Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3 Structured version   Unicode version

Theorem erngdvlem3 34657
Description: Lemma for erngrng 34659. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erngdv.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
erngdv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngdv.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngdv.p  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
erngdv.o  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
erngdv.i  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m  |-  .+  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b
) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Distinct variable groups:    B, f    a, b, E    f, a, K, b    f, H    T, a, b, f    W, a, b, f
Allowed substitution hints:    B( a, b)    D( f, a, b)    P( f, a, b)    .+ ( f, a, b)    E( f)    H( a, b)    I( f, a, b)    .0. ( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngdv.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngdv.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase 34468 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2448 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
91, 2, 3, 4, 8erngfplus 34469 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
10 erngdv.p . . 3  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
119, 10syl6reqr 2494 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
12 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul 34472 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b ) ) )
14 erngrnglem.m . . 3  |-  .+  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( a  o.  b
) )
1513, 14syl6reqr 2494 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( .r
`  D ) )
16 erngdv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
17 erngdv.o . . 3  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
18 erngdv.i . . 3  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1 34655 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
2015oveqd 6127 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  t
)  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
21203ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  =  ( s ( .r `  D ) t ) )
221, 2, 3, 4, 12erngmul 34473 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( s  o.  t ) )
23223impb 1183 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) t )  =  ( s  o.  t
) )
2421, 23eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  =  ( s  o.  t ) )
251, 3tendococl 34439 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  o.  t )  e.  E
)
2624, 25eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s  .+  t )  e.  E
)
27 coass 5375 . . 3  |-  ( ( s  o.  t )  o.  u )  =  ( s  o.  (
t  o.  u ) )
2815oveqd 6127 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  t ) ( .r `  D
) u ) )
2928adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  t ) ( .r `  D
) u ) )
30 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31263adant3r3 1198 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  e.  E )
32 simpr3 996 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  u  e.  E )
331, 2, 3, 4, 12erngmul 34473 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s 
.+  t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s  .+  t )  o.  u ) )
3430, 31, 32, 33syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s  .+  t )  o.  u ) )
3515proplem3 14648 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
36223adantr3 1149 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( s  o.  t ) )
3735, 36eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  t
)  =  ( s  o.  t ) )
3837coeq1d 5020 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  o.  u
)  =  ( ( s  o.  t )  o.  u ) )
3929, 34, 383eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( ( s  o.  t )  o.  u ) )
4015oveqd 6127 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s ( .r `  D
) ( t  .+  u ) ) )
4140adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s ( .r `  D
) ( t  .+  u ) ) )
42 simpr1 994 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
4315proplem3 14648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
441, 2, 3, 4, 12erngmul 34473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( t  o.  u ) )
45443adantr1 1147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( t  o.  u ) )
4643, 45eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  =  ( t  o.  u ) )
471, 3tendococl 34439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t  o.  u )  e.  E
)
48473adant3r1 1196 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  o.  u
)  e.  E )
4946, 48eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t  .+  u
)  e.  E )
501, 2, 3, 4, 12erngmul 34473 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t 
.+  u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t  .+  u ) )  =  ( s  o.  ( t  .+  u ) ) )
5130, 42, 49, 50syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t  .+  u ) )  =  ( s  o.  ( t  .+  u ) ) )
5246coeq2d 5021 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  o.  (
t  .+  u )
)  =  ( s  o.  ( t  o.  u ) ) )
5341, 51, 523eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t  .+  u )
)  =  ( s  o.  ( t  o.  u ) ) )
5427, 39, 533eqtr4a 2501 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t )  .+  u
)  =  ( s 
.+  ( t  .+  u ) ) )
551, 2, 3, 10tendodi1 34451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  o.  (
t P u ) )  =  ( ( s  o.  t ) P ( s  o.  u ) ) )
5615oveqd 6127 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
5756adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
581, 2, 3, 10tendoplcl 34448 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t P u )  e.  E )
59583adant3r1 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t P u )  e.  E )
601, 2, 3, 4, 12erngmul 34473 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t P u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6130, 42, 59, 60syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6257, 61eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( s  o.  ( t P u ) ) )
6315proplem3 14648 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  u
)  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
641, 2, 3, 4, 12erngmul 34473 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( s  o.  u ) )
65643adantr2 1148 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( s  o.  u ) )
6663, 65eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  u
)  =  ( s  o.  u ) )
6737, 66oveq12d 6128 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  t ) P ( s  .+  u ) )  =  ( ( s  o.  t ) P ( s  o.  u ) ) )
6855, 62, 673eqtr4d 2485 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s  .+  (
t P u ) )  =  ( ( s  .+  t ) P ( s  .+  u ) ) )
691, 2, 3, 10tendodi2 34452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  o.  u
)  =  ( ( s  o.  u ) P ( t  o.  u ) ) )
7015oveqd 6127 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
7170adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
721, 2, 3, 10tendoplcl 34448 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s P t )  e.  E )
73723adant3r3 1198 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s P t )  e.  E )
741, 2, 3, 4, 12erngmul 34473 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s P t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7530, 73, 32, 74syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7671, 75eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s P t )  o.  u ) )
7766, 46oveq12d 6128 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s  .+  u ) P ( t  .+  u ) )  =  ( ( s  o.  u ) P ( t  o.  u ) ) )
7869, 76, 773eqtr4d 2485 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t )  .+  u
)  =  ( ( s  .+  u ) P ( t  .+  u ) ) )
791, 2, 3tendoidcl 34436 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
8015oveqd 6127 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) 
.+  s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
8180adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .+  s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
82 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8379adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
84 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  s  e.  E )
851, 2, 3, 4, 12erngmul 34473 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
8682, 83, 84, 85syl12anc 1216 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) s )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
871, 2, 3tendo1mul 34437 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  s )  =  s )
8881, 86, 873eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  .+  s )  =  s )
8915oveqd 6127 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) ) )
9089adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
911, 2, 3, 4, 12erngmul 34473 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
9282, 84, 83, 91syl12anc 1216 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
931, 2, 3tendo1mulr 34438 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  o.  (  _I  |`  T ) )  =  s )
9490, 92, 933eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  .+  (  _I  |`  T ) )  =  s )
957, 11, 15, 19, 26, 54, 68, 78, 79, 88, 94isrngd 16698 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e. cmpt 4369    _I cid 4650   `'ccnv 4858    |` cres 4861    o. ccom 4863   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   Basecbs 14193   +g cplusg 14257   .rcmulr 14258   Ringcrg 16664   HLchlt 33018   LHypclh 33651   LTrncltrn 33768   TEndoctendo 34419   EDRingcedring 34420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-riotaBAD 32627
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-undef 6811  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-fz 11457  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-0g 14399  df-poset 15135  df-plt 15147  df-lub 15163  df-glb 15164  df-join 15165  df-meet 15166  df-p0 15228  df-p1 15229  df-lat 15235  df-clat 15297  df-mnd 15434  df-grp 15564  df-mgp 16611  df-rng 16666  df-oposet 32844  df-ol 32846  df-oml 32847  df-covers 32934  df-ats 32935  df-atl 32966  df-cvlat 32990  df-hlat 33019  df-llines 33165  df-lplanes 33166  df-lvols 33167  df-lines 33168  df-psubsp 33170  df-pmap 33171  df-padd 33463  df-lhyp 33655  df-laut 33656  df-ldil 33771  df-ltrn 33772  df-trl 33826  df-tendo 34422  df-edring 34424
This theorem is referenced by:  erngdvlem4  34658  erngrng  34659
  Copyright terms: Public domain W3C validator