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Theorem erdszelem8 27086
Description: Lemma for erdsze 27090. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
erdszelem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
erdszelem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 1 ... N ) )
erdszelem.l  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
erdszelem8  |-  ( ph  ->  ( ( K `  A )  =  ( K `  B )  ->  -.  ( F `  A ) O ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, A, y    x, O, y   
x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem8
Dummy variables  w  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf 12110 . . . . 5  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
2 ffun 5561 . . . . 5  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  Fun  # )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  #
4 erdszelem.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
5 erdsze.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 erdsze.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
7 erdszelem.k . . . . . 6  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
8 erdszelem.o . . . . . 6  |-  O  Or  RR
95, 6, 7, 8erdszelem5 27083 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  A )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
104, 9mpdan 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  A
)  e.  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } ) )
11 fvelima 5743 . . . 4  |-  ( ( Fun  #  /\  ( K `  A )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )  ->  E. f  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }  ( # `  f )  =  ( K `  A ) )
123, 10, 11sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  ( # `
 f )  =  ( K `  A
) )
13 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
1413erdszelem1 27079 . . . . 5  |-  ( f  e.  { y  e. 
~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) }  <->  ( f  C_  ( 1 ... A
)  /\  ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  /\  A  e.  f ) )
15 fzfid 11795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( 1 ... A
)  e.  Fin )
16 simplr1 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
f  C_  ( 1 ... A ) )
17 ssfi 7533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... A
)  e.  Fin  /\  f  C_  ( 1 ... A ) )  -> 
f  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
f  e.  Fin )
19 hashcl 12126 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  Fin  ->  ( # `
 f )  e. 
NN0 )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  f )  e.  NN0 )
2120nn0red 10637 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  f )  e.  RR )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) }
2322erdszelem2 27080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  B  e.  y ) } ) 
C_  NN )
2423simpri 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } )  C_  NN
25 nnssre 10326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  C_  RR
2624, 25sstri 3365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } )  C_  RR
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) 
C_  RR )
28 erdszelem.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  B )
29 elfznn 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  NN )
304, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
3130nnred 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32 erdszelem.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 1 ... N ) )
33 elfznn 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ( 1 ... N )  ->  B  e.  NN )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3534nnred 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3631, 35ltnled 9521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
3728, 36mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  B  <_  A
)
38 elfzle2 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ( 1 ... A )  ->  B  <_  A )
3937, 38nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  ( 1 ... A ) )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  -.  B  e.  (
1 ... A ) )
4116, 40ssneldd 3359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  -.  B  e.  f
)
4232ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  B  e.  ( 1 ... N ) )
43 hashunsng 12154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( f  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  f )  ->  ( # `  (
f  u.  { B } ) )  =  ( ( # `  f
)  +  1 ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( f  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  f )  ->  ( # `
 ( f  u. 
{ B } ) )  =  ( (
# `  f )  +  1 ) ) )
4518, 41, 44mp2and 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  ( f  u.  { B }
) )  =  ( ( # `  f
)  +  1 ) )
46 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  ZZ )
474, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
48 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ( 1 ... N )  ->  B  e.  ZZ )
4932, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
5031, 35, 28ltled 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
51 eluz2 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) )
5247, 49, 50, 51syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )
53 fzss2 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( 1 ... A )  C_  ( 1 ... B
) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... A
)  C_  ( 1 ... B ) )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( 1 ... A
)  C_  ( 1 ... B ) )
5616, 55sstrd 3366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
f  C_  ( 1 ... B ) )
57 elfz1end 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  NN  <->  B  e.  ( 1 ... B
) )
5834, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 1 ... B ) )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  B  e.  ( 1 ... B ) )
6059snssd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  { B }  C_  (
1 ... B ) )
6156, 60unssd 3532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( f  u.  { B } )  C_  (
