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Theorem erclwwlktr0 30476
Description: Lemma for erclwwlktr 30482 and erclwwlkntr 30498. (Contributed by AV, 9-Apr-2018.) (Revised by AV, 11-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlktr0.1  |-  ( ph  ->  z  e. Word  V )
erclwwlktr0.2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
erclwwlktr0  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) )
Distinct variable group:    k, m, n, x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, k, m, n)    V( x, y, z, k, m, n)

Proof of Theorem erclwwlktr0
StepHypRef Expression
1 oveq1 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  ( y cyclShift  m )  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m )
)
21eqeq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  ( x  =  ( y cyclShift  m
)  <->  x  =  (
( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) ) )
32anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( z cyclShift  k
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m
) )  <->  ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) ) ) )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  ( z cyclShift  k )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m
) )  <->  ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) ) ) )
5 elfznn0 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  k  e.  NN0 )
6 elfznn0 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  ->  m  e.  NN0 )
7 nn0addcl 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( k  +  m
)  e.  NN0 )
85, 6, 7syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  ( k  +  m )  e.  NN0 )
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
k  +  m )  e.  NN0 )
10 elfz3nn0 11480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
12 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
k  +  m )  <_  ( # `  z
) )
13 elfz2nn0 11478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  <->  ( (
k  +  m )  e.  NN0  /\  ( # `
 z )  e. 
NN0  /\  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z ) ) )
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_ 
( # `  z )  /\  ph ) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) )  ->  (
k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )
16 erclwwlktr0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  z  e. Word  V )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  +  m
)  <_  ( # `  z
)  /\  ph )  -> 
z  e. Word  V )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  z  e. Word  V )
19 elfzelz 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  k  e.  ZZ )
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  k  e.  ZZ )
21 elfzelz 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  ->  m  e.  ZZ )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  m  e.  ZZ )
24 2cshw 12445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e. Word  V  /\  k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  =  ( z cyclShift  ( k  +  m
) ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  =  ( z cyclShift  ( k  +  m
) ) )
2625eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  <->  x  =  ( z cyclShift  (
k  +  m ) ) ) )
2726biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_ 
( # `  z )  /\  ph ) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) )  ->  x  =  ( z cyclShift  (
k  +  m ) ) )
2815, 27jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) )  /\  ( ( k  +  m )  <_ 
( # `  z )  /\  ph ) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) )  ->  (
( k  +  m
)  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  x  =  ( z cyclShift  (
k  +  m ) ) ) )
2928exp41 610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph )  ->  ( x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  -> 
( ( k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  /\  x  =  ( z cyclShift  ( k  +  m ) ) ) ) ) ) )
3029com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  ->  (
( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  ->  ( x  =  ( ( z cyclShift  k
) cyclShift  m )  ->  (
( k  +  m
)  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  x  =  ( z cyclShift  (
k  +  m ) ) ) ) ) ) )
3130com24 87 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  ->  (
x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  -> 
( ( ( k  +  m )  <_ 
( # `  z )  /\  ph )  -> 
( ( k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  /\  x  =  ( z cyclShift  ( k  +  m ) ) ) ) ) ) )
3231imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  ->  ( ( ( k  +  m )  <_  ( # `  z
)  /\  ph )  -> 
( ( k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  /\  x  =  ( z cyclShift  ( k  +  m ) ) ) ) ) )
3332com12 31 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  x  =  ( (
z cyclShift  k ) cyclShift  m )
)  ->  ( (
( k  +  m
)  <_  ( # `  z
)  /\  ph )  -> 
( ( k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  /\  x  =  ( z cyclShift  ( k  +  m ) ) ) ) ) )
3433adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  ( z cyclShift  k )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) )  ->  ( ( ( k  +  m )  <_  ( # `  z
)  /\  ph )  -> 
( ( k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  /\  x  =  ( z cyclShift  ( k  +  m ) ) ) ) ) )
354, 34sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( y  =  ( z cyclShift  k )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m
) )  ->  (
( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph )  ->  ( (
k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  x  =  ( z cyclShift  (
k  +  m ) ) ) ) ) )
3635ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k
) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  ->  (
( ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph )  ->  ( (
k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  x  =  ( z cyclShift  (
k  +  m ) ) ) ) ) )
3736impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k
) ) )  -> 
( ( ( k  +  m )  <_ 
( # `  z )  /\  ph )  -> 
( ( k  +  m )  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  /\  x  =  ( z cyclShift  ( k  +  m ) ) ) ) )
38 oveq2 6097 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  m )  ->  (
z cyclShift  n )  =  ( z cyclShift  ( k  +  m
) ) )
3938eqeq2d 2452 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  m )  ->  (
