Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze Structured version   Unicode version

Theorem erdsze 29499
 Description: The Erdős-Szekeres theorem. For any injective sequence on the reals of length at least , there is either a subsequence of length at least on which is increasing (i.e. a order isomorphism) or a subsequence of length at least on which is decreasing (i.e. a order isomorphism, recalling that is the greater-than relation). This is part of Metamath 100 proof #73. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n
erdsze.f
erdsze.r
erdsze.s
erdsze.l
Assertion
Ref Expression
erdsze
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem erdsze
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . 2
2 erdsze.f . 2
3 reseq2 5089 . . . . . . . . . 10
4 isoeq1 6198 . . . . . . . . . 10
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9
6 isoeq4 6201 . . . . . . . . 9
7 imaeq2 5153 . . . . . . . . . 10
8 isoeq5 6202 . . . . . . . . . 10
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9
105, 6, 93bitrd 279 . . . . . . . 8
11 elequ2 1847 . . . . . . . 8
1210, 11anbi12d 709 . . . . . . 7
1312cbvrabv 3058 . . . . . 6
14 oveq2 6286 . . . . . . . 8
1514pweqd 3960 . . . . . . 7
16 elequ1 1845 . . . . . . . 8
1716anbi2d 702 . . . . . . 7
1815, 17rabeqbidv 3054 . . . . . 6
1913, 18syl5eq 2455 . . . . 5
2019imaeq2d 5157 . . . 4
2120supeq1d 7939 . . 3
2221cbvmptv 4487 . 2
23 isoeq1 6198 . . . . . . . . . 10
243, 23syl 17 . . . . . . . . 9
25 isoeq4 6201 . . . . . . . . 9
26 isoeq5 6202 . . . . . . . . . 10
277, 26syl 17 . . . . . . . . 9
2824, 25, 273bitrd 279 . . . . . . . 8
2928, 11anbi12d 709 . . . . . . 7
3029cbvrabv 3058 . . . . . 6
3116anbi2d 702 . . . . . . 7
3215, 31rabeqbidv 3054 . . . . . 6
3330, 32syl5eq 2455 . . . . 5
3433imaeq2d 5157 . . . 4
3534supeq1d 7939 . . 3
3635cbvmptv 4487 . 2
37 eqid 2402 . 2
38 erdsze.r . 2
39 erdsze.s . 2
40 erdsze.l . 2
411, 2, 22, 36, 37, 38, 39, 40erdszelem11 29498 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wrex 2755  crab 2758  cpw 3955  cop 3978   class class class wbr 4395   cmpt 4453  ccnv 4822   cres 4825  cima 4826  wf1 5566  cfv 5569   wiso 5570  (class class class)co 6278  csup 7934  cr 9521  c1 9523   cmul 9527   clt 9658   cle 9659   cmin 9841  cn 10576  cfz 11726  chash 12452 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-hash 12453 This theorem is referenced by:  erdsze2lem2  29501
 Copyright terms: Public domain W3C validator