1 ... B ) )
62 simplr2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( F  |`  f
)  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f ) ) )
63 f1f 5606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
646, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
66 elfzuz3 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  A )
)
67 fzss2 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( 1 ... A )  C_  ( 1 ... N
) )
684, 66, 673syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 1 ... A
)  C_  ( 1 ... N ) )
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( 1 ... A
)  C_  ( 1 ... N ) )
7016, 69sstrd 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
f  C_  ( 1 ... N ) )
71 fzssuz 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
72 uzssz 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
73 zssre 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ZZ  C_  RR
7472, 73sstri 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
7571, 74sstri 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
76 ltso 9455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <  Or  RR
77 soss 4659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  ( 1 ... N
) ) )
7875, 76, 77mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  <  Or  ( 1 ... N
)
79 soisores 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... N )  /\  O  Or  RR )  /\  ( F : ( 1 ... N ) --> RR  /\  f  C_  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  <->  A. z  e.  f  A. w  e.  f  ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
8078, 8, 79mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  f  C_  (
1 ... N ) )  ->  ( ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  <->  A. z  e.  f  A. w  e.  f  ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
8165, 70, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  <->  A. z  e.  f  A. w  e.  f  ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
8262, 81mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A. z  e.  f  A. w  e.  f 
( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 w ) ) )
8382r19.21bi 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A. w  e.  f  ( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 w ) ) )
8416sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  z  e.  ( 1 ... A ) )
85 elfzle2 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  ( 1 ... A )  ->  z  <_  A )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  z  <_  A )
8770sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  z  e.  ( 1 ... N ) )
8875, 87sseldi 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  z  e.  RR )
894ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
9089, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A  e.  NN )
9190nnred 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A  e.  RR )
9288, 91lenltd 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( z  <_  A  <->  -.  A  <  z ) )
9386, 92mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  -.  A  <  z
)
9462adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F  |`  f
)  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f ) ) )
95 simplr3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A  e.  f )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A  e.  f )
97 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  z  e.  f )
98 isorel 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  |`  f
)  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f ) )  /\  ( A  e.  f  /\  z  e.  f ) )  -> 
( A  <  z  <->  ( ( F  |`  f
) `  A ) O ( ( F  |`  f ) `  z
) ) )
99 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  e.  f  ->  (
( F  |`  f
) `  A )  =  ( F `  A ) )
100 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  f  ->  (
( F  |`  f
) `  z )  =  ( F `  z ) )
10199, 100breqan12d 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  f  /\  z  e.  f )  ->  ( ( ( F  |`  f ) `  A
) O ( ( F  |`  f ) `  z )  <->  ( F `  A ) O ( F `  z ) ) )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  |`  f
)  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f ) )  /\  ( A  e.  f  /\  z  e.  f ) )  -> 
( ( ( F  |`  f ) `  A
) O ( ( F  |`  f ) `  z )  <->  ( F `  A ) O ( F `  z ) ) )
10398, 102bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  |`  f
)  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f ) )  /\  ( A  e.  f  /\  z  e.  f ) )  -> 
( A  <  z  <->  ( F `  A ) O ( F `  z ) ) )
10494, 96, 97, 103syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( A  <  z  <->  ( F `  A ) O ( F `  z ) ) )
10593, 104mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  -.  ( F `  A ) O ( F `  z ) )
106 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F `  A
) O ( F `
 B ) )
10765adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
108107, 87ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
109107, 89ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F `  A
)  e.  RR )
11042adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  B  e.  ( 1 ... N ) )
111107, 110ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F `  B
)  e.  RR )
112 sotr2 4670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( O  Or  RR  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR ) )  ->  ( ( -.  ( F `  A
) O ( F `
 z )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( F `  z
) O ( F `
 B ) ) )
1138, 112mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  A )  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  ->  (
( -.  ( F `
 A ) O ( F `  z
)  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  ( F `  z ) O ( F `  B ) ) )
114108, 109, 111, 113syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( ( -.  ( F `  A ) O ( F `  z )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( F `  z
) O ( F `
 B ) ) )
115105, 106, 114mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F `  z
) O ( F `
 B ) )
116115a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 B ) ) )
