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Theorem erdszelem5 24834
Description: Lemma for erdsze 24841. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
erdsze.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
erdszelem.o  |-  O  Or  RR
Assertion
Ref Expression
erdszelem5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  A )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, A, y    x, O, y    x, N, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem5
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 erdsze.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
3 erdszelem.k . . . 4  |-  K  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... x
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  x  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
41, 2, 3erdszelem3 24832 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... N )  ->  ( K `  A )  =  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
54adantl 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  A )  =  sup ( ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )
)
6 snex 4365 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
7 hashf 11580 . . . . . . 7  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  {  +oo } )
87fdmi 5555 . . . . . 6  |-  dom  #  =  _V
96, 8eleqtrri 2477 . . . . 5  |-  { A }  e.  dom  #
10 erdszelem.o . . . . . 6  |-  O  Or  RR
111, 2, 3, 10erdszelem4 24833 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )
12 inelcm 3642 . . . . 5  |-  ( ( { A }  e.  dom  #  /\  { A }  e.  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )  ->  ( dom  #  i^i  { y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/) )
139, 11, 12sylancr 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( dom  #  i^i  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/) )
14 imadisj 5182 . . . . 5  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =  (/)  <->  ( dom  #  i^i  { y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =  (/) )
1514necon3bii 2599 . . . 4  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/)  <->  ( dom  #  i^i  { y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/) )
1613, 15sylibr 204 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/) )
17 eqid 2404 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
1817erdszelem2 24831 . . . . 5  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } ) 
C_  NN )
1918simpli 445 . . . 4  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } )  e. 
Fin
2018simpri 449 . . . . 5  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } )  C_  NN
21 nnssre 9960 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
2220, 21sstri 3317 . . . 4  |-  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } )  C_  RR
23 ltso 9112 . . . . 5  |-  <  Or  RR
24 fisupcl 7428 . . . . 5  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/)  /\  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } )  C_  RR ) )  ->  sup ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
2523, 24mpan 652 . . . 4  |-  ( ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  e.  Fin  /\  ( #
" { y  e. 
~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y
)  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y ) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/)  /\  ( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) } )  C_  RR )  ->  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
2619, 22, 25mp3an13 1270 . . 3  |-  ( (
# " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } )  =/=  (/)  ->  sup (
( # " { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
2716, 26syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  sup ( ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
285, 27eqeltrd 2478 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  A )  e.  ( # " {
y  e.  ~P (
1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774    e. cmpt 4226    Or wor 4462   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413    Isom wiso 5414  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   supcsup 7403   RRcr 8945   1c1 8947    +oocpnf 9073    < clt 9076   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ...cfz 10999   #chash 11573
This theorem is referenced by:  erdszelem6  24835  erdszelem7  24836  erdszelem8  24837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574
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