Theorem erngdvlem3-rN 34482

Description: Lemma for erngrng 34476. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h-r	|- H = ( LHyp ` K )
ernggrp.d-r	|- D = ( ( EDRingR ` K ) ` W )
ernggrplem.b-r	|- B = ( Base ` K )
ernggrplem.t-r	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
ernggrplem.e-r	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
ernggrplem.p-r	|- P = ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) )
ernggrplem.o-r	|- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
ernggrplem.i-r	|- I = ( a e. E |-> ( f e. T |-> `' ( a ` f ) ) )
erngrnglem.m-r	|- M = ( a e. E , b e. E |-> ( b o. a ) )

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem3-rN	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> D e. Ring )

Distinct variable groups:   B, f   a, b, E   f, a, K, b   f, H   T, a, b, f   W, a, b, f

Allowed substitution hints:   B( a, b)   D( f, a, b)   P( f, a, b)   E( f)   H( a, b)   I( f, a, b)   M( f, a, b)   O( f, a, b)

Proof of Theorem erngdvlem3-rN

Dummy variables t s u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h-r	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
2		ernggrplem.t-r	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		ernggrplem.e-r	. . . 4 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4		ernggrp.d-r	. . . 4 |- D = ( ( EDRingR ` K ) ` W )
5		eqid 2438	. . . 4 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase-rN 34293	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( Base ` D ) = E )
7	6	eqcomd 2443	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E = ( Base ` D ) )
8		eqid 2438	. . . 4 |- ( +g ` D ) = ( +g ` D )
9	1, 2, 3, 4, 8	erngfplus-rN 34294	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( +g ` D ) = ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) ) )
10		ernggrplem.p-r	. . 3 |- P = ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) )
11	9, 10	syl6reqr 2489	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> P = ( +g ` D ) )
12		eqid 2438	. . . 4 |- ( .r ` D ) = ( .r ` D )
13	1, 2, 3, 4, 12	erngfmul-rN 34297	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( .r ` D ) = ( a e. E , b e. E |-> ( b o. a ) ) )
14		erngrnglem.m-r	. . 3 |- M = ( a e. E , b e. E |-> ( b o. a ) )
15	13, 14	syl6reqr 2489	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> M = ( .r ` D ) )
16		ernggrplem.b-r	. . 3 |- B = ( Base ` K )
17		ernggrplem.o-r	. . 3 |- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
18		ernggrplem.i-r	. . 3 |- I = ( a e. E |-> ( f e. T |-> `' ( a ` f ) ) )
19	1, 4, 16, 2, 3, 10, 17, 18	erngdvlem1-rN 34480	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> D e. Grp )
20	15	oveqd 6103	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( s M t ) = ( s ( .r ` D ) t ) )
21	20	3ad2ant1 1009	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s M t ) = ( s ( .r ` D ) t ) )
22	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 34298	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) t ) = ( t o. s ) )
23	22	3impb 1183	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s ( .r ` D ) t ) = ( t o. s ) )
24	21, 23	eqtrd 2470	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s M t ) = ( t o. s ) )
25	1, 3	tendococl 34256	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ s e. E ) -> ( t o. s ) e. E )
26	25	3com23 1193	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( t o. s ) e. E )
27	24, 26	eqeltrd 2512	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s M t ) e. E )
28	15	proplem3 14621	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t M u ) = ( t ( .r ` D ) u ) )
29	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 34298	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t ( .r ` D ) u ) = ( u o. t ) )
30	29	3adantr1 1147	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t ( .r ` D ) u ) = ( u o. t ) )
31	28, 30	eqtrd 2470	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t M u ) = ( u o. t ) )
32	31	coeq1d 4996	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( t M u ) o. s ) = ( ( u o. t ) o. s ) )
33	15	oveqd 6103	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( s M ( t M u ) ) = ( s ( .r ` D ) ( t M u ) ) )
34	33	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M ( t M u ) ) = ( s ( .r ` D ) ( t M u ) ) )
35		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
36		simpr1 994	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> s e. E )
