MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ere Structured version   Unicode version

Theorem ere 14033
Description: Euler's constant  _e = 2.71828... is a real number. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Steve Rodriguez, 8-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
ere  |-  _e  e.  RR

Proof of Theorem ere
StepHypRef Expression
1 df-e 14013 . 2  |-  _e  =  ( exp `  1 )
2 1re 9625 . . 3  |-  1  e.  RR
3 reefcl 14031 . . 3  |-  ( 1  e.  RR  ->  ( exp `  1 )  e.  RR )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( exp `  1 )  e.  RR
51, 4eqeltri 2486 1  |-  _e  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1842   ` cfv 5569   RRcr 9521   1c1 9523   expce 14006   _eceu 14007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-e 14013
This theorem is referenced by:  ege2le3  14034  eirrlem  14146  egt2lt3  14148  epos  14149  epr  14150  ene0  14151  ene1  14152  logdivlti  23299  logdivlt  23300  logdivle  23301  ecxp  23348  elogb  23437  logblog  23459  cxploglim2  23634  harmonicbnd3  23663  bposlem7  23946  bposlem9  23948  chebbnd1lem2  24036  chebbnd1lem3  24037  chebbnd1  24038  dchrvmasumlema  24066  logdivsum  24099  mulog2sumlem2  24101  selberg3lem1  24123  pntpbnd1a  24151  pntpbnd2  24153  pntlemb  24163  pntlemj  24169  pntlemk  24172  subfaclim  29485  subfacval3  29486  stirlinglem3  37226  stirlinglem4  37227  stirlinglem13  37236  stirlinglem15  37238  stirlingr  37240  etransclem18  37403  etransclem23  37408  etransclem46  37431  etransclem47  37432  etransclem48  37433  etransc  37434
  Copyright terms: Public domain W3C validator