Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem6 Structured version   Unicode version

Theorem erdszelem6 28268
Description: Lemma for erdsze 28274. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
Assertion
Ref Expression
erdszelem6  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> NN )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, O, y    x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem6
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9656 . . . 4  |-  <  Or  RR
21supex 7914 . . 3  |-  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... N
) )  ->  sup ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... x )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )
4 erdszelem.k . . 3  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  ) ) )
6 eqid 2462 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... z )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  z  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... z
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  z  e.  y ) }
76erdszelem2 28264 . . . 4  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... z )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  z  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... z )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  z  e.  y ) } ) 
C_  NN )
87simpri 462 . . 3  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... z
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  z  e.  y ) } )  C_  NN
9 erdsze.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
10 erdsze.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
11 erdszelem.o . . . 4  |-  O  Or  RR
129, 10, 4, 11erdszelem5 28267 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  z )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... z )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  z  e.  y ) } ) )
138, 12sseldi 3497 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  z )  e.  NN )
143, 5, 13fmpt2d 6044 1  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2813   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   ~Pcpw 4005    |-> cmpt 4500    Or wor 4794    |` cres 4996   "cima 4997   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581    Isom wiso 5582  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   supcsup 7891   RRcr 9482   1c1 9484    < clt 9619   NNcn 10527   ...cfz 11663   #chash 12362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-hash 12363
This theorem is referenced by:  erdszelem7  28269  erdszelem8  28270  erdszelem9  28271
  Copyright terms: Public domain W3C validator