37		simpr3 996	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> u e. E )
38		simpr2 995	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> t e. E )
39	1, 3	tendococl 34256	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ u e. E /\ t e. E ) -> ( u o. t ) e. E )
40	35, 37, 38, 39	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( u o. t ) e. E )
41	31, 40	eqeltrd 2512	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t M u ) e. E )
42	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 34298	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ ( t M u ) e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) ( t M u ) ) = ( ( t M u ) o. s ) )
43	35, 36, 41, 42	syl12anc 1216	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) ( t M u ) ) = ( ( t M u ) o. s ) )
44	34, 43	eqtrd 2470	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M ( t M u ) ) = ( ( t M u ) o. s ) )
45	15	oveqd 6103	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( s M t ) M u ) = ( ( s M t ) ( .r ` D ) u ) )
46	45	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) M u ) = ( ( s M t ) ( .r ` D ) u ) )
47	27	3adant3r3 1198	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M t ) e. E )
48	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 34298	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( s M t ) e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) ( .r ` D ) u ) = ( u o. ( s M t ) ) )
49	35, 47, 37, 48	syl12anc 1216	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) ( .r ` D ) u ) = ( u o. ( s M t ) ) )
50	15	proplem3 14621	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M t ) = ( s ( .r ` D ) t ) )
51	22	3adantr3 1149	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) t ) = ( t o. s ) )
52	50, 51	eqtrd 2470	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M t ) = ( t o. s ) )
53	52	coeq2d 4997	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( u o. ( s M t ) ) = ( u o. ( t o. s ) ) )
54	46, 49, 53	3eqtrd 2474	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) M u ) = ( u o. ( t o. s ) ) )
55		coass 5351	. . . 4 |- ( ( u o. t ) o. s ) = ( u o. ( t o. s ) )
56	54, 55	syl6eqr 2488	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) M u ) = ( ( u o. t ) o. s ) )
57	32, 44, 56	3eqtr4rd 2481	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) M u ) = ( s M ( t M u ) ) )
58	1, 2, 3, 10	tendodi2 34269	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. E /\ u e. E /\ s e. E ) ) -> ( ( t P u ) o. s ) = ( ( t o. s ) P ( u o. s ) ) )
59	35, 38, 37, 36, 58	syl13anc 1220	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( t P u ) o. s ) = ( ( t o. s ) P ( u o. s ) ) )
60	15	oveqd 6103	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( s M ( t P u ) ) = ( s ( .r ` D ) ( t P u ) ) )
61	60	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M ( t P u ) ) = ( s ( .r ` D ) ( t P u ) ) )
62	1, 2, 3, 10	tendoplcl 34265	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ u e. E ) -> ( t P u ) e. E )
63	35, 38, 37, 62	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( t P u ) e. E )
64	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 34298	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ ( t P u ) e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) ( t P u ) ) = ( ( t P u ) o. s ) )
65	35, 36, 63, 64	syl12anc 1216	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) ( t P u ) ) = ( ( t P u ) o. s ) )
66	61, 65	eqtrd 2470	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M ( t P u ) ) = ( ( t P u ) o. s ) )
67	15	proplem3 14621	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M u ) = ( s ( .r ` D ) u ) )
68	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 34298	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ u e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) u ) = ( u o. s ) )
69	68	3adantr2 1148	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) u ) = ( u o. s ) )
70	67, 69	eqtrd 2470	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M u ) = ( u o. s ) )
71	52, 70	oveq12d 6104	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M t ) P ( s M u ) ) = ( ( t o. s ) P ( u o. s ) ) )
72	59, 66, 71	3eqtr4d 2480	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s M ( t P u ) ) = ( ( s M t ) P ( s M u ) ) )
