Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem2 Structured version   Unicode version

Theorem erdszelem2 28461
Description: Lemma for erdsze 28471. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
erdszelem1.1  |-  S  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
Assertion
Ref Expression
erdszelem2  |-  ( (
# " S )  e.  Fin  /\  ( #
" S )  C_  NN )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, O
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem erdszelem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12062 . . . . 5  |-  ( 1 ... A )  e. 
Fin
2 pwfi 7827 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... A )  e.  Fin  <->  ~P (
1 ... A )  e. 
Fin )
31, 2mpbi 208 . . . 4  |-  ~P (
1 ... A )  e. 
Fin
4 erdszelem1.1 . . . . 5  |-  S  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
5 ssrab2 3590 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  C_  ~P ( 1 ... A
)
64, 5eqsstri 3539 . . . 4  |-  S  C_  ~P ( 1 ... A
)
7 ssfi 7752 . . . 4  |-  ( ( ~P ( 1 ... A )  e.  Fin  /\  S  C_  ~P (
1 ... A ) )  ->  S  e.  Fin )
83, 6, 7mp2an 672 . . 3  |-  S  e. 
Fin
9 hashf 12392 . . . . 5  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
10 ffun 5739 . . . . 5  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  Fun  # )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  #
12 ssv 3529 . . . . 5  |-  S  C_  _V
139fdmi 5742 . . . . 5  |-  dom  #  =  _V
1412, 13sseqtr4i 3542 . . . 4  |-  S  C_  dom  #
15 fores 5810 . . . 4  |-  ( ( Fun  #  /\  S  C_  dom  # )  ->  ( #  |`  S ) : S -onto->
( # " S ) )
1611, 14, 15mp2an 672 . . 3  |-  ( #  |`  S ) : S -onto->
( # " S )
17 fofi 7818 . . 3  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( #  |`  S ) : S -onto-> ( # " S
) )  ->  ( #
" S )  e. 
Fin )
188, 16, 17mp2an 672 . 2  |-  ( # " S )  e.  Fin
19 funimass4 5925 . . . 4  |-  ( ( Fun  #  /\  S  C_  dom  # )  ->  (
( # " S ) 
C_  NN  <->  A. x  e.  S  ( # `  x )  e.  NN ) )
2011, 14, 19mp2an 672 . . 3  |-  ( (
# " S ) 
C_  NN  <->  A. x  e.  S  ( # `  x )  e.  NN )
214erdszelem1 28460 . . . 4  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  C_  ( 1 ... A
)  /\  ( F  |`  x )  Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F " x
) )  /\  A  e.  x ) )
22 ne0i 3796 . . . . . 6  |-  ( A  e.  x  ->  x  =/=  (/) )
23223ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  =/=  (/) )
24 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  C_  (
1 ... A ) )
25 ssfi 7752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... A
)  e.  Fin  /\  x  C_  ( 1 ... A ) )  ->  x  e.  Fin )
261, 24, 25sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  e.  Fin )
27 hashnncl 12416 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( # `  x )  e.  NN  <->  x  =/=  (/) ) )
2826, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  ( ( # `
 x )  e.  NN  <->  x  =/=  (/) ) )
2923, 28mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  ( # `  x
)  e.  NN )
3021, 29sylbi 195 . . 3  |-  ( x  e.  S  ->  ( # `
 x )  e.  NN )
3120, 30mprgbir 2831 . 2  |-  ( # " S )  C_  NN
3218, 31pm3.2i 455 1  |-  ( (
# " S )  e.  Fin  /\  ( #
" S )  C_  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    u. cun 3479    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   dom cdm 5005    |` cres 5007   "cima 5008   Fun wfun 5588   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594    Isom wiso 5595  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   1c1 9505   +oocpnf 9637    < clt 9640   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ...cfz 11684   #chash 12385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386
This theorem is referenced by:  erdszelem5  28464  erdszelem6  28465  erdszelem7  28466  erdszelem8  28467
  Copyright terms: Public domain W3C validator