x  =  ( z cyclShift  n )  <->  x  =  ( z cyclShift  ( k  +  m ) ) ) )
4039rspcev 3071 . . 3  |-  ( ( ( k  +  m
)  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  x  =  ( z cyclShift  (
k  +  m ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) x  =  ( z cyclShift  n ) )
4137, 40syl6com 35 . 2  |-  ( ( ( k  +  m
)  <_  ( # `  z
)  /\  ph )  -> 
( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m
) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  y  =  ( z cyclShift  k
) ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( # `  z
) ) x  =  ( z cyclShift  n )
) )
42 elfz2 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  ( # `  z )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  k  /\  k  <_  ( # `  z
) ) ) )
43 nn0z 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ZZ )
44 zaddcl 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  +  m
)  e.  ZZ )
4544ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( k  +  m )  e.  ZZ ) )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  z
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( k  +  m
)  e.  ZZ ) )
4746impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( # `  z
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )
)  ->  ( k  +  m )  e.  ZZ )
48 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( # `  z
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )
)  ->  ( # `  z
)  e.  ZZ )
4947, 48zsubcld 10750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( # `  z
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )
)  ->  ( (
k  +  m )  -  ( # `  z
) )  e.  ZZ )
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( ( # `  z
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) )  e.  ZZ ) )
5143, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( # `  z
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) )  e.  ZZ ) )
5251com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  z
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  NN0  ->  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) )  e.  ZZ ) )
53523adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  z )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  NN0  ->  ( ( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e.  ZZ ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  z
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  k  /\  k  <_  ( # `  z ) ) )  ->  ( m  e. 
NN0  ->  ( ( k  +  m )  -  ( # `  z ) )  e.  ZZ ) )
5542, 54sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
m  e.  NN0  ->  ( ( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e.  ZZ ) )
566, 55mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  ( (
k  +  m )  -  ( # `  z
) )  e.  ZZ )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e.  ZZ )
58 elfz2nn0 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  <->  ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0  /\  k  <_  ( # `  z
) ) )
59 nn0re 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
60 nn0re 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  z )  e.  NN0  ->  ( # `  z
)  e.  RR )
6159, 60anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0 )  -> 
( k  e.  RR  /\  ( # `  z
)  e.  RR ) )
62 nn0re 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
6361, 62anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0 )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  RR  /\  ( # `
 z )  e.  RR )  /\  m  e.  RR ) )
64 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  ( # `  z
)  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( # `  z
)  e.  RR )
65 readdcl 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  ( k  +  m
)  e.  RR )
6665adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  ( # `  z
)  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( k  +  m )  e.  RR )
6764, 66ltnled 9519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  ( # `  z
)  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( # `  z )  <  (
k  +  m )  <->  -.  ( k  +  m
)  <_  ( # `  z
) ) )
6864, 66posdifd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  ( # `  z
)  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( # `  z )  <  (
k  +  m )  <->  0  <  ( ( k  +  m )  -  ( # `  z
) ) ) )
6968biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  ( # `  z
)  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( # `  z )  <  (
k  +  m )  ->  0  <  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) ) ) )
7067, 69sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  ( # `  z
)  e.  RR )  /\  m  e.  RR )  ->  ( -.  (
k  +  m )  <_  ( # `  z
)  ->  0  <  ( ( k  +  m
)  -  ( # `  z ) ) ) )
7163, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0 )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -.  (
k  +  m )  <_  ( # `  z
)  ->  0  <  ( ( k  +  m
)  -  ( # `  z ) ) ) )
7271ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0 )  -> 
( m  e.  NN0  ->  ( -.  ( k  +  m )  <_ 
( # `  z )  ->  0  <  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) ) ) ) )
73723adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0  /\  k  <_  ( # `  z
) )  ->  (
m  e.  NN0  ->  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  -> 
0  <  ( (
k  +  m )  -  ( # `  z
) ) ) ) )
7458, 73sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
m  e.  NN0  ->  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  -> 
0  <  ( (
k  +  m )  -  ( # `  z
) ) ) ) )
756, 74mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  ( -.  ( k  +  m
)  <_  ( # `  z
)  ->  0  <  ( ( k  +  m
)  -  ( # `  z ) ) ) )
7675com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( k  +  m
)  <_  ( # `  z
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  0  <  ( ( k  +  m
)  -  ( # `  z ) ) ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  0  <  ( ( k  +  m
)  -  ( # `  z ) ) ) )
7877impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  0  <  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) ) )
79 elnnz 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e.  NN  <->  ( ( ( k  +  m )  -  ( # `  z
) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( k  +  m )  -  ( # `  z
) ) ) )
8057, 78, 79sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e.  NN )
8180nnnn0d 10634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e. 
