Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem1 Structured version   Unicode version

Theorem erngdvlem1 36454
Description: Lemma for eringring 36458. (Contributed by NM, 4-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ernggrp.d  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
erngdv.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
erngdv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
erngdv.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
erngdv.p  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
erngdv.o  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
erngdv.i  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
Assertion
Ref Expression
erngdvlem1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
Distinct variable groups:    B, f    a, b, E    f, a, K, b    f, H    T, a, b, f    W, a, b, f
Allowed substitution hints:    B( a, b)    D( f, a, b)    P( f, a, b)    E( f)    H( a, b)    I( f, a, b)    .0. ( f,
a, b)

Proof of Theorem erngdvlem1
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 erngdv.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 erngdv.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
4 ernggrp.d . . . 4  |-  D  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
61, 2, 3, 4, 5erngbase 36267 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  D
)  =  E )
76eqcomd 2451 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E  =  ( Base `  D ) )
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
91, 2, 3, 4, 8erngfplus 36268 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  D
)  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  ( b `  f ) ) ) ) )
10 erngdv.p . . 3  |-  P  =  ( a  e.  E ,  b  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( a `  f )  o.  (
b `  f )
) ) )
119, 10syl6reqr 2503 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  P  =  ( +g  `  D ) )
121, 2, 3, 10tendoplcl 36247 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E  /\  t  e.  E
)  ->  ( s P t )  e.  E )
131, 2, 3, 10tendoplass 36249 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  E  /\  t  e.  E  /\  u  e.  E ) )  -> 
( ( s P t ) P u )  =  ( s P ( t P u ) ) )
14 erngdv.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
15 erngdv.o . . 3  |-  .0.  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 36256 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  e.  E )
1714, 1, 2, 3, 15, 10tendo0pl 36257 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  (  .0.  P s )  =  s )
18 erngdv.i . . 3  |-  I  =  ( a  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( a `  f ) ) )
191, 2, 3, 18tendoicl 36262 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( I `  s )  e.  E
)
201, 2, 3, 18, 14, 10, 15tendoipl 36263 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  s  e.  E
)  ->  ( (
I `  s ) P s )  =  .0.  )
217, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 20isgrpd 15949 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    |-> cmpt 4495    _I cid 4780   `'ccnv 4988    |` cres 4991    o. ccom 4993   ` cfv 5578    |-> cmpt2 6283   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   Grpcgrp 15927   HLchlt 34815   LHypclh 35448   LTrncltrn 35565   TEndoctendo 36218   EDRingcedring 36219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34424
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-0g 14716  df-preset 15431  df-poset 15449  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-oposet 34641  df-ol 34643  df-oml 34644  df-covers 34731  df-ats 34732  df-atl 34763  df-cvlat 34787  df-hlat 34816  df-llines 34962  df-lplanes 34963  df-lvols 34964  df-lines 34965  df-psubsp 34967  df-pmap 34968  df-padd 35260  df-lhyp 35452  df-laut 35453  df-ldil 35568  df-ltrn 35569  df-trl 35624  df-tendo 36221  df-edring 36223
This theorem is referenced by:  erngdvlem2N  36455  erngdvlem3  36456  erngdvlem4  36457
  Copyright terms: Public domain W3C validator