117 elsni 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  { B }  ->  w  =  B )
118117fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  { B }  ->  ( F `  w
)  =  ( F `
 B ) )
119118breq2d 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  { B }  ->  ( ( F `  z ) O ( F `  w )  <-> 
( F `  z
) O ( F `
 B ) ) )
120119imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  { B }  ->  ( ( z  < 
w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) )  <->  ( z  < 
w  ->  ( F `  z ) O ( F `  B ) ) ) )
121116, 120syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( w  e.  { B }  ->  ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
122121ralrimiv 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A. w  e.  { B }  ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
123 ralunb 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 w ) )  <-> 
( A. w  e.  f  ( z  < 
w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) )  /\  A. w  e.  { B }  (
z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
12483, 122, 123sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
125124ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A. z  e.  f  A. w  e.  (
f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
12661sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( f  u.  { B } ) )  ->  w  e.  ( 1 ... B
) )
127 elfzle2 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  ( 1 ... B )  ->  w  <_  B )
128127adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( 1 ... B ) )  ->  w  <_  B
)
129 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  ( 1 ... B )  ->  w  e.  ZZ )
130129zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  e.  ( 1 ... B )  ->  w  e.  RR )
131130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( 1 ... B ) )  ->  w  e.  RR )
13235ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( 1 ... B ) )  ->  B  e.  RR )
133131, 132lenltd 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( 1 ... B ) )  ->  ( w  <_  B 
<->  -.  B  <  w
) )
134128, 133mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( 1 ... B ) )  ->  -.  B  <  w )
135126, 134syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( f  u.  { B } ) )  ->  -.  B  <  w )
136135pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( f  u.  { B } ) )  ->  ( B  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
137136ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A. w  e.  (
f  u.  { B } ) ( B  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
138 elsni 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  { B }  ->  z  =  B )
139138breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  { B }  ->  ( z  <  w  <->  B  <  w ) )
140139imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { B }  ->  ( ( z  < 
w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) )  <->  ( B  < 
w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
141140ralbidv 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  { B }  ->  ( A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) )  <->  A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( B  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
142137, 141syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( z  e.  { B }  ->  A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
143142ralrimiv 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A. z  e.  { B } A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
144 ralunb 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( f  u.  { B } ) A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) )  <->  ( A. z  e.  f  A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 w ) )  /\  A. z  e. 
{ B } A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 w ) ) ) )
145125, 143, 144sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A. z  e.  (
f  u.  { B } ) A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
14642snssd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  { B }  C_  (
1 ... N ) )
14770, 146unssd 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( f  u.  { B } )  C_  (
1 ... N ) )
148 soisores 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... N )  /\  O  Or  RR )  /\  ( F : ( 1 ... N ) --> RR  /\  ( f  u.  { B }
)  C_  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( f  u. 
{ B } ) )  Isom  <  ,  O  ( ( f  u. 
{ B } ) ,  ( F "
( f  u.  { B } ) ) )  <->  A. z  e.  (
f  u.  { B } ) A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
14978, 8, 148mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  ( f  u. 
{ B } ) 
C_  ( 1 ... N ) )  -> 
( ( F  |`  ( f  u.  { B } ) )  Isom  <  ,  O  ( (
f  u.  { B } ) ,  ( F " ( f  u.  { B }
) ) )  <->  A. z  e.  ( f  u.  { B } ) A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
15065, 147, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( F  |`  ( f  u.  { B } ) )  Isom  <  ,  O  ( (
f  u.  { B } ) ,  ( F " ( f  u.  { B }
) ) )  <->  A. z  e.  ( f  u.  { B } ) A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
151145, 150mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( F  |`  (
f  u.  { B } ) )  Isom  <  ,  O  ( (
f  u.  { B } ) ,  ( F " ( f  u.  { B }
) ) ) )
152 ssun2 3520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { B }  C_  ( f  u. 
{ B } )
153 snssg 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ( 1 ... B )  ->  ( B  e.  ( f  u.  { B } )  <->  { B }  C_  (
f  u.  { B } ) ) )
15459, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( B  e.  ( f  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( f  u. 
{ B } ) ) )
155152, 154mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  B  e.  ( f  u.  { B } ) )
15622erdszelem1 27079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  u.  { B } )  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) }  <->  ( (
f  u.  { B } )  C_  (
1 ... B )  /\  ( F  |`  ( f  u.  { B }
) )  Isom  <  ,  O  ( ( f  u.  { B }
) ,  ( F
" ( f  u. 
