Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze2lem2 Unicode version

Theorem erdsze2lem2 24843
Description: Lemma for erdsze2 24844. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
erdsze2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  NN )
erdsze2.f  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> RR )
erdsze2.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
erdsze2lem.n  |-  N  =  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )
erdsze2lem.l  |-  ( ph  ->  N  <  ( # `  A ) )
erdsze2lem.g  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A
)
erdsze2lem.i  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ,  ran  G
) )
Assertion
Ref Expression
erdsze2lem2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    F, s    G, s    R, s    S, s    N, s    ph, s

Proof of Theorem erdsze2lem2
Dummy variables  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze2lem.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )
2 erdsze2.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
3 nnm1nn0 10217 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  NN  ->  ( R  -  1 )  e.  NN0 )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  -  1 )  e.  NN0 )
5 erdsze2.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  NN )
6 nnm1nn0 10217 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  NN  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
84, 7nn0mulcld 10235 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )  e.  NN0 )
91, 8syl5eqel 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 nn0p1nn 10215 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
12 erdsze2.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> RR )
13 erdsze2lem.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A
)
14 f1co 5607 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-> RR  /\  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A
)  ->  ( F  o.  G ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) )
-1-1-> RR )
1512, 13, 14syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> RR )
169nn0red 10231 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1716ltp1d 9897 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
181, 17syl5eqbrr 4206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( R  - 
1 )  x.  ( S  -  1 ) )  <  ( N  +  1 ) )
1911, 15, 2, 5, 18erdsze 24841 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ~P  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( R  <_  ( # `  t
)  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) ) )
20 vex 2919 . . . . 5  |-  t  e. 
_V
2120elpw 3765 . . . 4  |-  ( t  e.  ~P ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  <->  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
22 imassrn 5175 . . . . . . . 8  |-  ( G
" t )  C_  ran  G
23 f1f 5598 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-> A  ->  G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> A )
2413, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) --> A )
25 frn 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> A  ->  ran  G  C_  A )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  A
)
2722, 26syl5ss 3319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G " t
)  C_  A )
28 erdsze2.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
29 reex 9037 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
30 ssexg 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
3128, 29, 30sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
32 elpw2g 4323 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( G " t
)  e.  ~P A  <->  ( G " t ) 
C_  A ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G "
t )  e.  ~P A 
<->  ( G " t
)  C_  A )
)
3427, 33mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G " t
)  e.  ~P A
)
3534adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G " t )  e. 
~P A )
3620f1imaen 7128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( G "
t )  ~~  t
)
3713, 36sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G " t )  ~~  t )
38 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
40 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  -> 
t  e.  Fin )
4138, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  t  e.  Fin )
42 enfii 7285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  ( G " t ) 
~~  t )  -> 
( G " t
)  e.  Fin )
4341, 37, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G " t )  e. 
Fin )
44 hashen 11586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G " t
)  e.  Fin  /\  t  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( G " t ) )  =  ( # `  t
)  <->  ( G "
t )  ~~  t
) )
4543, 41, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( # `  ( G
" t ) )  =  ( # `  t
)  <->  ( G "
t )  ~~  t
) )
4637, 45mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( # `
 ( G "
t ) )  =  ( # `  t
) )
4746breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( R  <_  ( # `  ( G " t ) )  <-> 
R  <_  ( # `  t
) ) )
4847biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( R  <_  ( # `  t
)  ->  R  <_  (
# `  ( G " t ) ) ) )
49 erdsze2lem.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ,  ran  G
) )
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ,  ran  G ) )
5139adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
52 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  x  e.  t )
5351, 52sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
54 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  y  e.  t )
5551, 54sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
56 isorel 6005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ,  ran  G
)  /\  ( x  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  y  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  <->  ( G `  x )  <  ( G `  y ) ) )
5750, 53, 55, 56syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  ( x  <  y  <->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) )
5857biimpd 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  (
x  e.  t  /\  y  e.  t )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) )
5958ralrimivva 2758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) )
60 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  t  e.  NN )
6160nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  t  e.  RR )
6261ssriv 3312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  RR
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  RR )
64 ltso 9112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
65 soss 4481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( N  +  1 ) ) 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
6663, 64, 65ee10 1382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  <  Or  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
6728adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A  C_  RR )
68 soss 4481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
6967, 64, 68ee10 1382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  <  Or  A )
7024adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  G : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> A )
71 soisores 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  <  Or  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  <  Or  A )  /\  ( G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) --> A  /\  t  C_  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( G " t
) )  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x  <  y  ->  ( G `  x )  <  ( G `  y )
) ) )
7266, 69, 70, 39, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( G
" t ) )  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x  <  y  ->  ( G `  x
)  <  ( G `  y ) ) ) )
7359, 72mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( G " t
) ) )
74 isocnv 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  (
t ,  ( G
" t ) )  ->  `' ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  t ) )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  `' ( G  |`  t ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  t ) )
76 isotr 6015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  t )  /\  (
( F  o.  G
)  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  -> 
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) )
7776ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( G  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  t )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
7875, 77syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
79 resco 5333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  o.  G )  |`  t )  =  ( F  o.  ( G  |`  t ) )
8079coeq1i 4991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  o.  G
)  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  ( ( F  o.  ( G  |`  t ) )  o.  `' ( G  |`  t )
)
81 coass 5347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  o.  ( G  |`  t ) )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  ( F  o.  (
( G  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
