Theorem erelem3 7444

Description: Lemma for ereALT 7454.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
erelem3	|- (z e. NN -> (0 <_ (G` z) /\ (G` z) <_ (F` z)))

Distinct variable groups:   x,y,z   z,F   z,G

Proof of Theorem erelem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5529	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		ltle 5609	. . . . 5 |- ((0 e. RR /\ (1 / (!` z)) e. RR) -> (0 < (1 / (!` z)) -> 0 <_ (1 / (!` z))))
3	1, 2	mpan 698	. . . 4 |- ((1 / (!` z)) e. RR -> (0 < (1 / (!` z)) -> 0 <_ (1 / (!` z))))
4		rereccl 5887	. . . . 5 |- (((!` z) e. RR /\ (!` z) =/= 0) -> (1 / (!` z)) e. RR)
5		nnnn0 6216	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> z e. NN0)
6		faccl 7063	. . . . . . 7 |- (z e. NN0 -> (!` z) e. NN)
7	5, 6	syl 10	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (!` z) e. NN)
8		nnre 6016	. . . . . 6 |- ((!` z) e. NN -> (!` z) e. RR)
9	7, 8	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> (!` z) e. RR)
10		nnne0 6036	. . . . . 6 |- ((!` z) e. NN -> (!` z) =/= 0)
11	7, 10	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> (!` z) =/= 0)
12	4, 9, 11	sylanc 473	. . . 4 |- (z e. NN -> (1 / (!` z)) e. RR)
13		recgt0 5946	. . . . 5 |- (((!` z) e. RR /\ 0 < (!` z)) -> 0 < (1 / (!` z)))
14		nngt0 6033	. . . . . 6 |- ((!` z) e. NN -> 0 < (!` z))
15	7, 14	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> 0 < (!` z))
16	13, 9, 15	sylanc 473	. . . 4 |- (z e. NN -> 0 < (1 / (!` z)))
17	3, 12, 16	sylc 68	. . 3 |- (z e. NN -> 0 <_ (1 / (!` z)))
18		fveq2 3800	. . . . 5 |- (x = z -> (!` x) = (!` z))
19	18	opreq2d 4052	. . . 4 |- (x = z -> (1 / (!` x)) = (1 / (!` z)))
20		erelem1.2	. . . 4 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}
21		oprex 4059	. . . 4 |- (1 / (!` z)) e. V
22	19, 20, 21	fvopab4 3856	. . 3 |- (z e. NN -> (G` z) = (1 / (!` z)))
23	17, 22	breqtrrd 2691	. 2 |- (z e. NN -> 0 <_ (G` z))
24		faclbnd2 7069	. . . . . 6 |- (z e. NN0 -> ((2^z) / 2) <_ (!` z))
25	5, 24	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> ((2^z) / 2) <_ (!` z))
26		lerec 5972	. . . . . 6 |- (((((2^z) / 2) e. RR /\ 0 < ((2^z) / 2)) /\ ((!` z) e. RR /\ 0 < (!` z))) -> (((2^z) / 2) <_ (!` z) <-> (1 / (!` z)) <_ (1 / ((2^z) / 2))))
27		2re 6067	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
28		reexpcl 6703	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ z e. NN0) -> (2^z) e. RR)
29	28, 5	sylan2 453	. . . . . . . 8 |- ((2 e. RR /\ z e. NN) -> (2^z) e. RR)
30	27, 29	mpan 698	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (2^z) e. RR)
31		rehalfcl 6122	. . . . . . 7 |- ((2^z) e. RR -> ((2^z) / 2) e. RR)
32	30, 31	syl 10	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((2^z) / 2) e. RR)
33		2pos 6077	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
34	27, 33	pm3.2i 283	. . . . . . . 8 |- (2 e. RR /\ 0 < 2)
35		divgt0 5940	. . . . . . . 8 |- ((((2^z) e. RR /\ 0 < (2^z)) /\ (2 e. RR /\ 0 < 2)) -> 0 < ((2^z) / 2))
36	34, 35	mpan2 699	. . . . . . 7 |- (((2^z) e. RR /\ 0 < (2^z)) -> 0 < ((2^z) / 2))
37		expgt0 6712	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ z e. NN0 /\ 0 < 2) -> 0 < (2^z))
38	37, 5	syl3an2 863	. . . . . . . 8 |- ((2 e. RR /\ z e. NN /\ 0 < 2) -> 0 < (2^z))