{ B } ) ) )  /\  B  e.  ( f  u.  { B } ) ) )
15761, 151, 155, 156syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( f  u.  { B } )  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } )
158 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
159 snex 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { B }  e.  _V
160158, 159unex 6378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  u.  { B }
)  e.  _V
1611fdmi 5564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  #  =  _V
162160, 161eleqtrri 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  u.  { B }
)  e.  dom  #
163 funfvima 5952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  #  /\  (
f  u.  { B } )  e.  dom  # )  ->  ( (
f  u.  { B } )  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) }  ->  (
# `  ( f  u.  { B } ) )  e.  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) ) )
1643, 162, 163mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  u.  { B } )  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) }  ->  (
# `  ( f  u.  { B } ) )  e.  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) )
165157, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  ( f  u.  { B }
) )  e.  (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) )
16645, 165eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  1 )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) )
167 ne0i 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  f
)  +  1 )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } )  ->  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } )  =/=  (/) )
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } )  =/=  (/) )
16923simpli 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } )  e. 
Fin
170 fimaxre2 10278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) 
C_  RR  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  B  e.  y ) } )  e.  Fin )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) w  <_  z )
17127, 169, 170sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) w  <_  z )
172 suprub 10291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) 
C_  RR  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  B  e.  y ) } )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) w  <_  z )  /\  ( ( # `  f
)  +  1 )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) )  ->  ( ( # `
 f )  +  1 )  <_  sup ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  ) )
17327, 168, 171, 166, 172syl31anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  1 )  <_  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
1745, 6, 7erdszelem3 27081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K `  B )  =  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
17532, 174syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  B
)  =  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  ) )
176175ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( K `  B
)  =  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  ) )
177173, 176breqtrrd 4318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  1 )  <_  ( K `  B ) )
1785, 6, 7, 8erdszelem6 27084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> NN )
179178, 32ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K `  B
)  e.  NN )
180179ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( K `  B
)  e.  NN )
181180nnnn0d 10636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( K `  B
)  e.  NN0 )
182 nn0ltp1le 10702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( K `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  f
)  <  ( K `  B )  <->  ( ( # `
 f )  +  1 )  <_  ( K `  B )
) )
18320, 181, 182syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( # `  f
)  <  ( K `  B )  <->  ( ( # `
 f )  +  1 )  <_  ( K `  B )
) )
184177, 183mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  f )  <  ( K `  B ) )
18521, 184ltned 9510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  f )  =/=  ( K `  B ) )
186185ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  C_  ( 1 ... A
)  /\  ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  /\  A  e.  f ) )  -> 
( ( F `  A ) O ( F `  B )  ->  ( # `  f
)  =/=  ( K `
 B ) ) )
187 neeq1 2616 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  f )  =  ( K `  A )  ->  (
( # `  f )  =/=  ( K `  B )  <->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) )
188187imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( (
# `  f )  =  ( K `  A )  ->  (
( ( F `  A ) O ( F `  B )  ->  ( # `  f
)  =/=  ( K `
 B ) )  <-> 
( ( F `  A ) O ( F `  B )  ->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) ) )
189186, 188syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  C_  ( 1 ... A
)  /\  ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  /\  A  e.  f ) )  -> 
( ( # `  f
)  =  ( K `
 A )  -> 
( ( F `  A ) O ( F `  B )  ->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) ) )
19014, 189sylan2b 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  ->  ( ( # `  f )  =  ( K `  A )  ->  ( ( F `
 A ) O ( F `  B
)  ->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) ) )
191190rexlimdva 2841 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f  e. 
{ y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }  ( # `  f )  =  ( K `  A )  ->  ( ( F `
 A ) O ( F `  B
)  ->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) ) )
19212, 191mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A ) O ( F `  B )  ->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) )
193192necon2bd 2660 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  A )  =  ( K `  B )  ->  -.  ( F `  A ) O ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    u. cun 3326    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    Or wor 4640   dom cdm 4840    |` cres 4842   "cima 4843   Fun wfun 5412   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   ` cfv 5418    Isom wiso 5419  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   supcsup 7690   RRcr 9281   1c1 9283    + caddc 9285   +oocpnf 9415    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   #chash 12103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-hash 12104
This theorem is referenced by:  erdszelem9  27087
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