  =  ( ( s  o.  u ) P ( t  o.  u ) ) )
7869, 76, 773eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  u ) P ( t  .+  u ) ) )
791, 2, 3tendoidcl 35583 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
8015oveqd 6301 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) 
.+  s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
8180adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .+  s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
82 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8379adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
84 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  s  e.  E )
851, 2, 3, 4, 12erngmul 35620 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
8682, 83, 84, 85syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) s )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
871, 2, 3tendo1mul 35584 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  s )  =  s )
8881, 86, 873eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .+  s )  =  s )
8915oveqd 6301 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) ) )
9089adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
911, 2, 3, 4, 12erngmul 35620 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
9282, 84, 83, 91syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
931, 2, 3tendo1mulr 35585 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  o.  (  _I  |`  T ) )  =  s )
9490, 92, 933eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  s )
957, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94isrngd 17034 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   `'ccnv 4998    |` cres 5001    o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   Ringcrg 17000   HLchlt 34165   LHypclh 34798   LTrncltrn 34915   TEndoctendo 35566   EDRingcedring 35567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-0g 14697  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-mgp 16944  df-rng 17002  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tendo 35569  df-edring 35571
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  35805  erngrng  35806
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