NN0 )
8210ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
83 erclwwlktr0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) ) )
84 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( 0 ... ( # `  y
) )  =  ( 0 ... ( # `  z ) ) )
8584eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  <-> 
m  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) ) )
8685anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  <->  ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) ) ) )
87 elfz2nn0 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  <->  ( m  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0  /\  m  <_  ( # `  z
) ) )
8859adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR )
8988, 62anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0 )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )
9060, 60jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  z )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 z )  e.  RR  /\  ( # `  z )  e.  RR ) )
9190ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0 )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  z )  e.  RR  /\  ( # `  z
)  e.  RR ) )
92 le2add 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( # `  z )  e.  RR  /\  ( # `  z
)  e.  RR ) )  ->  ( (
k  <_  ( # `  z
)  /\  m  <_  (
# `  z )
)  ->  ( k  +  m )  <_  (
( # `  z )  +  ( # `  z
) ) ) )
9389, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0 )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  ( # `  z
)  /\  m  <_  (
# `  z )
)  ->  ( k  +  m )  <_  (
( # `  z )  +  ( # `  z
) ) ) )
94 nn0re 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( k  +  m )  e.  NN0  ->  ( k  +  m )  e.  RR )
957, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( k  +  m
)  e.  RR )
9695adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0 )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( k  +  m )  e.  RR )
9760ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0 )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( # `  z
)  e.  RR )
9896, 97, 97lesubadd2d 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0 )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( ( k  +  m )  -  ( # `  z
) )  <_  ( # `
 z )  <->  ( k  +  m )  <_  (
( # `  z )  +  ( # `  z
) ) ) )
9993, 98sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0 )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  ( # `  z
)  /\  m  <_  (
# `  z )
)  ->  ( (
k  +  m )  -  ( # `  z
) )  <_  ( # `
 z ) ) )
10099expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0 )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  <_ 
( # `  z )  ->  ( k  <_ 
( # `  z )  ->  ( ( k  +  m )  -  ( # `  z ) )  <_  ( # `  z
) ) ) )
101100ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0 )  -> 
( m  e.  NN0  ->  ( m  <_  ( # `
 z )  -> 
( k  <_  ( # `
 z )  -> 
( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) )  <_  ( # `  z
) ) ) ) )
102101com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0 )  -> 
( k  <_  ( # `
 z )  -> 
( m  <_  ( # `
 z )  -> 
( m  e.  NN0  ->  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) )  <_  ( # `  z
) ) ) ) )
1031023impia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0  /\  k  <_  ( # `  z
) )  ->  (
m  <_  ( # `  z
)  ->  ( m  e.  NN0  ->  ( (
k  +  m )  -  ( # `  z
) )  <_  ( # `
 z ) ) ) )
104103com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  <_  ( # `  z
)  ->  ( (
k  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0  /\  k  <_  ( # `  z
) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  <_ 
( # `  z ) ) ) )
105104imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  ( # `  z
) )  ->  (
( k  e.  NN0  /\  ( # `  z
)  e.  NN0  /\  k  <_  ( # `  z
) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  <_ 
( # `  z ) ) )
10658, 105syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  m  <_  ( # `  z
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  <_ 
( # `  z ) ) )
1071063adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0  /\  m  <_  ( # `  z
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  <_ 
( # `  z ) ) )
10887, 107sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  <_ 
( # `  z ) ) )
109108imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  ( (
k  +  m )  -  ( # `  z
) )  <_  ( # `
 z ) )
11086, 109syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  y )  =  ( # `  z
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  ( (
k  +  m )  -  ( # `  z
) )  <_  ( # `
 z ) ) )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  y
)  =  ( # `  z )  /\  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  -> 
( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) )  <_  ( # `  z
) ) )
11283, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) )  ->  ( ( k  +  m )  -  ( # `  z ) )  <_  ( # `  z
) ) )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  ( (
k  +  m )  -  ( # `  z
) )  <_  ( # `
 z ) ) )
114113impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  <_ 
( # `  z ) )
115 elfz2nn0 11478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  <-> 
( ( ( k  +  m )  -  ( # `  z ) )  e.  NN0  /\  ( # `  z )  e.  NN0  /\  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  <_ 
( # `  z ) ) )
11681, 82, 114, 115syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )
117116adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) )  /\  ( -.  (
k  +  m )  <_  ( # `  z
)  /\  ph ) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) )  ->  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )
11816adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph )  ->  z  e. Word  V )
119118adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  z  e. Word  V )
12019ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  k  e.  ZZ )
12122adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  m  e.  ZZ )
122119, 120, 121, 24syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  =  ( z cyclShift  ( k  +  m
) ) )
12319, 21, 44syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) ) )  ->  ( k  +  m )  e.  ZZ )