) )
8280, 81eqtri 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  o.  G
)  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  ( F  o.  (
( G  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
) )
83 f1ores 5648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-> A  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( G  |`  t ) : t -1-1-onto-> ( G " t ) )
8413, 83sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( G  |`  t ) : t -1-1-onto-> ( G " t
) )
85 f1ococnv2 5661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  |`  t ) : t -1-1-onto-> ( G " t
)  ->  ( ( G  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  =  (  _I  |`  ( G " t ) ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( G  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  (  _I  |`  ( G " t
) ) )
8786coeq2d 4994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( F  o.  ( ( G  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) ) )  =  ( F  o.  (  _I  |`  ( G
" t ) ) ) )
88 coires1 5346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  o.  (  _I  |`  ( G " t ) ) )  =  ( F  |`  ( G " t
) )
8987, 88syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( F  o.  ( ( G  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) ) )  =  ( F  |`  ( G " t ) ) )
9082, 89syl5eq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  ( F  |`  ( G " t
) ) )
91 isoeq1 5998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  ( F  |`  ( G " t
) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) ) )
93 imaco 5334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  G )
" t )  =  ( F " ( G " t ) )
94 isoeq5 6002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  G
) " t )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
9593, 94ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  ( ( F  o.  G ) " t
) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  ( F " ( G " t ) ) ) )
9692, 95syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
9778, 96sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  ->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
9848, 97anim12d 547 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( R  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G )
" t ) ) )  ->  ( R  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) ) )
9946breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  <-> 
S  <_  ( # `  t
) ) )
10099biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( S  <_  ( # `  t
)  ->  S  <_  (
# `  ( G " t ) ) ) )
101 isotr 6015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( G  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( ( G
" t ) ,  t )  /\  (
( F  o.  G
)  |`  t )  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) "
t ) ) )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) )
102101ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( G  |`  t
)  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  t )  ->  ( ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )
10375, 102syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  ->  ( (
( F  o.  G
)  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t ) ,  ( ( F  o.  G ) "
t ) ) ) )
104 isoeq1 5998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  o.  G )  |`  t
)  o.  `' ( G  |`  t )
)  =  ( F  |`  ( G " t
) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )
10590, 104syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )
106 isoeq5 6002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  G
) " t )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( ( F  o.  G )
" t ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
10793, 106ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t ) ,  ( ( F  o.  G ) "
t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G
" t ) ,  ( F " ( G " t ) ) ) )
108105, 107syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( F  o.  G )  |`  t )  o.  `' ( G  |`  t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) )
109103, 108sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) )  ->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G
" t ) ,  ( F " ( G " t ) ) ) ) )
110100, 109anim12d 547 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) )  ->  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) )
11198, 110orim12d 812 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  -> 
( ( R  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) )  \/  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) ) )
112 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  ( G " t ) ) )
113112breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( R  <_  ( # `  s
)  <->  R  <_  ( # `  ( G " t
) ) ) )
114 reseq2 5100 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( F  |`  s )  =  ( F  |`  ( G " t ) ) )
115 isoeq1 5998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  s )  =  ( F  |`  ( G " t ) )  ->  ( ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) ) )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
s ,  ( F
" s ) ) ) )
117 isoeq4 6001 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" s ) ) ) )
118 imaeq2 5158 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( G " t ) ) )
119 isoeq5 6002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " s )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
121116, 117, 1203bitrd 271 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  <  (
( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
122113, 121anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( R  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  <  (
s ,  ( F
" s ) ) )  <->  ( R  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) ) )
123112breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  ( S  <_  ( # `  s
)  <->  S  <_  ( # `  ( G " t
) ) ) )
124 isoeq1 5998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  s )  =  ( F  |`  ( G " t ) )  ->  ( ( F  |`  s )  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F "
s ) )  <->  ( F  |`  ( G " t
) )  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s
) ) ) )
125114, 124syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s ) ) ) )
126 isoeq4 6001 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" s ) ) ) )
127 isoeq5 6002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " s )  =  ( F "
( G " t
) )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
128118, 127syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" s ) )  <-> 
( F  |`  ( G " t ) ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) ) )
129125, 126, 1283bitrd 271 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( F  |`  s
)  Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F " s ) )  <->  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) )
130123, 129anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) )  <->  ( S  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) )
131122, 130orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( G "
t )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  s )  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) )  <->  ( ( R  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) )  \/  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) ) )
132131rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( G " t
)  e.  ~P A  /\  ( ( R  <_ 
( # `  ( G
" t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  <  ( ( G " t
) ,  ( F
" ( G "
t ) ) ) )  \/  ( S  <_  ( # `  ( G " t ) )  /\  ( F  |`  ( G " t ) )  Isom  <  ,  `'  <  ( ( G "
t ) ,  ( F " ( G
" t ) ) ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) )
13335, 111, 132ee12an 1369 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) ) )
13421, 133sylan2b 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ~P ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( R  <_ 
( # `  t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) ) )
135134rexlimdva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e. 
~P  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( R  <_  ( # `  t
)  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t )  Isom  <  ,  <  ( t ,  ( ( F  o.  G ) " t
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 t )  /\  ( ( F  o.  G )  |`  t
)  Isom  <  ,  `'  <  ( t ,  ( ( F  o.  G
) " t ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) ) )
13619, 135mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. s  e.  ~P  A ( ( R  <_  ( # `  s
)  /\  ( F  |`  s )  Isom  <  ,  <  ( s ,  ( F " s
) ) )  \/  ( S  <_  ( # `
 s )  /\  ( F  |`  s ) 
Isom  <  ,  `'  <  ( s ,  ( F
" s ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172    _I cid 4453    Or wor 4462   `'ccnv 4836   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413    Isom wiso 5414  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ...cfz 10999   #chash 11573
This theorem is referenced by:  erdsze2  24844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574
  Copyright terms: Public domain W3C validator