73	1, 2, 3, 10	tendodi1 34268	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( u e. E /\ s e. E /\ t e. E ) ) -> ( u o. ( s P t ) ) = ( ( u o. s ) P ( u o. t ) ) )
74	35, 37, 36, 38, 73	syl13anc 1220	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( u o. ( s P t ) ) = ( ( u o. s ) P ( u o. t ) ) )
75	15	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> M = ( .r ` D ) )
76	75	oveqd 6103	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s P t ) M u ) = ( ( s P t ) ( .r ` D ) u ) )
77	1, 2, 3, 10	tendoplcl 34265	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s P t ) e. E )
78	77	3adant3r3 1198	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( s P t ) e. E )
79	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 34298	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( s P t ) e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s P t ) ( .r ` D ) u ) = ( u o. ( s P t ) ) )
80	35, 78, 37, 79	syl12anc 1216	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s P t ) ( .r ` D ) u ) = ( u o. ( s P t ) ) )
81	76, 80	eqtrd 2470	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s P t ) M u ) = ( u o. ( s P t ) ) )
82	70, 31	oveq12d 6104	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s M u ) P ( t M u ) ) = ( ( u o. s ) P ( u o. t ) ) )
83	74, 81, 82	3eqtr4d 2480	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ u e. E ) ) -> ( ( s P t ) M u ) = ( ( s M u ) P ( t M u ) ) )
84	1, 2, 3	tendoidcl 34253	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) e. E )
85	15	oveqd 6103	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( _I |` T ) M s ) = ( ( _I |` T ) ( .r ` D ) s ) )
86	85	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( ( _I |` T ) M s ) = ( ( _I |` T ) ( .r ` D ) s ) )
87		simpl 457	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
88	84	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( _I |` T ) e. E )
89		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> s e. E )
90	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 34298	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( _I |` T ) e. E /\ s e. E ) ) -> ( ( _I |` T ) ( .r ` D ) s ) = ( s o. ( _I |` T ) ) )
91	87, 88, 89, 90	syl12anc 1216	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( ( _I |` T ) ( .r ` D ) s ) = ( s o. ( _I |` T ) ) )
92	1, 2, 3	tendo1mulr 34255	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( s o. ( _I |` T ) ) = s )
93	86, 91, 92	3eqtrd 2474	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( ( _I |` T ) M s ) = s )
94	15	oveqd 6103	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( s M ( _I |` T ) ) = ( s ( .r ` D ) ( _I |` T ) ) )
95	94	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( s M ( _I |` T ) ) = ( s ( .r ` D ) ( _I |` T ) ) )
96	1, 2, 3, 4, 12	erngmul-rN 34298	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ ( _I |` T ) e. E ) ) -> ( s ( .r ` D ) ( _I |` T ) ) = ( ( _I |` T ) o. s ) )
97	87, 89, 88, 96	syl12anc 1216	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( s ( .r ` D ) ( _I |` T ) ) = ( ( _I |` T ) o. s ) )
98	1, 2, 3	tendo1mul 34254	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( ( _I |` T ) o. s ) = s )
99	95, 97, 98	3eqtrd 2474	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( s M ( _I |` T ) ) = s )
100	7, 11, 15, 19, 27, 57, 72, 83, 84, 93, 99	isrngd 16667	1 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> D e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   e. cmpt 4345   _I cid 4626   `'ccnv 4834   |` cres 4837   o. ccom 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   e. cmpt2 6088   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   .rcmulr 14231   Ringcrg 16633   HLchlt 32835   LHypclh 33468   LTrncltrn 33585   TEndoctendo 34236   EDRingRcedring-rN 34238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-riotaBAD 32444

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-undef 6784  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-0g 14372  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-mgp 16580  df-rng 16635  df-oposet 32661  df-ol 32663  df-oml 32664  df-covers 32751  df-ats 32752  df-atl 32783  df-cvlat 32807  df-hlat 32836  df-llines 32982  df-lplanes 32983  df-lvols 32984  df-lines 32985  df-psubsp 32987  df-pmap 32988  df-padd 33280  df-lhyp 33472  df-laut 33473  df-ldil 33588  df-ltrn 33589  df-trl 33643  df-tendo 34239  df-edring-rN 34240

This theorem is referenced by:  erngdvlem4-rN  34483  erngrng-rN  34484