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Theorem erdszelem8 28310
Description: Lemma for erdsze 28314. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
erdszelem.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
erdszelem.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 1 ... N ) )
erdszelem.l  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
erdszelem8  |-  ( ph  ->  ( ( K `  A )  =  ( K `  B )  ->  -.  ( F `  A ) O ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, A, y    x, O, y   
x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem8
Dummy variables  w  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf 12380 . . . . 5  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
2 ffun 5733 . . . . 5  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  Fun  # )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  #
4 erdszelem.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
5 erdsze.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 erdsze.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
7 erdszelem.k . . . . . 6  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
8 erdszelem.o . . . . . 6  |-  O  Or  RR
95, 6, 7, 8erdszelem5 28307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  A )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
104, 9mpdan 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  A
)  e.  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } ) )
11 fvelima 5919 . . . 4  |-  ( ( Fun  #  /\  ( K `  A )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )  ->  E. f  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }  ( # `  f )  =  ( K `  A ) )
123, 10, 11sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  E. f  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  ( # `
 f )  =  ( K `  A
) )
13 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
1413erdszelem1 28303 . . . . 5  |-  ( f  e.  { y  e. 
~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) }  <->  ( f  C_  ( 1 ... A
)  /\  ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  /\  A  e.  f ) )
15 fzfid 12051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( 1 ... A
)  e.  Fin )
16 simplr1 1038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
f  C_  ( 1 ... A ) )
17 ssfi 7740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... A
)  e.  Fin  /\  f  C_  ( 1 ... A ) )  -> 
f  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
f  e.  Fin )
19 hashcl 12396 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  Fin  ->  ( # `
 f )  e. 
NN0 )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  f )  e.  NN0 )
2120nn0red 10853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  f )  e.  RR )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) }
2322erdszelem2 28304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  B  e.  y ) } ) 
C_  NN )
2423simpri 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } )  C_  NN
25 nnssre 10540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  C_  RR
2624, 25sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } )  C_  RR
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) 
C_  RR )
28 erdszelem.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <  B )
29 elfznn 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  NN )
304, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
3130nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
32 erdszelem.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 1 ... N ) )
33 elfznn 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ( 1 ... N )  ->  B  e.  NN )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3534nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3631, 35ltnled 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
3728, 36mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  B  <_  A
)
38 elfzle2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ( 1 ... A )  ->  B  <_  A )
3937, 38nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  ( 1 ... A ) )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  -.  B  e.  (
1 ... A ) )
4116, 40ssneldd 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  -.  B  e.  f
)
4232ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  B  e.  ( 1 ... N ) )
43 hashunsng 12427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( f  e.  Fin  /\ 
-.  B  e.  f )  ->  ( # `  (
f  u.  { B } ) )  =  ( ( # `  f
)  +  1 ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( f  e. 
Fin  /\  -.  B  e.  f )  ->  ( # `
 ( f  u. 
{ B } ) )  =  ( (
# `  f )  +  1 ) ) )
4518, 41, 44mp2and 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  ( f  u.  { B }
) )  =  ( ( # `  f
)  +  1 ) )
46 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  A  e.  ZZ )
474, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
48 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ( 1 ... N )  ->  B  e.  ZZ )
4932, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
5031, 35, 28ltled 9732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
51 eluz2 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) )
5247, 49, 50, 51syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )
53 fzss2 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( 1 ... A )  C_  ( 1 ... B
) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... A
)  C_  ( 1 ... B ) )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( 1 ... A
)  C_  ( 1 ... B ) )
5616, 55sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
f  C_  ( 1 ... B ) )
57 elfz1end 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  NN  <->  B  e.  ( 1 ... B
) )
5834, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 1 ... B ) )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  B  e.  ( 1 ... B ) )
6059snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  { B }  C_  (
1 ... B ) )
6156, 60unssd 3680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( f  u.  { B } )  C_  (
1 ... B ) )
62 simplr2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( F  |`  f
