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Theorem erdszelem5 28295
Description: Lemma for erdsze 28302. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
Assertion
Ref Expression
erdszelem5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  A )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, A, y    x, O, y    x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem5
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 erdsze.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
3 erdszelem.k . . . 4  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
41, 2, 3erdszelem3 28293 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K `  A )  =  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
54adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  A )  =  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
6 snex 4688 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
7 hashf 12379 . . . . . . 7  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
87fdmi 5735 . . . . . 6  |-  dom  #  =  _V
96, 8eleqtrri 2554 . . . . 5  |-  { A }  e.  dom  #
10 erdszelem.o . . . . . 6  |-  O  Or  RR
111, 2, 3, 10erdszelem4 28294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
12 inelcm 3881 . . . . 5  |-  ( ( { A }  e.  dom  #  /\  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )  ->  ( dom  #  i^i  { y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/) )
139, 11, 12sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( dom  #  i^i  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/) )
14 imadisj 5355 . . . . 5  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =  (/)  <->  ( dom  #  i^i  { y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =  (/) )
1514necon3bii 2735 . . . 4  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/)  <->  ( dom  #  i^i  { y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/) )
1613, 15sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/) )
17 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
1817erdszelem2 28292 . . . . 5  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } ) 
C_  NN )
1918simpli 458 . . . 4  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } )  e. 
Fin
2018simpri 462 . . . . 5  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } )  C_  NN
21 nnssre 10539 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
2220, 21sstri 3513 . . . 4  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } )  C_  RR
23 ltso 9664 . . . . 5  |-  <  Or  RR
24 fisupcl 7926 . . . . 5  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/)  /\  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } )  C_  RR ) )  ->  sup ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
2523, 24mpan 670 . . . 4  |-  ( ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/)  /\  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } )  C_  RR )  ->  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
2619, 22, 25mp3an13 1315 . . 3  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/)  ->  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
2716, 26syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  sup ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
285, 27eqeltrd 2555 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  A )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027    |-> cmpt 4505    Or wor 4799   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002   -1-1->wf1 5584   ` cfv 5587    Isom wiso 5588  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   supcsup 7899   RRcr 9490   1c1 9492   +oocpnf 9624    < clt 9627   NNcn 10535   NN0cn0 10794   ...cfz 11671   #chash 12372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-hash 12373
This theorem is referenced by:  erdszelem6  28296  erdszelem7  28297  erdszelem8  28298
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