39	27, 33, 38	mp3an13 910	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> 0 < (2^z))
40	36, 30, 39	sylanc 473	. . . . . 6 |- (z e. NN -> 0 < ((2^z) / 2))
41	26, 32, 40, 9, 15	syl2anc 474	. . . . 5 |- (z e. NN -> (((2^z) / 2) <_ (!` z) <-> (1 / (!` z)) <_ (1 / ((2^z) / 2))))
42	25, 41	mpbid 193	. . . 4 |- (z e. NN -> (1 / (!` z)) <_ (1 / ((2^z) / 2)))
43		2cn 6068	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
44		divrec 5822	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ (2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) -> (2 / (2^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
45	43, 44	mp3an1 906	. . . . . 6 |- (((2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) -> (2 / (2^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
46	30	recnd 5404	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (2^z) e. CC)
47		gt0ne0 5707	. . . . . . 7 |- (((2^z) e. RR /\ 0 < (2^z)) -> (2^z) =/= 0)
48	47, 30, 39	sylanc 473	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (2^z) =/= 0)
49	45, 46, 48	sylanc 473	. . . . 5 |- (z e. NN -> (2 / (2^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
50		2ne0 6078	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
51	43, 50	pm3.2i 283	. . . . . . 7 |- (2 e. CC /\ 2 =/= 0)
52		recdiv 5873	. . . . . . 7 |- ((((2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 / (2^z)))
53	51, 52	mpan2 699	. . . . . 6 |- (((2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 / (2^z)))
54	53, 46, 48	sylanc 473	. . . . 5 |- (z e. NN -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 / (2^z)))
55		recexpOLD 6718	. . . . . . . 8 |- ((2 e. CC /\ z e. NN0 /\ 2 =/= 0) -> ((1 / 2)^z) = (1 / (2^z)))
56	55, 5	syl3an2 863	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ z e. NN /\ 2 =/= 0) -> ((1 / 2)^z) = (1 / (2^z)))
57	43, 50, 56	mp3an13 910	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((1 / 2)^z) = (1 / (2^z)))
58	57	opreq2d 4052	. . . . 5 |- (z e. NN -> (2 x. ((1 / 2)^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
59	49, 54, 58	3eqtr4d 1554	. . . 4 |- (z e. NN -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
60	42, 59	breqtrd 2689	. . 3 |- (z e. NN -> (1 / (!` z)) <_ (2 x. ((1 / 2)^z)))
61		opreq2 4045	. . . . 5 |- (x = z -> ((1 / 2)^x) = ((1 / 2)^z))
62	61	opreq2d 4052	. . . 4 |- (x = z -> (2 x. ((1 / 2)^x)) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
63		erelem1.1	. . . 4 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
64		oprex 4059	. . . 4 |- (2 x. ((1 / 2)^z)) e. V
65	62, 63, 64	fvopab4 3856	. . 3 |- (z e. NN -> (F` z) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
66	60, 22, 65	3brtr4d 2695	. 2 |- (z e. NN -> (G` z) <_ (F` z))
67	23, 66	jca 286	1 |- (z e. NN -> (0 <_ (G` z) /\ (G` z) <_ (F` z)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990   =/= wne 1622   class class class wbr 2669  {copab 2717  ` cfv 3237  (class class class)co 4039  CCcc 5321  RRcr 5322  0cc0 5323  1c1 5324   x. cmul 5328   / cdiv 5383   <_ cle 5384  NNcn 5385  NN0cn0 5386   < clt 5575  2c2 6049  ^cexp 6691  !cfa 7054

This theorem is referenced by:  erelem4 7445  ele3lem 7449  ege2le3lem1 7450  ege2le3lem2 7452

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131