)  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f ) ) )
63 f1f 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
646, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
66 elfzuz3 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  A )
)
67 fzss2 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( 1 ... A )  C_  ( 1 ... N
) )
684, 66, 673syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 1 ... A
)  C_  ( 1 ... N ) )
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( 1 ... A
)  C_  ( 1 ... N ) )
7016, 69sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
f  C_  ( 1 ... N ) )
71 fzssuz 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
72 uzssz 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
73 zssre 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ZZ  C_  RR
7472, 73sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
7571, 74sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
76 ltso 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <  Or  RR
77 soss 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  ( 1 ... N
) ) )
7875, 76, 77mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  <  Or  ( 1 ... N
)
79 soisores 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... N )  /\  O  Or  RR )  /\  ( F : ( 1 ... N ) --> RR  /\  f  C_  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  <->  A. z  e.  f  A. w  e.  f  ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
8078, 8, 79mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  f  C_  (
1 ... N ) )  ->  ( ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  <->  A. z  e.  f  A. w  e.  f  ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
8165, 70, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  <->  A. z  e.  f  A. w  e.  f  ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
8262, 81mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A. z  e.  f  A. w  e.  f 
( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 w ) ) )
8382r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A. w  e.  f  ( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 w ) ) )
8416sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  z  e.  ( 1 ... A ) )
85 elfzle2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  ( 1 ... A )  ->  z  <_  A )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  z  <_  A )
8770sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  z  e.  ( 1 ... N ) )
8875, 87sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  z  e.  RR )
894ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A  e.  ( 1 ... N ) )
9089, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A  e.  NN )
9190nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A  e.  RR )
9288, 91lenltd 9730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( z  <_  A  <->  -.  A  <  z ) )
9386, 92mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  -.  A  <  z
)
9462adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F  |`  f
)  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f ) ) )
95 simplr3 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A  e.  f )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A  e.  f )
97 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  z  e.  f )
98 isorel 6210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  |`  f
)  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f ) )  /\  ( A  e.  f  /\  z  e.  f ) )  -> 
( A  <  z  <->  ( ( F  |`  f
) `  A ) O ( ( F  |`  f ) `  z
) ) )
99 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  e.  f  ->  (
( F  |`  f
) `  A )  =  ( F `  A ) )
100 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  f  ->  (
( F  |`  f
) `  z )  =  ( F `  z ) )
10199, 100breqan12d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  f  /\  z  e.  f )  ->  ( ( ( F  |`  f ) `  A
) O ( ( F  |`  f ) `  z )  <->  ( F `  A ) O ( F `  z ) ) )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  |`  f
)  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f ) )  /\  ( A  e.  f  /\  z  e.  f ) )  -> 
( ( ( F  |`  f ) `  A
) O ( ( F  |`  f ) `  z )  <->  ( F `  A ) O ( F `  z ) ) )
10398, 102bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  |`  f
)  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f ) )  /\  ( A  e.  f  /\  z  e.  f ) )  -> 
( A  <  z  <->  ( F `  A ) O ( F `  z ) ) )
10494, 96, 97, 103syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( A  <  z  <->  ( F `  A ) O ( F `  z ) ) )
10593, 104mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  -.  ( F `  A ) O ( F `  z ) )
106 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F `  A
) O ( F `
 B ) )
10765adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  F : ( 1 ... N ) --> RR )
108107, 87ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
109107, 89ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F `  A
)  e.  RR )
11042adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  B  e.  ( 1 ... N ) )
111107, 110ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F `  B
)  e.  RR )
112 sotr2 4829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( O  Or  RR  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `  A
)  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR ) )  ->  ( ( -.  ( F `  A
) O ( F `
 z )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( F `  z
) O ( F `
 B ) ) )
1138, 112mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  A )  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  ->  (
( -.  ( F `
 A ) O ( F `  z
)  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  ( F `  z ) O ( F `  B ) ) )
114108, 109, 111, 113syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( ( -.  ( F `  A ) O ( F `  z )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( F `  z
) O ( F `
 B ) ) )
115105, 106, 114mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( F `  z
) O ( F `
 B ) )
116115a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 B ) ) )
117 elsni 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  { B }  ->  w  =  B )
