Theorem erdszelem8 28310

Description: Lemma for erdsze 28314. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	|- ( ph -> N e. NN )
erdsze.f	|- ( ph -> F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k	|- K = ( x e. ( 1 ... N ) |-> sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... x ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ x e. y ) } ) , RR , < ) )
erdszelem.o	|- O Or RR
erdszelem.a	|- ( ph -> A e. ( 1 ... N ) )
erdszelem.b	|- ( ph -> B e. ( 1 ... N ) )
erdszelem.l	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
erdszelem8	|- ( ph -> ( ( K ` A ) = ( K ` B ) -> -. ( F ` A ) O ( F ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   x, A, y   x, O, y   x, N, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem8

Dummy variables w f z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 12380	. . . . 5 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
2		ffun 5733	. . . . 5 |- ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) -> Fun # )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun #
4		erdszelem.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( 1 ... N ) )
5		erdsze.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
6		erdsze.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
7		erdszelem.k	. . . . . 6 |- K = ( x e. ( 1 ... N ) |-> sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... x ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ x e. y ) } ) , RR , < ) )
8		erdszelem.o	. . . . . 6 |- O Or RR
9	5, 6, 7, 8	erdszelem5 28307	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> ( K ` A ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) )
10	4, 9	mpdan 668	. . . 4 |- ( ph -> ( K ` A ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) )
11		fvelima 5919	. . . 4 |- ( ( Fun # /\ ( K ` A ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) ) -> E. f e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ( # ` f ) = ( K ` A ) )
12	3, 10, 11	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> E. f e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ( # ` f ) = ( K ` A ) )
13		eqid 2467	. . . . . 6 |- { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } = { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) }
14	13	erdszelem1 28303	. . . . 5 |- ( f e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } <-> ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) )
15		fzfid 12051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( 1 ... A ) e. Fin )
16		simplr1 1038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> f C_ ( 1 ... A ) )
17		ssfi 7740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... A ) e. Fin /\ f C_ ( 1 ... A ) ) -> f e. Fin )
18	15, 16, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> f e. Fin )
19		hashcl 12396	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. Fin -> ( # ` f ) e. NN0 )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( # ` f ) e. NN0 )
21	20	nn0red 10853	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( # ` f ) e. RR )
22		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } = { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) }
23	22	erdszelem2 28304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) e. Fin /\ ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) C_ NN )
24	23	simpri 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) C_ NN
25		nnssre 10540	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN C_ RR
26	24, 25	sstri 3513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) C_ RR
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) C_ RR )
28		erdszelem.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A < B )
29		elfznn 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ( 1 ... N ) -> A e. NN )
30	4, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. NN )
31	30	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. RR )
32		erdszelem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B e. ( 1 ... N ) )
33		elfznn 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. ( 1 ... N ) -> B e. NN )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> B e. NN )
35	34	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. RR )
36	31, 35	ltnled 9731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
37	28, 36	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -. B <_ A )
38		elfzle2 11690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. ( 1 ... A ) -> B <_ A )
39	37, 38	nsyl 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -. B e. ( 1 ... A ) )
40	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> -. B e. ( 1 ... A ) )
41	16, 40	ssneldd 3507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> -. B e. f )
42	32	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> B e. ( 1 ... N ) )
43		hashunsng 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. ( 1 ... N ) -> ( ( f e. Fin /\ -. B e. f ) -> ( # ` ( f u. { B } ) ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( ( f e. Fin /\ -. B e. f ) -> ( # ` ( f u. { B } ) ) = ( ( # ` f ) + 1 ) ) )
45	18, 41, 44	mp2and 679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( # ` ( f u. { B } ) ) = ( ( # ` f ) + 1 ) )
46		elfzelz 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ( 1 ... N ) -> A e. ZZ )
47	4, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. ZZ )
48		elfzelz 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. ( 1 ... N ) -> B e. ZZ )
49	32, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> B e. ZZ )
50	31, 35, 28	ltled 9732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A <_ B )
51		eluz2 11088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A <_ B ) )
52	47, 49, 50, 51	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
53		fzss2 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... B ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... B ) )
55	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... B ) )
56	16, 55	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> f C_ ( 1 ... B ) )
