Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem erdszelem2 29927
Description: Lemma for erdsze 29937. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
erdszelem1.1  |-  S  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
Assertion
Ref Expression
erdszelem2  |-  ( (
# " S )  e.  Fin  /\  ( #
" S )  C_  NN )
Distinct variable groups:    y, A    y, F    y, O
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem erdszelem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12192 . . . . 5  |-  ( 1 ... A )  e. 
Fin
2 pwfi 7874 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... A )  e.  Fin  <->  ~P (
1 ... A )  e. 
Fin )
31, 2mpbi 212 . . . 4  |-  ~P (
1 ... A )  e. 
Fin
4 erdszelem1.1 . . . . 5  |-  S  =  { y  e.  ~P ( 1 ... A
)  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F
" y ) )  /\  A  e.  y ) }
5 ssrab2 3516 . . . . 5  |-  { y  e.  ~P ( 1 ... A )  |  ( ( F  |`  y )  Isom  <  ,  O  ( y ,  ( F " y
) )  /\  A  e.  y ) }  C_  ~P ( 1 ... A
)
64, 5eqsstri 3464 . . . 4  |-  S  C_  ~P ( 1 ... A
)
7 ssfi 7797 . . . 4  |-  ( ( ~P ( 1 ... A )  e.  Fin  /\  S  C_  ~P (
1 ... A ) )  ->  S  e.  Fin )
83, 6, 7mp2an 679 . . 3  |-  S  e. 
Fin
9 hashf 12529 . . . . 5  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
10 ffun 5736 . . . . 5  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  Fun  # )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  #
12 ssv 3454 . . . . 5  |-  S  C_  _V
139fdmi 5739 . . . . 5  |-  dom  #  =  _V
1412, 13sseqtr4i 3467 . . . 4  |-  S  C_  dom  #
15 fores 5807 . . . 4  |-  ( ( Fun  #  /\  S  C_  dom  # )  ->  ( #  |`  S ) : S -onto->
( # " S ) )
1611, 14, 15mp2an 679 . . 3  |-  ( #  |`  S ) : S -onto->
( # " S )
17 fofi 7865 . . 3  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  ( #  |`  S ) : S -onto-> ( # " S
) )  ->  ( #
" S )  e. 
Fin )
188, 16, 17mp2an 679 . 2  |-  ( # " S )  e.  Fin
19 funimass4 5921 . . . 4  |-  ( ( Fun  #  /\  S  C_  dom  # )  ->  (
( # " S ) 
C_  NN  <->  A. x  e.  S  ( # `  x )  e.  NN ) )
2011, 14, 19mp2an 679 . . 3  |-  ( (
# " S ) 
C_  NN  <->  A. x  e.  S  ( # `  x )  e.  NN )
214erdszelem1 29926 . . . 4  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  C_  ( 1 ... A
)  /\  ( F  |`  x )  Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F " x
) )  /\  A  e.  x ) )
22 ne0i 3739 . . . . . 6  |-  ( A  e.  x  ->  x  =/=  (/) )
23223ad2ant3 1032 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  =/=  (/) )
24 simp1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  C_  (
1 ... A ) )
25 ssfi 7797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... A
)  e.  Fin  /\  x  C_  ( 1 ... A ) )  ->  x  e.  Fin )
261, 24, 25sylancr 670 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  x  e.  Fin )
27 hashnncl 12554 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( # `  x )  e.  NN  <->  x  =/=  (/) ) )
2826, 27syl 17 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  ( ( # `
 x )  e.  NN  <->  x  =/=  (/) ) )
2923, 28mpbird 236 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( 1 ... A )  /\  ( F  |`  x ) 
Isom  <  ,  O  ( x ,  ( F
" x ) )  /\  A  e.  x
)  ->  ( # `  x
)  e.  NN )
3021, 29sylbi 199 . . 3  |-  ( x  e.  S  ->  ( # `
 x )  e.  NN )
3120, 30mprgbir 2754 . 2  |-  ( # " S )  C_  NN
3218, 31pm3.2i 457 1  |-  ( (
# " S )  e.  Fin  /\  ( #
" S )  C_  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   {crab 2743   _Vcvv 3047    u. cun 3404    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   {csn 3970   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5579   -->wf 5581   -onto->wfo 5583   ` cfv 5585    Isom wiso 5586  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   1c1 9545   +oocpnf 9677    < clt 9680   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ...cfz 11791   #chash 12522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-hash 12523
This theorem is referenced by:  erdszelem5  29930  erdszelem6  29931  erdszelem7  29932  erdszelem8  29933
  Copyright terms: Public domain W3C validator