Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem3-rN Structured version   Unicode version

Theorem erngdvlem3-rN 36195
Description: Lemma for eringring 36189. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d-r  |-  D  =  ( ( EDRingR `  K ) `  W
)
ernggrplem.b-r  |-  B  =  ( Base `  K
)
ernggrplem.t-r  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
ernggrplem.e-r  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
ernggrplem.p-r  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
ernggrplem.o-r  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
ernggrplem.i-r  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
erngrnglem.m-r  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem3-rN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Distinct variable groups:    B, f    a, b, E    f, a, K, b    f, H    T, a, b, f    W, a, b, f
Allowed substitution hints:    B( a, b)    D( f, a, b)    P( f, a, b)    E( f)    H( a, b)    I( f, a, b)    M( f, a, b)    O( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h-r . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 ernggrplem.t-r . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 ernggrplem.e-r . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d-r . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRingR `  K ) `  W
)
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase-rN 36006 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2475 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
8 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
91, 2, 3, 4, 8erngfplus-rN 36007 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
10 ernggrplem.p-r . . 3  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
119, 10syl6reqr 2527 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
131, 2, 3, 4, 12erngfmul-rN 36010 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( .r `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a ) ) )
14 erngrnglem.m-r . . 3  |-  M  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( b  o.  a
) )
1513, 14syl6reqr 2527 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  M  =  ( .r
`  D ) )
16 ernggrplem.b-r . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
17 ernggrplem.o-r . . 3  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
18 ernggrplem.i-r . . 3  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
191, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18erngdvlem1-rN 36193 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
2015oveqd 6312 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
21203ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  =  ( s ( .r
`  D ) t ) )
221, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36011 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
23223impb 1192 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) t )  =  ( t  o.  s
) )
2421, 23eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  =  ( t  o.  s
) )
251, 3tendococl 35969 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  s  e.  E
)  ->  ( t  o.  s )  e.  E
)
26253com23 1202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( t  o.  s )  e.  E
)
2724, 26eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s M t )  e.  E )
2815proplem3 14963 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  =  ( t ( .r `  D
) u ) )
291, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36011 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  t ) )
30293adantr1 1155 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  t ) )
3128, 30eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  =  ( u  o.  t ) )
3231coeq1d 5170 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( t M u )  o.  s
)  =  ( ( u  o.  t )  o.  s ) )
3315oveqd 6312 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M ( t M u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t M u ) ) )
3433adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t M u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t M u ) ) )
35 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
36 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
s  e.  E )
37 simpr3 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  u  e.  E )
38 simpr2 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
t  e.  E )
391, 3tendococl 35969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  u  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( u  o.  t )  e.  E
)
4035, 37, 38, 39syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  t
)  e.  E )
4131, 40eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t M u )  e.  E )
421, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36011 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t M u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4335, 36, 41, 42syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4434, 43eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t M u ) )  =  ( ( t M u )  o.  s ) )
4515oveqd 6312 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( s M t ) M u )  =  ( ( s M t ) ( .r `  D
) u ) )
4645adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( ( s M t ) ( .r `  D
) u ) )
47273adant3r3 1207 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  e.  E )
481, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36011 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s M t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s M t ) ) )
4935, 47, 37, 48syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s M t ) ) )
5015proplem3 14963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  =  ( s ( .r `  D
) t ) )
51223adantr3 1157 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) t )  =  ( t  o.  s ) )
5250, 51eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M t )  =  ( t  o.  s ) )
5352coeq2d 5171 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s M t ) )  =  ( u  o.  ( t  o.  s ) ) )
5446, 49, 533eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( u  o.  ( t  o.  s ) ) )
55 coass 5532 . . . 4  |-  ( ( u  o.  t )  o.  s )  =  ( u  o.  (
