Theorem erngdvlem3-rN 31480

Description: Lemma for erngrng 31474. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h-r	|- H = ( LHyp ` K )
ernggrp.d-r	|- D = ( ( EDRing R ` K ) ` W )
ernggrplem.b-r	|- B = ( Base ` K )
ernggrplem.t-r	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
ernggrplem.e-r	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
ernggrplem.p-r	|- P = ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) )
ernggrplem.o-r	|- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
ernggrplem.i-r	|- I = ( a e. E |-> ( f e. T |-> `' ( a ` f ) ) )
erngrnglem.m-r	|- M = ( a e. E , b e. E |-> ( b o. a ) )

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem3-rN	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> D e. Ring )

Distinct variable groups:   B, f   a, b, E   f, a, K, b   f, H   T, a, b, f   W, a, b, f

Allowed substitution hints:   B( a, b)   D( f, a, b)   P( f, a, b)   E( f)   H( a, b)   I( f, a, b)   M( f, a, b)   O( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN

Dummy variables t s u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h-r	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
2		ernggrplem.t-r	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		ernggrplem.e-r	. . . 4 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4		ernggrp.d-r	. . . 4 |- D = ( ( EDRing R ` K ) ` W )
5		eqid 2404	. . . 4 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase-rN 31291	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( Base ` D ) = E )
7	6	eqcomd 2409	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E = ( Base ` D ) )
8		eqid 2404	. . . 4 |- ( +g ` D ) = ( +g ` D )
9	1, 2, 3, 4, 8	erngfplus-rN 31292	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( +g ` D ) = ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) ) )
10		ernggrplem.p-r	. . 3 |- P = ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) )
11	9, 10	syl6reqr 2455	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> P = ( +g ` D ) )
12		eqid 2404	. . . 4 |- ( .r ` D ) = ( .r ` D )
13	1, 2, 3, 4, 12	erngfmul-rN 31295	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( .r ` D ) = ( a e. E , b e. E |-> ( b o. a ) ) )
14		erngrnglem.m-r	. . 3 |- M = ( a e. E , b e. E |-> ( b o. a ) )
15	13, 14	syl6reqr 2455	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> M = ( .r ` D ) )
16		ernggrplem.b-r	. . 3 |- B = ( Base ` K )
17		ernggrplem.o-r	. . 3 |- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
18		ernggrplem.i-r	. . 3 |- I = ( a e. E |-> ( f e. T |-> `' ( a ` f ) ) )
19	1, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18	erngdvlem1-rN 31478	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> D e. Grp )
20	15	oveqd 6057	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( s M t ) = ( s ( .r ` D ) t ) )
21	20	3ad2ant1 978	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s M t ) = ( s ( .r ` D ) t ) )
22	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 31296	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) t ) = ( t o. s ) )
23	22	3impb 1149	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s ( .r ` D ) t ) = ( t o. s ) )
24	21, 23	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s M t ) = ( t o. s ) )
25	1, 3	tendococl 31254	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ s e. E ) -> ( t o. s ) e. E )
26	25	3com23 1159	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( t o. s ) e. E )
27	24, 26	eqeltrd 2478	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s M t ) e. E )
28	15	proplem3 13871	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t M u ) = ( t ( .r ` D ) u ) )
29	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 31296	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t ( .r ` D ) u ) = ( u o. t ) )
30	29	3adantr1 1116	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t ( .r ` D ) u ) = ( u o. t ) )
31	28, 30	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t M u ) = ( u o. t ) )
32	31	coeq1d 4993	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( t M u ) o. s ) = ( ( u o. t ) o. s ) )
33	15	oveqd 6057	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( s M ( t M u ) ) = ( s ( .r ` D ) ( t M u ) ) )
34	33	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M ( t M u ) ) = ( s ( .r ` D ) ( t M u ) ) )
35		simpl 444	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
36		simpr1 963	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> s e. E )
37		simpr3 965	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> u e. E )
38		simpr2 964	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> t e. E )
39	1, 3	tendococl 31254	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ u e. E /\ t e. E ) -> ( u o. t ) e. E )
40	35, 37, 38, 39	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( u o. t ) e. E )
41	31, 40	eqeltrd 2478	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t M u ) e. E )
42	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 31296	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ ( t M u ) e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) ( t M u ) ) = ( ( t M u ) o. s ) )
43	35, 36, 41, 42	syl12anc 1182	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) ( t M u ) ) = ( ( t M u ) o. s ) )
44	34, 43	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M ( t M u ) ) = ( ( t M u ) o. s ) )
45	15	oveqd 6057	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( s M t ) M u ) = ( ( s M t ) ( .r ` D ) u ) )
46	45	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) M u ) = ( ( s M t ) ( .r ` D ) u ) )
47	27	3adant3r3 1164	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M t ) e. E )
48	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 31296	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( s M t ) e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) ( .r ` D ) u ) = ( u o. ( s M t ) ) )
49	35, 47, 37, 48	syl12anc 1182	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) ( .r ` D ) u ) = ( u o. ( s M t ) ) )
50	15	proplem3 13871	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M t ) = ( s ( .r ` D ) t ) )
51	22	3adantr3 1118	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) t ) = ( t o. s ) )
52	50, 51	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M t ) = ( t o. s ) )
53	52	coeq2d 4994	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( u o. ( s M t ) ) = ( u o. ( t o. s ) ) )