124 cshwsublen 12431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e. Word  V  /\  ( k  +  m
)  e.  ZZ )  ->  ( z cyclShift  (
k  +  m ) )  =  ( z cyclShift  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) ) ) )
125118, 123, 124syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
z cyclShift  ( k  +  m
) )  =  ( z cyclShift  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) ) ) )
126122, 125eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  =  ( z cyclShift  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) ) ) )
127126eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) ) )  /\  ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
 z )  /\  ph ) )  ->  (
x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  <->  x  =  ( z cyclShift  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) ) ) ) )
128127biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `
 y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) )  /\  ( -.  (
k  +  m )  <_  ( # `  z
)  /\  ph ) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) )  ->  x  =  ( z cyclShift  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) ) ) )
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 y ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) ) )  /\  ( -.  (
k  +  m )  <_  ( # `  z
)  /\  ph ) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) )  ->  (
( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) )  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  x  =  ( z cyclShift  (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) ) ) ) )
130129exp41 610 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  ->  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  ->  (
( -.  ( k  +  m )  <_ 
( # `  z )  /\  ph )  -> 
( x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  ->  ( (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  /\  x  =  ( z cyclShift  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) ) ) ) ) ) ) )
131130com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  ->  (
( -.  ( k  +  m )  <_ 
( # `  z )  /\  ph )  -> 
( k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  -> 
( x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  ->  ( (
( k  +  m
)  -  ( # `  z ) )  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  /\  x  =  ( z cyclShift  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) ) ) ) ) ) ) )
132131com24 87 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
) )  ->  (
x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z ) )  -> 
( ( -.  (
k  +  m )  <_  ( # `  z
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( ( ( k  +  m )  -  ( # `  z ) )  e.  ( 0 ... ( # `  z
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) )  /\  x  =  ( ( z cyclShift  k ) cyclShift  m ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( # `
 z ) )  ->  ( ( -.  ( k  +  m
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)  /\  ph )  -> 
( ( ( k  +  m )  -  ( # `  z ) )  e.  ( 0 ... ( # `  z
) )  /\  x  =  ( z cyclShift  (
( k  +  m
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1343, 133syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( z cyclShift  k
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k  e.  ( 0 ... ( # `  z
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( -.  ( k  +  m )  <_ 
( # `  z )  /\  ph )  -> 
( ( ( k  +  m )  -  ( # `  z ) )  e.  ( 0 ... ( # `  z
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( k  +  m
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135134com23 78 . . . . 5  |-  ( y  =  ( z cyclShift  k
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( -.  ( k  +  m )  <_ 
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( ( ( k  +  m )  -  ( # `  z ) )  e.  ( 0 ... ( # `  z
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136135impcom 430 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( # `  z
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( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  ->  (
( -.  ( k  +  m )  <_ 
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( k  +  m
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137136impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( # `  z
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( ( -.  (
k  +  m )  <_  ( # `  z
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( k  +  m
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138 oveq2 6097 . . . . 5  |-  ( n  =  ( ( k  +  m )  -  ( # `  z ) )  ->  ( z cyclShift  n )  =  ( z cyclShift  ( ( k  +  m )  -  ( # `
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139138eqeq2d 2452 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( k  +  m )  -  ( # `  z ) )  ->  ( x  =  ( z cyclShift  n
)  <->  x  =  (
z cyclShift  ( ( k  +  m )  -  ( # `
 z ) ) ) ) )
140139rspcev 3071 . . 3  |-  ( ( ( ( k  +  m )  -  ( # `
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( k  +  m
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141137, 140syl6com 35 . 2  |-  ( ( -.  ( k  +  m )  <_  ( # `
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( m  e.  ( 0 ... ( # `  y ) )  /\  x  =  ( y cyclShift  m ) )  /\  (
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14241, 141pm2.61ian 788 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( # `  y
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0 ... ( # `  z
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) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2714   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   RRcr 9279   0cc0 9280    + caddc 9283    < clt 9416    <_ cle 9417    - cmin 9593   NNcn 10320   NN0cn0 10577   ZZcz 10644   ...cfz 11435   #chash 12101  Word cword 12219   cyclShift ccsh 12423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-mod 11707  df-hash 12102  df-word 12227  df-concat 12229  df-substr 12231  df-csh 12424
This theorem is referenced by:  erclwwlktr  30482  erclwwlkntr  30498
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