57		elfz1end 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. NN <-> B e. ( 1 ... B ) )
58	34, 57	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. ( 1 ... B ) )
59	58	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> B e. ( 1 ... B ) )
60	59	snssd 4172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> { B } C_ ( 1 ... B ) )
61	56, 60	unssd 3680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( f u. { B } ) C_ ( 1 ... B ) )
62		simplr2 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) )
63		f1f 5781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR -> F : ( 1 ... N ) --> RR )
64	6, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> F : ( 1 ... N ) --> RR )
65	64	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> F : ( 1 ... N ) --> RR )
66		elfzuz3 11685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` A ) )
67		fzss2 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... N ) )
68	4, 66, 67	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... N ) )
69	68	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( 1 ... A ) C_ ( 1 ... N ) )
70	16, 69	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> f C_ ( 1 ... N ) )
71		fzssuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 1 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
72		uzssz 11101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
73		zssre 10871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ZZ C_ RR
74	72, 73	sstri 3513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ RR
75	71, 74	sstri 3513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 1 ... N ) C_ RR
76		ltso 9665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- < Or RR
77		soss 4818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 ... N ) C_ RR -> ( < Or RR -> < Or ( 1 ... N ) ) )
78	75, 76, 77	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- < Or ( 1 ... N )
79		soisores 6211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( < Or ( 1 ... N ) /\ O Or RR ) /\ ( F : ( 1 ... N ) --> RR /\ f C_ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) <-> A. z e. f A. w e. f ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
80	78, 8, 79	mpanl12 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR /\ f C_ ( 1 ... N ) ) -> ( ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) <-> A. z e. f A. w e. f ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
81	65, 70, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) <-> A. z e. f A. w e. f ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
82	62, 81	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> A. z e. f A. w e. f ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) )
83	82	r19.21bi 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> A. w e. f ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) )
84	16	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> z e. ( 1 ... A ) )
85		elfzle2 11690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. ( 1 ... A ) -> z <_ A )
86	84, 85	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> z <_ A )
87	70	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> z e. ( 1 ... N ) )
88	75, 87	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> z e. RR )
89	4	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> A e. ( 1 ... N ) )
90	89, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> A e. NN )
91	90	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> A e. RR )
92	88, 91	lenltd 9730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( z <_ A <-> -. A < z ) )
93	86, 92	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> -. A < z )
94	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) )
95		simplr3 1040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> A e. f )
96	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> A e. f )
97		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> z e. f )
98		isorel 6210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ ( A e. f /\ z e. f ) ) -> ( A < z <-> ( ( F |` f ) ` A ) O ( ( F |` f ) ` z ) ) )
99		fvres 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( A e. f -> ( ( F |` f ) ` A ) = ( F ` A ) )
100		fvres 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( z e. f -> ( ( F |` f ) ` z ) = ( F ` z ) )
101	99, 100	breqan12d 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. f /\ z e. f ) -> ( ( ( F |` f ) ` A ) O ( ( F |` f ) ` z ) <-> ( F ` A ) O ( F ` z ) ) )
102	101	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ ( A e. f /\ z e. f ) ) -> ( ( ( F |` f ) ` A ) O ( ( F |` f ) ` z ) <-> ( F ` A ) O ( F ` z ) ) )
103	98, 102	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ ( A e. f /\ z e. f ) ) -> ( A < z <-> ( F ` A ) O ( F ` z ) ) )
104	94, 96, 97, 103	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( A < z <-> ( F ` A ) O ( F ` z ) ) )
105	93, 104	mtbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> -. ( F ` A ) O ( F ` z ) )
106		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( F ` A ) O ( F ` B ) )
107	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> F : ( 1 ... N ) --> RR )
108	107, 87	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( F ` z ) e. RR )
109	107, 89	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( F ` A ) e. RR )
110	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> B e. ( 1 ... N ) )
111	107, 110	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( F ` B ) e. RR )
112		sotr2 4829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( O Or RR /\ ( ( F ` z ) e. RR /\ ( F ` A ) e. RR /\ ( F ` B ) e. RR ) ) -> ( ( -. ( F ` A ) O ( F ` z ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( F ` z ) O ( F ` B ) ) )
113	8, 112	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( F ` z ) e. RR /\ ( F ` A ) e. RR /\ ( F ` B ) e. RR ) -> ( ( -. ( F ` A ) O ( F ` z ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( F ` z ) O ( F ` B ) ) )