118117fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  { B }  ->  ( F `  w
)  =  ( F `
 B ) )
119118breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  { B }  ->  ( ( F `  z ) O ( F `  w )  <-> 
( F `  z
) O ( F `
 B ) ) )
120119imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  { B }  ->  ( ( z  < 
w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) )  <->  ( z  < 
w  ->  ( F `  z ) O ( F `  B ) ) ) )
121116, 120syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  ( w  e.  { B }  ->  ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
122121ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A. w  e.  { B }  ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
123 ralunb 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 w ) )  <-> 
( A. w  e.  f  ( z  < 
w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) )  /\  A. w  e.  { B }  (
z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
12483, 122, 123sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  z  e.  f )  ->  A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
125124ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A. z  e.  f  A. w  e.  (
f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
12661sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( f  u.  { B } ) )  ->  w  e.  ( 1 ... B
) )
127 elfzle2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  ( 1 ... B )  ->  w  <_  B )
128127adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( 1 ... B ) )  ->  w  <_  B
)
129 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  ( 1 ... B )  ->  w  e.  ZZ )
130129zred 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  e.  ( 1 ... B )  ->  w  e.  RR )
131130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( 1 ... B ) )  ->  w  e.  RR )
13235ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( 1 ... B ) )  ->  B  e.  RR )
133131, 132lenltd 9730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( 1 ... B ) )  ->  ( w  <_  B 
<->  -.  B  <  w
) )
134128, 133mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( 1 ... B ) )  ->  -.  B  <  w )
135126, 134syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( f  u.  { B } ) )  ->  -.  B  <  w )
136135pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  C_  (
1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  /\  w  e.  ( f  u.  { B } ) )  ->  ( B  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
137136ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A. w  e.  (
f  u.  { B } ) ( B  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
138 elsni 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  { B }  ->  z  =  B )
139138breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  { B }  ->  ( z  <  w  <->  B  <  w ) )
140139imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { B }  ->  ( ( z  < 
w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) )  <->  ( B  < 
w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
141140ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  { B }  ->  ( A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) )  <->  A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( B  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
142137, 141syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( z  e.  { B }  ->  A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
143142ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A. z  e.  { B } A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
144 ralunb 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  ( f  u.  { B } ) A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) )  <->  ( A. z  e.  f  A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 w ) )  /\  A. z  e. 
{ B } A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z
) O ( F `
 w ) ) ) )
145125, 143, 144sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  A. z  e.  (
f  u.  { B } ) A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) )
14642snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  { B }  C_  (
1 ... N ) )
14770, 146unssd 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( f  u.  { B } )  C_  (
1 ... N ) )
148 soisores 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... N )  /\  O  Or  RR )  /\  ( F : ( 1 ... N ) --> RR  /\  ( f  u.  { B }
)  C_  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( f  u. 
{ B } ) )  Isom  <  ,  O  ( ( f  u. 
{ B } ) ,  ( F "
( f  u.  { B } ) ) )  <->  A. z  e.  (
f  u.  { B } ) A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
14978, 8, 148mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR 
/\  ( f  u. 
{ B } ) 
C_  ( 1 ... N ) )  -> 
( ( F  |`  ( f  u.  { B } ) )  Isom  <  ,  O  ( (
f  u.  { B } ) ,  ( F " ( f  u.  { B }
) ) )  <->  A. z  e.  ( f  u.  { B } ) A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
15065, 147, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( F  |`  ( f  u.  { B } ) )  Isom  <  ,  O  ( (
f  u.  { B } ) ,  ( F " ( f  u.  { B }
) ) )  <->  A. z  e.  ( f  u.  { B } ) A. w  e.  ( f  u.  { B } ) ( z  <  w  ->  ( F `  z ) O ( F `  w ) ) ) )
151145, 150mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( F  |`  (
f  u.  { B } ) )  Isom  <  ,  O  ( (
f  u.  { B } ) ,  ( F " ( f  u.  { B }
) ) ) )
152 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { B }  C_  ( f  u. 
{ B } )
153 snssg 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ( 1 ... B )  ->  ( B  e.  ( f  u.  { B } )  <->  { B }  C_  (
f  u.  { B } ) ) )
15459, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( B  e.  ( f  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( f  u. 
{ B } ) ) )
155152, 154mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  B  e.  ( f  u.  { B } ) )
15622erdszelem1 28303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  u.  { B } )  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) }  <->  ( (
f  u.  { B } )  C_  (
1 ... B )  /\  ( F  |`  ( f  u.  { B }
) )  Isom  <  ,  O  ( ( f  u.  { B }
) ,  ( F
" ( f  u. 