54	46, 49, 53	3eqtrd 2440	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) M u ) = ( u o. ( t o. s ) ) )
55		coass 5347	. . . 4 |- ( ( u o. t ) o. s ) = ( u o. ( t o. s ) )
56	54, 55	syl6eqr 2454	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) M u ) = ( ( u o. t ) o. s ) )
57	32, 44, 56	3eqtr4rd 2447	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) M u ) = ( s M ( t M u ) ) )
58	1, 2, 3, 10	tendodi2 31267	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. E /\ u e. E /\ s e. E ) ) -> ( ( t P u ) o. s ) = ( ( t o. s ) P ( u o. s ) ) )
59	35, 38, 37, 36, 58	syl13anc 1186	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( t P u ) o. s ) = ( ( t o. s ) P ( u o. s ) ) )
60	15	oveqd 6057	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( s M ( t P u ) ) = ( s ( .r ` D ) ( t P u ) ) )
61	60	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M ( t P u ) ) = ( s ( .r ` D ) ( t P u ) ) )
62	1, 2, 3, 10	tendoplcl 31263	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ u e. E ) -> ( t P u ) e. E )
63	35, 38, 37, 62	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t P u ) e. E )
64	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 31296	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ ( t P u ) e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) ( t P u ) ) = ( ( t P u ) o. s ) )
65	35, 36, 63, 64	syl12anc 1182	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) ( t P u ) ) = ( ( t P u ) o. s ) )
66	61, 65	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M ( t P u ) ) = ( ( t P u ) o. s ) )
67	15	proplem3 13871	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M u ) = ( s ( .r ` D ) u ) )
68	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 31296	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ u e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) u ) = ( u o. s ) )
69	68	3adantr2 1117	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) u ) = ( u o. s ) )
70	67, 69	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M u ) = ( u o. s ) )
71	52, 70	oveq12d 6058	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) P ( s M u ) ) = ( ( t o. s ) P ( u o. s ) ) )
72	59, 66, 71	3eqtr4d 2446	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M ( t P u ) ) = ( ( s M t ) P ( s M u ) ) )
73	1, 2, 3, 10	tendodi1 31266	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( u e. E /\ s e. E /\ t e. E ) ) -> ( u o. ( s P t ) ) = ( ( u o. s ) P ( u o. t ) ) )
74	35, 37, 36, 38, 73	syl13anc 1186	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( u o. ( s P t ) ) = ( ( u o. s ) P ( u o. t ) ) )
75	15	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> M = ( .r ` D ) )
76	75	oveqd 6057	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s P t ) M u ) = ( ( s P t ) ( .r ` D ) u ) )
77	1, 2, 3, 10	tendoplcl 31263	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s P t ) e. E )
78	77	3adant3r3 1164	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s P t ) e. E )
79	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 31296	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( s P t ) e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s P t ) ( .r ` D ) u ) = ( u o. ( s P t ) ) )
80	35, 78, 37, 79	syl12anc 1182	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s P t ) ( .r ` D ) u ) = ( u o. ( s P t ) ) )
81	76, 80	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s P t ) M u ) = ( u o. ( s P t ) ) )
82	70, 31	oveq12d 6058	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M u ) P ( t M u ) ) = ( ( u o. s ) P ( u o. t ) ) )
83	74, 81, 82	3eqtr4d 2446	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s P t ) M u ) = ( ( s M u ) P ( t M u ) ) )
84	1, 2, 3	tendoidcl 31251	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) e. E )
85	15	oveqd 6057	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( _I |` T ) M s ) = ( ( _I |` T ) ( .r ` D ) s ) )
86	85	adantr 452	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( ( _I |` T ) M s ) = ( ( _I |` T ) ( .r ` D ) s ) )
87		simpl 444	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
88	84	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( _I |` T ) e. E )
89		simpr 448	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> s e. E )
90	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 31296	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( _I |` T ) e. E /\ s e. E ) ) -> ( ( _I |` T ) ( .r ` D ) s ) = ( s o. ( _I |` T ) ) )
91	87, 88, 89, 90	syl12anc 1182	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( ( _I |` T ) ( .r ` D ) s ) = ( s o. ( _I |` T ) ) )
92	1, 2, 3	tendo1mulr 31253	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( s o. ( _I |` T ) ) = s )
93	86, 91, 92	3eqtrd 2440	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( ( _I |` T ) M s ) = s )
94	15	oveqd 6057	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( s M ( _I |` T ) ) = ( s ( .r ` D ) ( _I |` T ) ) )
95	94	adantr 452	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( s M ( _I |` T ) ) = ( s ( .r ` D ) ( _I |` T ) ) )
96	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 31296	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ ( _I |` T ) e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) ( _I |` T ) ) = ( ( _I |` T ) o. s ) )
97	87, 89, 88, 96	syl12anc 1182	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( s ( .r ` D ) ( _I |` T ) ) = ( ( _I |` T ) o. s ) )
98	1, 2, 3	tendo1mul 31252	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( ( _I |` T ) o. s ) = s )
99	95, 97, 98	3eqtrd 2440	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( s M ( _I |` T ) ) = s )
100	7, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99	isrngd 15653	1 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> D e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   e. cmpt 4226   _I cid 4453   `'ccnv 4836   |` cres 4839   o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   e. cmpt2 6042   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   Ringcrg 15615   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   TEndoctendo 31234   EDRing Rcedring-rN 31236

This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  31481  erngrng-rN  31482

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237  df-edring-rN 31238