114	108, 109, 111, 113	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( ( -. ( F ` A ) O ( F ` z ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( F ` z ) O ( F ` B ) ) )
115	105, 106, 114	mp2and 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( F ` z ) O ( F ` B ) )
116	115	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` B ) ) )
117		elsni 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w e. { B } -> w = B )
118	117	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. { B } -> ( F ` w ) = ( F ` B ) )
119	118	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. { B } -> ( ( F ` z ) O ( F ` w ) <-> ( F ` z ) O ( F ` B ) ) )
120	119	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. { B } -> ( ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) <-> ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` B ) ) ) )
121	116, 120	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> ( w e. { B } -> ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
122	121	ralrimiv 2876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> A. w e. { B } ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) )
123		ralunb 3685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) <-> ( A. w e. f ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) /\ A. w e. { B } ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
124	83, 122, 123	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ z e. f ) -> A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) )
125	124	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> A. z e. f A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) )
126	61	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ w e. ( f u. { B } ) ) -> w e. ( 1 ... B ) )
127		elfzle2 11690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w e. ( 1 ... B ) -> w <_ B )
128	127	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ w e. ( 1 ... B ) ) -> w <_ B )
129		elfzelz 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. ( 1 ... B ) -> w e. ZZ )
130	129	zred 10966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w e. ( 1 ... B ) -> w e. RR )
131	130	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ w e. ( 1 ... B ) ) -> w e. RR )
132	35	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ w e. ( 1 ... B ) ) -> B e. RR )
133	131, 132	lenltd 9730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ w e. ( 1 ... B ) ) -> ( w <_ B <-> -. B < w ) )
134	128, 133	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ w e. ( 1 ... B ) ) -> -. B < w )
135	126, 134	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ w e. ( f u. { B } ) ) -> -. B < w )
136	135	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) /\ w e. ( f u. { B } ) ) -> ( B < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) )
137	136	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> A. w e. ( f u. { B } ) ( B < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) )
138		elsni 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. { B } -> z = B )
139	138	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. { B } -> ( z < w <-> B < w ) )
140	139	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. { B } -> ( ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) <-> ( B < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
141	140	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. { B } -> ( A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) <-> A. w e. ( f u. { B } ) ( B < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
142	137, 141	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( z e. { B } -> A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
143	142	ralrimiv 2876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> A. z e. { B } A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) )
144		ralunb 3685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. z e. ( f u. { B } ) A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) <-> ( A. z e. f A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) /\ A. z e. { B } A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
145	125, 143, 144	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> A. z e. ( f u. { B } ) A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) )
146	42	snssd 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> { B } C_ ( 1 ... N ) )
147	70, 146	unssd 3680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( f u. { B } ) C_ ( 1 ... N ) )
148		soisores 6211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( < Or ( 1 ... N ) /\ O Or RR ) /\ ( F : ( 1 ... N ) --> RR /\ ( f u. { B } ) C_ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( F |` ( f u. { B } ) ) Isom < , O ( ( f u. { B } ) , ( F " ( f u. { B } ) ) ) <-> A. z e. ( f u. { B } ) A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
149	78, 8, 148	mpanl12 682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR /\ ( f u. { B } ) C_ ( 1 ... N ) ) -> ( ( F |` ( f u. { B } ) ) Isom < , O ( ( f u. { B } ) , ( F " ( f u. { B } ) ) ) <-> A. z e. ( f u. { B } ) A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
150	65, 147, 149	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( ( F |` ( f u. { B } ) ) Isom < , O ( ( f u. { B } ) , ( F " ( f u. { B } ) ) ) <-> A. z e. ( f u. { B } ) A. w e. ( f u. { B } ) ( z < w -> ( F ` z ) O ( F ` w ) ) ) )
151	145, 150	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( F |` ( f u. { B } ) ) Isom < , O ( ( f u. { B } ) , ( F " ( f u. { B } ) ) ) )
152		ssun2 3668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { B } C_ ( f u. { B } )
153		snssg 4160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. ( 1 ... B ) -> ( B e. ( f u. { B } ) <-> { B } C_ ( f u. { B } ) ) )
154	59, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( B e. ( f u. { B } ) <-> { B } C_ ( f u. { B } ) ) )
155	152, 154	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> B e. ( f u. { B } ) )
156	22	erdszelem1 28303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f u. { B } ) e. { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } <-> ( ( f u. { B } ) C_ ( 1 ... B ) /\ ( F |` ( f u. { B } ) ) Isom < , O ( ( f u. { B } ) , ( F " ( f u. { B } ) ) ) /\ B e. ( f u. { B } ) ) )