{ B } ) ) )  /\  B  e.  ( f  u.  { B } ) ) )
15761, 151, 155, 156syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( f  u.  { B } )  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } )
158 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
159 snex 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { B }  e.  _V
160158, 159unex 6582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  u.  { B }
)  e.  _V
1611fdmi 5736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  #  =  _V
162160, 161eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  u.  { B }
)  e.  dom  #
163 funfvima 6135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  #  /\  (
f  u.  { B } )  e.  dom  # )  ->  ( (
f  u.  { B } )  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) }  ->  (
# `  ( f  u.  { B } ) )  e.  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) ) )
1643, 162, 163mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  u.  { B } )  e.  {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) }  ->  (
# `  ( f  u.  { B } ) )  e.  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) )
165157, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  ( f  u.  { B }
) )  e.  (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) )
16645, 165eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  1 )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) )
167 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  f
)  +  1 )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } )  ->  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } )  =/=  (/) )
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } )  =/=  (/) )
16923simpli 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } )  e. 
Fin
170 fimaxre2 10491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) 
C_  RR  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  B  e.  y ) } )  e.  Fin )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) w  <_  z )
17127, 169, 170sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) w  <_  z )
172 suprub 10504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) 
C_  RR  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  B  e.  y ) } )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) w  <_  z )  /\  ( ( # `  f
)  +  1 )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) )  ->  ( ( # `
 f )  +  1 )  <_  sup ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  ) )
17327, 168, 171, 166, 172syl31anc 1231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  1 )  <_  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
1745, 6, 7erdszelem3 28305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K `  B )  =  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  B  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
17532, 174syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  B
)  =  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  ) )
176175ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( K `  B
)  =  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... B )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  B  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  ) )
177173, 176breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  1 )  <_  ( K `  B ) )
1785, 6, 7, 8erdszelem6 28308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> NN )
179178, 32ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K `  B
)  e.  NN )
180179ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( K `  B
)  e.  NN )
181180nnnn0d 10852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( K `  B
)  e.  NN0 )
182 nn0ltp1le 10920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( K `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  f
)  <  ( K `  B )  <->  ( ( # `
 f )  +  1 )  <_  ( K `  B )
) )
18320, 181, 182syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( ( # `  f
)  <  ( K `  B )  <->  ( ( # `
 f )  +  1 )  <_  ( K `  B )
) )
184177, 183mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  f )  <  ( K `  B ) )
18521, 184ltned 9720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  f ) 
Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F
" f ) )  /\  A  e.  f ) )  /\  ( F `  A ) O ( F `  B ) )  -> 
( # `  f )  =/=  ( K `  B ) )
186185ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  C_  ( 1 ... A
)  /\  ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  /\  A  e.  f ) )  -> 
( ( F `  A ) O ( F `  B )  ->  ( # `  f
)  =/=  ( K `
 B ) ) )
187 neeq1 2748 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  f )  =  ( K `  A )  ->  (
( # `  f )  =/=  ( K `  B )  <->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) )
188187imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( (
# `  f )  =  ( K `  A )  ->  (
( ( F `  A ) O ( F `  B )  ->  ( # `  f
)  =/=  ( K `
 B ) )  <-> 
( ( F `  A ) O ( F `  B )  ->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) ) )
189186, 188syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  C_  ( 1 ... A
)  /\  ( F  |`  f )  Isom  <  ,  O  ( f ,  ( F " f
) )  /\  A  e.  f ) )  -> 
( ( # `  f
)  =  ( K `
 A )  -> 
( ( F `  A ) O ( F `  B )  ->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) ) )
19014, 189sylan2b 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  ->  ( ( # `  f )  =  ( K `  A )  ->  ( ( F `
 A ) O ( F `  B
)  ->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) ) )
191190rexlimdva 2955 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f  e. 
{ y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }  ( # `  f )  =  ( K `  A )  ->  ( ( F `
 A ) O ( F `  B
)  ->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) ) )
19212, 191mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A ) O ( F `  B )  ->  ( K `  A )  =/=  ( K `  B )
) )
193192necon2bd 2682 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  A )  =  ( K `  B )  ->  -.  ( F `  A ) O ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    Or wor 4799   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588    Isom wiso 5589  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   supcsup 7900   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495   +oocpnf 9625    < clt 9628    <_ cle 9629   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672   #chash 12373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374
This theorem is referenced by:  erdszelem9  28311
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