Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3 Structured version   Unicode version

Theorem erngdvlem3 34295
Description: Lemma for eringring 34297. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erngdv.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
erngdv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngdv.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngdv.p  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
erngdv.o  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
erngdv.i  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m  |-  .+  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b
) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Distinct variable groups:    B, f    a, b, E    f, a, K, b    f, H    T, a, b, f    W, a, b, f
Allowed substitution hints:    B( a, b)    D( f, a, b)    P( f, a, b)    .+ ( f, a, b)    E( f)    H( a, b)    I( f, a, b)    .0. ( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngdv.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngdv.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 eqid 2420 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase 34106 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2428 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
8 eqid 2420 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
91, 2, 3, 4, 8erngfplus 34107 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
10 erngdv.p . . 3  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
119, 10syl6reqr 2480 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
12 eqid 2420 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul 34110 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b ) ) )
14 erngrnglem.m . . 3  |-  .+  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b
) )
1513, 14syl6reqr 2480 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( .r
`  D ) )
16 erngdv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
17 erngdv.o . . 3  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
18 erngdv.i . . 3  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1 34293 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
2015oveqd 6313 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  t
)  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
21203ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  =  ( s ( .r `  D ) t ) )
221, 2, 3, 4, 12erngmul 34111 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( s  o.  t ) )
23223impb 1201 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) t )  =  ( s  o.  t
) )
2421, 23eqtrd 2461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  =  ( s  o.  t ) )
251, 3tendococl 34077 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  o.  t )  e.  E
)
2624, 25eqeltrd 2508 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  e.  E
)
27 coass 5365 . . 3  |-  ( ( s  o.  t )  o.  u )  =  ( s  o.  (
t  o.  u ) )
2815oveqd 6313 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  t ) ( .r `  D
) u ) )
2928adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  t ) ( .r `  D
) u ) )
30 simpl 458 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31263adant3r3 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  e.  E )
32 simpr3 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  u  e.  E )
331, 2, 3, 4, 12erngmul 34111 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s 
.+  t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s  .+  t )  o.  u ) )
3430, 31, 32, 33syl12anc 1262 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s  .+  t )  o.  u ) )
3515oveqdr 6320 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
36223adantr3 1166 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( s  o.  t ) )
3735, 36eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  =  ( s  o.  t ) )
3837coeq1d 5007 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  o.  u
)  =  ( ( s  o.  t )  o.  u ) )
3929, 34, 383eqtrd 2465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  o.  t )  o.  u ) )
4015oveqd 6313 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s ( .r `  D
) ( t  .+  u ) ) )
4140adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s ( .r `  D
) ( t  .+  u ) ) )
42 simpr1 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
4315oveqdr 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
441, 2, 3, 4, 12erngmul 34111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( t  o.  u ) )
45443adantr1 1164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( t  o.  u ) )
4643, 45eqtrd 2461 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  =  ( t  o.  u ) )
471, 3tendococl 34077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t  o.  u )  e.  E
)
48473adant3r1 1214 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  o.  u
)  e.  E )
4946, 48eqeltrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  e.  E )
501, 2, 3, 4, 12erngmul 34111 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t 
.+  u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t  .+  u ) )  =  ( s  o.  ( t  .+  u ) ) )
5130, 42, 49, 50syl12anc 1262 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t  .+  u ) )  =  ( s  o.  ( t  .+  u ) ) )
5246coeq2d 5008 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  o.  (
t  .+  u )
)  =  ( s  o.  ( t  o.  u ) ) )
5341, 51, 523eqtrd 2465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s  o.  ( t  o.  u ) ) )
5427, 39, 533eqtr4a 2487 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( s 
.+  ( t  .+  u ) ) )
551, 2, 3, 10tendodi1 34089 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  o.  (
t P u ) )  =  ( ( s  o.  t ) P ( s  o.  u ) ) )
5615oveqd 6313 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
5756adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
581, 2, 3, 10tendoplcl 34086 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t P u )  e.  E )
59583adant3r1 1214 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t P u )  e.  E )
601, 2, 3, 4, 12erngmul 34111 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t P u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6130, 42, 59, 60syl12anc 1262 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6257, 61eqtrd 2461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6315oveqdr 6320 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  u
)  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
641, 2, 3, 4, 12erngmul 34111 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( s  o.  u ) )
65643adantr2 1165 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( s  o.  u ) )
6663, 65eqtrd 2461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  u
)  =  ( s  o.  u ) )
6737, 66oveq12d 6314 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) P ( s  .+  u ) )  =  ( ( s  o.  t ) P ( s  o.  u ) ) )
6855, 62, 673eqtr4d 2471 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( ( s  .+  t ) P ( s  .+  u ) ) )
691, 2, 3, 10tendodi2 34090 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  o.  u
)  =  ( ( s  o.  u ) P ( t  o.  u ) ) )
7015oveqd 6313 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
7170adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
721, 2, 3, 10tendoplcl 34086 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s P t )  e.  E )
73723adant3r3 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s P t )  e.  E )
741, 2, 3, 4, 12erngmul 34111 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s P t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7530, 73, 32, 74syl12anc 1262 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7671, 75eqtrd 2461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7766, 46oveq12d 6314 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  u ) P ( t  .+  u ) )  =  ( ( s  o.  u ) P ( t  o.  u ) ) )
7869, 76, 773eqtr4d 2471 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  u ) P ( t  .+  u ) ) )
791, 2, 3tendoidcl 34074 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
8015oveqd 6313 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) 
.+  s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
8180adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .+  s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
82 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8379adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
84 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  s  e.  E )
851, 2, 3, 4, 12erngmul 34111 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
8682, 83, 84, 85syl12anc 1262 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) s )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
871, 2, 3tendo1mul 34075 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  s )  =  s )
8881, 86, 873eqtrd 2465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .+  s )  =  s )
8915oveqd 6313 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) ) )
9089adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
911, 2, 3, 4, 12erngmul 34111 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
9282, 84, 83, 91syl12anc 1262 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
931, 2, 3tendo1mulr 34076 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  o.  (  _I  |`  T ) )  =  s )
9490, 92, 933eqtrd 2465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  s )
957, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94isringd 17743 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    |-> cmpt 4475    _I cid 4755   `'ccnv 4844    |` cres 4847    o. ccom 4849   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   Basecbs 15073   +g cplusg 15142   .rcmulr 15143   Ringcrg 17708   HLchlt 32654   LHypclh 33287   LTrncltrn 33404   TEndoctendo 34057   EDRingcedring 34058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-riotaBAD 32263
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-undef 7019  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-0g 15292  df-preset 16117  df-poset 16135  df-plt 16148  df-lub 16164  df-glb 16165  df-join 16166  df-meet 16167  df-p0 16229  df-p1 16230  df-lat 16236  df-clat 16298  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-grp 16617  df-mgp 17652  df-ring 17710  df-oposet 32480  df-ol 32482  df-oml 32483  df-covers 32570  df-ats 32571  df-atl 32602  df-cvlat 32626  df-hlat 32655  df-llines 32801  df-lplanes 32802  df-lvols 32803  df-lines 32804  df-psubsp 32806  df-pmap 32807  df-padd 33099  df-lhyp 33291  df-laut 33292  df-ldil 33407  df-ltrn 33408  df-trl 33463  df-tendo 34060  df-edring 34062
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  34296  eringring  34297
  Copyright terms: Public domain W3C validator