157	61, 151, 155, 156	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( f u. { B } ) e. { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } )
158		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- f e. _V
159		snex 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { B } e. _V
160	158, 159	unex 6582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f u. { B } ) e. _V
161	1	fdmi 5736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom # = _V
162	160, 161	eleqtrri 2554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f u. { B } ) e. dom #
163		funfvima 6135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun # /\ ( f u. { B } ) e. dom # ) -> ( ( f u. { B } ) e. { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } -> ( # ` ( f u. { B } ) ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) ) )
164	3, 162, 163	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f u. { B } ) e. { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } -> ( # ` ( f u. { B } ) ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) )
165	157, 164	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( # ` ( f u. { B } ) ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) )
166	45, 165	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( ( # ` f ) + 1 ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) )
167		ne0i 3791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( # ` f ) + 1 ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) -> ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) =/= (/) )
168	166, 167	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) =/= (/) )
169	23	simpli 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) e. Fin
170		fimaxre2 10491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) C_ RR /\ ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) e. Fin ) -> E. z e. RR A. w e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) w <_ z )
171	27, 169, 170	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> E. z e. RR A. w e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) w <_ z )
172		suprub 10504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) C_ RR /\ ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) w <_ z ) /\ ( ( # ` f ) + 1 ) e. ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) ) -> ( ( # ` f ) + 1 ) <_ sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) , RR , < ) )
173	27, 168, 171, 166, 172	syl31anc 1231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( ( # ` f ) + 1 ) <_ sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) , RR , < ) )
174	5, 6, 7	erdszelem3 28305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( 1 ... N ) -> ( K ` B ) = sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) , RR , < ) )
175	32, 174	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ` B ) = sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) , RR , < ) )
176	175	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( K ` B ) = sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... B ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ B e. y ) } ) , RR , < ) )
177	173, 176	breqtrrd 4473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( ( # ` f ) + 1 ) <_ ( K ` B ) )
178	5, 6, 7, 8	erdszelem6 28308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> NN )
179	178, 32	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ` B ) e. NN )
180	179	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( K ` B ) e. NN )
181	180	nnnn0d 10852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( K ` B ) e. NN0 )
182		nn0ltp1le 10920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` f ) e. NN0 /\ ( K ` B ) e. NN0 ) -> ( ( # ` f ) < ( K ` B ) <-> ( ( # ` f ) + 1 ) <_ ( K ` B ) ) )
183	20, 181, 182	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( ( # ` f ) < ( K ` B ) <-> ( ( # ` f ) + 1 ) <_ ( K ` B ) ) )
184	177, 183	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( # ` f ) < ( K ` B ) )
185	21, 184	ltned 9720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) /\ ( F ` A ) O ( F ` B ) ) -> ( # ` f ) =/= ( K ` B ) )
186	185	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) -> ( ( F ` A ) O ( F ` B ) -> ( # ` f ) =/= ( K ` B ) ) )
187		neeq1 2748	. . . . . . 7 |- ( ( # ` f ) = ( K ` A ) -> ( ( # ` f ) =/= ( K ` B ) <-> ( K ` A ) =/= ( K ` B ) ) )
188	187	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( ( # ` f ) = ( K ` A ) -> ( ( ( F ` A ) O ( F ` B ) -> ( # ` f ) =/= ( K ` B ) ) <-> ( ( F ` A ) O ( F ` B ) -> ( K ` A ) =/= ( K ` B ) ) ) )
189	186, 188	syl5ibcom 220	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` f ) Isom < , O ( f , ( F " f ) ) /\ A e. f ) ) -> ( ( # ` f ) = ( K ` A ) -> ( ( F ` A ) O ( F ` B ) -> ( K ` A ) =/= ( K ` B ) ) ) )
190	14, 189	sylan2b 475	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ) -> ( ( # ` f ) = ( K ` A ) -> ( ( F ` A ) O ( F ` B ) -> ( K ` A ) =/= ( K ` B ) ) ) )
191	190	rexlimdva 2955	. . 3 |- ( ph -> ( E. f e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } ( # ` f ) = ( K ` A ) -> ( ( F ` A ) O ( F ` B ) -> ( K ` A ) =/= ( K ` B ) ) ) )
192	12, 191	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` A ) O ( F ` B ) -> ( K ` A ) =/= ( K ` B ) ) )
193	192	necon2bd 2682	1 |- ( ph -> ( ( K ` A ) = ( K ` B ) -> -. ( F ` A ) O ( F ` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   u. cun 3474   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   Or wor 4799   dom cdm 4999   |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588   Isom wiso 5589  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   supcsup 7900   RRcr 9491   1c1 9493   + caddc 9495   +oocpnf 9625   < clt 9628   <_ cle 9629   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672   #chash 12373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374

This theorem is referenced by:  erdszelem9  28311