t  o.  s ) )
5654, 55syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( ( u  o.  t )  o.  s ) )
5732, 44, 563eqtr4rd 2519 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) M u )  =  ( s M ( t M u ) ) )
581, 2, 3, 10tendodi2 35982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( t  e.  E  /\  u  e.  E  /\  s  e.  E ) )  -> 
( ( t P u )  o.  s
)  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
5935, 38, 37, 36, 58syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( t P u )  o.  s
)  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
6015oveqd 6312 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M ( t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
6160adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( s ( .r `  D
) ( t P u ) ) )
621, 2, 3, 10tendoplcl 35978 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E
)  ->  ( t P u )  e.  E )
6335, 38, 37, 62syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( t P u )  e.  E )
641, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36011 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  ( t P u )  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6535, 36, 63, 64syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6661, 65eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( ( t P u )  o.  s ) )
6715proplem3 14963 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M u )  =  ( s ( .r `  D
) u ) )
681, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36011 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  s ) )
69683adantr2 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  s ) )
7067, 69eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M u )  =  ( u  o.  s ) )
7152, 70oveq12d 6313 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M t ) P ( s M u ) )  =  ( ( t  o.  s ) P ( u  o.  s ) ) )
7259, 66, 713eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s M ( t P u ) )  =  ( ( s M t ) P ( s M u ) ) )
731, 2, 3, 10tendodi1 35981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  E  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s P t ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
7435, 37, 36, 38, 73syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( u  o.  (
s P t ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
7515adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  ->  M  =  ( .r `  D ) )
7675oveqd 6312 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( ( s P t ) ( .r `  D
) u ) )
771, 2, 3, 10tendoplcl 35978 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s P t )  e.  E )
78773adant3r3 1207 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( s P t )  e.  E )
791, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36011 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( s P t )  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8035, 78, 37, 79syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) ( .r
`  D ) u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8176, 80eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( u  o.  ( s P t ) ) )
8270, 31oveq12d 6313 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s M u ) P ( t M u ) )  =  ( ( u  o.  s ) P ( u  o.  t ) ) )
8374, 81, 823eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) M u )  =  ( ( s M u ) P ( t M u ) ) )
841, 2, 3tendoidcl 35966 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  E )
8515oveqd 6312 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
8685adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s ) )
87 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8884adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  (  _I  |`  T )  e.  E
)
89 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  s  e.  E )
901, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36011 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( (  _I  |`  T )  e.  E  /\  s  e.  E
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) ( .r `  D
) s )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
9187, 88, 89, 90syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) ( .r `  D ) s )  =  ( s  o.  (  _I  |`  T ) ) )
921, 2, 3tendo1mulr 35968 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s  o.  (  _I  |`  T ) )  =  s )
9386, 91, 923eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T ) M s )  =  s )
9415oveqd 6312 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( s M (  _I  |`  T )
)  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
9594adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s M (  _I  |`  T ) )  =  ( s ( .r `  D
) (  _I  |`  T ) ) )
961, 2, 3, 4, 12erngmul-rN 36011 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  (  _I  |`  T )  e.  E
) )  ->  (
s ( .r `  D ) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
9787, 89, 88, 96syl12anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s
( .r `  D
) (  _I  |`  T ) )  =  ( (  _I  |`  T )  o.  s ) )
981, 2, 3tendo1mul 35967 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (  _I  |`  T )  o.  s )  =  s )
9995, 97, 983eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( s M (  _I  |`  T ) )  =  s )
1007, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99isringd 17105 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4511    _I cid 4796   `'ccnv 5004    |` cres 5007    o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   .rcmulr 14573   Ringcrg 17070   HLchlt 34548   LHypclh 35181   LTrncltrn 35298   TEndoctendo 35949   EDRingRcedring-rN 35951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34157
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-mgp 17014  df-ring 17072  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-llines 34695  df-lplanes 34696  df-lvols 34697  df-lines 34698  df-psubsp 34700  df-pmap 34701  df-padd 34993  df-lhyp 35185  df-laut 35186  df-ldil 35301  df-ltrn 35302  df-trl 35356  df-tendo 35952  df-edring-rN 35953
This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  36196  erngring-rN  36197
  Copyright terms: Public domain W3C validator