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Theorem erngdvlem3 34356
Description: Lemma for erngrng 34358. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erngdv.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
erngdv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngdv.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngdv.p  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
erngdv.o  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
erngdv.i  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m  |-  .+  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b
) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Distinct variable groups:    B, f    a, b, E    f, a, K, b    f, H    T, a, b, f    W, a, b, f
Allowed substitution hints:    B( a, b)    D( f, a, b)    P( f, a, b)    .+ ( f, a, b)    E( f)    H( a, b)    I( f, a, b)    .0. ( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngdv.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngdv.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase 34167 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2446 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
8 eqid 2441 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
91, 2, 3, 4, 8erngfplus 34168 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
10 erngdv.p . . 3  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
119, 10syl6reqr 2492 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
12 eqid 2441 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul 34171 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b ) ) )
14 erngrnglem.m . . 3  |-  .+  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b
) )
1513, 14syl6reqr 2492 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( .r
`  D ) )
16 erngdv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
17 erngdv.o . . 3  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
18 erngdv.i . . 3  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1 34354 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
2015oveqd 6107 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  t
)  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
21203ad2ant1 1004 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  =  ( s ( .r `  D ) t ) )
221, 2, 3, 4, 12erngmul 34172 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( s  o.  t ) )
23223impb 1178 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) t )  =  ( s  o.  t
) )
2421, 23eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  =  ( s  o.  t ) )
251, 3tendococl 34138 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  o.  t )  e.  E
)
2624, 25eqeltrd 2515 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  e.  E
)
27 coass 5353 . . 3  |-  ( ( s  o.  t )  o.  u )  =  ( s  o.  (
t  o.  u ) )
2815oveqd 6107 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  t ) ( .r `  D
) u ) )
2928adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  t ) ( .r `  D
) u ) )
30 simpl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31263adant3r3 1193 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  e.  E )
32 simpr3 991 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  u  e.  E )
331, 2, 3, 4, 12erngmul 34172 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s 
.+  t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s  .+  t )  o.  u ) )
3430, 31, 32, 33syl12anc 1211 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s  .+  t )  o.  u ) )
3515proplem3 14625 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
36223adantr3 1144 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( s  o.  t ) )
3735, 36eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  =  ( s  o.  t ) )
3837coeq1d 4997 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  o.  u
)  =  ( ( s  o.  t )  o.  u ) )
3929, 34, 383eqtrd 2477 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  o.  t )  o.  u ) )
4015oveqd 6107 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s ( .r `  D
) ( t  .+  u ) ) )
4140adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s ( .r `  D
) ( t  .+  u ) ) )
42 simpr1 989 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
4315proplem3 14625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
441, 2, 3, 4, 12erngmul 34172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( t  o.  u ) )
45443adantr1 1142 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( t  o.  u ) )
4643, 45eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  =  ( t  o.  u ) )
471, 3tendococl 34138 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t  o.  u )  e.  E
)
48473adant3r1 1191 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  o.  u
)  e.  E )
4946, 48eqeltrd 2515 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  e.  E )
501, 2, 3, 4, 12erngmul 34172 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t 
.+  u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t  .+  u ) )  =  ( s  o.  ( t  .+  u ) ) )
5130, 42, 49, 50syl12anc 1211 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t  .+  u ) )  =  ( s  o.  ( t  .+  u ) ) )
5246coeq2d 4998 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  o.  (
t  .+  u )
)  =  ( s  o.  ( t  o.  u ) ) )
5341, 51, 523eqtrd 2477 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s  o.  ( t  o.  u ) ) )
5427, 39, 533eqtr4a 2499 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( s 
.+  ( t  .+  u ) ) )
551, 2, 3, 10tendodi1 34150 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  o.  (
t P u ) )  =  ( ( s  o.  t ) P ( s  o.  u ) ) )
5615oveqd 6107 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
5756adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
581, 2, 3, 10tendoplcl 34147 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t P u )  e.  E )
59583adant3r1 1191 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t P u )  e.  E )
601, 2, 3, 4, 12erngmul 34172 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t P u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6130, 42, 59, 60syl12anc 1211 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6257, 61eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6315proplem3 14625 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  u
)  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
641, 2, 3, 4, 12erngmul 34172 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( s  o.  u ) )
65643adantr2 1143 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( s  o.  u ) )
6663, 65eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  u
)  =  ( s  o.  u ) )
6737, 66oveq12d 6108 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) P ( s  .+  u ) )  =  ( ( s  o.  t ) P ( s  o.  u ) ) )
6855, 62, 673eqtr4d 2483 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( ( s  .+  t ) P ( s  .+  u ) ) )
691, 2, 3, 10tendodi2 34151 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  o.  u
)  =  ( ( s  o.  u ) P ( t  o.  u ) ) )
7015oveqd 6107 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
7170adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
721, 2, 3, 10tendoplcl 34147 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s P t )  e.  E )
73723adant3r3 1193 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s P t )  e.  E )
741, 2, 3, 4, 12erngmul 34172 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s P t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7530, 73, 32, 74syl12anc 1211 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7671, 75eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7766, 46oveq12d 6108 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  u ) P ( t  .+  u ) )  =  ( ( s  o.  u ) P ( t  o.  u ) ) )
7869, 76, 773eqtr4d 2483 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  u ) P ( t  .+  u ) ) )
791, 2, 3tendoidcl 34135 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
8015oveqd 6107 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) 
.+  s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
8180adantr 462 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .+  s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
82 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8379adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
84 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  s  e.  E )
851, 2, 3, 4, 12erngmul 34172 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
8682, 83, 84, 85syl12anc 1211 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) s )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
871, 2, 3tendo1mul 34136 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  s )  =  s )
8881, 86, 873eqtrd 2477 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .+  s )  =  s )
8915oveqd 6107 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) ) )
9089adantr 462 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
911, 2, 3, 4, 12erngmul 34172 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
9282, 84, 83, 91syl12anc 1211 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
931, 2, 3tendo1mulr 34137 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  o.  (  _I  |`  T ) )  =  s )
9490, 92, 933eqtrd 2477 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  s )
957, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94isrngd 16669 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    e. cmpt 4347    _I cid 4627   `'ccnv 4835    |` cres 4838    o. ccom 4840   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   Ringcrg 16635   HLchlt 32717   LHypclh 33350   LTrncltrn 33467   TEndoctendo 34118   EDRingcedring 34119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-riotaBAD 32326
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-undef 6788  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-poset 15112  df-plt 15124  df-lub 15140  df-glb 15141  df-join 15142  df-meet 15143  df-p0 15205  df-p1 15206  df-lat 15212  df-clat 15274  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-mgp 16582  df-rng 16637  df-oposet 32543  df-ol 32545  df-oml 32546  df-covers 32633  df-ats 32634  df-atl 32665  df-cvlat 32689  df-hlat 32718  df-llines 32864  df-lplanes 32865  df-lvols 32866  df-lines 32867  df-psubsp 32869  df-pmap 32870  df-padd 33162  df-lhyp 33354  df-laut 33355  df-ldil 33470  df-ltrn 33471  df-trl 33525  df-tendo 34121  df-edring 34123
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  34357  erngrng  34358
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